Đề cương Tốn 12A1 - Chun đề TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG Năm học 2018 - 2019 Chuyên đề : NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG Phần 1: NGUYÊN HÀM I Bảng công thức nguyên hàm Nguyên hàm sơ cấp Nguyên hàm mở rộng bậc ∫ 0dx = C ∫ dx = x + C ∫ adx = ax + C (a = const ) xα +1 ∫ x dx = +C α +1 ∫ dx = ln x + C x 1 ∫ dx = − + C x x ( ax + b ) 4a ∫ ( ax + b ) dx = + C (α ≠ −1) a α +1 1 dx = ln ax + b + C 5a ∫ ax + b a 1 dx = − +C 6a ∫ a ax + b ax + b ( ) (α ≠ −1) α ( x ≠ 0) ( x ≠ 0) ax ∫ a dx = +C ln a x x ∫ e dx = e + C a px + q +C (0 < a ≠ 1) 7a ∫ a dx = p ln a ax +b ax + b +C 8a ∫ e dx = e a 9a ∫ sin ( ax + b ) dx = − cos ( ax + b ) + C a 10a ∫ cos ( ax + b ) dx = sin ( ax + b ) + C a 1 dx = tan ( ax + b ) + C 11a ∫ cos ( ax + b ) a (0 < a ≠ 1) x px + q ∫ sin xdx = − cos x + C 10 ∫ cos xdx = sin x + C 11 ∫ cos 12 ∫ sin x x α +1 α dx = tan x + C dx = − cot x + C 12a 14 ∫ tan xdx = − ln cos x + C 16 ∫x 17 ∫ 15 ∫ cot xdx = ln sin x + C 1 ∫ sin ( ax + b ) dx = − a cot ( ax + b ) + C u / ( x) dx = ln u ( x) + C 13 ∫ u ( x) 1 x−a dx = ln +C −a 2a x + a dx = ln x + x + a + C 2 x +a  Tính chất nguyên hàm Nếu f , g hai hàm số liên tục K với x Ỵ K ta có ùdx = f (x)dx + g(x)dx • òé êf (x) + g(x)û ú ò ò ë ùdx = f (x)dx • òé êf (x) - g(x)û ú ò ò g(x)dx ë • òkf (x)dx = kò f (x)dx , "k ¹ Bài tập áp dụng công thức Gv: Nguyễn Tuấn Dũng _ 0917727366 Trang 52 Đề cương Tốn 12A1 - Chun đề TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG Bài 1: Tính nguyên hàm sau: a) ò dx b) ò xdx x x2 - 3x + ò x dx f) e) i) ò ò ò(x x3 + 5x2 - 3x + x x ( x x c) + 4x3 - dx k) ổx xữ ỗ e + dx ỗ ữ ũỗố x ứữ ữ ổ 2ử ÷ 3x2 + ( 2x - 3) dx h) ũỗ dx ỗ3sinx + ữ ữ ữ ỗ xứ ố ò(2x - 3x + 1)dx x)dx ò tan Năm học 2018 - 2019 g) ò( xdx d) ) l) ò sin dx m) x cos2 x ) x - 2x ( x + 1) dx Bài 2: Tìm nguyên hàm F(x) hàm số f (x) sau: a) f (x) = - x2 biết F (2) = b) f (x) = x - + biết F (1) = x c) f (x) = ( x + 1) ( x - 1) + biết F (0) = d) f (x) = x + x3 + biết F (1) = e) f (x) = ax + b biết F (- 1) = 2, F (1) = F (2) = x2 II Tính nguyên hàm phương pháp đổi biến số Phương pháp Ví dụ: Tính nguyên hàm sau: Giả sử ta tính ngun hàm phức tạp: a) A = ò 3x - 3x2dx A = ò f (u(x)).u '(x)dx ta dùng pp đổi biến • Đặt t = - 3x2 Û t2 = - 3x2 ® tdt = - 2xdx sau: 3 • Đặt t = u(x) đ dt = u '(x)dx i bin: A = òt.(- t)dt = - òt 2dt 2 • Đổi biến: A = ò f (t)dt (đơn giản hơn) 3 t t3 = - +C = +C = F (t) +C (dùng bảng cơng thức để tính nguyên hàm) • Đổi lại biến ban đầu: A = F (u(x)) + C x • Đổi lại biến ban đầu:  Khi tính nguyên hàm phương pháp đổi A =+C biến ta có dạng thường gặp sau: 5x T B = dx b) ò  Chứa dạng: → đặt t = M (x + 4)2 M • Đặt t = x2 + ® dt = 2xdx  Cha cn thc: t t= thức ( c Chứa ( )n : → đặt t= ng  Chứa emò.(mò)' → đặt t= mò  Chứa • • vµ lnx → đặt t = ln x x ) 5 dt = ò dt = - +C 2 t 2t 2t +C Đổi lại biến ban đầu: B = 2(x + 4) Đổi biến: B = ò Bài tập áp dụng Bài 1: Tính ngun hàm sau: a) ò tanxdx b) ò + lnx dx x Gv: Nguyễn Tuấn Dũng _ 0917727366 c) ò x x +1 dx x3 dx d) ò x +1 e) ò 2ln x - dx x ln x Trang 53 Đề cương Tốn 12A1 - Chun đề TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG f) òx x3 + 1dx g) ò sin x + cosxdx Bài 2: Tính nguyên hàm sau: 9x2 dx dx a) ò b) ò x + 1- x c) h) x ò 1+ x dx ò x 1- x dx Năm học 2018 - 2019 i) d) ò sin2x ò sin2xe dx x(1 + x )2 dx III Tính nguyên hàm phương pháp phần Phương pháp Ví dụ: Tính nguyên hàm sau: Giả sử ta tính ngun hàm: B = ò u(x).v '(x)dx a) A = ò x ln xdx ta dùng pp tứng phần sau: ìï u = u(x) ìï du = u '(x)dx ù đ ùớ t ïï dv = v '(x)dx ïï v = v(x) ỵ ỵ • B = uv - ò vdu =  Khi tính nguyên hàm phương pháp phần ta thường có dấu hiệu