đề thi tuyển vào thpt chuyên lam sơn (1) môn: toán chung . thời gian: 150' ( Tham khảo " Đề thi học sinh giỏi Liên xô" ) Bài I: (2 điểm ) Cho a, b,c là ba số khác nhau từng đôi một, c 0 . Chứng minh rằng nếu các phơng trình: 2 x ax bc 0 + + = và 2 x bx ca 0 + + = có đúng một nghiệm chung thì các nghiệm thứ hai của các phơng trình đó thỏa mãn phơng trình 2 x cx ab 0 + + = Bài II: (2 điểm ) Gọi n S = 1 1 1 . 1 2 2 3 n n 1 + + + + + + + , n N, n 1 . Tìm tất cả các giá trị của n sao cho n 100 và n S có giá trị nguyên Bài III: (2 điểm ) Giải phơng trình nghiệm nguyên: yz zx xy 3 x y z + + = Bài IV: ( 1 điểm ) Cho a > 0 , chứng minh n .so .a a a a . a+ + + + 1 4 4 44 2 4 4 4 43 < 1 4a 1 2 + + Bài V: ( 3 điểm ) Cho đờng tròn (O) nội tiếp tam giác ABC , các tiếp điểm tại D, E, F . Chứng minh rằng tích các khoảng cách hạ từ một điểm M bất kỳ trên đờng tròn xuống các cạnh của tam giác ABC bằng tích các khoảng cách từ M đến các cạnh của tam giác DEF 1 đáp án thi tuyển vào thpt chuyên lam sơn môn toán chung ( Gồm 2 tờ ) Bài I: 2 điểm. ( Mỗi mục tơng ứng cho 0,5 điểm ) Ta gọi 0 x là nghiệm chung của hai phơng trình: 2 x ax bc 0 + + = , ( ) 1 và 2 x bx ca 0 + + = , ( ) 2 . Và 1 x , 2 x lần lợt là các nghiệm thứ hai của ( ) 1 và ( ) 2 , với 1 2 x x . Khi đó ta có: 2 0 0 2 0 0 x ax bc 0 x bx ac 0 + + = + + = ( ) ( ) 0 x . a b c. a b 0 = ( ) ( ) 0 a b . x c 0 = , a b 0 x c= . Mặt khác, áp dụng định lý Viét cho ( ) 1 và ( ) 2 ta có: 0 1 0 2 x .x b.c x .x a.c = = , 1 0 2 x b x c 0 x a = = = 1 2 x x a b+ = + , ( ) 3 . Ngoài ra: 0 1 0 2 x x a x x b + = + = , 0 x c= 1 2 2c x x a b+ + = , ( ) 4 Kết hợp ( ) 4 với ( ) 3 ta đợc c a b = . Nh vậy ta có: 1 2 x x c + = và 1 2 x .x a.b= 1 x và 2 x là nghiệm của phơng trình 2 x cx ab 0 + + = .đpcm Bài II: 2điểm. ( Mỗi phần tơng ứng cho 0,5 điểm ) Chú ý rằng: ( ) ( ) 1 k 1 k k 1 k k k 1 k k 1 k 1 k + = = + + + + + + , k N,k 1 Suy ra n S = ( ) ( ) ( ) ( ) 2 1 3 2 . n n 1 n 1 n + + + + + = n 1 1 + n S nhận giá trị nguyên , khi n 1 + là một số chính phơng . Dạng 2 n k 1= Kết hợp với điều kiện n N,1 n 100 , suy ra tập các giá trị của n thỏa mãn các yêu cầu của bài toán là: { } 3,8,15, 24,35, 48, 63,80,99 Bài III: 2điểm. ( Mỗi mục tơng ứng cho 1,0 điểm ) Với điều kiện: xyz 0 Ta có: yz zx xy 3 x y z + + = , ( ) 1 2 2 2 2 2 2 2x y 2y z 2z x 6xyz+ + = ( ) , 2 ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 x y 2x yz x z x z 2xyz y z y z 2xy z x y + + + + + = 2 2 2 6xyz 2x yz 2xy z 2xyz ( ) 2 xy xz + ( ) 2 xz yz + ( ) 2 yz xy = ( ) ( ) ( ) 2xyz 1 x 1 y 1 z + + ( ) , 3 2 Nhận xét: Từ ( ) 2 xyz 0 > , vì vậy ( ) 3 3 x y z 0 > .Phơng trình có nghiệm tự nhiên x = y = z = 1, lại do xyz 0 > suy ra các nghiệm nguyên của ph- ơng trình ( ) 1 là: ( ) x, y, z = ( ) 1,1,1 , ( ) 1, 1,1 , ( ) 1, 1, 1 , ( ) 1,1, 1 Bài IV: 1điểm. ( Mỗi mục tơng ứng cho 0,5 điểm ) Ký hiệu: x n = n .so .a a a a . a + + + + 1 4 4 44 2 4 4 4 43 , ta có x n > 0 với n 1 Ta chứng minh x n-1 < x n với n > 1 + Ta có: a < a a + x 1 < x 2 + Giả sử với n = k - 1 > 0, ta có x k-1 < x k . Khi đó : 2 2 k 1 k k 1 k x a x a x x + = + > + = x k+1 > x k . Theo nguyên lý quy nạp suy ra: x n-1 < x n 2 k k 1 k x a x a x = + < + 2 n n n n 1 4a 1 1 4a 1 x x a 0 x . x 0 2 2 + + + < < ữ ữ ữ ữ n 1 4a 1 1 4a 1 x 2 2 + + + < < . Vậy n .so .a a a a . a + + + + 1 4 4 44 2 4 4 4 43 < 1 4a 1 2 + + . đpcm Bài V: 3điểm ( Mỗi mục tơng ứng cho 1,0 điểm ) Bổ đề: Khoảng cách từ một điểm trên đờng tròn đến đờng thẳng qua hai tiếp điểm của hai tiếp tuyến với đờng tròn là trung bình nhân khoảng cách từ điểm ấy đến 2 tiếp tuyến . Xét hai tiếp tuyến AB và AC , M (O) Hạ các đờng vuông góc MK, MH, ML xuống các tiếp tuyến AB, AC và dây EF MEN MFH = ( chắn cung ằ MF ). MFN MEK = (------------ ẳ ME ) Suy ra các tam giác MEN và MFH , MFN và MEK đồng dạng. Từ đó MN MF MH MK ME MN = = 2 MN MH.MK = (1). Bổ đề đợc chứng minh áp dụng (1), gọi a, b, c, d, e, f lần lợt là khoảng cách từ M đến các đờng thẳng chứa cạnh BC, CA, AB, EF, FD, DE của các tam giác ABC và DEF ta đ- ợc: 2 d b.c, = 2 e c.a,= 2 f a.b = . Nhân vế với vế của ba đẳng thức, suy ra điều phải chứng minh. 3 A B C O E D F M H N K . đề thi tuyển vào thpt chuyên lam sơn (1) môn: toán chung . thời gian: 150' ( Tham khảo " Đề thi học sinh giỏi Liên xô". các khoảng cách từ M đến các cạnh của tam giác DEF 1 đáp án thi tuyển vào thpt chuyên lam sơn môn toán chung ( Gồm 2 tờ ) Bài I: 2 điểm. ( Mỗi mục tơng