Bùi Xuân Dương – 0914 082 600 CHỦ ĐỀ SĨNG CƠ Q TRÌNH LAN TRUYỀN CỦA SĨNG CƠ I KIẾN THỨC CƠ BẢN Khái niệm sóng cơ: Sóng dao động lan truyền môi trường Khi sóng truyền có pha dao động phần tử vật chất lan truyền phần tử vật chất dao động xung quanh vị trí cân cố định → Về bản, ta xem sóng tập hợp phần tử dao động điều hòa liên tiếp phương truyền sóng Phân loại sóng cơ: + Sóng ngang sóng phần tử mơi trường dao động theo phương vng góc với phương truyền sóng + Sóng dọc sóng Trong phần tử môi trường dao động theo phương trùng với phương truyền sóng Các đại lượng đặc trưng sóng: A  u A u T x O t O A A Sự dao động phần tử sóng theo phương truyền Sự dao động phần tử sóng theo thời gian + Biên độ sóng A biên độ dao động phần tử mơi trường có sóng truyền qua + Chu kỳ sóng T chu kỳ dao động phần tử mơi trường sóng truyền qua + Tần số f số dao động toàn phần phần tử môi trường đơn vị thời gian + Vận tốc truyền sóng tốc độ lan truyền dao động môi trường (ta lưu ý vận tốc truyền sóng phụ thuộc vào chất mơi trường) + Bước sóng λ quảng đường mà sóng truyền Trong chu kỳ   Tv Phương trình truyền sóng, độ lệch pha: a Sự lan truyền sóng theo khơng gian + Giả sử thời điểm t0  , sóng nguồn O có phương trình uO  a cos t  , dao động phần 2xOM   tử M cách O đoạn xMN dao động với phương trình uM  a cos  t     2xOM + Với OM  gọi độ lệch pha theo không gian hai phần tử O M phương truyền  sóng Bùi Xuân Dương – 0914 082 600 + Tổng qt hơn, ta có độ lệch pha theo khơng gian hai điểm M , N phương truyền sóng 2xMN MN   + Từ biểu thức độ lệch pha hai điểm M , N ta đến kết luận đáng nhớ sau : o Khoảng cách hai điểm gần phương truyền sóng, phần tử dao động pha  o Khoảng cách hai điểm gần phương truyền sóng, phần tử  dao động ngược pha o Khoảng cách hai điểm gần phương truyền sóng, phần tử  dao động vuông pha b Độ lệch pha hai phần tử sóng khơng gian Mỗi phần tử mơi trường có sóng truyền qua dao động quanh vị trí cân riêng theo thời gian → độ lệch pha hai phần từ sóng cách khoảng x phương truyền sóng thời điểm t1 t2 : x   t   x    t2  t1   2 Trong đó: o     t2  t1   t độ lệch pha theo thời gian o  x  2 x   độ lệch pha theo không gian II DẠNG BÀI TẬP VÀ VÍ DỤ MINH HỌA Dạng 1: Xác định đại lượng đặc trưng sóng từ phương trình sóng  PHƯƠNG PHÁP GIẢI Phương trình dao động phần tử sóng tổng quát có dạng 2x    t x  u  a cos  t    a cos 2       T   Trong đó: o a biên độ sóng o  tần số góc dao động phần tử sóng o  bước sóng sóng + Từ phương trình trên, ta thấy số hạng liền với biến thời gian t tần số góc at   , số hạng liền 2 với x ax   → Tốc độ truyền sóng v   T  at ax → Mối liên hệ tần số góc  , chu kì T tần số f : T  2  f   VÍ DỤ MINH HỌA Ví dụ 1: Một sóng truyền dọc theo trục Ox với phương trình u  cos  40 t   x  mm Biên độ sóng A mm B mm C π mm D 40π mm Hướng dẫn + Từ phương trình sóng, ta xác định a  mm → Đáp án A Bùi Xuân Dương – 0914 082 600 Ví dụ 2: Một sóng truyền dọc theo trục Ox có phương trình u  A cos  20 t   x  ,với t tính s Tần số sóng A 10π Hz B 10 Hz C 20 Hz D 20π Hz Hướng dẫn  20 + Từ phương trình truyền sóng, ta xác định   20 rad/s → f    10 Hz 2 2 → Đáp án B Ví dụ 3: Một sóng truyền sợi dây đàn hồi dài Phương trình sóng điểm dây x  u  cos  20 t   mm Với x đo m, t đo s Tốc độ truyền sóng dây có giá trị   A 60 cm/s B 60 mm/s C 60 m/s D 30 m/s Hướng dẫn   20 2 2  + Từ phương trìn truyền sóng, ta xác định được:  2  → T    0,1 s   m  20       60 m/s → Tốc độ truyền sóng dây v   T 0,1 → Đáp án C 2 x   Ví dụ 4: Một sóng mơ tả phương trình u  A cos  2 ft  cm Tốc độ cực đại phần    tử môi trường A 2 fA B  A C 3A D  Hướng dẫn + Từ phương trình sóng ta xác định biên độ dao động A phần tử mơi trường, tần số góc dao động   2 f → Tốc độ dao động cực đại phần tử môi trường vmax   A  2 fA → Đáp án A   Ví dụ 5: Một nguồn phát sóng dao động theo phương trình u  cos  4 t   Biết dao động hai điểm 4   gần phương truyền sóng cách 0,5 m có độ lệch pha Tốc độ truyền sóng : A 1,0 m/s B 2,0 m/s C 1,5 m/s D 6,0 m/s Hướng dẫn 2 2 + Từ phương trình sóng ta xác định   4 rad/s → T    0,5 s  4 2 0,5  2 x Độ lệch pha theo không gian hai vị trí  x  ↔  →   m     m/s → Tốc độ truyền sóng v   T 0,5 → Đáp án D Bùi Xuân Dương – 0914 082 600 Dạng 2: Viết phương trình sóng cho phần tử sóng  PHƯƠNG PHÁP GIẢI Xét lan truyền sóng nguồn O đến điểm M , N P hình vẽ xMN xNP u M P x O N + Tại thời điểm