Đang tải... (xem toàn văn)
TÀI LIỆU BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TOÁN LỚP 9 HƯỚNG DẪN GIẢI DẠNG TOÁN: TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT – NHỎ NHẤT. Bài 1. Cho x + y = 2. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: S = x2 + y2. Hướng dẫn giải: Cách 1 : Từ x + y = 2 ta có y = 2 – x. Do đó : S = x2 + (2 – x)2 = 2(x – 1)2 + 2 ≥ 2. Vậy Min S = 2 x = y = 1. Cách 2 : Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki với a = x, c = 1, b = y, d = 1, ta có : (x + y)2 ≤ (x2 + y2)(1 + 1) 4 ≤ 2(x2 + y2) = 2S S ≥ 2. Min S = 2 khi x = y = 1. Bài 2: Cho a, b > 0 và 3a + 5b = 12. Tìm giá trị lớn nhất của tích P = ab. Hướng dẫn giải: Với các số dương 3a và 5b , theo bất đẳng thức Cauchy ta có: (3a + 5b)2 ≥ 4.15P (vì P = a.b) 122 ≥ 60P P ≤ Max P = . Dấu bằng xảy ra khi 3a = 5b = 12 : 2 a = 2 ; b = 65. Bài 3. Cho a + b = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : M = a3 + b3. Hướng dẫn giải: Ta có b = 1 – a, do đó M = a3 + (1 – a)3 = a3 + 1 – 3a + 3a2 – a3 = 1 – 3a + 3a2 = 3a2 – 3a + 1 = 3a2 – 3a + ¾ + ¼ = 3(a – ½)2 + ¼ ≥ ¼ . Dấu “=” xảy ra khi a = ½ . Vậy Min M = ¼ a = b = ½ . Bài 4. Cho a3 + b3 = 2. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức : N = a + b. Hướng dẫn giải: Đặt a = 1 + x b3 = 2 – a3 = 2 – (1 + x)3 = 1 – 3x – 3x2 – x3 ≤ 1 – 3x + 3x2 – x3 = (1 – x)3. Suy ra: b ≤ 1 – x. Ta lại có a = 1 + x, nên: a + b ≤ 1 + x + 1 – x = 2. Với a = 1, b = 1 thì a3 + b3 = 2 và a + b = 2. Vậy max N = 2 khi a = b = 1. Bài 5. Cho biểu thức M = a2 + ab + b2 – 3a – 3b + 2001. Với giá trị nào của a và b thì M đạt giá trị nhỏ nhất ? Tìm giá trị nhỏ nhất đó. Hướng dẫn giải: 2M = (a + b – 2)2 + (a – 1)2 + (b – 1)2 + 2.1998 ≥ 2.1998 M ≥ 1998. Dấu “ = “ xảy ra khi có đồng thời : Vậy min M = 1998 a = b = 1. Bài 6. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức : Hướng dẫn giải: Bài 7. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A = x2y với các điều kiện x, y > 0 và 2x + xy = 4. Hướng dẫn giải: Bất đẳng thức Cauchy viết lại dưới dạng () (a, b ≥ 0). Áp dụng bất dẳng thức Cauchy dưới dạng () với hai số dương 2x và xy ta được: Dấu “ = “ xảy ra khi : 2x = xy = 4 : 2 tức là khi x = 1, y = 2. max A = 2 x = 2, y = 2. Bài 8. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức : . Hướng dẫn giải: Ta có x2 – 6x + 17 = (x – 3)2 + 8 ≥ 8 nên tử và mẫu của A là các số dương , suy ra A > 0 do đó : A lớn nhất nhỏ nhất x2 – 6x + 17 nhỏ nhất. Vậy max A = x = 3. Bài 9. Tìm giá trị nhỏ nhất của : với x, y, z > 0. Hướng dẫn giải: Cách 1 : Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho 3 số dương x, y, z : Do đó Cách 2 : Giả sử x ≥ y ≥ z. Ta có : . Ta đã có (do x, y > 0) nên để chứng minh ta chỉ cần chứng minh : (1) (1) xy + z2 – yz ≥ xz (nhân hai vế với số dương xz) xy + z2 – yz – xz ≥ 0 y(x – z) – z(x – z) ≥ 0 (x – z)(y – z) ≥ 0 (2) Bài 56. Tìm giá trị nhỏ nhất