ưu tiên đặt u sau: Nhất lốc nhì đa tam lượng tứ mũ ìï ïï du = dx ïìï u = ln x ù x đớ t ùù dv = x dx ïï x6 ỵ ïï v = ïỵ x x x6 x6 • A = ln x - ò dx = ln x +C 6 36 x b) B = ò (x + 1)e dx Chú ý: dấu hiệu nhận biết sử dụng phương pháp tích phân phần biểu thức dấu tích phân dạng tích hai loại hàm số khác loại hàm số Bài tập áp dụng Bài 1: Tính nguyên hàm sau: a) ∫ ( x − 1) e dx f) ∫x e 2 x −1 x b) dx ∫x g) ∫ x cos xdx cos xdx c) ∫x ln xdx h) ∫ e cos xdx x • • ìï u = x + ìï du = dx ® ïí Đặt ïí x ï dv = e dx ï v = ex ïỵ ïỵ x x B = (x + 1)e - òe dx = (x + 1)ex + ex +C = (x + 2)ex +C d) ∫ ln ( x + 1) dx i) I = ∫ x ( + sin x ) dx x e) ∫ e sin xdx ( ) −2 x x k) I = ∫ e + x e dx Phần 2: TÍCH PHÂN I Cơng thức tính chất • Cho hàm số f (x) liên tục [a;b] F(x) nguyên hàm f (x) Khi ta có: b b ò f (x)dx = F (x) a = F (b) - F (a) a a • ∫ f (x)dx = a b • ∫ a a f (x)dx = − ∫ f (x)dx b Gv: Nguyễn Tuấn Dũng _ 0917727366 Trang 54 Đề cương Tốn 12A1 - Chun đề TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG Năm học 2018 - 2019 b • ∫ cdx = c(b− a) a • Nếu f(x) liên tục [ a; b] f (x) ≥ b ∫ f (x)dx ≥ a • Nếu hai hàm số f(x) g(x) liên tục [ a; b] f (x) ≥ g(x) ∀x ∈ [ a;b] b ∫ a b f (x)dx ≥ ∫ g(x)dx a b • • ng số ) m(b − a) ≤ ∫ f (x)dx ≤ M (b− a) Nếu f(x) liên tục [ a; b] m≤ f (x) ≤ M ( m,M làhai hằ Nếu hai hàm số f(x) g(x) liên tục [ a; b] b a b b ∫ [ f (x) ± g(x)] dx = ∫ f (x)dx ± ∫ g(x)dx a a a b • b Nếu hàm số f(x) liên tục [ a; b] k số ∫ k f (x)dx = k.∫ f (x)dx a • a b Nếu hàm số f(x) liên tục [ a; b] c số ∫ a • b a c f (x)dx = ∫ f (x)dx + ∫ f (x)dx Tích phân hàm số [ a; b] cho trước không phụ thuộc vào biến số , nghĩa : b ∫ a b b a a f (x)dx = ∫ f (t)dt = ∫ f (u)du = a • c Nếu f hàm số chẵn với x Ỵ [- a;a] a ò f (x)dx = 2ò f (x)dx - a a • Nếu f hàm số lẻ với x Ỵ [- a;a] ò f (x)dx = - a Bài tập áp dụng Bài 1: Tính tích phân sau: p 1 b) I = ò cos3xdx a) I = ò 5x dx - p ỉ pử ữdx f) I = sinỗ x + ỗ ữ ũ ỗố 6ứữ ữ p ( ) l) I = ò 2x + dx - -1 g) I = ò 3x + 2dx ( ) d) I = ò 6x - 4x + dx e) I = ò c) I = ò - 4xdx ( ) m) I = ò 2x + 3x dx - II Tích phân phương pháp đổi biến Phương pháp Giả sử ta tính tích phân phức tạp: x2 - 3x + dx h) I = ò x- ( ) k) I = ò 2x + x dx p n) I = ò sin x.cosxdx - p Ví dụ: Tính nguyên hàm sau: a) A = ò Gv: Nguyễn Tuấn Dũng _ 0917727366 2x - dx x +1 4x x2 + dx Trang 55 Đề cương Tốn 12A1 - Chun đề TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG • b A = ò f (u(x)).u '(x)dx ta dùng pp đổi biến a sau: • • • Đặt t = u(x) ® dt = u '(x)dx ìï x = a ® t = u(a) = a Đổi cận: ïí ïï x = b ® t = u(b) = b ợ b    Đổi biến: A = ò 4dt = 4(2 - 1) = Đổi biến: A = ò f (t)dt = F (t) = F (b) - F (a) a b) B = ò (ln x) dx x  Khi tính tích phân phương pháp đổi biến ta có dạng thường gặp sau:  Đặt t = x2 + Û t2 = x2 + ® tdt = xdx ìï x = ® t = ï Đổi cận: ùù x = đ t = ùợ b a Năm học 2018 - 2019 • T → đặt t = M M Chứa thức: → t t= thức c Cha ( )n : đặt t= ng Chứa emò.(mò)' → đặt t= mò Chứa vµ lnx → đặt t = ln x x • Chứa dạng: Đặt t = ln x ® dt = dx x ìï x = ® t = Đổi cận: ïí ïï x = đ t = ln2 ợ ln2 ln2 t3 ln3 Đổi biến: B = òt dt = = 30 Bài tập áp dụng Bài 1: Tính tích phân sau: a) I = ò e) I = ò x ( x + 1) dx ( b) I = ò x + x ) c) I = ò x dx dx x e - f) I = ò x 1+ x g) I = ò III Tích phân phương pháp phần Phương pháp ln2 e2x x e - Giả sử ta tính tích phân: B = ò u(x).v '(x)dx ta a dùng pp phần sau: ìï u = u(x) ìï du = u '(x)dx ï ù đ t ớ ùù dv = v '(x)dx ùù v = v(x) ợ ợ B = uv a 1- x dx a  Khi tính tích phân phương pháp phần ta thường có dấu hiệu ưu tiên đặt u sau: Nhất lốc nhì đa tam lượng tứ mũ dx p a) A = x cos2xdx ò • b ò vdu = 1 + ln x dx x Ví dụ: Tính nguyên hàm sau: b b d) I = ò