Đang tải... (xem toàn văn)
HÌNH 10 CHUYÊN đề 2 hệ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC và ĐƯỜNG TRÒN HÌNH 10 CHUYÊN đề 2 hệ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC và ĐƯỜNG TRÒN HÌNH 10 CHUYÊN đề 2 hệ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC và ĐƯỜNG TRÒN HÌNH 10 CHUYÊN đề 2 hệ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC và ĐƯỜNG TRÒN HÌNH 10 CHUYÊN đề 2 hệ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC và ĐƯỜNG TRÒN HÌNH 10 CHUYÊN đề 2 hệ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC và ĐƯỜNG TRÒN HÌNH 10 CHUYÊN đề 2 hệ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC và ĐƯỜNG TRÒN HÌNH 10 CHUYÊN đề 2 hệ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC và ĐƯỜNG TRÒN HÌNH 10 CHUYÊN đề 2 hệ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC và ĐƯỜNG TRÒN HÌNH 10 CHUYÊN đề 2 hệ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC và ĐƯỜNG TRÒN
HÌNH HỌC 10 – CHUYÊN ĐỀ 2: HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VÀ ĐƯỜNG TRÒN BÀI HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC A TÓM TẮT KIẾN THỨC Định lí Cơsin • Kí hiệu: ∆ABC Cho có góc A, B, C, cạnh đối diện tương ứng theo thứ tự a, b, c • Cơng thức: a = b + c − 2bc cos A b = a + c − 2ac cos B c = a + b − 2ab cos C Định lí sin • Kí hiệu: • R bán kính đường tròn ngoại tiếp Cơng thức: a b c = = = 2R sin A sin B sin C ∆ABC Độ dài đường trung tuyến • Kí hiệu: ma , m b , mc trung tuyến vẽ từ đỉnh A, B, C • Cơng thức: m = a ( b2 + c2 ) − a ( a + c2 ) − b 2 m 2b = ( a + b2 ) − c2 m c2 = 4 Cơng thức tính diện tích tam giác • Kí hiệu: S diện tích tam giác ABC , hb , hc đường cao vẽ từ đỉnh A, B, C r bán kính đường tròn nội tiếp tam giác 2p = a + b + c chu vi tam giác • Cơng thức: GIÁO VIÊN: NGUYỄN MẠNH CƯỜNG – ĐT: 0967453602 – FACEBOOK: ThayCuongToan HÌNH HỌC 10 – CHUYÊN ĐỀ 2: HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VÀ ĐƯỜNG TRÒN 1 S = ah a = bh b = ch c 2 1 S = bcsin A = ac sin B = ab sin C 2 abc S= ; S = pr; S = p ( p − a ) ( p − b ) ( p − c ) 4R B CÁC DẠNG TOÁN DẠNG TÍNH CÁC YẾU TỐ TRONG TAM GIÁC a = 13, b = 8,c = ∆ABC Ví dụ Cho có S, h a , R, r, m a a) Tính góc A, suy A, h a , R, r, m a b) Tính S, suy ∆ABC Ví dụ Cho nội tiếp đường tròn tâm O, R = 6, B = 45°, C = 60° a) Tính cạnh tam giác b) Tính S, sinA, ha, r ∆ABC Ví dụ Cho cân A, góc đáy B = C = 30°, BC = a = cạnh đáy a) Tính R, r ( mb − ma ) ( m b + ma ) b) Tính biết DẠNG CHỨNG MINH QUAN HỆ GIỮA CÁC YẾU TỐ TRONG TAM GIÁC b + c = 2( R + r) Ví dụ CMR: Với tam giác vng có hai cạnh góc vng b, c a + b2 + c2 cot A + cot B + cot C = 4S Ví dụ CMR: Với tam giác ABC a sin 2B + b sin 2A S= Ví dụ CMR: Với tam giác ABC DẠNG NHẬN DẠNG TAM GIÁC Ví dụ Chứng minh cạnh tam giác thỏa b3 + c3 − a b + c − a = a a + c = 1+ b c a ac mãn C BÀI TẬP ∆ABC Bài Cho AC = c = 3, BC = a > tam