của : (a < b) Hướng dẫn giải: Ta có : = | x – a | + | x – b | ≥ | x – a + b – x | = b – a (a < b). Dấu đẳng thức xảy ra khi (x – a)(x – b) ≥ 0 a ≤ x ≤ b. Vậy min P = b – a a ≤ x ≤ b. Bài 57. Cho các số thực dương x, y, z thoả mãn: x + y + z = 1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: A = Hướng dẫn giải: Áp dụng BĐT côsi ta có (Vì x + y + z =1) Chứng minh tương tự: Mà ; Do đó A Vậy GTLN của A = khi x = y = z = Bài 58: Cho các số thực dương x, y, z thoả mãn: x + y + z = 1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: A = Hướng dẫn giải: Áp dụng BĐT côsi ta có (Vì x + y + z =1). Chứng minh tương tự: Mà . Do đó A ; Vậy GTLN của A = khi x = y = z = Bài 59: Cho a, b, c, d là các số không âm thỏa mãn a + b + c + d = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = Hướng dẫn giải: Áp dụng BĐT Côsi cho 2 số không âm (a + b + c) và d ta có: 1 = (a + b + c) + d 2. 1 = a + b + c + d 4(a + b + c).d 1.(a + b + c) 4(a + b + c)(a + b + c).d => a + b + c 4(a + b + c)2.d 0 (1) Lại áp dụng BĐT Côsi cho 2 số không âm (a + b) và c ta có: (a + b) + c 2. (a+b+c)2 4 (a+b).c > 0 (2) Vì (1) và (2 ) cùng chiều và cùng dương nên thay (2) vào (1) ta được: a + b + c 4 (a + b + c)2.d 16 (a + b).c.d Ta có A = = (3) (Vì (a+b)2 4ab. Dấu “ = “ xảy ra khi: (1); (2); (3) cùng xảy ra dấu “=” và a + b + c + d = 1 Suy ra: . Vậy A nhỏ nhất bằng 64 khi Bài 60. Cho x, y là các số dương thỏa mãn . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: Hướng dẫn giải: Ta có: Áp dụng bất đẳng thức cosi cho hai số dương ta được ; Vì nên Dấu = xảy ra khi A đạt giá trị nhỏ nhất là khi Bài 61. Cho . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: Hướng dẫn giải: Do , đặt với x = 1 + a – 3y, thay vào biểu thức C: . khi: Bài 62. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: Hướng dẫn giải: ĐK: x≠0, y≠0 Áp dụng bắt đẳng thức Côsi cho bốn số dương ta có: ; => Vậy giá trị nhỏ nhất của Q là Q = – 52 khi x2 = y2 = 1
Hướng dẫn giải dạng tốn: Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ biểu thức TÀI LIỆU BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TOÁN LỚP HƯỚNG DẪN GIẢI DẠNG TOÁN: TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT – NHỎ NHẤT Bài 1. Cho x + y = Tìm giá trị nhỏ biểu thức: S = x2 + y2 Hướng dẫn giải: Cách 1 : Từ x + y = ta có y = – x Do : S = x2 + (2 – x)2 = 2(x – 1)2 + ≥ Vậy Min S = ⇔ x = y = Cách 2 : Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki với a = x, c = 1, b = y, d = 1, ta có : (x + y)2 ≤ (x2 + y2)(1 + 1) ⇔ ≤ 2(x2 + y2) = 2S ⇔ S ≥ ⇒ Min S = x = y = Bài 2: Cho a, b > 3a + 5b = 12 Tìm giá trị lớn tích P = ab Hướng dẫn giải: Với số dương 3a 5b , theo bất đẳng thức Cauchy ta có: ⇔ (3a + 5b)2 ≥ 4.15P (vì P = a.b) ⇔ 122 ≥ 60P ⇔ P ≤ ⇒ Max P = Dấu xảy 3a = 5b = 12 : ⇔ a = ; b = 6/5 Bài 3. Cho a + b = Tìm giá trị nhỏ biểu thức : M = a3 + b3 Hướng dẫn giải: Ta có b = – a, M = a3 + (1 – a)3 = a3 + – 3a + 3a2 – a3 = – 3a + 3a2 = 3a2 – 3a + = 3a2 3a + ắ + ẳ = 3(a ẵ)2 + ẳ ẳ Du = xy a = ½ Vậy Min M = ¼ ⇔ a = b = ½ Bài 4. Cho a3 + b3 = Tìm giá trị lớn biểu thức : N = a + b Hướng dẫn giải: Đặt a = + x ⇒ b3 = – a3 = – (1 + x)3 = – 3x – 3x2 – x3 ≤ – 3x + 3x2 – x3 = (1 – x)3 Suy ra: b ≤ – x Ta lại có a = + x, nên: a + b ≤ + x + – x = Với a = 1, b = a3 + b3 = a + b = Vậy max N = a = b = Bài 5. Cho biểu thức M = a2 + ab + b2 – 3a – 3b + 2001 Với giá trị a b M đạt giá trị nhỏ ? Tìm giá trị nhỏ Hướng dẫn giải: 2M = (a + b – 2)2 + (a – 1)2 + (b – 1)2 + 2.1998 ≥ 2.1998 ⇒ M ≥ 1998 Dấu “ = “ xảy có đồng thời : https://123doc.org/trang-ca-nhan-3408296-loc-tin-tai.htm Hướng dẫn giải dạng tốn: Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ biểu thức Vậy M = 1998 ⇔ a = b = Bài 6. Tìm giá trị lớn biểu thức : Hướng dẫn giải: Bài Tìm giá trị lớn biểu thức A = x2y với điều kiện x, y > 2x + xy = Hướng dẫn giải: Bất đẳng thức Cauchy viết lại dạng (*) (a, b ≥ 0) Áp dụng bất đẳng thức Cauchy dạng (*) với hai số dương 2x xy ta được: Dấu “ = “ xảy : 2x = xy = : tức x = 1, y = ⇒ max A = ⇔ x = 2, y = Bài 8. Tìm giá trị lớn biểu thức : Hướng dẫn giải: Ta có x2 – 6x + 17 = (x – 3)2 + ≥ nên tử mẫu A số dương , suy A > : A lớn ⇔ Vậy max A = nhỏ ⇔ x2 – 6x + 17 nhỏ ⇔ x = với x, y, z > Bài 9. Tìm giá trị nhỏ : Hướng dẫn giải: Cách 1 : Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho số dương x, y, z : Do Cách 2 : Giả sử x ≥ y ≥ z https://123doc.org/trang-ca-nhan-3408296-loc-tin-tai.htm Hướng dẫn giải dạng tốn: Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ biểu thức Ta có : Ta có (do x, y > 0) nên để chứng minh ta cần chứng minh : (1) 2 (1) ⇔ xy + z – yz ≥ xz (nhân hai vế với số dương xz) 2 ⇔ xy + z – yz – xz ≥ ⇔ y(x – z) – z(x – z) ≥ ⇔ (x – z)(y – z) ≥ (2) (2) với giả thiết z số nhỏ số x, y, z, (1) Từ tìm giá trị nhỏ Bài 10. Tìm giá trị nhỏ : A = x2 + y2 biết x + y = Hướng dẫn giải: Ta có x + y = ⇒ x2 + 2xy + y2 = 16 Ta lại có (x – y)2 ≥ ⇒ x2 – 2xy + y2 ≥ Từ suy 2(x2 + y2) ≥ 16 ⇒ x2 + y2 ≥ Min A = x = y = Bài 11. Tìm giá trị lớn của: A = xyz(x + y)(y + z)(z + x) với x, y, z ≥ ; x + y + z = Hướng dẫn giải: Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho ba số không âm : = x + y + z ≥ (1) = (x + y) + (y + z) + (z + x) ≥ Nhân vế (1) với (2) (do hai vế không âm): ≥ ⇒ (2) ⇒ A≤ max A = x = y = z = Bài 12. Tìm giá trị nhỏ biểu thức sau: Hướng dẫn giải: Ta có : M = | x + | + | x – | = | x + | + | – x | ≥ | x + + – x | = Dấu “ = “ xảy (x + 2)(3 – x) ≥ ⇔ -2 ≤ x ≤ (lập bảng xét dấu) Vậy M = ⇔ -2 ≤ x ≤ Bài 13. Tìm giá trị nhỏ biểu thức: Hướng dẫn giải: Điều kiện tồn x ≥ Do : A = +x≥0 https://123doc.org/trang-ca-nhan-3408296-loc-tin-tai.htm Hướng dẫn giải dạng tốn: Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ biểu thức ⇒ A = ⇔ x = Bài 14. Tìm giá trị lớn biểu thức : Hướng dẫn giải: = y ≥ 0, ta có : y2 = – x ⇒ x = – y2 Điều kiện : x ≤ Đặt B = – y2 + y = - (y – ½ )2 + ≤ max B = ⇔ y=½ ⇔ x= Bài 15. Với giá trị x, biểu thức sau đạt giá trị nhỏ : Hướng dẫn giải: A = - | – 3x | + | 3x – |2 = ( | 3x 1| - ẵ )2 + ắ ắ Từ suy : A = ¾ ⇔ x = ½ x = 1/6 Bài 16. Tìm giá trị nhỏ biểu thức: Hướng dẫn giải: P = | 5x – | + | – 5x | ≥ | 5x – + – 5x | = P = ⇔ Bài 17. Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn A = x2 + y2 , biết : x2(x2 + 2y2 – 3) + (y2 – 2)2 = (1) Hướng dẫn giải: Ta có x2(x2 + 2y2 – 3) + (y2 – 2)2 = ⇔ (x2 + y2)2 – 4(x2 + y2) + = - x2 ≤ Do : A2 – 4A + ≤ ⇔ (A – 1)(A – 3) ≤ ⇔ ≤ A ≤ A = ⇔ x = 0, y = ± max A = ⇔ x = 0, y = ± Bài 18. Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn : A = | x | + | y – 1 | với | x | + | y | = 5 Hướng dẫn giải: a) Tìm giá trị lớn Áp dụng | a + b | ≥ | a | + | b | A≤|x|+ +|y|+1=6+ ⇒ max A = + (khi chẳng hạn x = - 2, y = - 3) b) Tìm giá trị nhỏ Áp dụng | a – b | ≥ | a | - | b A≥|x|- |y|-1=4- ⇒ A = - (khi chẳng hạn x = 2, y = 3) Bài 19. Tìm giá trị nhỏ A = x4 + y4 + z4 biết xy + yz + zx = Hướng dẫn giải: Ta có : x4 + y4 ≥ 2x2y2 ; y4 + z4 ≥ 2y2z2 ; z4 + x4 ≥ 2z2x2 https://123doc.org/trang-ca-nhan-3408296-loc-tin-tai.htm Hướng dẫn giải dạng tốn: Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ biểu thức Suy : x4 + y4 + z4 ≥ x2y2 + y2z2 + z2x2 (1) Mặt khác, dễ dàng chứng minh : Nếu a + b + c = a2 + b2 + c2 ≥ Do từ giả thiết suy : x2y2 + y2z2 + z2x2 ≥ Từ (1) , (2) : A = (2) ⇔ x=y=z= Bài 20. Tìm giá trị nhỏ lớn : Hướng dẫn giải: ⇔ x=±1; Xét A2 để suy : ≤ A2 ≤ Vậy : A = max A = ⇔ x = Bài 21. Tìm giá trị lớn : Hướng dẫn giải: với a, b > a + b ≤ Ta có : Bài 22 Tìm giá trị nhỏ : Hướng dẫn giải: Để tồn ≥ A = ⇔ x = phải có x ≥ Do A = x + Bài 24. Tìm giá trị nhỏ : Hướng dẫn giải: Ta có Theo bất đẳng thức Cauchy : A = nên A ≥ chi +a+b= Bài 25. Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn A = 2x + 3y biết 2x2 + 3y2 ≤ Hướng dẫn giải: Ta xét biểu thức phụ : A2 = (2x + 3y)2 Nhớ lại bất đẳng thức Bunhiacôpxki : https://123doc.org/trang-ca-nhan-3408296-loc-tin-tai.htm Hướng dẫn giải dạng tốn: Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ biểu thức (am + bn)2 ≤ (a2 + b2)(m2 + n2) (1) Nếu áp dụng (1) với a = 2, b = 3, m = x, n = y ta có : A2 = (2x + 3y)2 ≤ (22 + 32)(x2 + y2) = 13(x2 + y2) Với cách ta không số α mà A2 ≤ α Bây giờ, ta viết A2 dạng : A2 = áp dụng (1) ta có : Do A2 ≤ 25 nên -5 ≤ A ≤ A = -5 ⇔ max A = ⇔ Bài 26. Tìm giá trị lớn A = x + Hướng dẫn giải: = y ≥ 0, ta có : y2 = – x Điều kiện x ≤ Đặt Bài 27. Tìm giá trị nhỏ Hướng dẫn giải: Áp dụng | A | + | B | ≥ | A + B | A = ⇔ ≤ x ≤ Bài 28. Tìm GTNN, GTLN Hướng dẫn giải: Xét A2 = + Do ≤ ⇒ ≤ A2 ≤ A = ≤1 ⇒ 2≤2+2 ≤4 với x = ± , max A = với x = Bài 29. Tìm giá trị nhỏ Hướng dẫn giải: Áp dụng bất đẳng thức : (bài 23) https://123doc.org/trang-ca-nhan-3408296-loc-tin-tai.htm Hướng dẫn giải dạng tốn: Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ biểu thức Bài 30. Tìm giá trị nhỏ Hướng dẫn giải: (1) Tập xác định : Xét hiệu : (- x2 + 4x + 12)(- x2 + 2x + 3) = 2x + Do (1) nên 2x + > nên A > Xét : 2 Hiển nhiên A ≥ dấu “ = ” khơng xảy (vì A > 0) Ta biến đổi A2 dạng khác : A2 = (x + 2)(6 – x) + (x + 1)(3 – x) - = = (x + 1)(6 – x) + (6 – x) + (x + 2)(3 – x) – (3 – x) - = (x + 1)(6 – x) + (x + 2)(3 – x) - +3 = = > A2 ≥ Do A > nên A = Bài 31 với x = Tìm GTNN, GTLN : Hướng dẫn giải: a) Điều kiện : x2 ≤ * Tìm giá trị lớn : Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacôpxki : A2 = (2x + )2 ≤ (22 + 11)(x2 + – x2) = 25 ⇒ A2 ≤ 25 Với x = A = Vậy max A = với x = * Tìm giá trị nhỏ : Chú ý từ A2 ≤ 25, ta có – ≤ x ≤ 5, không xảy A2 = - Do tập xác định A, ta có x2 ≤ ⇒ Do : 2x ≥ - ≤x≤ ≥ Suy : A = 2x + ≥-2 Min A = - với x = b) Xét biểu thức phụ | A | áp dụng bất đẳng thức Bunhiacôpxki Cauchy: https://123doc.org/trang-ca-nhan-3408296-loc-tin-tai.htm Hướng dẫn giải dạng tốn: Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ biểu thức => Do đó: - 1000 < A < 1000 Vậy A = - 1000 với x = - 10; max A = 1000 với x = 10 Bài 32. Tìm GTNN A = x + y biết x, y > thỏa mãn (a b số dương) Hướng dẫn giải: Cách 1 : A = x + y = 1.(x + y) = Theo bất đẳng thức Cauchy với số dương : Do với Cách 2 : Dùng bất đẳng thức Bunhiacơpxki : Từ tìm giá trị nhỏ A Bài 33. Tìm GTNN A = (x + y)(x + z) với x, y, z > xyz(x + y + z) = Hướng dẫn giải: A = (x + y)(x + z) = x2 + xz + xy + yz = x(x + y + z) + yz Vậy: A = chẳng hạn y = z = , x = - https://123doc.org/trang-ca-nhan-3408296-loc-tin-tai.htm Hướng dẫn giải dạng tốn: Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ biểu thức Bài 34. Tìm GTNN Hướng dẫn giải: với x, y, z > , x + y + z = Theo bất đẳng thức Cauchy : Suy 2A ≥ 2(x + y + z) = Tương tự : A = với x = y = z = Bài 35. Tìm GTNN Biết x, y, z > Hướng dẫn giải: Trước hết ta chứng minh Áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta có: , với a, b, c > Tương tự : Cộng vế bất đẳng thức: Theo kết chứng minh thì: Theo bất đẳng thức Cauchy : Vậy A = Bài 36. Tìm giá trị lớn của: a) với a, b > , a + b ≤ https://123doc.org/trang-ca-nhan-3408296-loc-tin-tai.htm Hướng dẫn giải dạng tốn: Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ biểu thức b) với a, b, c, d > a + b + c + d = Hướng dẫn giải: a) b) Ta có : Tương tự : Suy : B ≤ 6(a2 + b2 + c2 + d2 + 2ab + 2ac + 2ad + 2bc + 2bd + 2cd) = 6(a + b + c + d)2 ≤ Vậy Bài 37. Tìm giá trị nhỏ A = 3x + 3y với x + y = Hướng dẫn giải: Ta có: Vậy A = 18 với x = y = , với b + c ≥ a + d ; b, c > 0; a, d ≥ Bài 38 Tìm GTNN Hướng dẫn giải: Khơng tính tổng qt, giả sử a + b ≥ c + d Từ giả thiết suy : Đặt a + b = x ; c + d = y với x ≥ y > 0, ta có : 10 https://123doc.org/trang-ca-nhan-3408296-loc-tin-tai.htm Hướng dẫn giải dạng tốn: Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ biểu thức Vậy: ; Chẳng hạn Bài 39. Tìm giá trị lớn