Phương pháp giải và biện luận phương trình bậc nhất và bậc hai một ẩn

29 647 16
Phương pháp giải và biện luận phương trình bậc nhất và bậc hai một ẩn

Đang tải... (xem toàn văn)

Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống

Thông tin tài liệu

§2 PHƢƠNG TRÌNH BẬC NHẤT BẬC HAI MỘT ẨN A TĨM TẮT SÁCH GIÁO KHOA I Phƣơng trình bậc ẩn phƣơng trình có dạng: ax  b   a   (1) với x ẩn, a ≠  b  a b a Ta có: 1  x   Do tập nghiệm (1) S    II Phƣơng trình bậc hai ẩn phƣơng trình có dạng: ax2 + bx + c = với x ẩn, a ≠ Công thức nghiệm   b2  4ac Nếu   : phương trình có nghiệm phân biệt x1,2  Nếu   : phương trình có nghiệm (kép) x   b   2a b 2a Nếu   : phương trình vơ nghiệm Định lí Vi–ét Nếu hai số x1 x2 nghiệm phương trình bậc hai ax  bx  c  chúng thỏa mãn hệ thức x1  x2   b c x1 x2  a a Ứng dụng định lí Vi–ét a) Nhẩm nghiệm phương trình bậc hai: Đặc biệt: a + b + c = ⇒ x1 = x2 = c a c a a – b + c = ⇒ x1 = – x2 = – b) Phân tích đa thức thành nhân tử: Nếu đa thức f  x   ax  bx  c có hai nghiệm x1 x2 phân tích thành nhân tử f  x   a  x  x1  x  x2  c) Tìm hai số biết tổng tích chúng: Nếu hai số có tổng S tích P chúng nghiệm phương trình x2  Sx  P  d) Xét dấu nghiệm phương trình bậc hai: Truy cập trang http://Tuyensinh247.com/ để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử Địa – GDCD tốt nhất! Giả sử phương trình bậc hai ax2 + bx + c = có hai nghiệm x1 x2 (x1 ≤ x2) Đặt S   c b P  Khi đó: a a Nếu P < x1 < < x2 ( hai nghiệm trái dấu) Nếu P > S > < x1 ≤ x2 ( hai nghiệm dương) Nếu P > S < x1 ≤ x2 < ( hai nghiệm âm) B PHƢƠNG PHÁP GIẢI TOÁN Vấn đề 1: Giải biện luận phƣơng trình dạng ax + b = Phƣơng pháp a) Giả sử hai hệ số a b chứa tham số m Ta xét trường hợp sau: 1) a ≠ 0: nghiệm x =  b a 2) a = b ≠ 0: phương trình vơ nghiệm 3) a = b = 0: phương trình có tập nghiệm ℝ b) Trong trường hợp toán có kèm theo điều kiện, ta cần so sánh nghiệm với điều kiện Ví dụ Giải biện luận phương trình: m2x – = 16x + m (1) Giải Phương trình (1) ⇔ (m – 16)x = m +  m2 – 16 ≠ ⇔ m ≠ m ≠ –4: Phương trình có nghiệm x  m4  m  16 m   m2 – 16 = ⇔ m = ± 4: Với m = 4: phương trình trở thành 0x = nên phương trình vơ nghiệm Với m = –4: phương trình trở thành 0x = nên phương trình có nghiệm x tùy ý    m  4 Kết luận: *m ≠ –4 m ≠ 4: S =  *m = : S = Ø *m = –4: S = ℝ Bài tập Giải biện luận phương trình sau theo tham số m: a) 2(m – 1)x – m(x – 1) = 2m – b) 3(m + 2)x + = 2x + 5(m + 2) c) m2(x – 1) = x – 3m + d) m2x – = 9mx + 3m Giải Truy cập trang http://Tuyensinh247.com/ để học Tốn – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử Địa – GDCD tốt nhất! a) 2(m –1)x – m(x –1) = 2m – (1) (1) ⇔ 2mx – 2x – mx + m = 2m – ⇔ (m – 2)x – m + =  a = m – = ⇔ m=2: (1) ⇔ 0x + = ⇔ x ∈ Ø  a = m – ≠ ⇔ m ≠ 2: (1) ⇔ x = 3 m m2 Kết luận: *m = 2: S = Ø 3  m   m  2 * m ≠ 2: S =  b) 3(m + 2)x + = 2x + 5(m + 2) (2) (2) ⇔ 3mx + 6x – 3x + – 5m – 10 = ⇔ (3m + 3)x – 5m – =  a = 3m + = ⇔ m = –1: (2)⇔ 0x + = ⇔ x ∈ ℝ  a = 3m + ≠ ⇔ m ≠ –1: (2)⇔ x  5m  5  3m  3 Kết luận: *m = –1: S = ℝ 5 3 *m ≠ –1: S =   c) m2(x – 1) = x – 3m + (3) (3)⇔ (m2 – 1)x –m2 + 3m –2 = * a = m2 – = ⇔ m = ± 1: * m = 1: (3)⇔ 0x + = ⇔ x ∈ ℝ * m = ––1: (3)⇔ 0x + = ⇔ x ∈ Ø * a = m2 –1 ≠ ⇔ m ≠ ±1: m2  3m  m  (3)⇔ x   m2  m 1 Kết luận: *m = 1: S = ℝ Truy cập trang http://Tuyensinh247.com/ để học Tốn – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử Địa – GDCD tốt nhất! *m = –1: S = Ø m  2   m 1 *m ≠ –1 m ≠ 1: S =  d) m2x – = 9mx + 3m (4) (4)⇔ (m2 – 9m)x – 3m – =  a = m2 – 9m = ⇔ m = hay m = 0: *m = 9: (4) ⇔ 0x – 36 = ⇔ x ∈ Ø *m = 0: (4) ⇔ 0x – = ⇔ x ∈ Ø  a = m2 – 9m ≠ ⇔ m ≠ m ≠ 0: (4)⇔ x = 3m  m  9m Kết luận: *m = hay m = 9: S = Ø  3m     m  9m  *m ≠ m ≠ 9: S =  Giải biện luận phương trình: a)m(m  1) x  m(m  1) b) x m   m  c)(m  1) x  m  (m  2) x m  d)  m 1 m 1 Giải a)m(m  1) x  m(m  1) (1)  a = m(m –1) = ⇔ m = m = ±1: *m = 1: (1) ⇔ 0x = ⇔ x ∈ Ø *m = –1: (1) ⇔ 0x = ⇔ x ∈ ℝ *m = 0: (1) ⇔ 0x = ⇔ x ∈ ℝ  a = m(m2 – 1) ≠ ⇔ m ≠ m ≠ ±1: (1)⇔ x  m(m  1)  m(m  1) m  Kết luận: *m = hay m = –1: S = ℝ *m = 1: S = Ø Truy cập trang http://Tuyensinh247.com/ để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử Địa – GDCD tốt nhất!     m  1 *m ≠ 0; m ≠ m ≠ –1: S =  b) x m   m  (2) *a  m    m  : (2)  0x   x  *a  m    m  : m2 (2)  x   m  m2 KL :*m  : S  *m  : S   *m  : S   m2  c)(m  1)x  m  (3) *a  m    m  1: (3)  0x   x  *a  m    m  1 m 1  m 1 m 1 KL :*m  1: S  *m  1: S   (3)  x    *m  1: S     m 1 (m  2)x m  d)  (4) m 1 m 1 (4)  (m  2)x  m  4(m  1) *a  m    m  : (4)  0x   x  *a  m    m  0;m  1: m2   m  m2 KL :*m  : S  *m  1: S   (4)  x  *m  2;m  1: S  m  2 Truy cập trang http://Tuyensinh247.com/ để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử Địa – GDCD tốt nhất! a) b) c) d) Giải biện luận phương trình: m2(x – 1)= – 2x 2x(m – 1)=m(x–1)+m2–2 m3x+1=m2(x+1) (x–1)m2–(2x+1)m+x+2=0 Giải a) m (x – 1) = – 2x (1) (1)⇔(m2 + 2)x – m2 – = Ta có ∀ m ∈ ℝ a = m2 + ≠ nên m2  (1)⇔ x   m 2 b) 2x(m – 1)=m(x–1)+m2–2 (2) (2)⇔ (m – 2)x = m2 – m – *a = m – = ⇔ m = 2: (2)⇔ 0x = ⇔ x ∈ ℝ *a = m – ≠ ⇔ m ≠ 2: (2) ⇔ x  m2  m   m 1 m2 Kết luận: *m = 2: S = ℝ *m ≠ 2: S = {m + 1} c) m3x+1=m2(x+1) (3) (3)⇔ (m3 – m2)x = m2 – *a = m3 – m2 = ⇔ m = hay m = 0: Khi m = 0: (3) ⇔ 0x = –1 ⇔ x ∈ Ø