giác có cạnh AB = b = 4, S = 3 diện tích a) Tính góc A cạnh a b) Tính R, r 2p = + ∆ABC Bài Cho có chu vi A = 3C B = 2C cho a) Tính cạnh a, b, c b) Tính ma Ví dụ Nhận dạng tam giác ABC ta có: S = ( a + b − c) ( a − b + c ) Ví dụ Tìm tính chất đặc biệt tam giác 2a cos A = b cos C + c cos B ABC ta có: a = 13, ∆ABC Bài Cho có b + c = 15 ( b > c ) A = 120°, a) Tính b, c S b) Tính R, r ma Bài Cho ∆ABC có a = 3, b = 2, c = − a) Tính góc A, B, C sin15° b) Suy giá trị GIÁO VIÊN: NGUYỄN MẠNH CƯỜNG – ĐT: 0967453602 – FACEBOOK: ThayCuongToan HÌNH HỌC 10 – CHUYÊN ĐỀ 2: HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VÀ ĐƯỜNG TRỊN Bài Cho hình bình hành ABCD, tâm O, đường AM = BN = CP = x ( < x < a ) AC = BD = Tìm x để chéo đường chéo hợp với S∆ABC = 3S∆MNP 60° AC < BC góc Cho biết ∆ABC a) Tính cạnh diện tích hình bình hành Bài Cho có đường phân giác góc b) Tính tích R.r bán kính hai đường AD = m A tròn ngoại nội tiếp tam giác ABC ∆ABC b + c = 2a 1 = + Bài Cho có CMR: A = 120° m b c 2sin A = sin B + sin C a) Cho CMR: a) b) Cho A tùy ý Gọi I trung điểm AD Qua 1 = + ( E ∈ AB, F ∈ AC ) hb hc I, kẻ IEF cho b) AE + AF m 2b + mc2 = 5ma2 = ∆ABC S∆ABC = 4S∆AEF AB + AC Bài Nhận dạng có CMR: ∆ABC ∆ ABC AD = 12 Bài Cho cạnh a Trên cạnh Bài 10 Cho phân giác Cho AB, BC, CA lấy điểm A, N, P cho DC = DB = Tính hai cạnh AB AC D BÀI TẬP TỰ LUYỆN ∆ABC ∆ABC Bài Cho nội tiếp đường tròn tâm O Bài Cho nội tiếp đường tròn tâm AH = R A = 60°, C = 45° O bán kính R cho đường cao CMR: bán kính R với a) Tính cạnh tam giác sin B.sin C = sin105° b) Suy giá trị ∆ABC a = 6, b = 2, c = + ∆ABC Bài Cho có hai trung tuyến Bài Cho có BM = 6, CN = 120° a) Tính góc tam giác hợp với góc b) Tính ha, R, r Tính cạnh tam giác ∆ABC bc = a A = 60°, ∆ABC Bài Cho có CMR: Bài Cho có góc nội tiếp sin B.sin C = sin A R = a) đường tròn bán kính Gọi I tâm h b h c = h a ∆ABC b) đường tròn nội tiếp Tính bán kính R’ ∆ABC đường tròn (IBC) Bài Cho vng A CMR: ∆ABC Bài Cho có góc A nhọn Kẻ hai đường m 2b + m c2 = 5ma2 ∆ABC Bài Cho vuông A, trung tuyến AE Qua trọng tâm G tam giác ABC kẻ đường tahwrng cắt AB, AC M, N cho 3S∆ABC = 4S∆AMN 3xy = bx + cy AM = x, AN = y cao CE BF Cho biết S∆ABC = 9S∆AEF EF = 2 a) Tính cosA b) Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp ∆ABC a) CMR: với b) Xác định vị trí M cạnh AB để tốn có lời giải GIÁO VIÊN: NGUYỄN MẠNH CƯỜNG – ĐT: 0967453602 – FACEBOOK: ThayCuongToan HÌNH HỌC 10 – CHUYÊN ĐỀ 2: HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VÀ ĐƯỜNG TRÒN ∆ABC Bài 10 Cho cạnh a Tìm tập hợp 2MA + MB2 + MC = điểm M thỏa mãn: 3a GIÁO VIÊN: NGUYỄN MẠNH CƯỜNG – ĐT: 0967453602 – FACEBOOK: ThayCuongToan HÌNH HỌC 10 – CHUYÊN ĐỀ 2: HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VÀ ĐƯỜNG TRÒN BÀI HỆ THỨC LƯỢNG TRONG ĐƯỜNG TRỊN A TĨM TẮT LÝ THUYẾT Phương tích điểm đường tròn ABCD nội tiếp đường tròn