Hướng dẫn giải: , biết x + y = (*) (a + b ≥ 0) *Trước hết ta chứng minh : Áp dụng (*) ta có : * Có thể tính S2 áp dụng bất đẳng thức Cauchy Bài 40. Tìm GTNN GTLN biểu thức Hướng dẫn giải: Ta phải có | A | ≤ Dễ thấy A > Ta xét biểu thức: Ta có : Vậy Khi ⇔ Khi A = Bài 41. Tìm giá trị nhỏ Hướng dẫn giải: với < x < Để áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta xét biểu thức : Khi : 11 https://123doc.org/trang-ca-nhan-3408296-loc-tin-tai.htm Hướng dẫn giải dạng tốn: Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ biểu thức Giải (1) : 2x2 = (1 – x)2 ⇔ | x =1–x ⇔ | = | – x | Do < x < nên x ⇔ x= ⇔ x= Như B = - Bây ta xét hiệu : Do A = + x = Bài 42. Tìm GTLN : - biết x + y = ; b) Hướng dẫn giải: a) Điều kiện : x ≥ , y ≥ Bất đẳng thức Cauchy cho phép làm giảm tổng: Ở ta muốn làm tăng tổng Ta dùng bất đẳng thức: Vậy: Cách khác : Xét A2 dùng bất đẳng thức Cauchy b) Điều kiện : x ≥ , y ≥ Bất đẳng thức Cauchy cho phép làm trội tích: Ta xem biểu thức tích: Theo bất đẳng thức Cauchy : 12 https://123doc.org/trang-ca-nhan-3408296-loc-tin-tai.htm Hướng dẫn giải dạng tốn: Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ biểu thức Vậy Bài 43. Tìm GTNN, GTLN : Hướng dẫn giải: a) A = - với x = max A = b) B = với x = ± với x = ± với x = max B = Bài 44. Tìm giá trị lớn Hướng dẫn giải: Xét – ≤ x ≤ A ≤ Xét ≤ x ≤ Vậy Bài 45. Tìm giá trị lớn A = | x – y | biết x2 + 4y2 = Hướng dẫn giải: A = | x – y | ≥ 0, A lớn chi A2 lớn Theo bđt Bunhiacôpxki : Vậy: Bài 46. Tìm GTNN, GTLN A = x3 + y3 biết x, y ≥ ; x2 + y2 = Hướng dẫn giải: a) T ìm giá trị lớn : Từ giả thiết : 13 https://123doc.org/trang-ca-nhan-3408296-loc-tin-tai.htm Hướng dẫn giải dạng tốn: Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ biểu thức b) Tìm giá trị nhỏ : (x + y)2 ≤ 2(x2 + y2) = ⇒ x + y ≤ Do : Theo bất đẳng thức Bunhiacôpxki : = (x2 + y2) = Vậy: Bài 47. Tìm GTNN, GTLN Hướng dẫn giải: biết Đặt , ta có a, b ≥ 0, a + b = A = a + b = (a + b)(a2 – ab + b2) = a2 – ab + b2 = (a + b)2 – 3ab = – 3ab Do ab ≥ nên A ≤ max A = ⇔ a = b = ⇔ x = x = 1, y = 3 3 Ta có Bài 48. Tìm giá trị lớn A = x2(3 – x) với x ≥ Hướng dẫn giải: a) Xét ≤ x ≤ Viết A dạng : A = .(3 – x) Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho số không âm Ta : (3 – x) ≤ b) Xét x > 3, A ≤ (2) , , (3 – x) Do A ≤ (1) So sánh (1) (2) ta đến kết luận : 14 https://123doc.org/trang-ca-nhan-3408296-loc-tin-tai.htm Hướng dẫn giải dạng tốn: Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ biểu thức Bài 49. Tìm giá trị nhỏ Hướng dẫn giải: A = với x = Cách : Cách : Áp dụng bất đẳng thức Cauchy : Vậy A = với x = Bài 50. Tìm giá trị nhỏ A = x2(2 – x) biết x ≤ Hướng dẫn giải: Với x < A ≥ (1) Với ≤ x ≤ 4, xét - A = x2(x – 2) Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho ba số không âm : - A ≤ 32 ⇒ A ≥ - 32 A = - 32 với x = Bài 51 Tìm giá trị lớn Hướng dẫn giải: Điều kiện : x2 ≤ Vậy: max A = với x = ± Bài 52. Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn A = x(x2 – 6) biết ≤ x ≤ Hướng dẫn giải: a) Tìm giá trị lớn : Cách 1 : Với ≤ x < A = x(x2 – 6) ≤ Ta có ≤ x ≤ ⇒ ≤ x2 ≤ ⇒ ≤ x2 – ≤ Với x ≥ Suy x(x2 – 6) ≤ max A = với x = Cách 2 : A = x(x2 – 9) + 3x Ta có x ≥ 0, x2 – ≤ 0, 3x ≤ 9, nên A ≤ max A = với x = b) Tìm giá trị nhỏ : Cách 1 : A = x3 – 6x = x3 + (2 )3 – 6x – (2 = (x + )(x2 - x + 8) – 6x - 16 = (x + )(x2 - x + 2) + (x + )3 ).6 – 6x - 16 15 https://123doc.org/trang-ca-nhan-3408296-loc-tin-tai.htm Hướng dẫn giải dạng tốn: Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ biểu thức Vậy A = - = (x + )(x )2 - ≥ -4 Cách 2 : Áp dụng bất đẳng thức Cauchy với số không âm : x3 + +2 Suy x3 – 6x ≥ - ≥ với x = = 6x A = - với x = Bài 53. Một miếng bìa hình vng có cạnh dm Ở góc hình vng lớn, người ta cắt hình vng nhỏ gấp bìa để hộp hình hộp chữ nhật khơng nắp Tính cạnh hình vng nhỏ để thể tích hộp lớn Hướng dẫn giải: Gọi x cạnh hình vng nhỏ, V thể tích hình hộp Cần tìm giá trị lớn V = x(3 – 2x)2 Theo bất đẳng thức Cauchy với ba số dương : 4V = 4x(3 – 2x)(3 – 2x) ≤ = max V = ⇔ 4x = – 2x ⇔ x = Thể tích lớn hình hộp dm3 cạnh hình vng nhỏ dm Bài 54. Tìm giá trị nhỏ biểu thức : Hướng dẫn giải: Do A tổng hai biểu thức dương nên áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có: = Đẳng thức xảy : Ta có A ≥ 2, đẳng thức xảy x = Vậy : A = ⇔ x = Bài 55. Tìm GTNN biểu thức : Hướng dẫn giải: Đưa biểu thức dạng : Áp dụng | A | + | B | ≥ | A + B | 16 https://123doc.org/trang-ca-nhan-3408296-loc-tin-tai.htm Hướng dẫn giải dạng tốn: Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ biểu thức Vậy: A = ⇔ -1 ≤ x ≤ Bài 56. Tìm giá trị nhỏ : Hướng dẫn giải: (a < b) Ta có : =|x–a|+|x–b|≥|x–a+b–x|=b–a (a < b) Dấu đẳng thức xảy (x – a)(x – b) ≥ ⇔ a ≤ x ≤ b Vậy P = b – a ⇔ a ≤ x ≤ b Bài 57 Cho số thực dương x, y, z thoả mãn: x + y + z = Tìm giá trị lớn biểu thức: A = Hướng dẫn giải: Áp dụng BĐT cơsi ta có (Vì x + y + z =1) Chứng minh tương tự: Mà ; Do A Vậy GTLN A = x = y = z = Bài 58: Cho số thực dương x, y, z thoả mãn: x + y + z = Tìm giá trị lớn biểu thức: A = Hướng dẫn giải: Áp dụng BĐT cơsi ta có 17 https://123doc.org/trang-ca-nhan-3408296-loc-tin-tai.htm Hướng dẫn giải dạng tốn: Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ biểu thức (Vì x + y + z =1) Chứng minh tương tự: Mà Vậy GTLN A = Do A ; x = y = z = Bài 59: C ho a, b, c, d số không âm thỏa mãn a + b + c + d = Tìm giá trị nhỏ biểu thức A = Hướng dẫn giải: Áp dụng BĐT Cô-si cho số không âm (a + b + c) d ta có: = (a + b + c) + d = a + b + c + d 4(a + b + c).d 1.(a + b + c) 4(a + b + c)(a + b + c).d => a + b + c 4(a + b + c)2.d (1) Lại áp dụng BĐT Cô-si cho số không âm (a + b) c ta có: (a + b) + c (a+b+c)2 (a+b).c > (2) Vì (1) (2 ) chiều dương nên thay (2) vào (1) ta được: a + b + c (a + b + c)2.d 16 (a + b).c.d Ta có A = = (3) (Vì (a+b)2 4ab Dấu “ = “ xảy khi: (1); (2); (3) xảy dấu “=” a + b + c + d = Suy ra: Vậy A nhỏ 64 Bài 60 Cho x, y số dương thỏa mãn Tìm giá trị nhỏ biểu thức: Hướng dẫn giải: - Ta có: 18 https://123doc.org/trang-ca-nhan-3408296-loc-tin-tai.htm Hướng dẫn giải dạng tốn: Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ biểu thức - Áp dụng bất đẳng thức cosi cho hai số dương ta ; - Vì nên - Dấu "=" xảy - A đạt giá trị nhỏ Bài 61 Cho Tìm giá trị nhỏ biểu thức: Hướng dẫn giải: Do , đặt với x = + a – 3y, thay vào biểu thức C: khi: Bài 62 T ìm giá trị nhỏ biểu thức: Hướng dẫn giải: ĐK: x≠0, y≠0 19 https://123doc.org/trang-ca-nhan-3408296-loc-tin-tai.htm Hướng dẫn giải dạng tốn: Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ biểu thức Áp dụng bắt đẳng thức Cơ-si cho bốn số dương ta có: ; => Vậy giá trị nhỏ Q Q = – 5/2 x2 = y2 = Bài 63 V ới x, y số thực dương Tìm giá trị nhỏ biểu thức: Hướng dẫn giải: Ta chứng minh hai bất đẳng thức: (1); Thật BĐT (1) (2) (đúng với x, y) BĐT (2) Do Nên Suy BĐT (2) Từ (1) (2) ta Vậy P = x = y ; Dấu “=” xảy x = y Bài 64 Cho a, b, c > Tìm giá trị nhỏ Hướng dẫn giải: Dự đoán a =2, b = 3, c = 20 https://123doc.org/trang-ca-nhan-3408296-loc-tin-tai.htm Hướng dẫn giải dạng toán: Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ biểu thức Bài 65 Cho x, y hai số thực không âm thay đổi Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức Hướng dẫn giải: Khi cho x=0 y= P = -1/4 Khi cho x=1 y = P = 1/4 Bài 66 Cho hai số a, b thỏa mãn: Tìm giá trị nhỏ tổng Hướng dẫn giải: Bài 67 Cho x; y số thực dương.Tìm giá trị nhỏ biểu thức: Hướng dẫn giải: Đặt Có Bài 68 Cho hai số thực dương x, y thỏa mãn điều kiện: Tìm giá trị nhỏ biểu thức: Hướng dẫn giải: Dấu xảy Vậy Min B 43 21 https://123doc.org/trang-ca-nhan-3408296-loc-tin-tai.htm Hướng dẫn giải dạng tốn: Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ biểu thức Bài 69 Cho x, y, z số thực dương thỏa mãn x + y + z = Tìm giá trị nhỏ P = Hướng dẫn giải: có =khi y=2x; z=4x; z = 2y =>P 49/16 Min P = 49/16 với x = 1/7; y = 2/7; z = 4/7 Bài 70 Cho a, b, c> Tìm giá trị nhỏ Hướng dẫn giải: Tương tự : Do đó: -************ 22 https://123doc.org/trang-ca-nhan-3408296-loc-tin-tai.htm .. .Hướng dẫn giải dạng tốn: Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ biểu thức Vậy M = 1998 ⇔ a = b = Bài 6. Tìm giá trị lớn biểu thức : Hướng dẫn giải: Bài Tìm giá trị lớn biểu thức A = x2y với... https://123doc.org/trang-ca-nhan-3408296-loc-tin-tai.htm Hướng dẫn giải dạng tốn: Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ biểu thức Bài 65 Cho x, y hai số thực khơng âm thay đổi Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức Hướng dẫn giải: Khi cho x=0... Bài 51 Tìm giá trị lớn Hướng dẫn giải: Điều kiện : x2 ≤ Vậy: max A = với x = ± Bài 52. Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn A = x(x2 – 6) biết ≤ x ≤ Hướng dẫn giải: a) Tìm giá trị lớn : Cách