BÀI 3: TÍCH MỘT VECTO VỚI MỘT SỐ I – LÝ THUYẾT Định nghĩa Tính chất Điều kiện để hai vectơ phương Điều kiện ba điểm thẳng hàng Biểu thị vectơ theo hai vectơ không phương Chú ý r r Cho vectơ a số k ∈ R ka vectơ xác định sau: r r + ka hướng với a k ≥ 0, r r + ka ngược hướng với a k < r r + ka = k a r r r r k( a + b) = ka + kb ; r r r (k + l)a = ka + la ; r r k ( la) = (kl )a r r r r ka = ⇔ k = a = r r r r r r a vaøb ( a ≠ 0) cù ng phương⇔ ∃k ∈ R : b = ka uuu r uuur AB = kAC A, B, C thẳng hàng ⇔ ∃k ≠ 0: r r r Cho hai vectơ không phương a, b x tuỳ ý Khi ∃! m, r r r n ∈ R: x = ma + nb • Hệ thức trung điểm đoạn thẳng: uuur uuur r M trung điểm AB ⇔ MA + MB = uuu r uuu r uuur OA + OB = OM ⇔ (O tuỳ ý) • Hệ thức trọng tâm tam giác: uuu r uuu r uuur r GA + GB + GC = G trọng tâm ∆ABC ⇔ uuu r uuu r uuur uuur ⇔ OA + OB + OC = 3OG (O tuỳ ý) BÀI 3: TÍCH MỘT VECTO VỚI MỘT SỐ II – DẠNG TOÁN r Dạng 1: Xác định vectơ k a Phương pháp: Để chứng minh đẳng thức vectơ phân tích vectơ theo hai vectơ không phương, ta thường sử dụng: – Qui tắc ba điểm để phân tích vectơ – Các hệ thức thường dùng như: hệ thức trung điểm, hệ thức trọng tâm tam giác – Tính chất hình uuuu r r uuur r r uuu r Ví dụ 1: Cho a = AB điểm O Xác định hai điểm M N cho: OM = 3a; ON = −4a (Sai hình) r a N O M Hướng dẫnrgiải: r r Vẽ d qua O // với giá a (nếu O ∈ giá a d giá a ) r uuuu r r uuuu r r − Trên d lấy điểm M cho OM=3| a |, OM a hướng OM = 3a r uuur r uuur r − Trên d lấy điểm N cho ON= 4| a |, ON a ngược hướng nên ON = −4a Ví dụ 2: Cho đoạn thẳng AB M điểm nằm đoạn AB cho AM= AB Tìm k đẳng thức u sau: uuu r uuu r uuur uuur uuur uuu r a )AM = k AB; b ) MA = k MB; c ) MA = k AB Hướng dẫn giải: A M B uuuu r uuuu r uuu r | AM | AM 1 r = uuuu r uuu r AM = k AB ⇒| k |= uuu = AB AM ↑↑ AB | AB | a) , ⇒ k= b) k= − c) k= − r r − a ( ) Ví dụ 3: a) Chứng minh:vectơ đối 5a r r r r 2a + 3b a − 2b b) Tìm vectơ đối véctơ , Hướng dẫn giải: r r r r −5a = ( −1) 5a = ( ( −1) ) a = ( −5 ) a a) r r r r r r r r r r − 2a + 3b = ( −1) 2a + 3b = ( −1) 2a + ( −1) 3b = ( −2 ) a + ( −3 ) b = −2a − 3b b) ( ) ( ) ( ) Dạng 2: Biểu diễn (phân tích, biểu thị) thành hai vectơ khơng phương A C Ví dụ 4: Cho ∆ABC có trọng tâm G Cho điểm D, E, F r uuu r r uuur u = AE; v = AF Hãy phân trung điểm củaucác cạnh BC, CA, điểm AD EF Đặt ur uu ur uuu r uuu r AB I giao rr tích vectơ AI , AG,DE,DC theo hai vectơ u,v Hướng dẫn giải: uur uuur uuu r uuur 1r 1r AI = AD = ( AE + AF ) = u + v ) 2 2 Ta có uuur uuur r r AG = AD = u + v 3 3r uuur uur uuur r DE = FA = − AF = 0.u + ( −1 )v uuur uuu r uuu r uuur r r DC = FE = AE − AF = u − v uuuu r AM Ví dụ 5: Cho tam giác ABC Điểm M nằm cạnh BC cho MB= 2MC Hãy phân tích vectơ r uuur r uuur theo hai vectơ u = AB, v = AC Hướng dẫn giải: uuuu r uuu r uuuu r uuu r uuu r AM = AB + BM = AB + BC Ta có uuur uuur uuu r mà BC = AC − AB uuuu r uuu r uuur uuu r 1r 2r AM = AB + ( AC − AB ) = u + v 3 ⇒ Dạng 3: Chứng minh điểm thẳng hàng uuur uuu r uuur uuu r AC AB = k AC AB ¡ + A, B, C thẳng hàng ⇔ phương ⇔∃ 0≠k ∈ : uuu r uuur + Nếu AB = kCD hai đường thẳng AB CD phân biệt AB//CD Ví dụ 6: Cho tam giác ABC có trung tuyến AM Gọi I trung điểm AM K trung điểm AC AK = AC Chứng minh ba điểm B, I, K thẳng hàng Hướng dẫn giải: Ta có uur uur uuuu r uur uuu r 2BI = BA + BM = BA + BC uur uur uuu r 4BI = 2BA + BC ( ) Ta lại có uuur uur uuur uur uuur BK = BA + AK = BA + AC uur uuur uur uur uuur = BA + ( BC − BA ) = BA + BC 3 uuur uur uuur 3BK = 2BA + BC (2) uuur uur uuur uur 3BK = 4BI ⇒ BK = BI Từ (1)&(2)⇒ ⇒ B, I, K thẳng hàng Ví uuu rdụ u7: uurChor tam uuu rgiác uuu rABC.uuHai ur rđiểm M, N xác định hệ thức: BC + MA = , AB − NA − 3AC = Chứng minh MN//AC Hướng dẫn giải: uuur uuur uuu r uuu r uuur r BC + MA + AB − NA − AC = uuur uuur uuur r uuur uuur hay AC + MN − 3AC = ⇔ MN = AC uuur uuur uuu r uuuu r MN / / AC Theo giả thiết BC = AM Mà A,B,C không thẳng hàng nên bốn điểm A,B,C,M hình bình hành ⇒ M khơng thuộc AC⇒ MN//AC Dạng 4: Chứng minh đẳng thức vetơ có chứa tích vectơ với số CD Chứng minh: Víuudụ ur 8:uGọi uur M, uuurN trung điểm hai đoạn thẳng AB M 2MN = AC + BD B A Hướng dẫn giải: uuur uuur uuuu r uuur uuur uuuu r uuur uuur D VP = AC + BD = AM + MN + NC + BM + MN + ND N uuur uuuu r uuuu r uuur uuur C = 2MN + AM + BM + ND + NC uuur = 2MN uuu r uuur uuur uuur Ví dụ 9: Cho hình bình hành ABCD Chứng minh: AB + AC + AD = 3AC Hướng uuu r uuu r uuur dẫn giải: AB + AD = AC Áp dụnguu qiur tắc u hình uur bình uuurhành uurta có ⇒ VT= AC + AC = 3AC = VP (đpcm) Víuudụ Chứng uur 10: uuu r uuurminh uuurằng u r G G’ trọng tâm tam giác ABC A’B’C’ 3GG' = AA' + BB' + CC' Hướng dẫn giải: uuur uuur uuuu r VP = AA' + BB' + CC' uuur uuuur uuuuur uuur uuuur uuuuur uuur uuuur uuuuur = AG + GG' + G' A' + BG + GG' + G' B' + CG + GG' + G' C' uuuu r uuur uuur uuur uuuuur uuuuur uuuuur = 3GG' + AG + BG + CG + G' A' + G' B' + G' C' uuuu r uuu r uuu r uuur uuuuur uuuuur uuuuur = 3GG' − ( GA + GB + GC ) + G' A' + G' B' + G' C' uuuu r = 3GG' Dạng 5: Xác định vị trí điểm nhờ đẳng thức véctơ uuu r r AB =0 ⇔ A≡ B + r uuuu r