ln5 dx e • ìï du = dx ìï u = x ï ï ® íï Đặt í ïï dv = cos2xdx ïï v = sin2x ỵ ïỵ p A = x sin2x p ò sin2xdx p ỉ 1 p- ÷ ÷ =ỗ x sin2 x + cos2 x = ỗ ữ ç ÷ è2 ø Chú ý: dấu hiệu nhận biết sử dụng phương pháp Gv: Nguyễn Tuấn Dũng _ 0917727366 Trang 56 Đề cương Toán 12A1 - Chun đề TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG tích phân phần biểu thức dấu tích phân dạng tích hai loại hàm số khác loại hàm số Năm học 2018 - 2019 e b) B = ò x ln x • ìï ïï du = 1dx ìï u = ln x ï ï x ®í Đặt í ïï dv = x dx ïï x3 ỵ ïï v = ïỵ • x3 B = ln x e e ổx3 x2 x3 ữ ỗ ũ dx = ỗỗỗố ln x - ứữữữ = 1 e Bài tập áp dụng Bài 1: Tính nguyên hàm sau: p a) I = ò ( x - 2) e dx 2x p b) I = ( x + 1) sin2xdx ò ( ) p 2 ( g) I = ò ( 1- x) cosxdx ) k) I = ò x x + e dx i) I = e cosxdx ò x x 0 0 2x- f) I = ò xe dx d) I = ò c) I = x ( + sin x) dx ò e) I = ò ln x - x dx - p ( lnx dx x3 h) I = ò 4x ln xdx ) x l) I = ò 1+ 2xe dx Phần 3: ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN a) Diện tích hình phẳng giới hạn đường cong (C): y = f (x) , trục hoành: y= 0, đường x = a, x = b ( a < b )có cơng thức tính diện tích bằng: b S(H ) = ò f (x) dx a b) Diện tích hình phẳng giới hạn đường cong (C): y = f (x) , đường cong (C’): y = g(x) , đường x = a, x = b ( a < b )có cơng thức tính diện tích bằng: b S(H ) = ò f (x) - g(x) dx a Gv: Nguyễn Tuấn Dũng _ 0917727366 Trang 57 Đề cương Tốn 12A1 - Chun đề TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG Năm học 2018 - 2019 c) Diện tích hình phẳng giới hạn đường cong (C): y = f (x) , đường cong (C’): y = g(x) có cơng thức tính diện tích bằng: b S(H ) = ò f (x) - g(x) dx a ( ta phải cho f (x) - g(x) = tìm nghiệm xi , nghiệm nhỏ nghiệm a, nghiệm lớn b) d) Khi cho hình phẳng (H ) giới hạn đường cong (C): y = f (x) , trục hoành: y= 0và đường x = a, x = b xoay xung quanh trục Ox Tạo thành vật thể tròn xoay (V ) Thể tích vật thể tròn xoay (V ) tính theo cơng thức: b V = pò[ f (x)] dx a e) Khi cho hình phẳng (H ) giới hạn đường cong (C): y = f (x) ,(C’): y = g(x) đường x = a, x = b xoay xung quanh trục Ox Tạo thành vật thể tròn xoay (V ) Thể tích vật thể tròn xoay (V ) tính theo cơng thức: b 2 V = pò [ f (x)] - [ g(x)] dx a Bài tập áp dụng: Bài 1: Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường: (C): y = sin x +1, trục hoành đường x = 0, x = 7p Bài 2: Tính diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y = cos2 x , trục hoành, trục tung đường x= p Bài 3: Tính diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hai hàm số y = x y = x Bài 4: Tính diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y = x2 - 4, y =- x2 - 2x đường x =- 3, x =- Gv: Nguyễn Tuấn Dũng _ 0917727366 Trang 58 Đề cương Tốn 12A1 - Chun đề TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG Năm học 2018 - 2019 Bài 5: Tính diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y = x2 - y =- x2 - 2x Bài 6: Tính diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y = x3 - 4x , trục hoành, đường thẳng x=- đường thẳng x= Bài 7: Tính thể tích vật thể nằm hai mặt phẳng x=- x= 1, biết thiết diện vật thể bị cắt mặt phẳng vng góc với trục Ox điểm có hoành độ x (- 1£ x £ 1) hình vng cạnh 1- x2 Bài 8: Tính thể tích vật thể nằm hai mặt phẳng x= x = p , biết thiết diện vật thể bị cắt mặt phẳng vuông góc với trục Ox điểm có hồnh độ x (0£ x £ p) tam giác cạnh sinx Bài 9: Cho hình phẳng A giới hạn đường y = 0, x = y = x - Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành quay hình A quanh trục hồnh Bài 10: Cho hình phẳng A giới hạn đường y = x2, y = 0, x = x= Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành quay hình A quanh trục hồnh Bài 11: Cho hình phẳng A