Khi m = 1: (3) ⇔ 0x = ⇔ x ∈ ℝ *a = m3 – m2 ≠ ⇔ m ≠ m ≠ 0: m2  m  (3) ⇔ x   m  m2 m2 Kết luận: *m = 1: S = ℝ *m = 0: S = Ø Truy cập trang http://Tuyensinh247.com/ để học Tốn – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử Địa – GDCD tốt nhất!  m  1   m  *m ≠ m ≠ 0: S =  d) (x–1)m2–(2x+1)m+x+2=0 (4) (4)⇔ (m2 – 2m + 1)x – m2 – m + = ⇔ ( m – 1)2x – (m – 1)(m + 2) = *a = (m – 1)2 = ⇔ m =1: (4) ⇔ 0x = ⇔ x ∈ ℝ *a = (m – 1)2 ≠ ⇔ m ≠ 1: m2  m  m  (4) ⇔ x   (m  1)2 m 1 Kết luận: *m = 1: S = ℝ m  2   m 1  *m ≠ 1: S =  Giải biện luận phương trình: x  a x  b 2b(x  a)    (a   b) ab ab a  b2 Giải x  a x  b 2b(x  a)    (a   b) ab ab a  b2 ⇔ (x – a)(a + b) + (x – b)(a – b) + 2b(x + a) = ⇔ (2a + 2b)x – a2 – ab – ab + b2 + 2ab = ⇔ 2(a + b)x = a2 – b2 a  b2 a  b Vì a ≠ ± b nên phương trình có nghiệm x=  2(a  b) Vấn đề 2: Định m để phƣơng trình ax + b = thỏa điều kiện tập nghiệm Phƣơng pháp: Xét phương trình ax + b = (1) a  b  a) (1) có tập nghiệm ℝ ⇔  Truy cập trang http://Tuyensinh247.com/ để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử Địa – GDCD tốt nhất! a  b  b) (1) vơ nghiệm ⇔  c) (1) có nghiệm ⇔ a ≠ a   d) (1) có nghiệm⇔  a    b  Các ví dụ Ví dụ 1: Định m để phương trình sau có tập nghiệm ℝ m2(x – 1) + 3x = 4mx – (1) Giải 2 Ta có (1) ⇔ (m – 4m + 3)x + – m = 0; a = m2 – 4m + 3; b = – m2 m  4m   a   Do đó: (1) có tập nghiệm ℝ   b  9  m  m  hay m =  m3 m =  hay m =  Vậy m thỏa yêu cầu toán ⇔ m=3 Ví dụ 2: Cho phương trình m3x – m2(3x – 1) + 3(x + 1) + 4m = mx (2) Định m để phương trình (2) vơ nghiệm Giải Ta có: (2)⇔ m3x – 3m2x + m2 + 3x + + 4m = mx ⇔ (m3 – 3m2 – m + 3)x + m2 + 4m + = (a = m3 – 3m2 – m + = (m2 – 1)(m – 3), b = m2 + 4m + 3) Do (2) vơ nghiệm (m  1)(m  3)  a  m  1  m   m  m      b  m  4m   m   m  m  Vậy m thỏa yêu cầu m = m = Ví dụ 3: Cho phương trình m2(x + 1) = 2(2x – 1) + 3m (3) Định m để phương trình (3) có nghiệm Giải Ta có: (3)⇔ (m2 - 4)x + m2 – 3m + = (a = m2 – b = m2 – 3m + 2) (3) có nghiệm Truy cập trang http://Tuyensinh247.com/ để học Tốn – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử Địa – GDCD tốt nhất! m2   a   m   m  2   m   m  2     a    m     m   m  2    m  2 m       b   m  3m    m   m   Vậy (3) có nghiệm ⇔ m ≠ –2 Bài tập Định m để phương trình sau vơ nghiệm: a) (m + 1)x – (x + 2m) = b) (m + 1)2x – = (4m + 9)x + m c) m2(x – 1) = 2(2x – m – 4) d) (4m2 – 2)x = + 2m – x Giải a) (m + 1)x – (x + 2m) = (1) ⇔ mx – 2m – = a  m   m0 b  2m   Ta có: (1 ) vơ nghiệm ⇔  b) (m + 1)2x – = (4m + 9)x + m (2) ⇔ (m2 – 2m – 8)x – m – = m  2m   a   m4 Ta có: (2 ) vơ nghiệm ⇔  b  m   c) m2(x – 1) = 2(2x – m – 4) (3) ⇔ (m2 – 4)x – m2 + 2m + = m   a    m  4 Ta có: (3 ) vơ nghiệm ⇔  b  m  2m   d) (4m2 – 2)x = + 2m – x (4) ⇔ (4m2 – 1)x – 2m – = 4m   a   m Ta có: (4 ) vô nghiệm ⇔  b  2m   Xác định giá trị tham số để phương trình sau có tập nghiệm ℝ: a) m2x + m + = m2 + 4x b) a(x + 1) + b(2x – 1) = x – Truy cập trang http://Tuyensinh247.com/ để học Tốn – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử Địa – GDCD tốt nhất! c) m2x – m = 4x – d) m2(x – 1) = 9x + m – Giải 2 a) m x + m + = m + 4x (1) ⇔ (m2 – 4)x – m2 + m + = m   a   m2 Ta có : (1) có tập nghiệm ℝ ⇔  b  m  m   b) a(x + 1) + b(2x – 1) = x – (2) ⇔ (a + 2b – 1)x + a – b + = a  2b   a  1  a  b    b  Ta có : (2) có tập nghiệm ℝ ⇔  c) m2x – m = 4x – (3) ⇔ (m2 – 4)x – m + = m   a   m2 Ta có : (3) có tập nghiệm ℝ ⇔  b   m     d) m2(x – 1) = 9x + m – (4) ⇔ (m2 – 9)x – m2 – m + = a  m     m  3 Ta có : (4) có tập nghiệm ℝ⇔  b   m  m     Định m để phương trình sau có nghiệm: m2x = 4x + m2 + m –2 m2(x – 1) = x – m m(x – m) = x – m m(x – 1) = x – m2 Giải 2 a) m x = 4x + m + m –2 a) b) c) d) ⇔ (m2 – 4)x – m2 – m + = (1) m   a    m  2 Ta có (1) vơ nghiệm ⇔  b  m  m   Do (1) có nghiệm ⇔ m ≠ –2 10 Truy cập trang http://Tuyensinh247.com/ để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử Địa – GDCD tốt nhất! Giải a)mx  2(m  3)x  m   (1)  a = m = 0: (1)⇔ –6x + = ⇔ x =  a = m ≠ 0: ∆’ = (m + 3)2 – m(m + 3) = + 3m *m < –3: ∆’ < nên (1) vô nghiệm *m = –3: ∆’ = nên (1) có nghiệm kép x = *m > –3: ∆’ > nên (1) có hai nghiệm phân biệt x1,2  m   3m  m 1  2  Kết luận: *m = 0: S =   *m = –3: S = {0} *m < –3: S = Ø  m   3m    m   *m > –3 m ≠ 0: S =  b)(m  1)x  2(2m  1)x  4m   *a  m    m  1: (2)  2x    x  *a  m    m  1: (2)  '  (2 m  1)2  (m  1)(4m  1)   m *m < –2: ∆’ < nên (2) vô nghiệm *m = –2: ∆’ = nên (2) có nghiệm kép x  2m   m 1 *m > –2: ∆’ > nên (2) có hai nghiệm phân biệt x1,2  15 2m   m  m Truy cập trang http://Tuyensinh247.com/ để học Tốn – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử Địa – GDCD tốt nhất! 5 KL :*m  1: S    2  *m  2 : S  3 *m  2 : S    2m   m   *m  2;m  1: S    m   c)3mx  (4  6m)x  3(m  1)  *a  3m   m  : (3)  4x    x  *a  3m   m  : (3)  '  (2  3m)2  3m(3m  3)  3m  *m > : ∆’ < nên (3) vô nghiệm *m = 3m   : ∆’ = nên (3) có nghiệm kép x  3m *m < 3m    3m : ∆’ > nên (3) có hai nghiệm phân biệt x1,2  3m 4 KL :*m  : S    3 1  *m  : S    2  *m  : S    3m    3m  *m  ;m  : S    3m   16 Truy cập trang http://Tuyensinh247.com/ để học Tốn – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử Địa – GDCD tốt nhất! d)(k  5k  36)x  2(k  4)x   (4) *a  k  5k  36   k   k  4 1 *k=9:(4)  26x    