Đang tải... (xem toàn văn)
Năm 1545, nhà toán học Italia Pherari (Ferrari), học trò của Cácđanô, đã tìm ra cách giải tổng quát phương trình bậc bốn. Công thức ra đời đã giải quyết sự bế tắc suốt nhiều thế kỉ khi giải phương trình bậc bốn Giải tổng quát mọi phương trình bậc ba cũng như bốn với ứng dụng của số phức lượng giác là tính toán căn bậc ba của số phức Muốn sử dụng được công thức bậc 4 phải học thành thạo công thức bậc ba và ngược lại
PHƯƠNG TRÌNH BẬC BA Lịch sử đời: Bốn nghìn năm trước người Hi Lạp biết cách giải phương trình bậc bậc hai Trải qua nhiều kỉ, nhà tốn học tìm cách giải tổng qt phương trình bậc ba khơng có kết Mãi đến năm 1526, nhà toán học I-ta-li-a Phe-rơ (Ferro) tìm cách giải tổng qt phương trình bậc ba dạng x px q với p, q ông không công bố phát minh Nắm cách giải này, tháng năm 1935, học trò Phe-rơ thách nhà tốn học có tiếng lúc Tac-ta-li-a (Tartaglia) giải phương trình bậc ba họ tin nắm phần thắng Một tuần trước ngày thi tài, Tac-ta-li-a tìm cách giải tổng quát phương trình x px q với giá trị p q Ông giải 30 toán đối phương ngày đọ sức, đối phương không giải 30 ông đưa Theo lời khẩn khoản Cac-đa-nô (Cardano), Tac-ta-li-a truyền lại cách giải ấy, yêu cầu giữ bí mật Năm 1545, Cac-đa-nơ cơng bố cơng thức tìm nghiệm phương trình bậc ba sách CƠNG THỨC NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH BẬC BA Phương trình bậc ba tổng qt có dạng: ax bx cx d (a �0) �p � �q � Đối với phương trình bậc ba ẩn: ax bx cx d (a �0) biệt thức ' � � � � �3 � �2 � b3 3ac 2b3 9abc 27 a d với p , ta có: , q 3a 27a - Nếu ' phương trình có nghiệm thực nhất: q q b x ' ' 2 3a - Nếu ' phương trình có hai nghiệm thực phân biệt có nghiệm kép: b x1 4q 3a q b x2 x3 3a - Nếu ' phương trình có ba nghiệm thực phân biệt: b x1 u1 v1 3a b x2 (u1 v1 ) i (u1 v1 ) 2 3a b x3 (u1 v1 ) i (u1 v1 ) 2 3a p q q Trong đó: u1 ' , v1 ' u1.v1 2 PHƯƠNG TRÌNH BẬC BỐN Năm 1545, nhà tốn học I-ta-li-a Phe-ra-ri (Ferrari), học trò Các-đa-nơ, tìm cách giải tổng qt phương trình bậc bốn Cơng thức đời giải bế tắc suốt nhiều kỉ giải phương trình bậc bốn CƠNG THỨC NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH BẬC BỐN - Phương trình bậc bốn có dạng: ax bx3 cx dx e (a �0) - Nguyên tắc chung: Biến đổi phương trình bậc bốn dạng x x x - Công thức: Ta thực phép biến dổi sau: ax bx3 cx dx e (a �0) b c d e � x x x x (1) a a a a Đặt B b c d e , C , D , E được: a a a a (1) � x Bx Cx Dx E 2 B � B � � �x x � Cx x Dx E � � 2 � y � B � y �B � B � � B � y � �x x � �x x � � C �x Dx E y �x x � � � �4 � � � � � 2 � �By y � �B � B � y � �x x � � C y �x � D �x E � �4 � � � �2 2 Để đưa dạng x x x y phải thỏa mãn VP hay: 2 � �y � �By � �B D C y � � E � � � � �2 � �2 � �4 � 2 � y Cy (4 E BD) y D B E 4EC Đến ta sử dụng cơng thức nghiệm phương trình bậc ba để tìm y , sau ngược vào (2) để tiếp tục giải phương trình bậc bốn Trong trường hợp có nhiều giá trị y phù hợp ta chọn giá trị thuận lợi cho phép biến dổi - Ví dụ áp dụng: Giải phương trình: x x 15 x x () Giải: Theo công thức biến dổi �y � y� � () � �x x � (1 y ) x (4 y ) x � � () 2� � �4 � ta y 1 � Tìm y �R thỏa mãn: y 15 y 24 y � � y �6 � � � x2 x x 2 � 1� �2 �� Thay y 1 thay vào (-) ta được: �x x � � �2 2� x 4x � x 2 � � � Vậy phương trình có tập nghiệm là: S 2 � 3; � được: PHƯƠNG TRÌNH BẬC BỐN Năm 1545, nhà tốn học I-ta-li-a Phe-ra-ri (Ferrari), học trò Các-đa-nơ, tìm cách giải tổng qt phương trình bậc bốn Cơng thức đời giải bế tắc suốt nhiều kỉ giải phương trình bậc bốn CƠNG THỨC NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH BẬC BỐN - Phương trình bậc bốn có dạng: ax bx3 cx dx e (a �0) - Nguyên tắc chung: Biến đổi phương trình bậc bốn dạng x x x - Công thức: Ta thực phép biến dổi sau: ax bx cx dx e � 4a x 4abx 4acx 4adx 4ae � 2ax bx b 4ac x 4adx 4ae � 2ax bx y b 4ac 4ay x 2ad by x 4ac y 2 Để đưa dạng x x 2ad by x y phải thỏa mãn 'VP hay 4ac y b 4ac 4ay � a y a cy 4a 2e abd y ad b 2e 4ace Đến ta sử dụng công thức nghiệm phương trình bậc ba để tìm y , sau ngược vào (2) để tiếp tục giải phương trình bậc bốn Trong trường hợp có nhiều giá trị y phù hợp ta chọn giá trị thuận lợi cho phép biến dổi - Ví dụ áp dụng: Giải phương trình: x x 15 x x () Giải: Theo công thức biến dổi ta được: () � x x y (4 y ) x (16 16 y ) x y () y 1 � Tìm y �R thỏa mãn: y 15 y 24 y � � y �6 � � � x2 4x 1 x 2 � 2 �� Thay y 1 thay vào (-) ta được: x x 1 � �2 x 4x x 2 � � � Vậy phương trình có tập nghiệm là: S 2 � 3; � ... tìm cách giải tổng quát phương trình bậc bốn Công thức đời giải bế tắc suốt nhiều kỉ giải phương trình bậc bốn CƠNG THỨC NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH BẬC BỐN - Phương trình bậc bốn có dạng: ax bx3... giải phương trình bậc bốn CƠNG THỨC NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH BẬC BỐN - Phương trình bậc bốn có dạng: ax bx3 cx dx e (a �0) - Nguyên tắc chung: Biến đổi phương trình bậc bốn dạng x ... (4 E BD) y D B E 4EC Đến ta sử dụng công thức nghiệm phương trình bậc ba để tìm y , sau ngược vào (2) để tiếp tục giải phương trình bậc bốn Trong trường hợp có nhiều giá trị y phù