giới hạn đường y = cosx, y = 0, x = x = khối tròn xoay tạo thành quay hình A quanh trục hồnh Bài 12: Cho hình phẳng A giới hạn đường x y = xe , y = 0, p Tính thể tích x = x= Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành quay hình A quanh trục hồnh Bài 13: (VDC) Trong chương trình nơng thơn mới, xã X có xây cầu bê tơng hình vẽ Tính thể tích khối bê tơng để đổ đủ cầu (Đường cong hình vẽ đường Parabol) Bài 14: (VDC) Bài 15: (VDC) Gv: Nguyễn Tuấn Dũng _ 0917727366 Trang 59 Đề cương Toán 12A1 - Chuyên đề TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG Năm học 2018 - 2019 Bài 16: (VDC) Một khối cầu có bán kính 5(dm) , người ta cắt bỏ hai phần khối cầu hai mặt phẳng song song vng góc đường kính cách tâm khoảng 3(dm) để làm lu đựng nước (như hình vẽ) Tính thể tích mà lu chứa BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM TỔNG HỢP Câu 1: Biết ∫ x x + 1dx = a + b Tính S = a + b A S = B S = 13 15 C S = − 15 D S = − 15 Câu 2: Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm đoạn [−2;1] f (−2) = 3;f (1) = Tính I = ∫ f '(x)dx −2 B I = C I = −4 D I = 10 Câu 3: Tìm nguyên hàm hàm số f (x) = sin 3x 1 A ∫ f (x)dx = − cos3x+C B ∫ f (x)dx = 3cos3x+C C ∫ f (x)dx = cos3x+C 3 A I = d d D ∫ f (x)dx = − 3cos3x+C b Câu 4: Cho ∫ f (x)dx = 5; ∫ f (x)dx = , với a < d < b Tính I = ∫ f (x)dx a A I = b B I = a C I = Câu 5: Biết F (x) nguyên hàm hàm số f (x) = D I = −3 1 F(2) = + ln Tính F(3) 2x − 1 ln + C F(3) = ln + D F(5) = −2 ln + 2 Câu 6: Hãy xác định hàm số F ( x ) = ax + bx + cx + Biết F ( x ) nguyên hàm hàm số y = f ( x ) A F(3) = ln + B F(3) = thỏa mãn f ( 1) = , f ( ) = f ( 3) = 2 3 A F ( x ) = x + x + x + B F ( x ) = x + x + x + C F ( x ) = x + x + D F ( x ) = x + x + x + 2 3 x Câu 7: Tìm nguyên hàm hàm số f ( x) = Gv: Nguyễn Tuấn Dũng _ 0917727366 Trang 60 Đề cương Toán 12A1 - Chuyên đề TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG A ∫ f ( x ) dx = 5x + C B ln x ∫ f ( x ) dx = x ln + C C Năm học 2018 - 2019 ∫ f ( x ) dx = x + C D ∫ f ( x ) dx = 5x + C ln  x2 ≤ x ≤ y = f ( x ) = Câu 8: Cho hàm số Tính tích phân ∫ f ( x ) dx   − x ≤ x ≤ A B C D 2 Câu 9: Cho 3 1 ∫ f ( x ) dx = ∫ g ( x ) dx =1 Tính I = ∫ 1008 f ( x ) + g ( x )  dx A 2017 B 2016 C 2019 D 2018 Câu 10: Một viên đạn bắn theo phương thẳng đứng với vận tốc ban đầu 29, m / s Gia tốc trọng trường 9,8 m / s Tính quãng đường S viên đạn từ lúc bắn lên chạm đất A S = 88, m B S = 88,5 m C S = 88 m D S = 89 m Câu 11: Cho hình phẳng ( H ) giới hạn đường y = ln x , y = , x = k ( k > ).Tìm k để diện tích hình phẳng ( H ) A k = B k = e3 C k = e D k = e x − +1 dx = + a ln + b ln , với a , b số nguyên Tính S = a − b Câu 12: Biết I = ∫ x A S = B S = 11 C S = D S = −3 m x dx = ln − : Câu 13: Tìm tất số thực m dương thỏa mãn ∫ x +1 A m = B m = C m = D m > 3 3x x e e Câu 14: Giả sử F ( x ) nguyên hàm hàm số f ( x ) = khoảng ( 0; + ∞ ) I = ∫ dx x x Khẳng định sau khẳng định ? A I = F ( 3) − F ( 1) B I = F ( ) − F ( 3) C I = F ( ) − F ( 3) D I = F ( ) − F ( ) Câu 15: Cho hàm số y = f ( x ) thỏa mãn f ′ ( x ) = , f ( 1) = Tính f ( ) 2x −1 A f ( ) = ln B f ( ) = ln C f ( ) = ln + D f ( ) = ln + Câu 16: Tính diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y = x , y = x 1 A S = B S = C S = D S = Câu 17: Cho f ( x ) hàm số chẵn ∫ f ( x ) dx = a Mệnh đề sau đúng? −2 A ∫ f ( x ) dx = −a B ∫ f ( x ) dx = 2a −2 −2 C ∫ f ( x ) dx = −2 D ∫ f ( x ) dx = a Câu 18: Trong mệnh đề sau, mệnh đề sai? A Nếu F ( x ) , G ( x ) hai nguyên hàm hàm số f ( x ) F ( x ) + G ( x ) = C , với C số B Mọi hàm số liên tục K có nguyên hàm K C Nếu F ( x ) nguyên hàm hàm số f ( x ) ∫ f ( x ) dx = F ( x ) + C , với C số Gv: Nguyễn Tuấn Dũng _ 0917727366 Trang 61 Đề cương Toán 12A1 - Chuyên đề TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG Năm học 2018 - 2019 D Nếu F ( x ) nguyên hàm hàm số f ( x ) F ( x ) + nguyên hàm hàm số f ( x ) Câu 19: Cặp hàm số sau có tính chất: có hàm số nguyên hàm hàm số lại? 2 A f ( x ) = tan x, g ( x ) = B f ( x ) = sin x, g ( x ) = cos x 2 cos x x −x f x = e , g x = e ( ) C ( ) D f ( x ) = sin x, g ( x ) = sin x 2 Câu 20: Tính tích phân I = ∫ x x + 1dx 16 A I = − B I = 52 C I = 16 Câu 21: Tìm họ nguyên hàm hàm số f (x) = A 2x + + C Câu 22: Cho B 2x + + C C 11 D I = − 2x + 1 +C 2x + ∫ f (x)dx = 10 Tính I = 2.∫ f (2x + 1)dx 52 D A 10 2x + + C B 20 C D 30 π dx = − (ln a + ln b) Tính S = a + b π sin x Câu 23: Biết I = ∫ B S = A S = 10 − Câu 24: Biết I = ∫ 22 −4 3 22 +4 3 20 B S = C S = 3 D S = C S = 10 + dx = log a b Tính S = a + 3b A S = +1 x D S = Câu 25: Tính diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hai hàm số y = x − x y = x − x 37 155 17 A B C D 12 12 12 Câu 26: Tính thể tích V vật thể tròn xoay sinh cho hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y = x ln x , trục hoành đường thẳng x = e quay quanh Ox 2e3 + 2e3 + 2e3 − 2e3 − B V = C V = D V = 9 Câu 27: Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường cong (C) : y − − x = hai đường thẳng x = , x 14 28 32 = A B C D 3 3 Câu 28: Nguyên hàm F ( x ) = ∫ ( x + sin x ) dx thỏa mãn F ( ) = 19 A V = 1 x − cos x + 20 B F ( x ) = x + cos x + 20 C F ( x ) = x + cos x + 18 D F ( x ) = x + cos x + 18 2 Câu 29: Nguyên hàm hàm số f ( x ) = cos 3x.cos x là: sin 4x sin 2x sin 4x sin 2x sin 4x sin 2x + +C + +C + +C A B C D sin 3x.sin x + C 2 8 A F ( x ) = Câu 30: Biết ∫ f ( x ) dx = f ( x ) hàm số lẻ Khi I = ∫ f ( x ) dx có giá trị A I = B I = Gv: Nguyễn Tuấn Dũng _ 0917727366 −1 C I = −2 D I = Trang 62 Đề cương Toán 12A1 - Chuyên đề TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG Năm học 2018 - 2019 Câu 31: Tích phân I = ∫ x x + dx có giá trị A I = 2 −1 B I = C I = 2 D I = x Câu 32: Biết tích phân I = ∫ ( 2x + 1) e dx = a + be ( a Ô ; b Ô ) Khi ú tớch a.b có giá trị bằng: A B -1 C 2 x I = dx I = Câu 33: Cho tích phân ∫0 + x + đặt t = x + ∫ f ( t ) dt D 3 A f ( t ) = t + t B f ( t ) = 2t + 2t C f ( t ) = t − t D f ( t ) = 2t − 2t π  π Câu 34: Biết F ( x ) nguyên hàm hàm số f ( x ) = tan x F  ÷ = Tính F  − ÷ 4  4  π π  π π  π π  π A F  − ÷ = − B F  − ÷ = + C F  − ÷ = − D F  − ÷ = −1  4  4  4  4 e Câu 35: Tìm nguyên hàm hàm số f ( x ) = x xe x e +1 e −1 e + C B ∫ f ( x ) dx = e.x + C C ∫ f ( x ) dx = + C D ∫ f ( x ) dx = x + C ln x e +1 π Câu 36: Tìm nguyên hàm F ( x ) hàm số f ( x ) = sin x.cos x , biết F  ÷ = 4 1 A F ( x ) = − cos 2x + B F ( x ) = − cos x + C F ( x ) = − cos x.sin x + D F ( x ) = − cos 2x + 2 Câu 37: Tính diện tích hình phẳng giới hạn hai đồ thị ( C1 ) : y = x + x ( C2 ) : y = x 83 15 37 A S = B S = C S = D S = 12 12 A ∫ f ( x ) dx = 2x Câu 38: Cho I = ∫ xe dx = ae + b ( a, b số hữu tỉ) Khi tổng a + b A B C 1 Câu 39: Cho I = ∫ f ( x ) dx = Tính I = ∫ f ( x ) dx A I = D B I = C I = D I = Câu 40: Tìm nguyên hàm hàm số f ( x ) = sin x 1 A cos x + C B −2 cos x + C C cos x + C D − cos x + C 2 Câu 41: Cho ( H ) hình phẳng giới hạn đường cong ( C ) : y = − x + x đường thẳng d : y = x Tính thể tích V vật thể tròn xoay hình phẳng ( H ) quay xung quanh trục hoành 81π 81π 108π 108π A V = B V = C V = D V = 10 5 10 Câu 42: Cho S diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y = x − x trục hồnh Số ngun lớn khơng vượt S là: A B C D Gv: Nguyễn Tuấn Dũng _ 0917727366 Trang 63 Đề cương Tốn 12A1 - Chun đề TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG Năm học 2018 - 2019 dx = ln m , với n, m số nguyên dương Khi đó: x d x = ∫ ∫0 2x −1 64 A n > m B < n + m < C n < m D n = m Câu 44: Diện tích hình phẳng giới hạn đường y = x − x, y = 0, x = x = tính cơng thức: Câu 43: Cho n A ∫ ( x − x ) dx B ∫( x 1 − x ) dx − ∫ ( x − x ) dx C ∫( x 2 − x ) dx + ∫ ( x − x ) dx 2 D −x −x B F ( x ) = x − e + C F ( x ) = + e −x x Câu 45: Tìm nguyên hàm F ( x ) hàm số f ( x ) = e ( 2e + 1) biết F ( ) = −x A F ( x ) = x + e ∫( x − x ) dx −x D F ( x ) = x − e + 1 x+2 dx = a ln 12 + b ln 7, với a, b số nguyên Tính tổng a + b bằng: + x + A −1 B C D 2 x x Câu 47: Tìm nguyên hàm hàm số f ( x ) = sin − cos 2 2 x x A ∫ f ( x ) dx = sin x + C B ∫ f ( x ) dx =  sin − cos ÷+ C 3 2 1 x x C ∫ f ( x ) dx = − sin x + C D ∫ f ( x ) dx =  sin − cos ÷+ C 3 2 Câu 46: Biết ∫x Câu 48: Cho hàm số y = f ( x ) liên tục ¡ , ∫ f ( x ) dx = 2016, A B ∫ f ( x ) dx =1 ∫ f ( x ) dx = 2017 Tính 4 ∫ f ( x ) dx =4023 ∫ f ( x ) dx = − ∫ f ( x ) dx C 4 D ∫ f ( x ) dx =0 Câu 49: Giả sử hàm số f liên tục khoảng K a, b, c ba số thuộc K Khẳng định sau sai? A C c b b a c a b b ∫ f ( x ) dx + ∫ f ( x ) dx = ∫ f ( x ) dx; ( c ∈ ( a; b ) ) ∫ a a B ∫ f ( x ) dx = a b f ( x ) dx ≠ ∫ f ( t ) dt D a ∫ a a f ( x ) dx = − ∫ f ( t ) dt b Câu 50: Mệnh đề sau ? dx dx dx = x + C B ∫ = + C = ln x + C D ∫ 2x dx = x + C A ∫ C ∫ x x x x +1 Câu 51: Cho hàm số y = f ( x ) liên tục ¡ thỏa mãn f ( −1) > < f ( ) Gọi S diện tích hình phẳng giới hạn đường y = f ( x ) , y = 0, x = −1 x = Mệnh đề sau đúng? A S = ∫ f ( x ) dx + ∫ f ( x ) dx −1 B S = ∫ f ( x ) dx −1 C S = ∫ f ( x ) dx −1 D S = ∫ f ( x ) dx −1 1 Câu 52: Biết F ( x ) nguyên hàm hàm số f ( x ) = sin ( − 2x ) thỏa mãn F  ÷ = Mệnh 2 đề sau đúng? Gv: Nguyễn Tuấn Dũng _ 0917727366 Trang 64 Đề cương Tốn 12A1 - Chun đề TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG A F ( x ) = − cos ( − 2x ) + 2 Năm học 2018 - 2019 B F ( x ) = cos ( − 2x ) 1 D F ( x ) = cos ( − 2x ) + 2 e f ( ln x ) dx = e Mệnh đề sau đúng? Câu 53: Cho hàm số y = f ( x ) liên tục ¡ thỏa mãn ∫ x C F ( x ) = cos ( − 2x ) + 1 A ∫ f ( x ) dx = e B ∫ f ( x ) dx = e C ∫ f ( x ) dx = 0 e D ∫ f ( x ) dx = e 1 ( a sin + b cos + c ) , với a, b, c ∈ ¢ Mệnh đề sau đúng? A a + b + c = B a − b + c = C a + 2b + c = D 2a + b + c = −1 Câu 55: Gọi V thể tích khối tròn xoay tạo thành quay hình phẳng giới hạn đường y = x , y = x = quanh trục Ox Đường thẳng x = a ( < a < ) cắt đồ thị hàm số y = x M (hình vẽ bên) Gọi Câu 54: Biết ∫ x cos 2xdx = V1 thể tích khối tròn xoay tạo thành quay tam giác OMH quanh trục Ox Biết V = 2V1 Khi A a = 2 B a = C a = D a = Câu 56: Trong Công viên Tốn học có mảnh đất hình dáng khác Mỗi mảnh trồng lồi hoa tạo thành đường cong đẹp tốn học Ở có mảnh đất mang tên Bernoulli, tạo thành từ đường Lemniscate có phương 2 trình hệ tọa độ Oxy 16y = x ( 25 − x ) hình vẽ bên Tính diện tích S mảnh đất Bernoulli biết đơn vị hệ trục tọa độ Oxy tương ứng với chiều dài mét 125 125 m ) A S = B S = ( (m ) 250 125 m ) C S = D S = ( (m ) 3 Câu 57: Cho A I = −1 ∫ f ( x ) dx = −1, tính I = ∫ f ( 4x ) dx : B I = −1 C I = D I = −2 t ∫ dx > (ẩn x) là: (đề 47 – ĐHSPHN) t +1 A ( −∞;0 ) B ( −∞; +∞ ) C ( −∞; +∞ ) \ { 0} D ( 0; +∞ ) Câu 59: Gọi S diện tích Ban Cơng ngơi nhà có dạng hình vẽ (S giới hạn parabol (P) trục Ox) A S = B S = C S = D S = Câu 58: Tập hợp nghiệm bất phương trình Gv: Nguyễn Tuấn Dũng _ 0917727366 Trang 65 Đề cương Tốn 12A1 - Chun đề TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG Câu 60: Biết F ( x ) nguyên hàm hàm số f ( x ) = Năm học 2018 - 2019 x F ( ) = Tính F ( 1) x +1 B F ( 1) = ln + C F ( 1) = D F ( 1) = ln + 2 Câu 61: Tìm nguyên hàm hàm số f ( x ) = sin 2x −1 A ∫ f ( x ) dx = cos 2x + C B ∫ f ( x ) dx = − 2cos 2x + C C ∫ f ( x ) dx = cos 2x + C D ∫ f ( x ) dx = 2cos 2x + C 2 A F ( 1) = ln + Câu 62: Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm [ 0;1] f ( ) = 1;f ( 1) = −1 Tính I = ∫ f ' ( x ) dx −2 A I = B I = C I = −2 D I = Câu 63: Mệnh đề sai? A ∫  f ( x ) + g ( x )  dx = ∫ f ( x ) dx + ∫ g ( x ) dx , với hàm f(x), g(x) liên tục R B ∫  f ( x ) − g ( x )  dx = ∫ f ( x ) dx − ∫ g ( x ) dx , với hàm f(x), g(x) liên tục R C ∫ kf ( x ) dx = k ∫ f ( x ) dx với số k với hàm f(x) liên tục R D ∫ f ' ( x ) dx = f ( x ) + C với hàm f(x) có đạo hàm R xdx Câu 64: Tính tích phân ∫ x +1 1 A I = −1 + ln B I = ln C I = ln D I = ( −1 + ln ) 2 Câu 65: Diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y = x − x; y = 2x đường thẳng x = −1; x = xác định công thức A S = ∫ ( 3x − x ) dx 3 B S = ∫ ( 3x − x ) dx + ∫ ( x − 3x ) dx C S = ∫ ( 3x − x ) dx 3 D S = ∫ ( x − 3x ) dx + ∫ ( 3x − x ) dx −1 −1 Câu 66: Tìm nguyên hàm ∫ A 1 ln +C − 2x B −1 0 −1 dx bằng: − 2x ln − 2x + C C ln − 2x + C Câu 67: Với số nguyên a,b thỏa mãn ∫ ( 2x + 1) ln xdx = a + A P = 27 D ln +C − 2x + ln b , tính tổng P = a + b D P = 61 B P = 28 C P = 60 ln x + dx = a ln 2 + b ln , với a, b số hữu tỉ Khi tổng 4a + b Câu 68: Giả sử ∫1 x A B C D Câu 69: Diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y = x y = x là: 1 1 A (đvdt) B (đvdt) C (đvdt) D (đvdt) x x Câu 70: Biết F ( x ) = ( ax + b ) e nguyên hàm hàm số y = ( 2x + 3) e Khi a + b A B C D Câu 71: Trong tích phân sau, tích phân khơng có giá trị với I = x x − 1dx 3 A ∫1 t t − 1dt B ∫1 t t − 1dt C ∫ ( t + 1) tdt D ∫ ( x + 1) x dx 0 2 Gv: Nguyễn Tuấn Dũng _ 0917727366 Trang 66 Đề cương Tốn 12A1 - Chun đề TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG Năm học 2018 - 2019 Câu 72: cho đồ thị hàm số y = f ( x ) hình vẽ sau Diện tích S hình phẳng (phần gạch chéo) xác định A S = ∫ f ( x ) dx −2 −2 1 −2 1 B S = ∫ f ( x ) dx + ∫ f ( x ) dx C S = ∫ f ( x ) dx + ∫ f ( x ) dx D S = ∫ f ( x ) dx − ∫ f ( x ) dx −2 Câu 73: Cho f ( x ) = 3x + ( − 2m ) x + 2m với m tham số Tìm m để F ( x ) nguyên hàm f ( x ) F ( ) = 3, F ( 1) = −3 15 15 A m = − B m = C m = − 2 2 x Câu 74: Tìm nguyên hàm hàm số f ( x ) = x + A ∫ f ( x ) = D m = − x 3x x3 x3 + + C B ∫ f ( x ) = = 3x + C C ∫ f ( x ) = + 3x ln + C ln 3 Câu 75: Cho ∫ f ( x ) dx = 10 − ∫ f ( x ) dx = Tính A I = −2 C I = B I = 12 D ∫ f ( x ) = x 3x + +C ln ∫ f ( x ) dx −2 D I = −8 6 Câu 76: Gọi H hình phẳng giới hạn đường y = sin x + cos x , x = π , trục tung trục hồnh Tính thể tích khối tròn xoay thu quay hình (H) xung quanh trục Ox 5π2 5π2 5π2 − 12 π2 A V = B V = C V = D V = 16 16 e  u = ln ( + x ) Câu 77: Để tính tích phân I = ∫ x.ln ( + x ) dx , ta đặt  Khi I xác định bởi:  dv = xdx e e  x2  x2 x3  e  e I = ln + x − xdx I = ln + x − A B ( ) ÷1 ∫ ( ) ÷ ∫ + x dx       1 e  1+ x2  e ln ( + x ) ÷ − ∫ xdx C I =   1 D Cả đáp án B C x Câu 78: Cho I = ∫ ( mx − e ) dx Tìm giá trị m để I ≥ + e A m ≥ 4e − B m > 4e C m ≤ 4e Câu 79: Khẳng định sau đúng? x x A ∫ a dx = a ln a + C B ∫ sin xdx = cos x + C Câu 80: Cho A I = ∫ f (x)dx = B I = Câu 81: Tính tích phân I = ∫ ∫ D m ≥ 4e x x C ∫ e dx = e + C D ∫ cos xdx = − sin x + C f (x)dx = Tính I = ∫ f (x)dx C I = 12 D I = 2x − 3x + dx x −1 Gv: Nguyễn Tuấn Dũng _ 0917727366 Trang 67 Đề cương Tốn 12A1 - Chun đề TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG Năm học 2018 - 2019 A I = − ln B I = + ln C I = + ln D I = + ln 2 x − x +1 Câu 82: Tìm nguyên hàm F x( ) hàm số f (x) = , biết F(1) = x x2 x2 x2 x2 A F(x) = + ln x − B F(x) = − x + ln x + C F(x) = − x + ln x + D F(x) = + ln x − 2 2 2 2 π Câu 83: Biết