x  26 *k  4 : (4)  0x    x  *a  k  5k  36   k  9;k  4 :  '  (k  4)2  (k  5k  36)  13k  52 *k < –4: ∆’ < nên (4) vô nghiệm *k > –4: ∆’ > nên (4) có hai nghiệm phân biệt x1,2  k   13k  52 k  5k  36 Kết luận:  1 *k  : S     26  *k  4 : S    k   13k  52  *k  4;k  : S     k  5k  36  e)(x  1)[(k  1)x  4]  (5) x  (5)   (k  1)x  (5a) *k  1: (5a)  0x   x  *k  1: (5a)  x   x0 k 1 (5a) có nghiệm x = ⇔ k + = ⇔ k = Do : +k = 3: x0 = ⇒ (5) có nghiệm x = +k ≠ 3: x0 ≠ ⇒ (5) có hai nghiệm x = 1; x = k 1 Kết luận: 17 Truy cập trang http://Tuyensinh247.com/ để học Tốn – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử Địa – GDCD tốt nhất! *k  1 hay k  : S  1   *k  1;k  : S  1;   k  1 f)(mx  2)[(m  2)x  2] (6) (6a)  mx   (6)   (6b) (m  2)x   0x   *m  : (6)    x   2x    2x   *m  : (6)    x  0x    2 *m  0;m  : (6)  x1  hay x  m 2m Ta có: x1 = x2 ⇔ m = – m ⇔ m = Khi x1= x2 = Do đó: m = 1: (6) ⇔ x = m ≠ 1: (6) ⇔ x = x1 hay x = x2 *m  hay m=2 : S  1 Kết luận: *m  1: S  2 *m  0;m  1;m  : S  x1;x  Xác định m để phương trình sau có hai nghiệm phân biệt: a) mx2 – (1 – 2m)x + m + = b) (m – 2)x2 + 2(m – 3)x + m – = c) (x – 2)[(m – 1)x + 2] = d) (mx – 3)[(m + 1)x – 3] = Giải a) mx – (1 – 2m)x + m + = (1) m  a     (1  2m)  4m(m  4)  (1)có hai nghiệm phân biệt   m    m  ;m  20 20m   b) (m – 2)x2 + 2(m – 3)x + m – = 18 (2) Truy cập trang http://Tuyensinh247.com/ để học Tốn – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử Địa – GDCD tốt nhất! m   a     (m  3)  (m  2)(m  5)  (2)có hai nghiệm phân biệt   m  m    m   m  c) (x – 2)[(m – 1)x + 2] = x  (m  1)x   (3)   (3) (3a) (3) có hai nghiệm phân biệt ⇔ (3a) có nghiệm khác m   m    (m  1).2   m  d) (mx – 3)[(m + 1)x – 3] =  mx   (m  1)x   (4)   (4) (4a) (4b) (4) có hai nghiệm phân biệt ⇔ (4a) (4b) có nghiệm khác  m  m    m     m  3   m m 1 Cho hai phương trình: x2 + 2x – m = (1) x2 – 3x + 4m = (2) Xác định m để hai phương trình có nghiệm chung Suy giá trị m để phương trình (x2 + 2x – m)( x2 – 3x + 4m) = có bốn nghiệm phân biệt Giải Xét phương trình: x2 + 2x – m = (1) x2 – 3x + 4m = (2) x02  2x0  m  *(1) (2) có nghiệm chung x0   x0  3x0  4m  x  m 5x0  5m     m   m  1 x  2x  m  m  m    0 19 Truy cập trang http://Tuyensinh247.com/ để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử Địa – GDCD tốt nhất! Với m = (1) ⇔ x = hay x = –2; (2) ⇔ x = hay x = Do (1) (2) chung x = có nghiệm Với m = –1 (1) ⇔ x = –1; (2) ⇔ x = –1 hay x = Do (1) (2) có nghiệm chung x = – Vậy (1) (2) có nghiệm chung ⇔ m = hay m = –1 x  2x  m  (*) (x + 2x – m)( x – 3x + 4m) =   x  3x  4m   2 Do đó: (*)có bốn nghiệm phân biệt ⇔ (1) (2) có