t đó, dao động N có phương trình u N  a cos t  Khi đó: o Phần tử M gần nguồn sóng O dao động sớm pha so với N , phương trình dao động phần 2xMN   tử sóng M là: uM  a cos  t     o Phần tử P xa nguồn sóng O dao động chậm pha so với N , phương trình dao động phần 2xNP   tử sóng P là: uP  a cos  t      VÍ DỤ MINH HỌA   Ví dụ 1: Nguồn sóng có phương trình u  cos  2 t   cm Biết sóng lan truyền với bước sóng 0,4 m Coi 4  biên độ sóng khơng đổi Phương trình dao động sóng điểm nằm phương truyền sóng, cách nguồn sóng 10 cm  3    A u  cos  2 t   cm B u  cos  2 t   cm  4   3     C u  cos  2 t  D u  cos  2 t   cm  cm  2   Hướng dẫn + Phương trình dao động điểm cách nguồn sóng 10 cm:  2 x   2 0.1      uN  2cos  2 t    2cos  2 t   cm   2cos  2 t      0,  4    → Đáp án A Ví dụ 2: Một sóng lan truyền đường thẳng từ điểm O đến điểm M cách O đoạn d Biết tần số f , bước sóng  biên độ a sóng khơng đổi q trình truyền sóng Ở thời điểm t , phương   trình dao động phần tử vật chất M có dạng uM  a cos  2 ft   phương trình dao động phần 6  tử vật chất O có dạng: d d   A uO  a cos 2  ft    B uO  a cos 2  ft    12   12     d d   C uO  a cos   ft    D uO  a cos   ft        Hướng dẫn + Điểm O gần nguồn sóng hơn, dao động sớm pha so với phần tử môi trường M : Bùi Xuân Dương – 0914 082 600  2 d  d   → uO  a cos  2 ft     a cos 2  ft      12     → Đáp án D Ví dụ 3: (Quốc gia – 2008) Một sóng lan truyền đường thẳng từ điểm O đến điểm M cách O đoạn d Biết tần số f , bước sóng  biên độ a sóng khơng đổi q trình sóng truyền Nếu phương trình dao động phần tử vật chất điểm M có dạng uM  t   a cos 2 ft phương trình dao động phần tử vật chất O d d   A uO  t   a cos 2  ft   B uO  t   a cos 2  ft       d d   C uO  t   a cos   ft   D uO  t   a cos   ft       Hướng dẫn + Phần tử sóng O dao động sớm pha phần tử sóng M Phương trình sóng O là: d  uO  t   a cos 2  ft     → Đáp án B Ví dụ 4: Sóng truyền với tốc độ m/s từ điểm O đến điểm M nằm phương truyền sóng, cách 3,4 m Coi biên độ sóng khơng đổi Viết phương trình sóng điểm M , biết phương trình dao động   điểm O uO  5cos  5 t   cm 6  7  7    A uO  5cos  2 t  B uO  5cos  2 t   cm  cm     7  7    C uO  2cos  2 t  D uO  cos  2 t   cm  cm     Hướng dẫn 2 2 Từ phương trình truyền sóng, ta có   5 rad/s → T    0, m  5 → Bước sóng sóng   Tv  0, 4.6  2, m + Phương trình dao động điểm M :  2 x   7      uM  5cos  2 t     5cos  2 t   3   5cos  2 t   cm   6      → Đáp án A Ví dụ 5: Một sóng lan truyền từ nguồn O đến điểm M nằm phương truyền cách O khoảng d Phương trình dao động phần tử mơi trường M có sóng truyền qua uM  A cos t  Gọi  bước sóng, v tốc độ truyền sóng Phương trình dao động phần tử O   2 d   2 d   A u  A cos   t  B u  A cos  t     v     2 d   D u  Acos  t   v   Hướng dẫn 2 d   + Phương trình sóng nguồn O uO  A cos  t     → Đáp án C 2 d   C u  A cos  t     Bùi Xuân Dương – 0914 082 600 Dạng 3: Bài toán liên quan đến khoảng giá trị v, f độ lệch pha hai phần tử sóng thời điểm xác định  PHƯƠNG PHÁP GIẢI Độ lệch pha hai phần tử sóng M N khoảng x thời điểm xác định biểu thức 2x MN   → Ứng với trường hợp đặc biệt độ lệch pha, ta có: 2x 2 f x x o Hai dao động pha MN     2k  v v 2x 2 f x x o Hai dao động ngược pha MN      2k  1   v v 2x 2 f x x  o Hai dao động vuông pha MN      2k  1  v v + Với trường hợp, toán đề cập đến khoảng giá trị vận tốc v tần số f … Dựa vào biểu thức độ lệch pha, ta biểu diễn v f hàm số phụ thuộc vào k → với khoảng giá trị ta tìm k để giải yêu cầu tốn  VÍ DỤ MINH HỌA Ví dụ 1: Một sóng hình sin lan truyền theo trục Ox từ nguồn O với tần số Hz, có tốc độ truyền sóng nằm khoảng từ 0,7 m/s đến m/s Gọi hai điểm A B hai điểm nằm Ox , phía so với O cách 10 cm Hai phần tử môi trường A B dao động ngược pha với Tốc độ truyền sóng là: A cm/s B cm/s C 80 cm/s D 100 cm/s Hướng dẫn + Độ lệch pha hai phần tử môi trường f x 2.2.0,1 0, 2xf m/s  AB     2k  1  → v   2k  2k  2k  v 0, → Với khoảng giá trị vận tốc → 0,7   → v  0, 08 m/s 2k  → Đáp án A Ghi chú: Ta sử dụng chức lập bảng Table Casio cách nhập lệnh Mode → để xác định nhanh giá trị vận tốc 0, Ta gán k → X , f  X   X 1 o Giá trị bắt đầu X : Start → tùy theo toán cụ thể, với toán ta chọn giá trị bắt đầu X o Giá trị kết thúc X : End → giá trị cuối X mà ta muốn tìm giá trị tương ứng f  X  o Bước nhảy X : Step → khoảng cách hai giá trị liền kề X Nhập liệu + Mode → → f  X   0, X 