uuuu r uuur uuur uuuu r a Định nghĩa MA.MB = MC.MD Cho đường tròn (C) tâm O, bán kính R b Tiếp tuyến đường tròn điểm M tùy ý Phương tích điểm M Cho tam giác ABC Phía ngồi đoạn thẳng AB PM/(C) , OM − R lấy điểm M (C), kí hiệu số thực MC tiếp xúc với đường tròn ngoại tiếp tam giác PM/(C) = d − R ( d = OM ) uuuu r uuur MA.MB = MC ABC b Quan hệ phương tích đường tròn Trục đẳng phương đường tròn PM/(C) > ⇔ M a Định nghĩa ngồi đường tròn (C) Cho hai đường tròn (O, R) (O’, R’) Trục PM/(C) < ⇔ M đẳng phương hai đường tròn tập hợp đường tròn (C) điểm có phương tích hai đường tròn PM/(C) = ⇔ M ∈ (C) ∆ = { M / PM/(O) = PM/(O ') } c Tính chất cát tuyến Qua M vẽ cát tuyến tùy ý MAB thì: uuuu r uuur b Định lí PM/(C) = MA.MB = MA.MB Trục đẳng phương (O, R) (O’, R’) ∆ Nếu M (C) Kẻ tiếp tuyến MT cho (C): đường thẳng vng góc với đường nối tâm PM/(C) = MA.MB = MT OO’ điểm H cách trung điểm I OO’ Nếu M (C): PM/(C) = −MA.MB IH = R − R '2 2OO ' đoạn IH xác định bởi: c Tính chất • Trục đẳng phương vng góc với đường nối tâm • Khi (O, R) (O’, R’) cắt A B trục đẳng phương AB • Khi (O, R) (O’, R’) tiếp xúc tiếp tuyến chung qua tiếp điểm trục đẳng phương Tứ giác nội tiếp đường tròn a Tứ giác nội tiếp Cho điểm A, B, C, D Gọi M giao điểm AB CD B CÁC DẠNG TỐN DẠNG TÍNH PHƯƠNG TÍCH CỦA MỘT ĐIỂM ĐỐI VỚI ĐƯỜNG TRÒN Phương pháp giải PM/(O) = OM − R • Sử dụng định nghĩa: uuuu r uuur PM/(C) = MA.MB = MA.MB • Sử dụng tính chất cát tuyến: PM/(C) = MT • Đặc biệt tiếp tuyến: (M (O)) GIÁO VIÊN: NGUYỄN MẠNH CƯỜNG – ĐT: 0967453602 – FACEBOOK: ThayCuongToan HÌNH HỌC 10 – CHUYÊN ĐỀ 2: HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VÀ ĐƯỜNG TRỊN AB = 2R Ví dụ Cho hai đường tròn (O, R) (O’, R’) Ví dụ Cho đường kính đường OO ' = 5a, tròn (O, R) Gọi H trung điểm OA Qua H cắt A, B biết PQ ⊥ AB 24 AB = a dựng dây I trung điểm HP R = OA = 4a, AI cắt (O) M Tính IM PO '/(O) AB = 2R Ví dụ Cho đường tròn đường kính Hai dây cung tùy ý AM BN gặp H PA /(BHM) + PB/(AHN) Tính PO/(O ') a) Tính OO '∩ AB = H CMR : PH/(O) = PH /(O ') b) GIÁO VIÊN: NGUYỄN MẠNH CƯỜNG – ĐT: 0967453602 – FACEBOOK: ThayCuongToan DẠNG CHỨNG MINH TỨ GIÁC NỘI TIẾP Phương pháp giải AB ∩ CD = M r uuur uuur uuuu r ⇔ uuuu MA.MB = MC.MD A, B, C, D thuộc đường tròn ∆ABC Ví dụ Cho vng A, đường cao AH Gọi I trung điểm BH J trung điểm AH E điểm đối xứng A qua H CMR: Tứ giác IJCE nội tiếp ∆ABC Ví dụ Cho có đường cao AH Lấy điểm E tùy ý AH, đường tròn đường kính AE cắt AB, AC M, N CMR: Tứ giác BMNC nội tiếp ∆ABC Ví dụ Gọi BE CF hai đường cao M, N trung điểm AB AC CMR: Tứ giác MNEF nội tiếp DẠNG CHỨNG MINH TIẾP TUYẾN Phương pháp giải I ∈ BC ⇔ uur uur IA = IB.IC IA tiếp xúc với đường tròn (ABC) A (I ngồi đoạn BC) Ví dụ Cho hai đường tròn (O) (O’) cắt A, B Lấy điểm M tùy ý AB ngồi hai đường tròn Vẽ tiếp tuyến MD cho (O) cát tuyến MEF cho (O’) CMR: MD tiếp xúc với đường