hai nghiệm phân biệt khơng có nghiệm chung  '(1)  m       (2)  9  16m  1  m     16 m  m   m  m  1 m  1  Tìm hệ số m k phương trình x2 + mx + k = 0, biết phương trìnhhai nghiệm phân biệt m k Giải Phương trình x + mx + k = có hai nghiệm phân biệt m k m  m.m  k   k  2m   m    k  mk  k   4m  2m  2m     k  2 m  k m  k   Cho hai phương trình x2 – 8x + 4m =0 (1) x2 + x – 4m = (2) Xác định m để nghiệm (1) gấp đôi nghiệm (2) Giải 2 Xét x – 8x + 4m =0 (1) x + x – 4m = (2) Giả sử (1) có nghiệm x1 gấp hai nghiệm x0 (2) ⇒ x1 = 2x0 Khi ta có: x02  x0  4m  5x02  15x0  x0  x0    hay     2 (2x0 )  8(2x0 )  4m  4m  x0  x0 m  m  Với m = 0: 20 Truy cập trang http://Tuyensinh247.com/ để học Tốn – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử Địa – GDCD tốt nhất! (1) ⇔ x2 – 8x = ⇔ x1 = hay x2 = (2) ⇔ x2 +x = ⇔ x3= hay x4 = –1 Ta thấy x1 = 2x3 nên m = nhận Với m = 3: (1) ⇔ x2 – 8x + 12 = ⇔ x1 = hay x2 = (2) ⇔ x2 +x – 12 = ⇔ x3= hay x4 = –4 Ta thấy x2 = 2x3 nên m = nhận Vậy m = m = Tìm k nguyên dương nhỏ cho phương trình: x2 – 2(k + 2)x + k + 14 = có hai nghiệm phân biệt Giải *Phương trìnhhai nghiệm phân biệt ⇔ ∆’ > ⇔ (k + 2)2 – k – 14 > ⇔ k2 + 3k – 10 > ⇔ (k + 5)(k – 2) > ⇔ k < –5 k > Vì k số nguyên dương nhỏ nên k = Cho phương trình x2 – 2(m – 2)x + m2 – 12 = (1) Định m để phương trình (1) có hai nghiệm: a) Có giá trị tuyệt đối b) Có giá trị tuyệt đối nghịch đảo Giải a) Phương trìnhhai nghiệm x1, x2 thỏa |x1| = |x2 |  '   x1  x hay x1  x   '  hay  S  4m  16   4m  16  hay  m    m  hay m  b) Phương trìnhhai nghiệm x1, x2 thỏa |x1| |x2 | nghịch đảo nhau: 21 Truy cập trang http://Tuyensinh247.com/ để học Tốn – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử Địa – GDCD tốt nhất!  '   x1.x    P  hay P  1 4m  16   2 m  12  hay m  12  1 m    m   13 hay m=  11 m   13 hay m=  11 Vấn đề 4: Dùng phƣơng pháp đồ thị để biện luận số nghiệm phƣơng trình bậc hai Phƣơng pháp Giả sử phương trình biến đổi dạng ax2 + bx + c = m (1) a, b, c số cho trước với a ≠ 0, m tham số Bước 1: Ta nói phương trình (1) phương trình hồnh độ giao điểm hai đồ thị (P): y = ax2 + bx + c (d): y = m Số nghiệm phương trình (1) số giao điểm (d) (P) Bước 2: Vẽ parabol (P): y = ax2 + bx + c đường thẳng (d) : y = m hệ trục tọa độ Đường thẳng (d) song song trùng với Ox, cắt Oy điểm có tung độ m Bước 3: Quan sát đồ thị, tùy theo giá trị m, ta xác định số giao điểm hai đồ thị, từ suy số nghiệm phương trình (1) 22 Truy cập trang http://Tuyensinh247.com/ để học Tốn – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử Địa – GDCD tốt nhất! Các ví dụ Ví dụ 1: Cho phương trình x  1(x2  4x   m)  (1) a) Xác định m để phương trình (1) có nghiệm b) Xác định m để phương trìnhhai nghiệm phn biệt Giải x  Ta có: (1)   x  4x   m (2) Phương trình (2) phương trình hồnh độ giao giiểm hai đường: *(d): y = m đường thẳng song song với Ox, cắt Oy điểm có tung độ m *(P): y = x2 – 4x + parabol ứng với x ≥ 1, có đỉnh (2;–3), bề lõm quay lên Khi x = y = –2 Theo dồ thị ta có: a) Phương trình cho có nghiệm ⇔ (d) phần đồ thị (P) với x ≥ có giao điểm ⇔ m ≥ –3 b) Phương trình cho có hai nghiệm phân biệt 23 Truy cập trang http://Tuyensinh247.com/ để học Tốn – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử Địa – GDCD tốt nhất! ⇔ (d) phần đồ thị (P) với x≥1 có hai giao điểm phân biệt ⇔ –3 < m ≤ –2 Ví dụ 2: Với giá trị m đồ thị hai hàm số y = 2mx + (d) y = (m – 6)x2 + m khơng cắt nhau? Giải Phương trình hồnh độ giao điểm hai đồ thị (d) (P) là: (m – 6)x2 + m = 2mx + ⇔ (m – 6)x2 – 2mx +m – = (1) (d) (P) khơng cắt ⇔ Phương trình (1) vô nghiệm Với m = 6: (1) ⇔ –12x + = : (1) có nghiệm Với m ≠ 6: (1) vô nghiệm ⇔ ∆ ‘ = 8m – 12 < ⇔ m < 3/2 Bài tập Dùng đồ thị, biện luận theo m số nghiệm phương trình sau: a) x2 – x +2 = 3x + m b) 2x2 – m = 4x – Giải 2 a) x – x +2 = 3x + m ⇔ x – 4x + = m (1) *Phương trình (1) phương trình hồnh độ giao điểm đường thẳng (d): y = m với parabol (P): y = x2 – 4x + *Số nghiệm phương trình (1) số giao điểm (P) (d) *Ta có đồ thị (P) có dạng sau: *Nhìn đồ thị (P) ta có: +m < –2: (P) (d) khơng có giao điểm ⇒ (1) vơ nghiệm +m = –2: (P) (d) có giao điểm ⇒ (1) có nghiệm +m > –2: (P) (d) có hai giao điểm ⇒ (1) có hai nghiệm phân biệt 24 Truy cập trang http://Tuyensinh247.com/ để học Tốn – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử Địa – GDCD tốt nhất! b) 2x2 – m = 4x – 3⇔ 2x2 – 4x + = m (2) *Phương trình (2) phương trình hồnh độ giao điểm đường thẳng (d): y = m với parabol (P): y = 2x2 – 4x + *Số nghiệm phương trình (2) số giao điểm (P) (d) *Ta có đồ thị (P) có dạng sau: *Nhìn đồ thị (P) ta có: +m < 1: (P) (d) khơng có giao điểm ⇒ (2) vô nghiệm +m = 1: (P) (d) có giao điểm ⇒ (2) có nghiệm +m > 1: (P) (d) có hai giao điểm ⇒ (2) có hai nghiệm phân biệt Cho phương trình x2 – 2x + – m = (*) Dùng đồ thị để: a) Biện luận theo m số nghiệm (*) b) Biện luận theo m số nghiệm x ∈ [ –1;2] (*) c) Xác định m để (*) có nghiệm nhỏ Giải a) Ta có (*) ⇔ x – 2x + = m *Phương trình (*) phương trình hồnh độ giao điểm đường thẳng (d): y = m với parabol (P): y = x2 – 2x + *Số nghiệm phương trình (*) số giao điểm (P) (d) *Ta có đồ thị (P) có dạng sau: 25 Truy cập trang http://Tuyensinh247.com/ để học Tốn – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử Địa – GDCD tốt nhất! *Nhìn đồ thị (P) ta có: +m < 2: (P) (d) khơng có giao điểm ⇒ (*) vơ nghiệm +m = 2: (P) (d) có giao điểm ⇒ (*) có nghiệm +m > 2: (P) (d) có hai giao điểm ⇒ (*) có hai nghiệm phân biệt b) Ta có: *Số nghiệm x ∈ [–1;2] phương trình (*) số giao điểm phần đồ thị (P) ứng với x ∈ [–1;2] (kí hiệu phần (P1)) (d) *Dựa vầo phần dồ thị (P) ứng với x ∈ [–1;2], ta có: +m < hay m > 6: (P1) (d) khơng có giao điểm ⇒ (*) khơng có nghiệm x ∈ [–1;2] +m = hay 3 ⇔ m > 1: (1) có hai nghiệm phân biệt nên (P) (P’) có hai giao điểm *∆’ = ⇔ m = 1: (1) có nghiệm kép nên (P) (P’) có giao điểm *∆’ < ⇔ m < 1: (1) vơ nghiệm nên (P) (P’) khơng có giao điểm b) y = x2 + 2mx – y = x2 + 4x – Phương trình hồnh độ giao điểm (P) (P’) là: x2 + 2mx – 4= x2 + 4x – ⇔ (2m – 4)x + = (2) Do đó: *a = ⇔ m = 2: (2) ⇔ 0x + =0 ⇔ x ∈ Ø ⇔ (P) (P’) giao điểm *a ≠ ⇔ m ≠ 2: (2) có nghiệm ⇔ (P’) (P) có giao điểm c) y = x2 + 2mx + y = x – m2 Phương trình hồnh độ giao điểm (P) (P’) là: x2 + 2mx + = x – m2 ⇔ x2 + (2m –1)x + m2 + = (3) Ta có: (3) có ∆ = (2m – 1)2 – 4(3 + m2) = –4m – 11 Do đó: *∆’ > ⇔ m <  11 : (3) có hai nghiệm phân biệt nên (P) (P’) có hai giao điểm phân biệt *∆’ = ⇔ m =  11 : (3) có nghiệm kép nên (P) (P’) có giao điểm *∆’ < ⇔ m >  11 : (3) vô nghiệm nên (P) (P’) khơng có giao điểm II PHƢƠNG TRÌNH ax + b = 27 Truy cập trang http://Tuyensinh247.com/ để học Tốn – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử Địa – GDCD tốt nhất! ax + b = (1) Hệ số Kết luận a0 (1) có nghiệm (1) vơ nghiệm b0 Chú ý: Khi a  (1) a =đgl phương trình bậc ẩn b=0 (1) nghiệm với x Bài Giải biện luận phƣơng trình sau theo tham số m: a) (m2  2)x  2m  x  b) m( x  m)  x  m  b) m( x  m  3)  m( x  2)  d) m2 ( x  1)  m  x(3m  2) e) (m2  m) x  x  m2  f) (m  1)2 x  (2m  5)x   m Bài Giải biện luận phƣơng trình sau theo tham số a, b, c: a) xa xb b   a (a, b  0) a b b) (ab  2)x  a  2b  (b  2a)x x  ab x  bc x  b2 c)    3b (a, b, c  1) a 1 c 1 b 1 d) x bc x ca x ab    (a, b, c  0) a b c Bài Trong phƣơng trình sau, tìm giá trị tham số để phƣơng trình: i) Có nghiệm ii) Vơ nghiệm a) (m  2) x  n  b) (m2  2m  3) x  m  c) (mx  2)( x  1)  (mx  m2 )x d) (m2  m) x  x  m2  iii) Nghiệm với x  R II GIẢI BIỆN LUẬN PHƢƠNG TRÌNH BẬC HAI MỘT ẨN Cách giải 28 Truy cập trang http://Tuyensinh247.com/ để học Tốn – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử Địa – GDCD tốt nhất! ax2 + bx + c = (a  0) (1) Kết luận Chú ý: >0 (1) có nghiệm phân biệt =0 (1) có nghiệm kép 

Ngày đăng: 30/11/2018, 13:01

Từ khóa liên quan

Tài liệu cùng người dùng

  • Đang cập nhật ...

Tài liệu liên quan