1 + Start → = End → = Step → Xuất kết Bùi Xuân Dương – 0914 082 600 Ví dụ 2: Một sóng hình sin truyền sợi dây nhỏ với vận tốc m/s Biết tần số sóng có giá trị nằm khoảng 22 Hz < f < 46 Hz Điểm M cách nguồn đoạn 20 cm dao động pha với nguồn Giá trị f A 25 Hz B 40 Hz C 30 Hz D 35 Hz Hướng dẫn kv k 2x 2 f x   20k Hz + Độ lệch pha M nguồn     2k → f  x 0,  v → Sử dụng chức Mode → ta tìm f  40 Hz → Đáp án B Ví dụ 3: Một dây đàn hồi dài có đầu A dao động theo phương vng góc với sợi dây Tốc độ truyền sóng dây m/s Xét điểm M dây cách A đoạn 40 cm, người ta thấy M dao động lệch pha so với A góc    k  0,5   rad với k số ngun Tính tần số sóng, biết f có giá trị khoảng từ Hz đến 13 Hz A 12 Hz B 8,5 Hz C 10 Hz D 12,5 Hz Hướng dẫn  k  0,5 v  k  0,5 2 df 2 d + Độ lệch pha A M:     k  0,5  → f    k  0,5  →   2d v  Hz Với khoảng giá trị f biết, sử dụng chức Mode → máy tính, ta tìm f  12,5 Hz → Đáp án D Ví dụ 4: Một sóng học có vận tốc truyền sóng v  200 cm/s tần số khoảng từ 25 Hz đến 30 Hz Biết hai điểm M N phương truyền sóng cách khoảng 0,4 m dao động ngược pha Tìm bước sóng? A 6,50 cm B 6,85 cm C 7,50 cm D 7,27 cm Hướng dẫn + Độ lệch pha hai điểm M N:  2k  1 v   2k  1 200  2,5 2k  Hz 2 f x 2x     2k  1  → f    2k  1  ↔   2x 2.40 v  v 200  7, 27 cm → Với khoảng giá trị tần số, ta tìm f  27,5 Hz → Bước sóng sóng    f 27,5 → Đáp án D Ví dụ 5: Sóng truyền dây với vận tốc m/s tần số sóng thay đổi từ 22 Hz đến 26 Hz Điểm M cách nguồn đoạn 28 cm dao động vng pha với nguồn Bước sóng truyền dây A 160 cm B 1,6 cm C 16 cm D 100 cm Hướng dẫn + Độ lệch pha điểm M nguồn sóng  2k  1 v   2k  1  25 2k  Hz 2x  2 f x      2k  1 ↔   2k  1 → f    4x 4.0, 28  v v 400  16 cm Với khoảng giá trị tần số, ta tìm f  25 Hz → Bước sóng sóng    f 25 → Chọn C Bùi Xuân Dương – 0914 082 600 Dạng 4: Phương pháp đường tròn xác định trạng thái dao động dựa vào độ lệch pha  PHƯƠNG PHÁP GIẢI Nguồn sóng O truyền sóng đến hai điểm M N phương truyền sóng, cách khoảng x , dao động M thời điểm t1 có () độ lệch pha so với dao động N thời điểm t2 xác định biểu thức 2x MN    t2  t1    MN u  A + Nếu thời điểm t1 , phần từ M có li độ xM phần tử N thời điểm uN uM A t2 có li độ xN xác định tương ứng đường tròn với góc quét  MN Chú ý: Chiều dương góc quét  ngược chiều kim đồng hồ → Theo chiều dương truyền sóng, phần tử sóng trước đỉnh sóng có xu hướng chuyển động xuống, phần tử sau đỉnh sóng có xu hướng chuyển động lên Đi xuống u Đi lên Đi xuống Đi lên t O  VÍ DỤ MINH HỌA Ví dụ 1: (Chu Văn An – 2018) Một nguồn phát sóng nước O có phương trình uO  A cos  2 t  cm Cho biên độ sóng khơng đổi lan truyền Điểm M mặt nước cách O nửa bước sóng Tại thời điểm t1  1,125 s, li độ dao động sóng điểm M – cm Biên độ dao động sóng : B cm A cm C 2 cm Hướng dẫn D + Độ lệch pha hai điểm M O 2xMO 2 0,5 MO  t   2 1,125   1, 25 rad   → Biểu diễn dao động điểm O M tương ứng đường tròn Tại thời điểm ban đầu điểm O vị trí biên dương A  2 cm → A  2 cm → Từ hình vẽ, ta có xM   → Đáp án C cm  MO u  A 2 A Ví dụ 2: (Sở Hưng Yên – 2018) Một nguồn O dao động điều hòa tạo sóng mặt nước có tần số 50 Hz biên độ cm (coi khơng đổi sóng truyền đi) Cho tốc độ truyền sóng 75 cm/s Điểm M nằm mặt nước cách nguồn O đoạn cm Chọn t  lúc phần tử nước O qua vị trí cân theo chiều dương Tại điểm t1  2,01 s li độ dao động M bằng: A 2 cm B – cm C cm Hướng dẫn Tần số góc dao động   2 f  2 50  100 rad/s → Độ lệch pha dao động hai phần từ M O D cm Bùi Xuân Dương – 0914 082 600 MO  t  xMO  100 2,01  100 583 rad  75 v 563 5 + Ta tách  186  3 → Biểu diễn vị trí tương ứng đường tròn, ta thu u M  cm 4 → Đáp án A 5 u 4 M O Ví dụ 3: (Nguyễn Khuyến – 2018) Một sóng có tần số 40 Hz, truyền môi trường với tốc độ 4,8 m/s Hai điểm M, N hướng truyền sóng cách cm (M nằm gần nguồn N) Biên độ sóng khơng đổi q trình truyền Tại thời điểm t , li độ phần tử M cm Tại thời điểm t   t  s, li độ phần tử N cm Biên độ sóng bằng: 480 A cm B cm C cm D cm Hướng dẫn v 480  12 cm Bước sóng sóng    f 40 N + Độ lệch pha theo vị trí hai điểm M N: 2x 2   u (cm)   t   80   rad  480 12 9  A A → Biểu diễn dao động điểm M điểm N tương ứng đường tròn Từ hình vẽ ta xác định A  cm M → Đáp án B Ví dụ 4: (Nguyễn Khuyến – 2018) Sóng ngang truyền sợi dây dài với tần số 10 Hz Tại thời điểm đó, điểm P dây vị trí cao điểm Q (cách P 10 cm) qua vị trí có li độ nửa biên độ lên Coi biên độ sóng khơng đổi truyền Biết khoảng cách PQ nhỏ bước sóng sóng dây Tốc độ truyền sóng chiều truyền sóng dây là: A 1,2 m/s, truyền từ Q đến P B 1,2 m/s, truyền từ P đến Q C m/s, truyền từ Q đến P D m/s, truyền từ P đến Q Hướng dẫn P P Q Trường hợp Q Trường hợp Có hai trường hợp cho độ lệch pha P Q 2 d   →   6d  6.10  60 cm + Độ lệch pha P Q: PQ   → Vận tốc truyền sóng   vf  m/s Sóng truyền từ P đến Q (P sớm pha nên cực đại trước) 2 d 5 + Độ lệch pha Q P: QP    →   1, 2d  1, 2.10  12 cm → Vận tốc truyền sóng   vf  1, m/s → Sóng truyền từ Q đến B → Đáp án A 5 u P  Q Bùi Xuân Dương – 0914 082 600 Ví dụ 5: (Đồng Đậu – 2018) Một sóng lan truyền sợi dây từ C đến B với chu kì T  s, biên độ không đổi Ở thời điểm t0 , ly độ phần tử B C tương ứng –20 mm +20 mm, phần tử trung điểm D BC vị trí cân Ở thời điểm t1 , li độ phần tử B C +8 mm Tại thời điểm t2  t1  0, s tốc độ dao động phần tử D có giá trị gần với giá trị sau đây: A 64,36 mm/s B 67,67 mm/s C 58,61 mm/s D 33,84 mm/s Hướng dẫn (t2 ) (t1 ) C 20 u 20 u 8 B D C B D  20  cos   A A       2 + Mặc khác sin    cos    → A  20   29 mm 2     + Dựa vào hình vẽ ta có: sin + Tại thời điểm t1 điểm D biên dương, thời điểm t2 ứng với góc quét   t  + Vậy li độ điểm D là: uD  Asin  6,6 mm 2 rad Tốc độ dao động D: v   A2  uD2  64, 41 mm/s → Đáp án A Dạng 5: Khoảng cách hai phần tử sóng không gian  PHƯƠNG PHÁP GIẢI u M uM u x d x O uN N Xét lan truyền sóng – sóng ngang mơi trường đàn hồi Hai điểm M N phương truyền sóng cách khoảng x Tại thời điểm t , li độ hai phần tử uM uN Khoảng cách M N thời điểm t xác định biểu thức d  x  u  x   uM  u N  Bùi Xuân Dương – 0914 082 600 → Khoảng cách hai điểm M N cực đại umax , với u  uM  uN umax  aM2  aM2  2aM aN cos   a 1  cos   , với cos  độ lệch pha hai dao động M N + Với trường hợp sóng truyền qua mơi trường sóng dọc, khoảng cách hai điểm M N phương truyền sóng xác định biểu thức d  x  u Vị trí cân N Vị trí cân M x x O uN uM → Ta cần lưu ý sóng dọc sóng mà phương dao động phần tử sóng trùng với phương truyền sóng  VÍ DỤ MINH HỌA Ví dụ 1: Hai điểm M N mặt nước phẳng cách 12 cm Tại điểm O đường thẳng MN nằm MN người ta đặt nguồn dao động với phương trình u  2,5 cos 20 t cm, tạo sóng lan truyền mặt nước với tốc độ 1,6 m/s Khoảng cách xa hai phần tử sóng M, N có sóng truyền qua là: A 13 cm B 15 cm C 19 cm D 15,5 cm Hướng dẫn 2x x 20 12 + Độ lệch pha hai phần tử sóng M N:      1,5 → M N dao động vuông  v 160 pha Khoảng cách hai phần tử d  x  u → d max umax + Ta có u  uM  uN , umax  aM2  aN2  với M  2,5    2,5  2 N dao động vuông pha →  cm → d max  122  52  13 cm → Đáp án A Ví dụ 2: (THPT Ba Đình – 2016) Một sóng ngang lan truyền mơi trường đàn hồi với tần số 50 Hz, tốc độ truyền sóng m/s, biên độ sóng khơng đổi theo phương truyền sóng cm Biết A B hai điểm phương truyền sóng Khi chưa có sóng truyền khoảng cách từ nguồn phát sóng đến hai điểm A B 20 cm 42 cm Khi có sóng truyền qua, khoảng cách lớn hai điểm A 32 cm B 28,4 cm C 23,4 cm D 30 cm Hướng dẫn v 200  cm + Bước sóng sóng    f 50 → Độ lệch pha dao động hai điểm A B có sóng truyền qua 2x 2  42  20   AM    11 → M N dao động ngược pha  + Khoảng cách hai điểm M N d max  x  umax  → Đáp án C  42  20    2.4  2  23, cm Bùi Xuân Dương – 0914 082 600 Ví dụ 3: (Hoằng Hóa – 2017) M N hai điểm mặt nước phẳng lặng cách khoảng 20 cm Tại điểm O đường thẳng MN nằm đoạn MN, người ta đặt nguồn dao động theo phương vuông góc với mặt nước với phương trình u  5cos t cm, tạo sóng mặt nước với bước sóng   15 cm Khoảng cách xa hai phần tử môi trường M N có sóng truyền qua bao nhiêu? A 25 cm B 20,52 cm C 23 cm D 21, 79 cm Hướng dẫn 2 x 8 2 + Độ lệch pha hai điểm M N: MN  rad   2   3 2 N M Khoảng cách M N lớn hiệu li độ chúng lớn Ta có umax  52  52  2.5.5cos1200  cm → Vậy khoảng cách lớn M N   dmax  x  uma 202  x  u 5 5  21,79 cm → Đáp án D Ví dụ 4: (Huỳnh Thúc Kháng – 2017) Một sóng ngang truyền sợi dây với tốc độ biên độ không đổi, bước sóng 60 cm Hai phần tử sóng M, N có vị trí cân cách 10 cm Tại thời điểm ly độ M, N đối chúng cách 12,5 cm Biên độ sóng A 2,5 cm B 12,5 cm C 7,5 cm D cm Hướng dẫn + Ta có d  x   2u  → 2,52  102   2u  → u  3, 75 cm 2 2x N 2 10    60 Từ hình vẽ ta thấy A  2uM  2.3,75  7,5 cm → Đáp án C + Độ lệch pha hai phần tử   M   A 3, 75 3, 75 u A Ví dụ 5: Một nguồn phát sóng dọc O có phương trình uO  cos  4 t  cm, tốc độ truyền sóng 30 cm/s Gọi M N hai phần tử phương truyền sóng có độ lệch pha 2 rad Khoảng cách nhỏ hai phần tử M N q trình truyền sóng A 1,5 cm B 2,5 cm C 7,5 cm D cm Hướng dẫn 2 v 2 30 + Bước sóng sóng     15 cm  4 2x 2 2x 2 → Với độ lệch pha hai phần tử sóng   ↔ → x  cm   15  + Khoảng cách hai phần tử sóng dọc d  x  u → d umin  a 1  cos    → Khoảng cách nhỏ chúng d   2  cos1200    1,5 cm → Đáp án A Bùi Xuân Dương – 0914 082 600 Dạng 5: Bài toán liên quan đến lan truyền sóng nước theo nhiều phương  PHƯƠNG PHÁP GIẢI Nguồn sóng O mặt nước lan truyền sóng phương, điểm cách nguồn O khoảng nguyên lần bước sóng dao động pha với O, điểm cách nguồn O số bán nguyên lần bước sóng dao động ngược pha với O → Quỹ tích điểm pha với O đường tròn có bán kính k  , quỹ tích điểm ngược pha với nguồn đường tròn bán kính  k  0,5   + Nếu thời điểm nguồn O dao động với biên độ cực đại, vị trí dao động cực đại biểu diễn nét liền, vị trí dao động cực tiểu biểu diễn nét đứt, hình ảnh sóng truyền mặt nước có dạng hình vẽ → Tùy vào điều kiện hình học tốn, ta xác định xác vị trí dao động cực đại cực tiểu mặt nước   O  VÍ DỤ MINH HỌA Ví dụ 1: Một nguồn phát sóng dao động điều hòa tạo sóng tròn đồng tâm O truyền mặt nước với bước sóng  Gọi (C) đường tròn thuộc mặt nước với bán kính 4 qua O mà phần tử nước dao động Trên (C), số điểm mà phần tử nước dao động pha với dao động nguồn O là: A B 16 C 15 D Hướng dẫn + Đường kính đường tròn d  R  8 Các điểm pha với O nằm đường tròn cách khoảng  d → Xét tỉ số  → đường tròn có 15 điểm pha với O  → Đáp án C Ví dụ 2: (Quốc gia – 2013) Một nguồn phát sóng dao động điều hòa tạo sóng tròn đồng tâm O truyền mặt nước với bước sóng  Hai điểm M N thuộc mặt nước, nằm hai phương truyền sóng mà phần tử nước dao động Biết OM  8 ; ON  12 OM vng góc ON Trên đoạn MN, số điểm mà phần tử nước dao động ngược pha với dao động nguồn O là: A B C D Hướng dẫn + Gọi I điểm nằm trêm MN Để đơn giản, ta chọn   N 2 d Độ lệch pha dao động nguồn I là:     2k  1    I → d   2k  1  k  2 H → Với H chân đường cao kẻ từ O, ta có 12 d OM ON 8.12 OH    6, 4,8 OM  ON 82  122 + Số điểm dao động ngược pha với nguồn đoạn NH thoãn mãn khoảng giới O M hạn d OH  d  ON ↔ 6,7  k   12 → 6,  k  11,5 → có điểm + Số điểm dao động ngược pha với nguồn đoạn MH thõa mãn khoảng giới hạn d OH  d  OM ↔ 6,  k   → 6,  k  7,5 → có điểm → Trên MN có điểm dao động ngược pha với nguồn → Đáp án B Bùi Xuân Dương – 0914 082 600 Chú ý: Ở ta không xác định trực tiếp số điểm cực pha với nguồn MN dựa vào khoảng giá trị ON  d  OM lặp lại giá trị d Ví dụ 3: (Sở Nam Định – 2017) Một nguồn phát sóng dao động điều hòa theo phương thẳng đứng với tần số f  Hz tạo sóng tròn đồng tâm O truyền mặt chất lỏng có tốc độ 0,2 m/s Hai điểm M N thuộc mặt chất lỏng mà phần tử N dao động pha với phần tử chất lỏng O phần tử M dao động ngược pha với phần tử dao động O Không kể phần tử chất lỏng O, số phần tử chất lỏng dao động pha với phần tử chất lỏng O đoạn MO 8, đoạn NO MN Khoảng cách lớn hai điểm M N có giá trị gần giá trị sau đây? A 32 cm B 34 cm C 15 cm D 17 cm Hướng dẫn + Các đường tròn nét liền biểu diễn điểm pha với nguồn Điểm M nằm N đỉnh sóng thứ kể từ nguồn sóng O, N nằm điểm ngược pha gần so ON  8,5 với đỉnh sóng thứ kể từ O,  ON  5 Từ hình vẽ ta thấy rằng, với điều kiện để MN có điểm pha với O O M rõ ràng MN lớn MN vng góc với OM MN  ON  OM  34 cm → Đáp án B Ví dụ 4: (Triệu Sơn II – 2018) Một sóng hình sin lan truyền mặt nước từ nguồn O với bước sóng  Ba điểm A, B, C hai phương truyền sóng cho OA vng góc với OC B điểm thuộc tia OA cho OB  OA Biết OA  7 Tại thời điểm người ta quan sát thấy A B có đỉnh sóng (kể A B) lúc góc ACB đạt giá trị lớn Số điểm dao động ngược pha với nguồn đoạn AC A B C D Hướng dẫn Giữa A B có đỉnh sóng với A, B đỉnh sóng → AB  4 Để đơn C giản, ta chọn    7  4  tan   h 4 h h  + Ta có:  → tan       tan C  77 77  tan   11 1 h  h h h → Từ biểu thức trên, ta thấy góc ACB lớn h  77 + Gọi M điểm AC, để M ngược pha với nguồn 2 d M   2k  1  → d M   2k  1 0,5 O A B  + Với khoảng giá trị d M , tính phía C từ đường vng góc O lên AC: 5, 47  d M  8,7 , kết hợp với chức Mode → ta tìm vị trí + Tương tự ta xét đoạn phía A: 5, 47  dM  ta tìm vị trí → Trên AC có vị trí → Đáp án C Ví dụ 5: (Chuyên Phan Bội Châu – 2018) Một nguồn sóng điểm O mặt nước dao động điều hòa theo phương thẳng đứng với tần số 10 Hz Tốc độ truyền sóng mặt nước 40 cm/s Gọi A B hai điểm mặt nước có vị trí cân cách O đoạn 12 cm 16 cm mà OAB tam giác vuông O Tại thời điểm mà phần tử O vị trí cao đoạn AB có điểm mà phần tử vị trí cân ? A 10 B C D Hướng dẫn Bùi Xuân Dương – 0914 082 600 Bước sóng sóng   v 40   cm f 10 A  OA 12     M + Ta để ý   OB  16    B O → Tại thời điểm O vị trí cao (đỉnh gợn sóng) A B định gợn thứ thứ + Áp dụng hệ thức lượng tam giác vuông 1 1 1 ↔ 2 2 → OM  9, cm   2 12 16 OM OA OB OM → Khi O đỉnh cực đại AB có đỉnh thứ thứ qua + Ta để ý đỉnh sóng thứ hai có bán kính 2.4  cm, hai sóng liên tiếp có hai dãy phần tử vị trí cân cách đỉnh 0, 25 0, 75 → dãy phần tử vị trí cân nằm đỉnh thứ hai thứ cách O   cm    11 cm → AB có dãy phần tử ứng với bán kính 11 cm qua + Giữa hai đỉnh sóng thứ thứ có hai dãy phần tử mơi trường vị trí cân → Có tất vị trí phần tử mơi trường vị trí cân → Đáp án C III BÀI TẬP RÈN LUYỆN   t x     mm, x tính cm, Câu 1: Cho sóng ngang có phương trình sóng u  8cos  2    0,1 50   t tính giây Bước sóng A 0,1 m B 50 cm C mm D m Hướng dẫn 2 2 + Từ phương trình sóng ta có →   50 cm   50 → Đáp án B Câu 2: Một người quan sát phao mặt biển thấy nhơ lên cao 10 lần 18 s Khoảng cách hai sóng kề m Tốc độ truyền sóng mặt biển A m/s B m/s C m/s D 4,5 m/s Hướng dẫn + Khoảng thời gian phao nhô lên 10 lần ứng với t  9T  18 s → T  s  Khoảng cách hai sóng liền kề   m → v    m/s T → Đáp án C x  Câu 3: Một sóng truyền dọc theo trục Ox với phương trình u  cos  20 t   mm Tần số dao động   sóng A 40 Hz B 20 Hz C Hz D 10 Hz Hướng dẫn + Từ phương trình sóng, ta có   20 rad/s → f  10 Hz → Đáp án D Câu 4: Sóng có tần số 80 Hz lan truyền môi trường với vận tốc m/s Dao động phần tử vật chất hai điểm phương truyền sóng cách nguồn sóng đoạn 31 cm 33,5 cm, lệch pha góc   A rad B  rad C 2 rad D rad Hướng dẫn Bùi Xuân Dương – 0914 082 600 v 400   cm f 80 + Bước sóng sóng   → Độ lệch pha  hai phần tử   2d   2  33,5  31  → Đáp án B  t x Câu 5: Một sóng mơ tả phương trình u  A cos 2    Tốc độ cực đại phần tử môi T   trường lần tốc độ truyền sóng A A A   B    A C   D   2 A Hướng dẫn A + Ta có vmax  4v ↔  A  4v →   → Đáp án C Câu 6: Tại hai điểm AB phương truyền sóng cách cm có phương trình sau     uM  cos  4 t   cm; uN  2cos  4 t   cm Hãy xác định sóng truyền nào? 3 6   A Truyền từ M đến N với vận tốc 96 m/s B Truyền từ N đến M với vận tốc 0,96 m/s C Truyền từ M đến N với vận tốc 0,96 m/s D Truyền từ N đến M với vận tốc 96 m/s Hướng dẫn + Ta có  NM       → N sớm pha M → sóng truyền từ N đến M 6 2 MNf  Kết hợp với    → v  12.MN f  12.0, 04.2  0,96 m/s v → Đáp án B Câu 7: Sóng mặt nước truyền với vận tốc 32 m/s, tần số dao động nguồn 50 Hz Có hai điểm M N dao động ngược pha Biết hai điểm M N có điểm khác dao động pha với M Khoảng cách hai điểm M, N A 2,28 m B 1,6 m C 0,96 m D 2,24 m Hướng dẫn  v 32   64 f 50 cm + Bước sóng sóng M N ngược pha, MN có điểm pha với M → MN        0,5  224 cm → Đáp án D Câu 8: Một sóng hình sin truyền theo phương Ox từ nguồn O với tần số 20 Hz, có tốc độ truyền sóng nằm khoảng từ 0,7 m/s đến m/s Gọi A B hai điểm nằm Ox, phía so với O cách 10 cm Hai phần tử môi trường A B dao động ngược pha với Bước sóng sóng A cm B cm C 4,25 cm D 4,5 cm Hướng dẫn + Độ lệch pha hai điểm A B: 2xAB f m/s  AB    2k  1  → v  v 2k  + Với khoảng giá trị vận tốc → v  0,8 m/s →   cm → Đáp án B Câu 9: (Chuyên Phan Bội Châu – 2018) Một sóng ngang truyền theo phương Ox từ O với chu kỳ sóng 0,1 s Tốc độ truyền sóng 2,4 m/s Điểm M Ox cách O đoạn 65 cm Trên đoạn OM có số điểm dao động ngược pha với M A B C D Hướng dẫn + Bước sóng sóng   vT  24 24 cm + Điểm dao động ngược pha với M cách M đoạn 0,5  12 cm Bùi Xuân Dương – 0914 082 600 OM 65   5, 42 → Có điểm ngược pha với M ứng với giá trị k 1, 0,5 12 → Đáp án B Câu 10: Một sóng học lan truyền mặt nước với tốc độ 25 cm/s Phương trình sóng nguồn u  3cos  t cm Coi biên độ sóng thay đổi khơng đáng kể Vận tốc phần tử vật chất điểm M cách O khoảng 25 cm thời điểm t  2,5 s A 3 cm/s B 25 cm/s C D 3 cm/s Câu 34: 2 v + Bước sóng sóng    50 cm → Xét tỉ số  → Phương trình dao động M: uM  3cos  t    → vM  3 sin  t    cm/s + Tại t  2,5 s → vM  3 cm/s → Đáp án A Câu 11: Trên mặt nước có hai điểm A B phương truyền sóng, cách phần tư bước sóng Tại thời điểm t mặt thoáng A B cao vị trí cân 0,3 mm 0,4 mm, mặt thoáng A lên B xuống Coi biên độ sóng khơng đổi đường truyền sóng Sóng có A biên độ 0,5 mm, truyền từ A đến B B biên độ 0,5 mm, truyền từ B đến A C biên độ 0,7 mm, truyền từ B đến A D biên độ 0,7 mm, truyền từ A đến B Hướng dẫn 2x  + Độ lệch pha hai điểm A B:    → hai dao động vng pha → biên độ sóng  A  0,32  0, 42  0,5 mm + Tại thời điểm t A lên B xuống → Phần tử B nằm trước đỉnh sóng, phần tử A nằm sau đỉnh sóng sóng truyền từ B đến A → Đáp án B Câu 12: Một sóng hình sin truyền theo phương Ox từ nguồn O với tần số 20 Hz có tốc độ truyền sóng nằm khoảng từ 45 cm/s đến 60 cm/s Gọi A B hai điểm nằm Ox , phía so với O nằm cách 10 cm Hai phần tử môi trường A B dao động pha với Tốc độ truyền sóng là: A 45 cm/s B 50 cm/s C 60 cm/s D 55 cm/s Hướng dẫn + Độ lệch pha dao động hai phần tử A B xf 200 2xf cm/s  AB    2k → v  k v k + Với khoảng giá trị tốc độ truyền sóng → Kết hợp với chức Mode → Casio ta tìm v  55 cm/s → Đáp án D Câu 13: Một sóng lan truyền mặt nước có tần số f = 20 Hz, tốc độ truyền sóng 160 cm/s Hai điểm  gần hướng truyền sóng lệch pha cách A 0,5 cm Hướng dẫn B cm + Độ lệch pha hai điểm   C 1,5 cm D cm v 160 2xf    0,5 cm  → x  16 f 16.20 v → Đáp án A Câu 14: (Chuyên Thái Nguyên – 2018) Nguồn sóng O dao động với tần số 10 Hz truyền với vận tốc 0,4 m/s theo phương Ox Trên phương có điểm P Q theo thứ tự PQ  15 cm Cho biên độ sóng a  cm biên độ không thay đổi sóng truyền Nếu thời điểm P có li độ cm li độ Q A cm B –1 cm C 0,5 cm D cm Hướng dẫn Bùi Xuân Dương – 0914 082 600 + Độ lệch pha hai điểm P Q:  PQ  2xPQ f v  2 0,15.10  7,5 rad 0, → P Q dao động vng pha → P có li độ biên độ Q có li độ → Đáp án A Câu 15: Sóng hình sin truyền từ N đến M, chu kỳ T Biết N cách M khoảng M vị trí cao nhất, sau N vị trí cao nhất? T 11T T A B C 12 12 Hướng dẫn 2xNM 2   + Độ lệch pha theo không gian M N:  NM      12 → Biễu diễn dao động M N tương ứng đường tròn Từ hình vẽ, ta thấy thời gian để N đến vị trí cao T 11T t  T   12 12 → Đáp án B D  12 Tại thời điểm T N t  u M Câu 16: Một sóng truyền sợi dây đàn hồi dài với tần số 500 Hz, người ta thấy khoảng cách hai điểm gần dao động pha 80 cm Tốc độ truyền sóng dây A 16 m/s B 400 cm/s C 400 m/s D 6,25 m/s Hướng dẫn + Khoảng cách hai điểm gần dao động pha bước sóng →   80 cm → Tốc độ truyền sóng v   f  0,8.500  400 m/s → Đáp án C Câu 17: (Chuyên KHTN – 2017) Cho sóng ổn định, truyền sợi dây dài từ đầu Tốc độ truyền sóng dây 2,4 m/s, tần số sóng 20 Hz, biên độ sóng mm Hai điểm M N dây cách 37 cm, sóng truyền từ M đến N Tại thời điểm t , sóng M có li độ –2 mm vị trí cân Vận tốc sóng N thời điểm t  1,1125 s A 16 cm/s Hướng dẫn B 8 3 cm/s D 8 cm/s C 3 mm/s v 240   12 cm f 20 + Độ lệch pha dao động phần tử sóng M phần tử sóng N, hai thời điểm t t  1,1125 s: 2x 2 37 152 rad  NM  t   40  1,1125    12 2 → Ta tách  NM  50  rad + Biểu diễn dao động M N tương ứng đường tròn → Tại thời điểm t  1,1125 s, ta có Bước sóng sóng   N t 1,1125  23 4 2 u 4 Mt 3 vmax   40  8 3 cm/s 2 → Đáp án B Câu 18: (Chuyên Vinh – 2018) Một sóng truyền dọc theo sợi dây đàn hồi dài với biên độ mm Tại thời điểm, hai phần tử dây lệch khỏi vị trí cân mm, chuyển động ngược chiều với độ lớn vận tốc 0,3 cm/s cách khoảng ngắn cm (tính theo phương truyền sóng) Tốc độ truyền sóng A 0,6 m/s B 12 cm/s C.2,4 m/s D 1,2 m/s Hướng dẫn v Bùi Xuân Dương – 0914 082 600 + Hai điểm li độ, chuyển động ngược chiều gần tương 2 d 2  ứng với   → d   cm → d  24 cm   3 2 3 u Tốc độ dao động vị trí có li độ nửa biên độ v  A↔ A A A 0,3  0, 6 →    rad/s  24. → Vận tốc truyền sóng v    12 cm/s 2 2 → Đáp án B Câu 19: (THPT Lý Thái Tổ – 2017) Một sóng lan truyền mặt thống chất lỏng nằm ngang với tần số 10 Hz, tốc độ truyền sóng 1,2 m/s Hai điểm M N thuộc mặt thống, phương truyền sóng cách 26 cm (M nằm gần nguồn N) Tại thời điểm t , điểm N hạ xuống thấp Khoảng thời gian ngắn sau điểm M hạ xuống thấp 11 1 A s B s C s D s 120 120 12 60 Hướng dẫn v 120  12 cm Bước sóng sóng    f 10 + Gọi t  thời điểm M hạ xuống vị trí thấp → Độ lệch pha hai điểm M N hai thời điểm tương ứng t  t 2xNM 2 26 MN  t   20t   2  2k → tmin  s, ứng với k   12 12 → Đáp án C Câu 20: (Quãng xương – 2017) Trên sợi dây có ba điểm M, N P sóng chưa lan truyền N trung điểm MP Khi sóng truyền từ M đến P với biên độ khơng đổi vào thời điểm t1 M P hai điểm gần mà phần tử có li độ tương ứng –6 mm +6 mm vào thời điểm gần t2  t1  0,75 s li độ phần tử M P +2,5 mm Tốc độ dao động phần tử N vào thời điểm t1 có giá trị gần A 4,1 cm/s B 2,8 cm/s Hướng dẫn C 1,4 cm/s (t1 ) D cm/s (t2 ) M   A 6 u A  u A A P  sin   + Từ hình vẽ ta có:  cos   2    2,5  A →     → A  6,5 cm,   67,50  2,5  A  A  A → Khoảng thời gian t  0, 75 s ứng với góc quét   2700 → t  T → T  s + Tại thời điểm t1 N qua vị trí cân vN   A  13 cm/s → Đáp án A Bùi Xuân Dương – 0914 082 600 Câu 21: (Chuyên Phan Bội Châu – 2017) Lúc t  , đầu O sợi dây cao su bắt đầu dao động lên với chu kì s Biên độ cm, tạo thành sóng lan truyền dây với tốc độ m/s Điểm M dây cách O đoạn 1,4 m Thời điểm để phần tử M đến vị trí thấp vị trí cân 2,5 cm xấp xỉ A 1,2 s B 2,5 s C 1,8 s D s Hướng dẫn Bước sóng sóng   Tv  2.2  m → Thời điểm gần để M đến vị trí thấp vị trí cân 2,5 cm bao gồm OM 1, thời gian cần thiết để sóng truyền từ O đến M t0    0,7 s thời v gian để M dao động từ vị trí cân đến vị trí u  2,5 cm u T T 2,5  5 t  t0    0,7    1,87 s 12 12 → Đáp án C Câu 22: (Sở Thanh Hóa – 2018) Một sóng truyền sợi dây dài từ đầu dây với biên độ không đổi mm, tốc độ truyền sóng dây 2,4 m/s, tần số sóng 20 Hz Hai điểm M N dây cách 37 cm, sống truyền từ M đến N Tại thời điểm t, sóng M có li độ ‒2 mm M vị trí 89 cân Vận tốc dao động điểm N thời điểm t  s 90 A 80 3 mm/s Hướng dẫn B 8 3 cm/s C ‒8π cm/s D 16π cm/s v  12 cm f → Độ lệch pha hai điểm M N là: 2 MN 37  89  MN    t    40    63 rad → M N hai thời điểm dao động ngược pha   80  → M có li độ uM  2 mm hướng vị trí cân bằng uN  2 mm hướng vị trí cân → vN    A  80 3 mm/s → Đáp án A + Bước sóng sóng   Câu 23: (Chuyên Sp HN – 2018) Sóng lan truyền qua điểm M đến điểm N nằm phương truyền sóng Bước sóng 40 cm Khoảng cách MN 90 cm Coi biên độ sóng khơng đổi q trình truyền sóng Tại thời điểm phần tử vật chất M có li độ cm phần tử vật chất N có tốc độ 125,6 cm/s Sóng có tần số A 18 Hz B 12 Hz C 15 Hz D 10 Hz Hướng dẫn 2 MN 2 90 + Độ lệch pha hai điểm M N:     4,5  4  0,5 rad  40 v 125,  20 rad/s → Hai dao động vuông pha → vận tốc N pha với li độ M →   N  uM → Tần số sóng f  10 Hz → Đáp án D  Câu 24: (Chuyên Thái Bình – 2018) Hai điểm M, N cách nằm nửa đường thẳng xuất phát từ nguồn sóng, sóng truyền từ N đến M Tại thời điểm t , li độ dao động M cm chuyển động theo chiều dương, li độ dao động N –6 cm Khi phần tử M chuyển động đến biên lần thứ hai kể từ thời điểm t li độ sóng N là: Bùi Xuân Dương – 0914 082 600 C 3 cm B 2 cm A cm Hướng dẫn: 2xMN D cm 2 rad  + Biễu diễn vị trí tương ứng M N đường tròn thời điểm t → A  cm A + Khi M đến biên uN    2 cm → Đáp án B x + Độ lệch pha M N:  MN   Câu 25: (Kim Sơn – 2018) Một sóng lan truyền từ nguồn O, dọc theo trục Ox với biên độ sóng khơng đổi, chu kì sóng T bước sóng λ Biết thời điểm t  , phần tử O qua vị trí cân theo chiều dương  5T thời điểm t  phần tử điểm M cách O đoạn d  có li độ –2 cm Biên độ sóng 6 A cm B 2 cm C cm D cm Hướng dẫn: + Độ lệch pha hai phần tử M O: 2 d 4 rad     t   → Biểu diễn dao động M O tương ứng đường tròn, ta thấy uM  cm A → A → Đáp án A Câu 26: Sóng dọc lan truyền mơi trường với bước sóng 15 cm với biên độ không đổi A = A  cm Gọi M N hai điểm nằm phương truyền sóng mà chưa có sóng truyền đến cách nguồn khoảng 20 cm 30 cm Khoảng cách xa gần phần tử mơi trường M N có sóng truyền qua bao nhiêu? A lmax  25 mm, lmin  B lmax  25 mm, lmin  25 D lmax  250 cm, lmin  C lmax  25 cm, lmin  Hướng dẫn N 7,5 4 M 7,5 u A u  A 7,5 A 4 7,5  A N M Khoảng cách lớn Khoảng cách nhỏ 2x 2 10 4   15 → Khoảng cách hai điểm MN d  x  x , với x khoảng cách thêm vào dao động dọc theo phương truyền sóng A theo chiều dương N đến + Từ hình vẽ ta có: lmax  25 cm (ứng với M chuyển động đến vị trí uM   A theo chiều dương) vị trí u N   + Độ lệch pha dao động hai điểm MN:    Bùi Xuân Dương – 0914 082 600 + lmin  (ứng với M chuyển động đến vị trí uM  âm) → Đáp án C 3 A theo chiều âm N đến vị trí uN  A theo chiều 2 ... truyền sóng, cách nguồn sóng 10 cm  3    A u  cos  2 t   cm B u  cos  2 t   cm  4   3     C u  cos  2 t  D u  cos  2 t   cm  cm  2   Hướng dẫn + Phương trình... dạng uM  a cos  2 ft   phương trình dao động phần 6  tử vật chất O có dạng: d d   A uO  a cos 2  ft    B uO  a cos 2  ft    12   12     d d   C uO  a cos   ft... dạng uM  t   a cos 2 ft phương trình dao động phần tử vật chất O d d   A uO  t   a cos 2  ft   B uO  t   a cos 2  ft       d d   C uO  t   a cos   ft  