r a AM =a + Cho uuu r điểm uuur A Cóuduy uur uuur M cho : + AB = AC ⇔ B ≡ C; AD = BD ⇔ A ≡ B uuur uuur Ví dụ 11: Cho tam giác ABC có D trung điểm BC Xác định vị trí G biết AG = 2GD Hướng dẫn giải: uuur uuur AG = 2GD ⇒ A,G, D thẳng hàng AG=2GD G nằm A D Vậy G trọng tâm tam giác ABC A G uu r uur r Ví dụ 12: Cho hai điểm A B Tìm điểm I cho: IA + 2IB = B I C Hướng dẫn giải: uu r uur r uu r uur uu r uur IA + 2IB = ⇔ IA = −2IB ⇒ IA = −2IB A B I uu r uur hay IA=2IB, IA ↑↓ IB Vậy I điểm thuộc AB cho IB= AB uuu r uuu r uuur uuur r Ví dụ 13: Cho tứ giác ABCD Xác định vị trí điểm G cho: GA + GB + GC + GD = Hướng dẫn giải: uuu r uuu r uur = 2GI I trung điểm AB Ta có GA +uuGB B ur uuur , u uur GC + GD = 2GK Tương tự , K trung điểm CD uuu r uuu r uuur uuur uur uuur I GA + GB + GC + GD = 2GI + 2GK uur uuur r hay GI + GK = C K A D ⇒ G trung điểm IK BÀI 3: TÍCH MỘT VECTO VỚI MỘT SỐ II - BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM Dạng 1: Đẳng thức véctơ không dùng tính chất trung điểm, trọng tâm Nhận biết Câu Chọn phát biểu sai? uuu r uuu r AB = k BC ,k ≠ A, B, C A Ba điểm phân biệt thẳng hàng uuur uuu r B Ba điểm phân biệt A, B, C thẳng hàng AC = k BC , k ≠ uuu r uuur AB = k AC , k ≠ A, B, C C Ba điểm phân biệt thẳng hàng uuu r uuur D Ba điểm phân biệt A, B, C thẳng hàng AB = k AC Hướng dẫn giải Chọn D Câu uuu r uuur A, B, C ∃ k ∈ ¡ ,k ≠ AB = k AC Ta có ba điểm phân biệt thẳng hàng cho r r a b Cho hai vectơ không phương Hai vectơ sau phương? r 1r 1r r r r r r − a + 6b − a −b − a + b a +b 2 A B r r r r r r 1 r r a −b − a+b a+b C D a − 2b Hướng dẫn giải Chọn C 1r r  r r a − b = −  − a + b÷   nênchọn Đáp ánC Ta có Câu u r r Cho hai vectơ a b không phương Hai vectơ sau phương? r 1r r r 3r r r r 3r r r r v = a − 3b u = a + 3b v = 2a − b 5 A u = 2a + 3b B r 2r r r r 3r r 1r 1r r r r u = a + 3b u = 2a − b v =− a+ b C v = 2a − 9b D Hướng dẫn giải Câu Chọn D r 1r 1r 1 r r 1r v = − a + b = −  2a − b ÷ = − u 6  Ta có r r Hai vectơ u v phương r r uu r uur uu r uur a , b x = − a + b Cho không phương, Vectơ hướng với x là: uur uu r uur uu r uur uu r uur uu r −a + b a − b a + b − a + b A B C D Hướng dẫn giải Chọn B uur uu r uur uu r r uu − a + b = −2 a + b = x 2 Chọn B Ta có r r a b Cho hai vectơ không phương Hai vectơ sau phương? 1r r 1r r 1r r r − a+b r a −b a+b A a − 2b B r 1r 1r 1r a + 2b a+ b D r r r r − a + 100b D −3a + b Hướng dẫn giải Chọn A r 1r r r − a + b = − a − 2b Ta có nên chọn A ( Câu ( ) ) Thông hiểu Câu Câu r r r r r r r b ≠ 0, a = − 2b , c = a + b Khẳng định sau sai? Cho vectơ r r r r b v c b v c A Hai vectơ B Hai vectơ ngược hướng r r r r C Hai vectơ b c phương D Hai vectơ b c đối Hướng dẫn giải Chọn A r r r r r r r r a = − 2b ⇒ c = a + b = − 2b + b = − b Ta có r r Vậy hai vectơ b c đối r r r r r r a + x − b ( ) Biết hai vectơ a b không phương hai vectơ 2a − 3b x phương Khi giá trị là: 3 − − A B C D Hướng dẫn giải Chọn C x −1 r r r r = ⇒ x = − a + x − b ( ) phương nên có tỉ lệ: −3 Ta có 2a − 3b Dạng 2: Dùng tính chất trung điểm, trọng tâm – ba điểm thẳng hàng Nhận biết Câu uuu r ABC G GA = AM Cho tam giác với trung tuyến trọng tâm Khi r r r uuuu uuuu uuuu uuuu r GM − AM AM A 2GM B C D Hướng dẫn giải Chọn C Ta có Câu GA = uuu r r 2 uuuu uuu r uuuu r AM GA = − AM 3 Mặt khác GA AM ngược hướng Cho tam giác ABC có trọng tâm G trung tuyến AM Khẳng định sau sai: uuur uuur uuur uuur uuu r uuuu r r A GA + 2GM = B MA + MB + MC = 3MG, ∀M uuu r uuu r uuur r uuuu r uuur GA + GB + GC = AM = − 2MG C D Hướng dẫn giải Chọn D uuuu r uuur ⇒ AM = −3MG uuur uuuu r AM = 3MG AM Ta có Mặt khác MG ngược hướng Câu 10 Cho ba điểm A, B, C phân biệt Điều kiện cần đủ để ba điểm thẳng hàng uuur uuur uuur r uuur uuur uuur A ∀M : MA + MB + MC = B ∀M : MA + MC = MB uuur uuu r uuur uuu r uuur AC = AB + BC ∃ k ∈ R : AB = k AC C D Hướng dẫn giải Chọn D Ta có tính chất: Điều kiện cần đủ để ba điểm A, B, C phân biệt thẳng hàng uuu r uuur ∃k ∈ R : AB = k AC Câu 11 Điều kiện điều kiện cần đủ để điểm O trung điểm đoạn AB uuu r uuu r uuur uuur uuu r uuu r r A OA = OB B OA = OB C AO = BO D OA + OB = Hướng dẫn giải Chọn D uuu r OA = OB; OA O AB Điểm trung điểm đoạn và ngược hướng uuu r uuu r r Vậy OA + OB = Câu 12 Cho tam giác ABC Gọi I trung điểm BC Khẳng định sau uur uur uur uur uur uuur uuur uur A BI = IC B 3BI = 2IC C BI = 2IC D 2BI = IC Hướng dẫn giải uur Chọn A I trung điểm BC nên BI = CI BI uur uur uur IC hướng với hai vectơ BI , IC hay uur uur BI = IC Câu 13 Cho điểm O trung điểm đoạn AB Khẳng định sau đúng? uuu r uuu r uuur uuur uuu r uuu r A OA = BO B OA = OB C AO = BO D AB = 2OA uuu r uuu r Hướng dẫn giải Chọn A Câu 14 Đẳng thức sau mơ tả hình vẽ bên: uur uuur r uur uuu r r uu r uur r A AI + AB = B 3BI + BA = C IA + 3IB = uur uuu r r D BI + 3BA = Hướng dẫn giải Chọn D uur uuu r 2 uur uuu r BI ; BI BA = − BI 3 Ta có BA ngược hướng nên uuu r u u r u u r u u u r r BA = − BI ⇔ BI + 3BA = uu3r uuu r r Vậy BI + 3BA = BA = Câu 15 Câu 16 Phát biểu sai? uuu r uuur uuur uuur uuur uuur AB = AC A, B, C , D thẳng hàng = AC AB = CD A Nếu AB B uuur uuur r uuur uuur thìuuur uuu r A , B , C AB + AC = AB − CD = DC − BA C Nếu thẳng hàng D Hướng dẫn giải Chọn B  AB / / CD uuur uuur  AB = CD  AB ≡ CD Nên Đáp án B SAI A , B ,C Cho tam giác ABC , có trọng tâm G Gọi 1 trung điểm BC , CA, AB Chọn khẳng định sai? uuur uuur uuuu r r uuur uuur uuur r GA + GB + GC = 1 AG + BG + CG = A uuur uuur uuuu B u r r uur uuuu r AA + BB + CC = GC = GC 1 1 C D Hướng dẫn giải Chọn D uuur uuuu r uuur uuuu r GC = − GC GC = GC 1 sai Ta có nên Chọn D Câu 17 Nếu G trọng tâm tam giác ABC đẳng thức sau đúng? uuu r uuur uuu r uuur uuur 3( AB + AC ) uuur AB + AC AG = AG = A B uuu r uuur uuu r uuur uuur 2( AB + AC ) uuur AB + AC AG = AG = C D Hướng dẫn giải Chọn B Gọi M trung điểm uuur uuuu r AG = AM = Ta có BC uuu r uuur r uuur uuur AB + AC uuu AB + AC ⇒ AG = 3 ( ) Câu 18 Xét phát biểu sau: Câu 19 Gọi CM trung tuyến tam giác ABC D trung điểm CM Đẳng thức sau đúng? uuu r uuur uuur r uuu r uuur uuur r DA + DB + 2DC = DA + DC + 2DB = A B uuu r uuur uuur r uuur uuur uuu r r C DA + DB + 2CD = D DC + DB + 2DA = Hướng dẫn giải uuu r uuur BA = −2 AC (1) Điều kiện cần đủ để C trung điểm đoạn AB u uu r uuu r = CA (2) Điều kiện cần đủ để C trung điểm đoạn AB CB uuur uuuu r PQ PQ = PM M (3) Điều kiện cần đủ để trung điểm đoạn Trong câu trên, thì: A Câu (1) câu (3) B Câu (1) sai C Chỉ có câu (3) sai D Khơng có câu sai Hướng dẫn giải Chọn A Ta có uuu r uuur = −2 AC (1) Điều kiện cần đủ để C trung điểm đoạn AB BA uuur uuuu r PQ PQ = PM M (3) Điều kiện cần đủ để trung điểm đoạn uuu r uuu r C CB = CA AB Phát biểu sai: (2) Điều kiện cần đủ để trung điểm đoạn Do câu (1) câu (3) Thơng hiểu Chọn A Ta có uuu r uuur uuur uuuu r uuur uuuu r uuur r r DA + DB + 2DC = 2DM + 2DC = DM + DC = 2.0 = ( Câu 20 uuur ) uuur uuuu r r Cho ∆ABC Tìm điểm M thỏa MA + MB + MC = A M trung điểm cạnh IC , với I trung điểm cạnh AB B M trùng với đỉnh C ∆ABC C M trọng tâm tam giác ABC D M đỉnh hình bình hành MCAB Hướng dẫn giải Chọn A Gọi I trung điểm cạnh AB Ta có: uuur uuur uuuu r r uuu r uuuu r r MA + MB + 2MC = ⇔ MI + MC = uuu r uuuu r r uuu r uuuu r r ⇔ MI + MC = ⇔ MI + MC = ( ) Vậy M trung điểm cạnh IC Phân tích phương án nhiễu: Phương án B: Sai dùng tính chất M trọng tâm tam giác ∆ABC uuur uuur uuuu r r MA + MB + MC = uuur uuur uuuu r uuuu r r uuuu r r ⇔ MA + MB + MC + MC = ⇔ MC = ⇔ M ≡ C Phương án C: Sai HS dùng khơng hiểu tính chất M trọng tâm tam giác ∆ABC uuur uuur uuuu r r MA + MB + MC = ⇒ M trọng tâm tam giác ABC Phương án D: Sai HS dùng sai tính chất trung điểm uuur uuur