tròn (DEF) Ví dụ Cho đường tròn đường kính AB, MN dây cung tùy ý Đường tròn đường kính MB cắt AB C, đường thẳng CM cắt AN E CMR: AM tiếp xúc với đường tròn (MNE) ∆ABC Ví dụ Cho đường tròn (O) ngoại tiếp Kẻ hai đường cao CE BF tam giác Qua A kẻ ∆ / /EF, ∆ cắt CB D CMR: DA tiếp tuyến (O) A DẠNG CHỨNG MINH MỐI QUAN HỆ GIỮA CÁC ĐOẠN THẲNG Ví dụ 10 Gọi A, B hai điểm đường tròn (O, R) cho AB = R O trung điểm AB Qua AM.BM = A, B vẽ hai tia song song, cufnh hướng cắt (O) M, N CMR: 3R MH ⊥ AB Ví dụ 11 Cho đường tròn tâm O, đường kính AB M điểm tùy ý đường tròn Kẻ Đường tròn (M, MH) cắt đường tròn (O) EF Dây EF cắt MH I CMR: IM = IH OC ⊥ AB Ví dụ 12 Cho nửa đường tròn tâm O, đường kính AB Kẻ Bx nửa tiếp tuyến B Cho » OH ⊥ AM BC M điểm tùy ý cung phần tư AM cắt OC N, cắt Bx E Kẻ CMR: Hai đường tròn (CNM) (CHE) tiếp xúc C DẠNG DÙNG PHƯƠNG TÍCH CHỨNG MINH ĐIỂM CỐ ĐỊNH TÌM TẬP HỢP ĐIỂM Ví dụ 13 Cho đường tròn (O, R) điểm I cố định không nằm đường tròn Gọi MN đường kính di động đường tròn CMR: Đường tròn (IMN) ln ln qua điểm cố định Ví dụ 14 Cho đường tròn (O, R) điểm A cố định cho R = 2OA Gọi BC dây cung quay quanh A Vẽ đường tròn đường kính BC MN dây cung vng góc với BC A Tìm tập hợp điểm M N 2R OA = Ví dụ 15 Cho A cố định (O, R) cho M điểm di động thuộc đường tròn Đường thẳng vng góc với AM kẻ từ O, gặp tiếp tuyến vẽ từ M N Tìm tập hợp điểm N DẠNG CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN TRỤC ĐẲNG PHƯƠNG ∆ABC Ví dụ 16 Cho nội tiếp đường tròn tâm O Đường thẳng vng góc với AB B cắt D, đường thẳng vng góc với AC C, cắt AB E Gọi M, N trung điểm AE AD CMR: OA ⊥ MN ∆ABC Ví dụ 17 Cho có trung tuyến BE CF Gọi (C1) đường tròn đường kính BE, (C2) đường tròn đường kính CF (C1) cắt (C2) H, K CMR: A, H, K thẳng hàng Ví dụ 18 Cho hình thang vng ABCD, đường cao CD Gọi (C) đường tròn (A, AC), (C’) đường tròn (B, BD) (C) (C’) gặp E, F; EF cắt DC I CMR: IC = ID C BÀI TẬP Bài Hai dây cung AB CD đường tròn (O) cắt E Hãy tính EC ED cho biết EA = 12, EB = 16 CD = 32 Bài Cho đường tròn tâm O I đường tròn Qua I vẽ dây cung AB tùy ý dây cung EF ⊥ OI Tiếp tuyến với (O) E, F gặp C CMR: OACB nội tiếp Bài Bài Bài Bài Bài Bài Bài Bài 10 ... 09674536 02 – FACEBOOK: ThayCuongToan HÌNH HỌC 10 – CHUYÊN ĐỀ 2: HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VÀ ĐƯỜNG TRÒN BÀI HỆ THỨC LƯỢNG TRONG ĐƯỜNG TRÒN A TĨM TẮT LÝ THUYẾT Phương tích điểm đường tròn ABCD... 09674536 02 – FACEBOOK: ThayCuongToan HÌNH HỌC 10 – CHUYÊN ĐỀ 2: HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VÀ ĐƯỜNG TRỊN AB = 2R Ví dụ Cho hai đường tròn (O, R) (O’, R’) Ví dụ Cho đường kính đường OO ' = 5a, tròn. .. MẠNH CƯỜNG – ĐT: 09674536 02 – FACEBOOK: ThayCuongToan HÌNH HỌC 10 – CHUYÊN ĐỀ 2: HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VÀ ĐƯỜNG TRÒN ∆ABC Bài 10 Cho cạnh a Tìm tập hợp 2MA + MB2 + MC = điểm M thỏa mãn: