CHUYÊN ĐỀ - PHẤN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ CÁC PHƢƠNG PHÁP VÀ BÀI TẬP: I TÁCH MỘT HẠNG TỬ THÀNH NHIỀU HẠNG TỬ: * Định lí bổ sung: + Đa thức f(x) có nghiệm hữu tỉ có dạng p/q p ƣớc hệ số tự do, q ƣớc dƣơng hệ số cao + Nếu f(x) có tổng hệ số f(x) có nhân tử x – + Nếu f(x) có tổng hệ số hạng tử bậc chẵn tổng hệ số hạng tử bậc lẻ f(x) có nhân tử x + + Nếu a nghiệm nguyên f(x) f(1); f(- 1) khác f(-1) f(1) số nguyên a+1 a-1 Để nhanh chóng loại trừ nghiệm ƣớc hệ số tự Ví dụ 1: 3x2 – 8x + Cách 1: Tách hạng tử thứ 3x2 – 8x + = 3x2 – 6x – 2x + = 3x(x – 2) – 2(x – 2) = (x – 2)(3x – 2) Cách 2: Tách hạng tử thứ nhất: 3x2 – 8x + = (4x2 – 8x + 4) - x2 = (2x – 2)2 – x2 = (2x – + x)(2x – – x) = (x – 2)(3x – 2) Ví dụ 2: x3 – x2 - Ta nhân thấy nghiệm f(x) có x = 1; 2; 4 , có f(2) = nên x = nghiệm f(x) nên f(x) có nhân tử x – Do ta tách f(x) thành nhóm có xuất nhân tử x – Cách 1: x3 - x2 – =  x3  2x    x  2x    2x    x  x    x(x  2)  2(x  2) =  x  2  x  x  2 Cách 2: x  x   x   x    x  8   x    (x  2)(x  2x  4)  (x  2)(x  2) =  x    x  2x    (x  2)   (x  2)(x  x  2) Ví dụ 3: f(x) = 3x3 – 7x2 + 17x – Nhận xét: 1, 5 không nghiệm f(x), nhƣ f(x) nghiệm ngun Nên f(x) có nghiệm nghiệm hữu tỉ Ta nhận thấy x = nghiệm f(x) f(x) có nhân tử 3x – Nên f(x) = 3x3 – 7x2 + 17x – = 3x3  x  6x  2x  15x    3x  x    6x  2x   15x  5 = x (3x  1)  2x(3x  1)  5(3x  1)  (3x  1)(x  2x  5) Vì x  2x   (x  2x  1)   (x  1)   với x nên khơng phân tích đƣợc thành nhân tử Ví dụ 4: x3 + 5x2 + 8x + Nhận xét: Tổng hệ số hạng tử bậc chẵn tổng hệ số hạng tử bậc lẻ nên đa thức có nhân tử x + x3 + 5x2 + 8x + = (x3 + x2 ) + (4x2 + 4x) + (4x + 4) = x2(x + 1) + 4x(x + 1) + 4(x + 1) = (x + 1)(x2 + 4x + 4) = (x + 1)(x + 2)2 Ví dụ 5: f(x) = x5 – 2x4 + 3x3 – 4x2 + Tổng hệ số nên đa thức có nhân tử x – 1, chia f(x) cho (x – 1) ta có: http://topdoc.vn - File word sách tham khảo,đề thi, giáo án dạy thêm, x5 – 2x4 + 3x3 – 4x2 + = (x – 1)(x4 - x3 + x2 - x - 2) Vì x4 - x3 + x2 - x - nghiệm ngun khơng có nghiệm hữu tỉ nên khơng phân tích đƣợc 6.Ví dụ 6: x4 + 1997x2 + 1996x + 1997 = (x4 + x2 + 1) + (1996x2 + 1996x + 1996) = (x2 + x + 1)(x2 - x + 1) + 1996(x2 + x + 1)= (x2 + x + 1)(x2 - x + + 1996) = (x2 + x + 1)(x2 - x + 1997) Ví dụ 7: x2 - x - 2001.2002 = x2 - x - 2001.(2001 + 1) = x2 - x – 20012 - 2001 = (x2 – 20012) – (x + 2001) = (x + 2001)(x – 2002) II THÊM , BỚT CÙNG MỘT HẠNG TỬ: Thêm, bớt số hạng tử để xuất hiệu hai bình phƣơng: a) Ví dụ 1: 4x4 + 81 = 4x4 + 36x2 + 81 - 36x2 = (2x2 + 9)2 – 36x2 = (2x2 + 9)2 – (6x)2 = (2x2 + + 6x)(2x2 + – 6x) = (2x2 + 6x + )(2x2 – 6x + 9) b) Ví dụ 2: x8 + 98x4 + = (x8 + 2x4 + ) + 96x4 = (x4 + 1)2 + 16x2(x4 + 1) + 64x4 - 16x2(x4 + 1) + 32x4 = (x4 + + 8x2)2 – 16x2(x4 + – 2x2) = (x4 + 8x2 + 1)2 - 16x2(x2 – 1)2 = (x4 + 8x2 + 1)2 - (4x3 – 4x )2 = (x4 + 4x3 + 8x2 – 4x + 1)(x4 - 4x3 + 8x2 + 4x + 1) Thêm, bớt số hạng tử để xuất nhân tử chung a) Ví dụ 1: x7 + x2 + = (x7 – x) + (x2 + x + ) = x(x6 – 1) + (x2 + x + ) = x(x3 - 1)(x3 + 1) + (x2 + x + ) = x(x – 1)(x2 + x + ) (x3 + 1) + (x2 + x + 1) = (x2 + x + 1)[x(x – 1)(x3 + 1) + 1] = (x2 + x + 1)(x5 – x4 + x2 - x + 1) b) Ví dụ 2: x7 + x5 + = (x7 – x ) + (x5 – x2 ) + (x2 + x + 1) = x(x3 – 1)(x3 + 1) + x2(x3 – 1) + (x2 + x + 1) = (x2 + x + 1)(x – 1)(x4 + x) + x2 (x – 1)(x2 + x + 1) + (x2 + x + 1) = (x2 + x + 1)[(x5 – x4 + x2 – x) + (x3 – x2 ) + 1] = (x2 + x + 1)(x5 – x4 + x3 – x + 1) * Ghi nhớ: Các đa thức có dạng x3m + + x3n + + nhƣ: x7 + x2 + ; x7 + x5 + ; x8 + x4 + ; x5 + x + ; x8 + x + ; … có nhân tử chung x2 + x + III ĐẶT BIẾN PHỤ: Ví dụ 1: x(x + 4)(x + 6)(x + 10) + 128 = [x(x + 10)][(x + 4)(x + 6)] + 128 = (x2 + 10x) + (x2 + 10x + 24) + 128 Đặt x2 + 10x + 12 = y, đa thức có dạng (y – 12)(y + 12) + 128 = y2 – 144 + 128 = y2 – 16 = (y + 4)(y – 4) = ( x2 + 10x + )(x2 + 10x + 16 ) = (x + 2)(x + 8)( x2 + 10x + ) Ví dụ 2: A = x4 + 6x3 + 7x2 – 6x + Giả sử x  ta viết x4 + 6x3 + 7x2 – 6x + = x2 ( x2 + 6x + – Đặt x - 1 2 )+7] + ) = x [(x + ) + 6(x x x x x 1 = y x2 + = y2 + 2, x x A = x2(y2 + + 6y + 7) = x2(y + 3)2 = (xy + 3x)2 = [x(x - ) + 3x]2 = (x2 + 3x – 1)2 x * Chú ý: Ví dụ giải cách áp dụng đẳng thức nhƣ sau: A = x4 + 6x3 + 7x2 – 6x + = x4 + (6x3 – 2x2 ) + (9x2 – 6x + ) = x4 + 2x2(3x – 1) + (3x – 1)2 = (x2 + 3x – 1)2 http://topdoc.vn - File word sách tham khảo,đề thi, giáo án dạy thêm, Ví dụ 3: A = (x  y2  z )(x  y  z)2  (xy  yz+zx) 2 2 2 2 = (x  y  z )  2(xy  yz+zx)  (x  y  z )  (xy  yz+zx) Đặt x  y2  z = a, xy + yz + zx = b ta có A = a(a + 2b) + b2 = a2 + 2ab + b2 = (a + b)2 = ( x2  y  z + xy + yz + zx)2 Ví dụ 4: B = 2( x4  y  z )  ( x2  y  z )2  2( x2  y  z )( x  y  z )2  ( x  y  z )4 Đặt x4 + y4 + z4 = a, x2 + y2 + z2 = b, x + y + z = c ta có: B = 2a – b2 – 2bc2 + c4 = 2a – 2b2 + b2 - 2bc2 + c4 = 2(a – b2) + (b –c2)2 Ta lại có: a – b2 = - 2( x2 y  y z  z x2 ) b –c2 = - 2(xy + yz + zx) Do đó: B = - 4( x y2  y2z  z x ) + (xy + yz + zx)2  4x y2  4y2z  4z x  4x y  4y 2z  4z x  8x yz  8xy 2z  8xyz  8xyz(x  y  z) Ví dụ 5: (a  b  c)3  4(a  b3  c3 )  12abc Đặt a + b = m, a – b = n 4ab = m2 – n2 a3 + b3 = (a + b)[(a – b)2 + ab] = m(n2 + m2 - n ) Ta có: m3 + 3mn  4c3  3c(m2 - n ) = 3( - c3 +mc2 – mn2 + cn2) C = (m + c) – 4 = 3[c2(m - c) - n2(m - c)] = 3(m - c)(c - n)(c + n) = 3(a + b - c)(c + a - b)(c - a + b) IV PHƢƠNG PHÁP HỆ SỐ BẤT ĐỊNH: Ví dụ 1: x4 - 6x3 + 12x2 - 14x + Nhận xét: số  1,  không nghiệm đa thức, đa thức khơng có nghiệm ngun củng khơng có nghiệm hữu tỉ Nhƣ đa thức phân tích đƣợc thành nhân tử phải có dạng (x2 + ax + b)(x2 + cx + d) = x4 + (a + c)x3 + (ac + b + d)x2 + (ad + bc)x + bd a  c  6 ac  b  d  12  đồng đa thức với đa thức cho ta có:  ad  bc  14 bd  Xét bd = với b, d  Z, b  1, 3 với b = d = hệ điều kiện trở thành a  c  6 ac  8 2c  8 c  4     a  2 a  3c  14 ac  bd  Vậy: x4 - 6x3 + 12x2 - 14x + = (x2 - 2x + 3)(x2 - 4x + 1) Ví dụ 2: 2x4 - 3x3 - 7x2 + 6x + Nhận xét: đa thức có nghiệm x = nên có thừa số x - ta có: 2x4 - 3x3 - 7x2 + 6x + = (x - 2)(2x3 + ax2 + bx + c) http://topdoc.vn - File word sách tham khảo,đề thi, giáo án dạy thêm, a   3 b  2a  7 a   = 2x + (a - 4)x + (b - 2a)x + (c - 2b)x - 2c    b  5 c  2b  c  4  2c  Suy ra: 2x4 - 3x3 - 7x2 + 6x + = (x - 2)(2x3 + x2 - 5x - 4) Ta lại có 2x3 + x2 - 5x - đa thức có tổng hệ số hạng tử bậc lẻ bậc chẵn nên có nhân tử x + nên 2x3 + x2 - 5x - = (x + 1)(2x2 - x - 4) Vậy: 2x4 - 3x3 - 7x2 + 6x + = (x - 2)(x + 1)(2x2 - x - 4) Ví dụ 3: 12x2 + 5x - 12y2 + 12y - 10xy - = (a x + by + 3)(cx + dy - 1) ac  12 bc  ad  10 a  c    = acx2 + (3c - a)x + bdy2 + (3d - b)y + (bc + ad)xy –  3c  a   bd  12 b  6  d    3d  b  12 2  12x + 5x - 12y + 12y - 10xy - = (4 x - 6y + 3)(3x + 2y - 1) BÀI TẬP: Phân tích đa thức sau thành nhân tử: 1) x3 - 7x + 2) x3 - 9x2 + 6x + 16 3) x3 - 6x2 - x + 30 4) 2x3 - x2 + 5x + 5) 27x3 - 27x2 + 18x - 6) x2 + 2xy + y2 - x - y - 12 7) (x + 2)(x +3)(x + 4)(x + 5) - 24 8) 4x4 - 32x2 + 9) 3(x4 + x2 + 1) - (x2 + x + 1)2 10) 64x4 + y4 11) a6 + a4 + a2b2 + b4 - b6 12) x3 + 3xy + y3 - 13) 4x4 + 4x3 + 5x2 + 2x + 14) x8 + x + 15) x8 + 3x4 + 16) 3x2 + 22xy + 11x + 37y + 7y2 +10 17) x4 - 8x + 63 http://topdoc.vn - File word sách tham khảo,đề thi, giáo án dạy thêm, CHUYÊN ĐỀ - LUỸ THỪA BẬC N CỦA MỘT NHỊ THỨC A MỤC TIÊU: HS nắm đƣợc công thức khai triển luỹ thừa bậc n nhị thức: (a + b)n Vận dụng kiến thức vào tập xác định hệ số luỹ thừa bậc n nhị thức, vận dụng vào tốn phân tích đa thức thành nhân tử B KIẾN THỨC VÀ BÀI TẬP VẬN DỤNG: I Một số đẳng thức tổng quát: an - bn = (a - b)(an - + an - b + an - b2 + … + abn - + bn - ) an + bn = (a + b) ( an - - an - 2b + an - 3b2 - … - abn - + bn - ) Nhị thức Niutơn: (a + b)n = an + C1n an - b + C2n an - b2 + …+ Cnn 1 ab n - + bn Trong đó: C kn  n(n - 1)(n - 2) [n - (k - 1)] : Tổ hợp chập k n phần tử 1.2.3 k II Cách xác định hệ số khai triển Niutơn: Cách 1: Dùng công thức C kn  n(n - 1)(n - 2) [n - (k - 1)] k! Chẳng hạn hệ số hạng tử a4b3 khai triển (a + b)7 7.6.5.4 7.6.5.4   35 4! 4.3.2.1 7! 7.6.5.4.3.2.1 n! Chú ý: a) C kn  với quy ƣớc 0! =  C 74    35 4!.3! 4.3.2.1.3.2.1 n!(n - k) ! 7.6.5 b) Ta có: C kn = C kn - nên C 74  C 37   35 3! C 74  Cách 2: Dùng tam giác Patxcan Đỉnh Dòng 1(n = 1) 1 Dòng 2(n = 1) Dòng 3(n = 3) 3 Dòng 4(n = 4) Dòng 5(n = 5) 10 10 Dòng 6(n = 6) 15 20 15 Trong tam giác này, hai cạnh bên gồm số 1; dòng k + đƣợc thành lập từ dòng k (k  1), chẳng hạn dòng (n = 2) ta có = + 1, dòng (n = 3): = + 1, = + dòng (n = 4): = + 3, = + 3, = + 1, … http://topdoc.vn - File word sách tham khảo,đề thi, giáo án dạy thêm, Với n = thì: (a + b)4 = a4 + 4a3b + 6a2b2 + 4ab3 + b4 Với n = thì: (a + b)5 = a5 + 5a4b + 10a3b2 + 10a2b3 + 5ab4 + b5 Với n = thì: (a + b)6 = a6 + 6a5b + 15a4b2 + 20a3b3 + 15a2 b4 + 6ab5 + b6 Cách 3: Tìm hệ số hạng tử đứng sau theo hệ số hạng tử đứng trƣớc: a) Hệ số hạng tử thứ b) Muốn có hệ số của hạng tử thứ k + 1, ta lấy hệ số hạng tử thứ k nhân với số mũ biến hạng tử thứ k chia cho k Chẳng hạn: (a + b)4 = a4 + 1.4 4.3 2 4.3.2 4.3.2 ab+ ab + ab3 + b 2.3 2.3.4 Chú ý rằng: hệ số khai triển Niutơn có tính đối xứng qua hạng tử đứng giữa, nghĩa hạng tử cách hai hạng tử đầu cuối có hệ số (a + b)n = an + nan -1b + n(n - 1) n - 2 n(n - 1) n a b + …+ ab 1.2 1.2 -2 + nan - 1bn - + bn III Ví dụ: Ví dụ 1: phân tích đa thức sau thành nhân tử a) A = (x + y)5 - x5 - y5 Cách 1: khai triển (x + y)5 rút gọn A A = (x + y)5 - x5 - y5 = ( x5 + 5x4y + 10x3y2 + 10x2y3 + 5xy4 + y5) - x5 - y5 = 5x4y + 10x3y2 + 10x2y3 + 5xy4 = 5xy(x3 + 2x2y + 2xy2 + y3) = 5xy [(x + y)(x2 - xy + y2) + 2xy(x + y)] = 5xy(x + y)(x2 + xy + y2) Cách 2: A = (x + y)5 - (x5 + y5) x5 + y5 chia hết cho x + y nên chia x5 + y5 cho x + y ta có: x5 + y5 = (x + y)(x4 - x3y + x2y2 - xy3 + y4) nên A có nhân tử chung (x + y), đặt (x + y) làm nhân tử chung, ta tìm đƣợc nhân tử cịn lại b) B = (x + y)7 - x7 - y7 = (x7+7x6y +21x5y2 + 35x4y3 +35x3y4 +21x2y5 7xy6 + y7) - x7 - y7 = 7x6y + 21x5y2 + 35x4y3 + 35x3y4 + 21x2y5 + 7xy6 = 7xy[(x5 + y5 ) + 3(x4y + xy4) + 5(x3y2 + x2y3 )] = 7xy {[(x + y)(x4 - x3y + x2y2 - xy3 + y4) ] + 3xy(x + y)(x2 - xy + y2) + 5x2y2(x + y)} = 7xy(x + y)[x4 - x3y + x2y2 - xy3 + y4 + 3xy(x2 + xy + y2) + 5x2y2 ] = 7xy(x + y)[x4 - x3y + x2y2 - xy3 + y4 + 3x3y - 3x2y2 + 3xy3 + 5x2y2 ] = 7xy(x + y)[(x4 + 2x2y2 + y4) + 2xy (x2 + y2) + x2y2 ] = 7xy(x + y)(x2 + xy + y2 )2 Ví dụ 2:Tìm tổng hệ số đa thức có đƣợc sau khai triển a) (4x - 3)4 Cách 1: Theo cơnh thức Niu tơn ta có: (4x - 3)4 = 4.(4x)3.3 + 6.(4x)2.32 - 4x 33 + 34 = 256x4 - 768x3 + 864x2 - 432x + 81 Tổng hệ số: 256 - 768 + 864 - 432 + 81 = b) Cách 2: Xét đẳng thức (4x - 3)4 = c0x4 + c1x3 + c2x2 + c3x + c4 Tổng hệ số: c0 + c1 + c2 + c3 + c4 Thay x = vào đẳng thức ta có: (4.1 - 3)4 = c0 + c1 + c2 + c3 + c4 Vậy: c0 + c1 + c2 + c3 + c4 = * Ghi chú: Tổng hệ số khai triển nhị thức, đa thức giá trị đa thức x = C BÀI TẬP: Bài 1: Phân tích thành nhân tử http://topdoc.vn - File word sách tham khảo,đề thi, giáo án dạy thêm, a) (a + b)3 - a3 - b3 b) (x + y)4 + x4 + y4 Bài 2: Tìm tổng hệ số có đƣợc sau khai triển đa thức a) (5x - 2)5 b) (x2 + x - 2)2010 + (x2 - x + 1)2011 CHUÊN ĐỀ - CÁC BÀI TOÁN VỀ SỰ CHIA HẾT CỦA SỐ NGUYÊN A MỤC TIÊU: * Củng cố, khắc sâu kiến thức toán chia hết số, đa thức * HS tiếp tục thực hành thành thạo toán chứng minh chia hết, không chia hết, sốnguyên tố, số phƣơng… * Vận dụng thành thạo kỹ chứng minh chia hết, không chia hết… vào tốn cụ thể B.KIẾN THỨC VÀ CÁC BÀI TỐN: I Dạng 1: Chứng minh quan hệ chia hết Kiến thức: * Để chứng minh A(n) chia hết cho số m ta phân tích A(n) thành nhân tử có nhân tử làm bội m, m hợp số ta lại phân tích thành nhân tử có đoi nguyên tố nhau, chứng minh A(n) chia hết cho số * Chú ý: + Với k số nguyên liên tiếp củng tồn bội k + Khi chứng minh A(n) chia hết cho m ta xét trƣờng hợp số dƣ chia A(n) cho m + Với số nguyên a, b số tự nhiên n thì: +) an - bn chia hết cho a - b +) (a + 1)n BS(a )+ (a  - b) +1 2.+)Bài a2ntập: + b2n + chia hết cho a + b + (a + b)n = B(a) + bn Các toán Bài 1: chứng minh a) 251 - chia hết cho +)(a - 1)2n B(a) + +) (a - 1)2n + B(a) - b) 270 + 370 chia hết cho 13 http://topdoc.vn - File word sách tham khảo,đề thi, giáo án dạy thêm, c) 1719 + 1917 chi hết cho 18 d) 3663 - chia hết cho nhƣng không chia hết cho 37 e) 24n -1 chia hết cho 15 với n N Giải a) 251 - = (23)17 - 23 - = b) 270 + 370 (22)35 + (32)35 = 435 + 935 + = 13 c) 1719 + 1917 = (1719 + 1) + (1917 - 1) 1719 + 17 + = 18 1917 - 19 - = 18 nên (1719 + 1) + (1917 - 1) hay 1719 + 1917 18 d) 3663 - 36 - = 35 3663 - = (3663 + 1) - chi cho 37 dƣ - e) 4n - = (24) n - 24 - = 15 Bài 2: chứng minh a) n5 - n chia hết cho 30 với n  N ; b) n4 -10n2 + chia hết cho 384 với n lẻ n Z c) 10n +18n -28 chia hết cho 27 với n N ; Giải: a) n5 - n = n(n4 - 1) = n(n - 1)(n + 1)(n2 + 1) = (n - 1).n.(n + 1)(n2 + 1) chia hết cho (n - 1).n.(n+1) tích ba số tự nhiên liên tiếp nên chia hết cho (*) Mặt khác n5 - n = n(n2 - 1)(n2 + 1) = n(n2 - 1).(n2 - + 5) = n(n2 - 1).(n2 - ) + 5n(n2 - 1) = (n - 2)(n - 1)n(n + 1)(n + 2) + 5n(n2 - 1) Vì (n - 2)(n - 1)n(n + 1)(n + 2) tích số tự nhiên liên tiếp nên chia hết cho 5n(n2 - 1) chia hết cho Suy (n - 2)(n - 1)n(n + 1)(n + 2) + 5n(n2 - 1) chia hết cho (**) Từ (*) (**) suy đpcm b) Đặt A = n4 -10n2 + = (n4 -n2 ) - (9n2 - 9) = (n2 - 1)(n2 - 9) = (n - 3)(n - 1)(n + 1)(n + 3) Vì n lẻ nên đặt n = 2k + (k  Z) A = (2k - 2).2k.(2k + 2)(2k + 4) = 16(k - 1).k.(k + 1).(k + 2)  A chia hết cho 16 (1) Và (k - 1).k.(k + 1).(k + 2) tích số nguyên liên tiếp nên A có chứa bội 2, 3, nên A bội 24 hay A chia hết cho 24 (2) Từ (1) (2) suy A chia hết cho 16 24 = 384 c) 10 n +18n -28 = ( 10 n - 9n - 1) + (27n - 27) + Ta có: 27n - 27 27 (1) + 10 n - 9n - = [( 9 + 1) - 9n - 1] = 9 - 9n = 9( 1 - n) 27 (2) n n n 9 1 - n 1 - n số có tổng chữ số chia hết cho n n Từ (1) (2) suy đpcm Bài 3: Chứng minh với số nguyên a a) a3 - a chia hết cho b) a7 - a chia hết cho Giải a) a3 - a = a(a2 - 1) = (a - 1) a (a + 1) tích ba số nguyên liên tiếp nên tồn số bội nên (a - 1) a (a + 1) chia hết cho b) ) a7 - a = a(a6 - 1) = a(a2 - 1)(a2 + a + 1)(a2 - a + 1) Nếu a = 7k (k  Z) a chia hết cho http://topdoc.vn - File word sách tham khảo,đề thi, giáo án dạy thêm, Nếu a = 7k + (k  Z) a2 - = 49k2 + 14k chia hết cho Nếu a = 7k + (k  Z) a2 + a + = 49k2 + 35k + chia hết cho Nếu a = 7k + (k  Z) a2 - a + = 49k2 + 35k + chia hết cho Trong trƣờng hợp củng có thừa số chia hết cho Vậy: a7 - a chia hết cho Bài 4: Chứng minh A = 13 + 23 + 33 + + 1003 chia hết cho B = + + + + 100 Giải Ta có: B = (1 + 100) + (2 + 99) + + (50 + 51) = 101 50 Để chứng minh A chia hết cho B ta chứng minh A chia hết cho 50 101 Ta có: A = (13 + 1003) + (23 + 993) + +(503 + 513) = (1 + 100)(12 + 100 + 1002) + (2 + 99)(22 + 99 + 992) + + (50 + 51)(502 + 50 51 + 512) = 101(12 + 100 + 1002 + 22 + 99 + 992 + + 502 + 50 51 + 512) chia hết cho 101 (1) Lại có: A = (13 + 993) + (23 + 983) + + (503 + 1003) Mỗi số hạng ngoặc chia hết cho 50 nên A chia hết cho 50 (2) Từ (1) (2) suy A chia hết cho 101 50 nên A chi hết cho B Bài tập nhà Chứng minh rằng: a) a5 – a chia hết cho b) n3 + 6n2 + 8n chia hết cho 48 với n chẵn c) Cho a l số nguyên tố lớn Cmr a2 – chia hết cho 24 d) Nếu a + b + c chia hết cho a3 + b3 + c3 chia hết cho e) 20092010 không chia hết cho 2010 f) n2 + 7n + 22 không chia hết cho Dạng 2: Tìm số dƣ phép chia Bài 1: Tìm số dƣ chia 2100 a)cho 9, b) cho 25, c) cho 125 Giải a) Luỹ thừa sát với bội 23 = = - Ta có : 2100 = (23)33 = 2.(9 - 1)33 = 2.[B(9) - 1] = B(9) - = B(9) + Vậy: 2100 chia cho dƣ b) Tƣơng tự ta có: 2100 = (210)10 = 102410 = [B(25) - 1]10 = B(25) + Vậy: 2100 chia chop 25 dƣ c)Sử dụng công thức Niutơn: 2100 = (5 - 1)50 = (550 - 549 + … + 50.49 - 50 ) + Không kể phần hệ số khai triển Niutơn 48 số hạng đầu chứa thừa số với số mũ lớn nên chia hết cho 53 = 125, hai số hạng tiếp theo: 50.49 - 50.5 chia hết cho 125 , số hạng cuối Vậy: 2100 = B(125) + nên chia cho 125 dƣ Bài 2: Viết số 19951995 thành tổng số tự nhiên Tổng lập phƣơng chia cho dƣ bao nhiêu? Giải Đặt 19951995 = a = a1 + a2 + …+ an http://topdoc.vn - File word sách tham khảo,đề thi, giáo án dạy thêm, Gọi S  a13  a 23 + a 33 + + a n = a13  a 23 + a 33 + + a n + a - a = (a1 - a1) + (a2 - a2) + …+ (an - an) + a Mỗi dấu ngoặc chia hết cho dấu ngoặc tích ba số tự nhiên liên tiếp Chỉ cần tìm số dƣ chia a cho 1995 số lẻ chia hết cho 3, nên a củng số lẻ chia hết cho 3, chia cho dƣ Bài 3: Tìm ba chữ số tận 2100 viết hệ thập phân giải Tìm chữ số tận tìm số dƣ phép chia 2100 cho 1000 Trƣớc hết ta tìm số dƣ phép chia 2100 cho 125 Vận dụng ta có 2100 = B(125) + mà 2100 số chẵn nên chữ số tận 126, 376, 626 876 Hiển nhiên 2100 chia hết cho 2100 = 1625 chi hết ba chữ số tận chia hết cho số 126, 376, 626 876 có 376 chia hết cho Vậy: 2100 viết hệ thập phân có ba chữ số tận 376 Tổng quát: Nếu n số chẵn khơng chia hết cho chữ số tận 376 Bài 4: Tìm số dƣ phép chia số sau cho a) 2222 + 5555 b)31993 c) 19921993 + 19941995 d) 32 Giải a) ta có: 2222 + 5555 = (21 + 1)22 + (56 – 1)55 = (BS +1)22 + (BS – 1)55 = BS + + BS - = BS nên 2222 + 5555 chia dƣ b) Luỹ thừa sát với bội 33 = BS – Ta thấy 1993 = BS + = 6k + 1, đó: 31993 = 6k + = 3.(33)2k = 3(BS – 1)2k = 3(BS + 1) = BS + c) Ta thấy 1995 chia hết cho 7, đó: 19921993 + 19941995 = (BS – 3)1993 + (BS – 1)1995 = BS – 31993 + BS – Theo câu b ta có 31993 = BS + nên 19921993 + 19941995 = BS – (BS + 3) – = BS – nên chia cho dƣ d) 32 = 32860 = 33k + = 3.33k = 3(BS – 1) = BS – nên chia cho dƣ Bài tập nhà Tìm số d ƣ khi: a) 21994 cho b) 31998 + 51998 cho 13 c) A = 13 + 23 + 33 + + 993 chia cho B = + + + + 99 Dạng 3: Tìm điều kiện để xảy quan hệ chia hết Bài 1: Tìm n  Z để giá trị biểu thức A = n3 + 2n2 - 3n + chia hết cho giá trị biểu thức B = n2 - n Giải Chia A cho B ta có: n3 + 2n2 - 3n + = (n + 3)(n2 - n) + Để A chia hết cho B phải chia hết cho n2 - n = n(n - 1) chia hết cho n, ta có: n -1 -2 n-1 -2 -3 n(n - 1) 2 loại loại 1930 1930 http://topdoc.vn - File word sách tham khảo,đề thi, giáo án dạy thêm, 10 d) N = S2  S3 S1  S3 S1  S2  S2  S3 S1  S3 S1  S2   S1 S2 S3 S1.S2 S3  N = S2  S3  S1  S3  S1  S2  S1.S2 S3  2  4S1S2 4S2S3 4S1S3 S1.S2 S3   64  N  Đẳng thức xẩy S1 = S2 = S3  O trọng tâm tam giác ABC Bài 4: Cho tam giác ABC, đường caoAD, BE, CF; gọi A’, B’, C’ hình chiếu M (nằm bên tam giác ABC) AD, BE, CF Chứng minh rằng: Khi M thay đổi vị trí tam giác ABC thì: a) A’D + B’E + C’F không đổi b) AA’ + BB’ + CC’ không đổi A Giải Gọi h = AH chiều cao tam giác ABC h không đổi Gọi khoảng cách từ M đến cạnh AB; BC; CA MP; E F MQ; MR A’D + B’E + C’F = MQ + MR + MP C' R Vì M nằm tam giác ABC nên SBMC + SCMA + SBMA = P B' SABC A' M  BC.(MQ + MR + MP) = BC.AH  MQ + MR + MP = B C Q D AH  A’D + B’E + C’F = AH = h Vaäy: A’D + B’E + C’F = AH = h không đổi b) AA’ + BB’ + CC’ = (AH – A’D)+(BE – B’E) (CF – C’F) = (AH + BE + CF) – (A’D + B’E + C’F) = 3h – h = 2h không đổi Bài 5: Cho tam giác ABC có BC trung bình cộng AC AB; Gọi I giao điểm phân giác, G trọng tâm tam giác Chứng minh: IG // BC Giải A Gọi khoảng cách từ a, I, G đến BC AH, IK, GD Vì I giap điểm ba đường phân giác nên khoảng cách từ I đến ba cạnh AB, BC, CA IK G I Vì I nằm tam giác ABC nên: SABC = SAIB + SBIC + SCIA  BC.AH = IK(AB+BC+CA) (1) Maø BC = Thay (2) vào (1) ta có: BC AH = IK 3BC  IK = Vì G trọng tâm tam giác ABC neân: SBGC = B H AB + CA  AB + CA = BC (2) K D M C AH (a) 1 SABC  BC GD = BC AH  GD = AH (b) 3 Từ (a) (b) suy IK = GD hay khoảng cách từ I, G đến BC nên IG // BC Bài tập nhà: http://topdoc.vn - File word sách tham khảo,đề thi, giáo án dạy thêm, 52 1) Cho C laø điểm thuộc tia phân giác xOy = 600 , M điểm nằm đường vuông góc với OC C thuộc miền xOy , gọi MA, MB thứ tự khoảng cách từ M đến Ox, Oy Tính độ dài OC theo MA, MB 2) Cho M điểm nằm tam giác ABC A’, B’, C’ hình chiếu M cạnh BC, AC, AB Các đường thẳng vuông góc với BC C, vuông góc với CA A , vuông góc với AB B cắt D, E, F Chứng minh rằng: a) Tam giác DEF tam giác b) AB’ + BC’ + CA’ không phụ thuộc vị trí M tam giác ABC CHUYÊN ĐỀ 15 – TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, NHỎ NHẤT CỦA MỘT BIỂU THỨC Ngày soạn: 09 – - 2013 Ngày dạy: - - 2013 A Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ biểu thức: 1) Khái niệm: Nếu với giá trị biến thuộc khoảng xác định mà giá trị biểu thức A luôn lớn (nhỏ bằng) số k tồn giá trị biến để A có giá trị k k gọi giá trị nhỏ (giá trị lớn nhất) biểu thức A ứng với giá trị biến thuộc khoảng xác định nói 2) Phương pháp a) Để tìm giá trị nhỏ A, ta cần: + Chứng minh A  k với k số + Chỉ dấ “=” xẩy với giá trị biến b) Để tìm giá trị lớn A, ta cần: + Chứng minh A  k với k số + Chỉ dấ “=” xẩy với giá trị biến Kí hiệu : A giá trị nhỏ A; max A giá trị lớn A B.Các tập tìm Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ biểu thức: I) Dạng 1: Tam thức bậc hai Ví dụ : a) Tìm giá trị nhỏ A = 2x2 – 8x + b) Tìm giá trị lớn B = -5x2 – 4x + Giaûi a) A = 2(x2 – 4x + 4) – = 2(x – 2)2 –  - A = -  x = b) B = - 5(x2 + 9 2 x) + = - 5(x2 + 2.x + ) + = - 5(x + )2  5 5 5 25 max B =  x =  5 b) Ví dụ 2: Cho tam thức bậc hai P(x) = a x2 + bx + c a) Tìm P a > http://topdoc.vn - File word sách tham khảo,đề thi, giáo án dạy thêm, 53 b) Tìm max P a < Giải b2 b b x) + c = a(x + ) + (c ) 2a a 4a b2 b Đặt c = k Do (x + )  neân: 2a 4a b b a) Nếu a > a(x + )  P  k  P = k  x = 2a 2a b b b) Nếu a < a(x + )  P  k  max P = k  x = 2a 2a Ta coù: P = a(x2 + II Dạng 2: Đa thức có dấu giá trị tuyệt đối 1) Ví dụ 1: Tìm giá trị nhỏ a) A = (3x – 1)2 – 3x - + đặt 3x - = y A = y2 – 4y + = (y – 2)2 +  A =  y =  x = 3x - = 3x - =    x = - 3x - = -  b) B = x - + x - B = x-2 + x-3 = B = x-2 + 3-x  x-2 +3-x =  B =  (x – 2)(3 – x)    x  2) Ví dụ 2: Tìm GTNN C = x - x +  x - x - Ta coù C = x - x +  x - x - = x - x +  + x - x2  x2 - x + + + x - x = C =  (x2 – x + 1)(2 + x – x2)   + x – x2   x2 – x –   (x + 1)(x – 2)   - x 3) Vớ duù 3: Tìm giá trÞ nhá nhÊt cđa : T = |x-1| + |x-2| +|x-3| + |x-4| Ta cã |x-1| + |x-4| = |x-1| + |4-x|  |x-1+4-x| = (1) Vµ x   x   x    x  x    x = (2) VËy T = |x-1| + |x-2| +|x-3| + |x-4|  + = Ta cã tõ (1)  DÊu b»ng x¶y  x  (2)  DÊu b»ng x¶y  x  VËy T cã gi¸ trị nhỏ x III.Dạng 3: Đa thức bậc cao 1) Ví dụ 1: Tìm giá trị nhỏ a) A = x(x – 3)(x – 4)(x – 7) = (x2 – 7x)( x2 – 7x + 12) Đặt x2 – 7x + A = (y – 6)(y + 6) = y2 – 36  - 36 Min A = - 36  y =  x2 – 7x + =  (x – 1)(x – 6) =  x = hoaëc x = b) B = 2x2 + y2 – 2xy – 2x + = (x2 – 2xy + y2) + (x2 – 2x + 1) + x - y = x=y=1 x - = = (x – y)2 + (x – 1)2 +    c) C = x2 + xy + y2 – 3x – 3y = x2 – 2x + y2 – 2y + xy – x – y http://topdoc.vn - File word sách tham khảo,đề thi, giáo án dạy thêm, 54 Ta coù C + = (x2 – 2x + 1) + (y2 – 2y + 1) + (xy – x – y + 1) = (x – 1)2 + (y – 1)2 + (x – 1)(y – 1) Ñaët x – = a; y – = b 3b 3b b2 b b + )+ = (a + )2 +  2 4 Min (C + 3) = hay C = -  a = b =  x = y = C + = a2 + b2 + ab = (a2 + 2.a 2) Ví dụ 2: Tìm giá trị nhỏ a) C = (x + 8)4 + (x + 6)4 Ñaët x + = y  C = (y + 1)4 + (y – 1)4 = y4 + 4y3 + 6y2 + 4y + + y4 - 4y3 + 6y2 - 4y + = 2y4 + 12y2 +   A =  y =  x = - b) D = x4 – 6x3 + 10x2 – 6x + = (x4 – 6x3 + 9x2 ) + (x2 – 6x + 9) = (x2 – 3x)2 + (x – 3)2   D =  x = IV Dạng phân thức: Phân thức có tử số, mẫu tam thức bậc hai Biểu thức dạng đạt GTNN mẫu đạt GTLN -2 2 =  2 6x - - 9x 9x - 6x + (3x - 1)2  1 2 2 Vì (3x – 1)2   (3x – 1)2 +    A     2 (3x - 1)  4 (3x - 1)  4 1 A = -  3x – =  x = Ví dụ : Tìm GTNN A = Phân thức có mẫu bình phương nhị thức a) Ví dụ 1: Tìm GTNN A = 3x - 8x + x - 2x + +) Cách 1: Tách tử thành nhóm có nhân tử chung với mẫu 3x - 8x + 3(x - 2x + 1) - 2(x - 1) + 1 Đặt y = Thì =  3  2 x-1 x - 2x + (x - 1) x - (x - 1) A = – 2y + y2 = (y – 1)2 +   A =  y =  =1  x=2 x-1 A= +) Cách 2: Viết biểu thức A thành tổng số với phân thức không âm A= 3x - 8x + 2(x - 2x + 1) + (x - 4x + 4) (x - 2)2 =   2 x - 2x + (x - 1)2 (x - 1)2  A =  x – =  x = b) Ví dụ 2: Tìm GTLN B = Ta có B = x x  20x + 100 1 x x  x =  10 Đặt y =  x + 10 x  20x + 100 (x + 10) y 2 1 1 1 B = (  10 ).y2 = - 10y2 + y = - 10(y2 – 2.y y + )+ = - 10  y -  + 20 40 40 400 y 10   1  y x = 10 Max B = =0  y= 10 10 40 x + y2 c) Ví dụ 3: Tìm GTNN C = x + 2xy + y2 http://topdoc.vn - File word sách tham khảo,đề thi, giáo án dạy thêm,  40 55 (x + y)2  (x - y)  x +y 1 (x - y) 1 Ta coù: C =  x=y      A = 2 2 x + 2xy + y (x + y) 2 (x + y) 2 Caùc phân thức có dạng khác a)Ví dụ : Tìm GTNN, GTLN (Cực trị) A = - 4x x2 1 - 4x (4x  4x  4)  (x  1) (x - 2)2     1  A = -  x = x2 1 x2 1 x 1 - 4x (4x  4)  (4x + 4x + 1) (2x  1)2 Ta lại có: A =      max A =  x =  2 x 1 x 1 x 1 Ta có: A = C Tìm GTNN, GTLN biểu thức biết quan hệ biến 1) Ví dụ 1: Cho x + y = Tìm GTNN A = x3 + y3 + xy Ta coù A = (x + y)(x2 – xy + y2) + xy = x2 + y2 (vì x + y = 1) a) Cách 1: Biểu thị ẩn qua ẩn kia, đưa tam thức bậc hai Từ x + y =  x = – y 1 1 1 neân A = (1 – y) + y = 2(y – y) + = 2(y – 2.y + ) + =  y -  +  2 2  1 Vaäy A =  x = y = 2 2 2 b) Cách 2: Sử dụng đk cho, làm xuất biểu thức có chứa A Từ x + y =  x2 + 2xy + y2 = 1(1) Mặt khác (x – y)2   x2 – 2xy + y2  (2) Coäng (1) với (2) vế theo vế, ta có: 2(x2 + y2)   x2 + y2  1  A =  x=y= 2 2)Ví duï 2: Cho x + y + z = a) Tìm GTNN A = x2 + y2 + z2 b) Tìm GTLN B = xy + yz + xz Từ Cho x + y + z =  Cho (x + y + z)2 =  x2 + y2 + z2 + 2(xy + yz + xz) = (1) Ta coù x + y + z - xy – yz – zx = = ( x + y + z - xy – yz – zx) ( x  y)2  ( x z )2  ( y  z )2    x + y + z  xy+ yz + zx (2) Đẳng thức xẩy x = y = z a) Từ (1) (2) suy = x2 + y2 + z2 + 2(xy + yz + xz)  x2 + y2 + z2 + 2(x2 + y2 + z2) = 3(x2 + y2 + z2) 2  x + y + z   A =  x = y = z = b) Từ (1) vaø (2) suy = x2 + y2 + z2 + 2(xy + yz + xz)  xy+ yz + zx + 2(xy + yz + xz) = 3(xy+ yz + zx)  xy+ yz + zx   max B =  x = y = z = 3) Vớ duù 3: Tìm giá trÞ lín nhÊt cđa S = xyz.(x+y).(y+z).(z+x) víi x,y,z > vµ x + y + z = 1 Vì x,y,z > ,áp dụng BĐT Côsi ta cã: x+ y + z  3 xyz  xyz   xyz  http://topdoc.vn - File word sách tham khảo,đề thi, giáo án dạy thêm, 27 56 áp dụng bất đẳng thức Côsi cho x+y ; y+z ; x+z ta cã  x  y   y  z   z  x   3  x  y   y  z   x  z    33  x  y . y  z . z  x  1  S   27 27 729 Vậy S có giá trị lớn x = y = z = 729 DÊu b»ng x¶y x = y = z = 4) Ví dụ 4: Cho xy + yz + zx = Tìm giá trị nhỏ x4 y z áp dụng BĐT Bunhiacốpski cho sè (x,y,z) ;(x,y,z) 2 Ta cã  xy  yz  zx    x2  y  z     x  y  z  (1) ¸p dơng B§T Bunhiacèpski cho ( x2 , y , z ) vµ (1,1,1) Ta cã ( x2  y  z )2  (12  12  12 )( x4  y  z )  ( x2  y  z )2  3( x4  y  z ) Tõ (1) vµ (2)   3( x4  y  z )  x  y  z  VËy x4  y z có giá trị nhỏ lµ 3 x= y = z =  3 D Một số ý: 1) Khi tìm GTNN, GTLN ta đổi biến Ví dụ : Khi tìm GTNN A =(x – 1)2 + (x – 3)2 , ta đặt x – = y A = (y + 1)2 + (y – 1)2 = 2y2 +  2… 2) Khi tìm cực trị biểu thức, ta thay đk biểu thức đạt cực trị đk tương đương biểu thức khác đạt cực trị: +) -A lớn  A nhỏ ; +) +) C lớn  C2 lớn Ví dụ: Tìm cực trị A = lớn  B nhỏ (với B > 0) B x4 + x + 1 a) Ta coù A > nên A nhỏ lớn nhất, ta coù A  x + 1 2x   1   =  x =  max A =  x = A A x +1 x +1 b) Ta coù (x2 – 1)2   x4 - 2x2 +   x4 +  2x2 (Dấu xẩy x2 = 1) Vì x4 + >   A = 2x 2x 1      max  =  x2 =  4 x +1 x +1 A  x = 1 3) Nhiều ta tìm cực trị biểu thức khoảng biến, sau so sámh cực trị để để tìm GTNN, GTLN toàn tập xác định biến Ví dụ: Tìm GTLN cuûa B = y - (x + y) a) xét x + y  - Nếu x = A = - Nếu  y  A  http://topdoc.vn - File word sách tham khảo,đề thi, giáo án dạy thêm, 57 - Nếu y = x = A = b) xét x + y  A  So sánh giá trị A, ta thấy max A =  x = 0; y = 4) Sử dụng bất đẳng thức Ví dụ: Tìm GTLN A = 2x + 3y bieát x2 + y2 = 52 p dụng Bđt Bunhiacốpxki: (a x + by)2  (a2 + b2)(x2 + y2) cho số 2, x , 3, y ta coù: (2x + 3y)2  (22 + 32)(x2 + y2) = (4 + 9).52 = 262  2x + 3y  26 3x x y  3x  2 2 Max A = 26  =  y =  x + y = x +   = 52  13x = 52.4  x =  2   Vaäy: Ma x A = 26  x = 4; y = hoaëc x = - 4; y = - 5) Hai số có tổng không đổi tích chúng lớn chúng Hai số có tích không đổi tổng chúng lớn chúng a)Ví dụ 1: Tìm GTLN A = (x2 – 3x + 1)(21 + 3x – x2) Vì (x2 – 3x + 1) + (21 + 3x – x2) = 22 không đổi nên tích (x2 – 3x + 1)(21 + 3x – x2) lớn chæ x2 – 3x + = 21 + 3x – x2  x2 – 3x – 10 =  x = hoaëc x = - Khi A = 11 11 = 121  Max A = 121  x = hoaëc x = - (x + 4)(x + 9) x (x + 4)(x + 9) x  13x + 36 36 Ta coù: B =  x+  13 x x x 36 36 36 36 Vì số x có tích x = 36 không đổi nên x + nhỏ  x =  x=6 x x x x 36  A= x+  13 nhỏ A = 25  x = x b) Ví dụ 2: Tìm GTNN B = 6)Trong tìm cực trị cần tồn giá trị biến để xẩy đẳng thức không cần giá trị để xẩy đẳng thức Ví dụ: Tìm GTNN A = 11m  5n Ta thấy 11m tận 1, 5n tận Nếu 11m > 5n A tận 6, 11m < 5n A tận m = 2; n = A = 121  124 =  A = 4, chẳng hạn m = 2, n = http://topdoc.vn - File word sách tham khảo,đề thi, giáo án dạy thêm, 58 CHUYÊN ĐỀ 13 – BẤT ĐẲNG THỨC Ngày soạn: 27 – - 2010 Phần I : kiến thức cần l-u ý A  B  A  B  A  B  A  B  1-§inhnghÜa:  2-tÝnh chÊt + A>B  B  A + A>B vµ B >C  A > C + A>B  A + C >B + C + A>B vµ C > D  A +C > B + D + A>B vµ C >  A.C > B.C + A>B vµ C <  A.C < B.C + < A < B vµ < C < D  < A.C < B.D + A > B >  An > Bn n  An > Bn víi n lỴ +A>B  An > Bn víi n ch½n + A > B + m > n > vµ A >  A m > A n + m > n > vµ  1  A B - mét sè h»ng bÊt ®¼ng thøc + A  víi  A ( dÊu = x¶y A = ) + An  víi  A ( dÊu = x¶y A = ) + A  víi A (dÊu = x¶y A = ) + - A 0) + A  B  A  B ( dÊu = x¶y A.B < 0) http://topdoc.vn - File word sách tham khảo,đề thi, giáo án dạy thêm, 59 PhÇn II : mét sè ph-ơng pháp chứng minh bất đẳng thức 1) Ph-ơng pháp 1: dùng định nghĩa Kiến thức : Để chứng minh A > B Ta chøng minh A – B > L-u ý dùng bất đẳng thức M  víi  M VÝ dơ  x, y, z chøng minh r»ng : a) x + y + z  xy+ yz + zx b) x + y + z  2xy – 2xz + 2yz Gi¶i: a) Ta xÐt hiƯu : x + y + z - xy – yz – zx = ( x + y + z - xy – yz – zx) ( x  y)2  ( x z )2  ( y  z )2   ®óng víi mäi x;y;z  R Vì (x-y)2 vớix ; y Dấu xảy x = y (x- z)2  víix ; z DÊu b»ng x¶y x = z (y- z)2  víi z; y DÊu b»ng x¶y z = y VËy x + y + z  xy+ yz + zx DÊu b»ng x¶y x = y =z = b)Ta xÐt hiÖu: x + y + z - ( 2xy – 2xz +2yz ) = x + y + z - 2xy +2xz –2yz = ( x – y + z)  ®óng víi mäi x;y;z  R VËy x + y + z  2xy – 2xz + 2yz ®óng víi mäi x;y;z  R DÊu b»ng x¶y x + y = z VÝ dô 2: chøng minh r»ng : 2 a  b2  c2  a  b  c  a  b2  a  b a) c) HÃy tổng quát to¸n  ; b) 3     gi¶i a) Ta xÐt hiƯu   2 a  2ab  b a  b2  a  b  = a  b = 2a  2b  a  b  2ab    4   2 VËy a  b   a  b  DÊu b»ng x¶y a = b     = 14  a  b  0 a  b2  c2  a  b  c  2  b)Ta xÐt hiÖu:  =  a  b    b  c    c  a    3   a  b2  c2  a  b  c   VËy  DÊu b»ng x¶y a = b =c 3   2 2 a1  a   a n  a1  a   a n   c)Tỉng qu¸t:  n n * Tóm lại b-ớc để chứng minh A B theo định nghĩa B-ớc 1: Ta xét hiƯu H = A - B B-íc 2:BiÕn ®ỉi H = (C+D) hc H=(C+D) +….+(E+F) B-íc 3: Kết luận A B 2) ph-ơng pháp : Dùng phép biến đổi t-ơng đ-ơng L-u ý: http://topdoc.vn - File word sách tham khảo,đề thi, giáo án dạy thờm, 60 Ta biến đổi bất đẳng thức cần chứng minh t-ơng đ-ơng với bất đẳng thức bất đẳng thức đà đ-ợc chứng minh Ví dụ 1: Cho a, b, c, d,e số thùc chøng minh r»ng b2 a) a   ab c) a  b2  c2  d  e2  a  b  c  d  e  b) a  b2   ab  a  b Gi¶i: b2  ab  4a  b2  4ab  4a  4a  b2   2a b (Bđt ®óng) b2 Vëy a   ab (dÊu b»ng x¶y 2a = b) 2 b) a  b   ab  a  b  2(a  b2  1)  2(ab  a  b)  a  2ab  b2  a  2a   b2  2b    (a  b)2  (a  1)2  (b  1)2  (luôn đúng) Vậy a b2  ab  a  b DÊu b»ng x¶y a = b = c) a  b2  c2  d  e2  a  b  c  d  e    a  b2  c2  d  e2   4a  b  c  d  e  a) a           a  4ab  4b  a  4ac  4c  a  4ad  4d  a  4ac  4c    a  2b    a  2c    a  2d    a  2c   2 2 VÝ dô 2: Chøng minh r»ng:  a10  b10  a  b2    a8  b8  a  b4  Gi¶i: a 10  b10  a  b2    a  b8  a  b4   a12  a10b2  a 2b10  b12  a12  a 8b4  a 4b8  b12      a 8b2 a  b2  a b8 b2  a   a2b2(a2-b2)(a6-b6)   a2b2(a2-b2)2(a4+ a2b2+b4)  x y.z   1 1 VÝ dô 4: cho ba số thực khác không x, y, z tháa m·n:     x  y  z  x y z Chøng minh r»ng : cã ba số x,y,z lớn Giải: XÐt (x-1)(y-1)(z-1) = xyz + (xy + yz + zx) + x + y + z - 1 x y z 1 x y z = (xyz - 1) + (x + y + z) - xyz(   ) = x + y + z - (   )  x y z (v×   < x+y+z theo gt)  sè x-1 , y-1 , z-1 âm ba sỗ-1 , y-1, z-1 d-ơng Nếủ tr-ờng hợp sau xảy x, y, z >1 x.y.z>1 Mâu thuẫn gt x.y.z =1 bắt buộc phải xảy tr-ờng hợp tức có ®óng ba sè x ,y ,z lµ sè lớn 3) Ph-ơng pháp 3: dùng bất đẳng thức quen thuộc A) số bất đẳng thức hay dùng 1) Các bất đẳng thức phụ: a) x  y2  2xy b) x  y2  xy dÊu( = ) x = y = a b b a a  a  a  a n 2)Bất đẳng thức Cô sy: n c)  x  y   4xy d)   n a1a 2a a n Với 3)Bất đẳng thức Bunhiacopski http://topdoc.vn - File word sách tham khảo,đề thi, giáo án dạy thêm, 61 a 2  a 22   a 2n   x12  x 22   2n   a1x1  a 2x   a n x n  4) BÊt đẳng thức Trê-b- - sép: abc A B  C  NÕu  aA  bB  cC a  b  c A  B  C  3  abc  A  B  C aA  bB  cC a  b  c A  B  C  3  abc DÊu b»ng x¶y  A  B  C NÕu  B) c¸c vÝ dơ vÝ dơ Cho a, b ,c số không âm chứng minh (a+b) (b+c)(c+a) 8abc Giải: Dùng bất đẳng thức phụ: x  y   4xy  a  b   4ab ;  b  c   4bc ;  c  a   4ac 2 2   a  b   b  c   c  a   64a b2c2  8abc   (a + b)(b + c)(c + a)  8abc 2 Tacã DÊu “=” x¶y a = b = c vÝ dô 2: Cho a > b > c > vµ a  b2  c2  chứng minh Do a,b,c đối xứng , giả sử a  b  c a3 b3 c3    bc a c a b  a  b2  c2   a b c    b  c a  c a b áp dụng BĐT Trê- b sép ta có a b c a  b2  c2  a b c   b2  c2     = = bc a c a b  b c a c a b  2 a3 b3 c3 1    VËy DÊu b»ng x¶y a = b = c = bc a c a b a vÝ dô 3: Cho a,b,c,d > vµ abcd =1 Chøng minh r»ng : a  b2  c2  d  a  b  c   b  c  d   d  c  a   10 Ta cã a  b2  2ab ; c2  d  2cd Do abcd =1 nªn cd = 1 (dïng x   ) ab x Ta cã a  b2  c2  2(ab  cd)  2(ab  ) (1) ab Mặt khác: a b  c   b  c  d   d  c  a  = (ab + cd) + (ac + bd) + (bc + ad)   1  1  1    ac     bc      ab   ac   bc  2 2  a  b  c  d  a  b  c   b  c  d   d  c  a   10 =  ab  vÝ dô 4: Chøng minh r»ng : a  b2  c2  ab  bc  ac Gi¶i: Dùng bất đẳng thức Bunhiacopski Xét cặp số (1,1,1) vµ (a,b,c) ta cã 12  12  12  (a  b2  c2 )  1.a  1.b  1.c  http://topdoc.vn - File word sách tham khảo,đề thi, giáo án dạy thêm, 62    a  b2  c2  a  b2  c2   ab  bc  ac   a  b  c2  ab  bc  ac (®pcm) DÊu b»ng x¶y a = b = c 4) Ph-ơng pháp 4: dùng tính chất tỷ số A Kiến thức 1) Cho a, b ,c số d-ơng a ac a ac a a b ) NÕu  th×   th×  b bc b bc b b a c a a c c 2) NÕu b, d > th× tõ     b d b bd d a ) NÕu B C¸c vÝ dơ: vÝ dơ 1: Cho a, b, c, d > a b c d    2 abc bcd cda dab a a a d 1  Theo tÝnh chÊt cđa tØ lƯ thøc ta cã (1) abc a bc a bcd a a Mặt khác : (2) abc abcd a a a d Tõ (1) vµ (2) ta cã (3)   abcd abc abcd b b ba   T-¬ng tù ta cã : (4) a bcd bcd abcd d c d c bc dc     (5); abcd dab abcd abcd cda abcd Chøng minh r»ng :1  (6) céng vÕ víi vÕ cđa (3); (4); (5); (6) ta cã 1 a b c d     (®pcm) abc bcd cd a d ab a b c vµ b,d > d a ab  cd c Chøng minh r»ng  2  b b d d a c ab cd ab ab  cd cd c a ab  cd c Gi¶i: Tõ      2     2  (®pcm) b d b d b b d d d b b d d vÝ dô : Cho:  vÝ dô : Cho a;b;c;d số nguyên d-ơng thỏa mÃn : a + b = c+d =1000 tìm giá trÞ lín nhÊt cđa a b  c d a c giải : Không tính tổng quát ta giả sö :  b d  a ab b a   ;  v× a + b = c + d c cd d c a b b  998    999 c d d a b 999 b, NÕu: b = 998 th× a =1 = Đạt giá trị lớn d = 1; c = 999 c d c d a, Nếu: b 998 Vậy: giá trị lín nhÊt cđa a b  = 999 + a = d = 1; c = b = 999 c d 999 http://topdoc.vn - File word sách tham khảo,đề thi, giáo án dạy thêm, 63 VÝ dô : Víi mäi sè tù nhiªn n >1 chøng minh r»ng : 1 1      n 1 n  nn 1 víi k = 1,2,3,…,n-1   n  k n  n 2n 1 1 n Do ®ã:         n 1 n  2n 2n 2n 2n 1 1 VÝ dô 5: CMR: A =      với n ≥ không số tự nhiên n 1 1 HD:  ; 2 ; 1.2 2.3 Ta cã VÝ dô 6: Cho a ,b ,c ,d > Chøng minh r»ng : 2 ab bc cd d a    3 a bc bc d c d a d a b Giải : Vì a ,b ,c ,d > nªn ta cã: ab ab a bd   a bcd a bc a bcd b  c bc bca   a  b cd b c d a b c d da da da c   a  bcd d a b a b c d (1) (2) (3) Cộng vế bất đẳng thức trªn ta cã : 2 ab bc cd d a    3 a bc bcd cda da b (đpcm) Ph-ơng pháp 5:Dùng bất đẳng thức tam giác L-u ý: Nếu a;b;clà số đo ba cạnh tam giác : a; b; c > Và |b-c| < a < b+c ; |a-c| < b < a+c ; |a-b| < c < b+a VÝ dô1: Cho a; b; clà số đo ba cạnh tam giác chøng minh r»ng a, a2 + b2 + c2 < 2(ab + bc + ac) b, abc > (a+b-c).(b+c-a).(c+a-b) Gi¶i 0  a  b  c a  a(b c) a)Vì a,b,c số đo cạnh tam giác nên ta có  b  a  c  b  b(a  c) 0  c  a  b  c  c(a  b)   Céng vế bất đẳng thức ta có a2 + b2 + c2 < 2(ab + bc + ac) b) Ta cã a > b - c   a  a  (b  c)2 > b > a - c   b2  b2  (c  a) > c > a - b   c2  c2  (a b)2 2 Nhân vế bất đẳng thức ta đ-ợc: a b2c2 a   b  c   b2   c  a   c2   a  b    a b2c2   a  b  c   b  c  a   c  a  b   abc   a  b  c   b  c  a   c  a  b  2 VÝ dô2: (đổi biến số) Cho a,b,c ba cạnh tam gi¸c Chøng minh r»ng a b c    (1) bc ca a b http://topdoc.vn - File word sách tham khảo,đề thi, giáo án dạy thêm, 64 yzx zxy xyz ; b= ;c= 2 yzx zxy x yz y z x z x y ta cã (1)        1   1    2x 2y 2z x x y y z z y x z x z y  (  )  (  )  (  )  Bđt đúng? x y x z y z §Ỉt x= b + c ; y= c + a ;z = a + b ta cã a = VÝ dơ 3: (®ỉi biÕn sè) 1    (1) a  2bc b  2ac c 2ab Giải: Đặt x = a  2bc ; y = b2  2ac ; z = c2  2ab Ta cã x  y  z   a  b  c   Cho a, b, c > vµ a + b + c Theo bất đẳng thức Côsi ta cã: x  y  z  3 xyz vµ 1 1     xyz x y z 1 1   9 x y z  x  y z 6) ph-ơng pháp làm trội : Chøng minh B§T sau : 1 1     1.3 3.5 (2n  1).(2n  1) 1 b)     2 1.2 1.2.3 1.2.3 n a) Gi¶i : a) Ta cã : 1  2k  1  (2k  1)  1       2n  1  2n  1 (2k  1).(2k  1)  2k 1 2k   Cho n ch¹y từ đến k Sau cộng lại ta có 1 1   (®pcm)     1   1.3 3.5 (2n 1).(2 n  1)  n 1  1 1 1    1    b) Ta cã :   1.2 1.2.3 1.2.3 n 1.2 1.2.3  n 1 n 1 1 1 <  1               (®pcm) n  2  3  n 1 n  Bµi tËp vỊ nhµ: 1) Chøng minh r»ng: x + y + z +3  (x + y + z) HD: Ta xÐt hiÖu: x + y + z +3 – 2( x+ y +z ) = x - 2x + + y -2y +1 + z -2z +1 2) Cho a ,b,c số đo ba cạnh tam giác Chứng minh : a aa 2a a a    vµ ) bc a bc a bc bc a bc 1 1 3) < Chøng minh r»ng bc ac ab    a+b+c a b c http://topdoc.vn - File word sách tham khảo,đề thi, giáo án dạy thêm, 65 HD: bc ac bc ab ac ab b a = c     2c; ?; ?    b a a b c c  a b http://topdoc.vn - File word sách tham khảo,đề thi, giáo án dạy thêm, 66 ... tham khảo ,đề thi, giáo án dạy thêm, 13 Ta có sơ đồ: a = 2010 1 2010.1+3 = 2 013 2010.2 013 + = 404 6130 -4 2010.404 6130 – = 81 32 721296 Vậy: A(2010) = 81 32 721296 C Chứng minh đa thức chia hết cho... x2 – x + b) C = 8x9 – 9x8 + = 8x9 – - 9x8 + = 8( x9 – 1) – 9(x8 – 1) = 8( x – 1)(x8 + x7 + + 1) – 9(x – 1)(x7 + x6 + + 1) = (x – 1)(8x8 – x7 – x6 – x5 – x4 – x3 – x2 – x – 1) (8x8 – x7 – x6 – x5... + 370 chia hết cho 13 http://topdoc.vn - File word sách tham khảo ,đề thi, giáo án dạy thêm, c) 1719 + 1917 chi hết cho 18 d) 3663 - chia hết cho nhƣng không chia hết cho 37 e) 24n -1 chia hết