F(x) nguyên hàm hàm số f (x) = sin 2x F(0) = Tính F  ÷ 2 π π π π A F  ÷ = B F  ÷ = C F  ÷ = D F  ÷ = 2 2 2 2 e a2 +1 a Câu 84: Cho tích phân I = ∫ x ln xdx = Khi tỉ số là: b b a e a e a e a e A = B = C = − D = − b b b b a Câu 85: Cho biết ∫ (x + 1) dx = Tìm số a A a = −2 B a = C a = D a = −1 −x Câu 86: Tìm nguyên hàm hàm số f (x) = e + cos x − sin x −x A ∫ f (x)dx = −e + sin x + cos x + C −x C ∫ f (x)dx = −e + sin x − cos x + C −x B ∫ f (x)dx = −e − sin x − cos x + C −x D ∫ f (x)dx = e + sin x + cos x + C Câu 87: Cho hàm số f (x) = x − 2x + Nguyên hàm hàm số f(x) A F(x) = 2x − + C B F(x) = x3 −x +C C F(x) = x3 x3 x − x + 3x + C D F(x) = − + 3x + C 3 Câu 88: Cho hàm số f (x) có đạo hàm đoạn [ 0;6] , f (0) = f (6) = Tính I = ∫ f '(x)dx A I = 10 B I = C I = D I = Câu 89: Người ta cần sơn trang trí bề mặt cổng chào có hình dạng hình vẽ sau Các biên hình tương ứng parabol có phương trình y = − x + 6x; y = −2x + 12x − 10 (đơn vị đo độ dài mét) Hỏi cần lít sơn? Biết tỉ lệ phủ sơn 10m / lit A 3,6 lit B 2,2 lit C 1,5 lit D 2,4 lit dx a = ln , a , b số nguyên Câu 90: Cho tích phân I = ∫ x − 5x + b dương Tính S = 2a + 3b A S = 17 B S = 10 C S = 18 D S = Câu 91: Khẳng định sau đúng? 1 dx = ln(2x − 1) + C dx = ln(2x − 1) + C A ∫ B ∫ 2x − 2x − 1 1 dx = ln 2x − + C dx = ln 2x − + C C ∫ D ∫ 2x − 2x − Câu 92: Cho hình thang cong (H) giới hạn đưởng y = 2x , y = 0, x = 0, x = Đường thẳng x = 1(0 < a < 4) chia hình (H) thành hai phần có diện tích S1 S2 hình vẽ bên Tìm a để S2 = 4S1 Gv: Nguyễn Tuấn Dũng _ 0917727366 Trang 68 Đề cương Tốn 12A1 - Chun đề TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG Năm học 2018 - 2019 16 Câu 93: Tính thể tích V khối tròn xoay tạo nên quay xung quanh trục Ox hình phẳng giới hạn đường y = (1 − x) , y = 0, x = x = 5π 2π 8π A V = B v = C V = 2π D V = B a = log 13 A a = D a = log C a = Câu 94: Tính tích phân I = ∫ (x − 3x + 5)dx A I = 19 B I = 21 C I = 1 18 D I = 22 Câu 95: Cho ∫ f ( x ) dx = Tính tích phân I = ∫ f ( 3x + 1) dx A I = B I = C I = D I = 27 sin x A ∫ f ( x ) dx = tanx + C B ∫ f ( x ) dx = cotx + C C ∫ f ( x ) dx = − cotx + C D ∫ f ( x ) dx = − tanx + C Câu 96: Tìm nguyên hàm hàm số f ( x ) = 3x − a a dx = 3ln − a, b nguyên dương phân số tối giản Hãy tính ab + 6x + b b A ab = B ab = −5 C ab = 12 D ab = π Câu 98: Tìm nguyên hàm F ( x ) hàm số f ( x ) = cos 2x , biết F  ÷ = 2π 2 3π A F ( x ) = sin x + 2π B F ( x ) = 2x + 2π C F ( x ) = sin 2x + 2π D F ( x ) = x + sin 2x + 2 Câu 99: Cho (H) miền hình phẳng giới hạn đường x = a; x = b (với a < b ) đồ thị hai hàm số y = f ( x ) , y = g ( x ) Gọi V thể tích vật thể tròn xoay (H) quay quanh Ox Mệnh đề đúng? Câu 97: Biết b A V = π ∫ f ∫x ( x ) − g ( x ) dx a Câu 100: Biết b a π x b b B V = π ∫  f ( x ) − g ( x )  dx C V = ∫ f ( x ) − g ( x ) dx D V = ∫  f ( x ) − g ( x )  dx π 2 a a ∫ cos2 x dx = a + b ln Tính P = a + b A P = B P = Gv: Nguyễn Tuấn Dũng _ 0917727366 C P = D P = Trang 69 ... pháp Gv: Nguyễn Tuấn Dũng _ 0917727366 Trang 56 Đề cương Toán 12A1 - Chuyên đề TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG tích phân phần biểu thức dấu tích phân dạng tích hai loại hàm số khác loại hàm số Năm học 2018... = Trang 62 Đề cương Toán 12A1 - Chuyên đề TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG Năm học 2018 - 2019 Câu 31: Tích phân I = ∫ x x + dx có giá trị A I = 2 −1 B I = C I = 2 D I = x Câu 32: Biết tích phân I = ∫ (... 0917727366 Trang 58 Đề cương Toán 12A1 - Chuyên đề TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG Năm học 2018 - 2019 Bài 5: Tính diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y = x2 - y =- x2 - 2x Bài 6: Tính diện tích hình phẳng