uuuu r r uuu r uuuu r r uuu r uuuu r r uuuu r uuu r MA + MB + MC = ⇔ AB + 2MC = ⇔ AB + MC = ⇔ MC = BA Nên M đỉnh hình bình hành MCAB uu r uur uur r IA + IB + 3IC = Câu Câu 21 Cho tam giác ABC, D trung điểm cạnh AC Gọi I điểm thỏa mãn: sau đúng? A I trực tâm ∆BCD B I trọng tâm ∆ABC C I trọng tâm ∆CDB D Cả A, B, C sai Hướng dẫn giải Chọn C Câu 22 Câu 23 uuuu r uuu r uuur uuur Cho hình bình hành ABCD, điểm M thỏa AM = AB + AC + AD Khi điểm M là: A trung điểm AC B điểm C C trung điểm AB D trung điểm AD Hướng dẫn giải Chọn A Cho hai tam giác ABC A’B’C’ có trọng tâm G G’ Đẳng thức sau đúng? r uuuu uuuur uuuur uuuur uuuur uuuur uuuu r uuur A 3GG ' = A ' A + B ' B + C ' C B 3GG ' = AB ' + BC ' + CA ' r uuur uuur r uuuur uuuu uuuur uuur uuur uuuu C 3GG ' = AC ' + BA ' + CB ' D 3GG ' = AA ' + BB ' + CC ' Hướng dẫn giải Chọn D Câu 91 Cho tam giác OAB Gọi M, N trung điểm hai cạnh OA OB Các số m, n thích hợp uuuu r uuu r uuu r để có đẳng thức MN = mOA + nOB là: 1 1 1 A m = , n = B m = 0, n = C m = , n = – D m = – , n = Hướng dẫn giải Chọn D Câu 92 Cho tam giác OAB Gọi N trung điểm OB Các số m, n thỏa mãn đẳng thức uuur uuu r uuu r AN = mOA + nOB Khẳng định sau đúng? A m = −1 n = m=− B m = −4 n = C Hướng dẫn giải 1 m = n = n = D Chọn A m = −1  r uuu r uuu r uuu uuur uuur uuu r r uuu r⇒ 1 uuu n= AN = AO + AB = −OA + OB − OA = −OA + OB   2 2 uur uuur BI = k BC (k ≠ 1) Hệ thức Câu 93 Cho hình bình hành ABCD Gọi I điểm xác định uur uuur uuur AI , AB, AC là: uur uuur uuur uur uuur uuur AI = (k-1) AB − k AC AI = (1-k) AB + k AC A B uur uuur uuur uur uuur uuur AI = (1 + k) AB − k AC AI = (1 + k) AB + k AC C D Hướng dẫn giải Chọn B ( Câu 94 ) ) uuur uuur uur uuur uur ( m; n) Cho tam giác ABC , điểm I thoả mãn: 5MA = MB Nếu IA = mIM + nIB cặp số bằng: 3 2  3  2 3 2  ; ÷  ; ÷ − ; ÷  ;− ÷ 5 5 5       A B C D  5  Hướng dẫn giải Chọn A Ta có uuur uuur uuu r uu r uuu r uur uu r uuur uur uu r uuur uur 5MA = 2MB ⇔ MI + IA = MI + IB ⇔ 5IA = 3IM + IB ⇔ IA = IM + IB 5 ( Câu 95 ( ) ( ) Cho tam giác ABC có M thuộc cạnh BC cho CM = MB I trung điểm AB Đẳng thức sau đúng? uuur uuu r uuur uuur uuu r uuur IM = AB + AC IM = AB − AC 6 A B uuur uuu r uuur uuur uuu r uuur IM = AB + AC IM = AB + AC 3 C D Hướng dẫn giải Chọn A Ta có uuur uur uuuu r uuu r uuur uuu r uuur uuu r r uuur uuu IM = IB + BM = AB + BC = AB + AC − AB = AB − AC 3 ( Câu 96 ) Cho tam giác ABC có N thuộc cạnh BC cho BN = NC I trung điểm AB Đẳng thức sau đúng? uur r uuur uur uuu r uuur uuu NI = − AB − AC NI = AB − AC 6 A B uur uuur uuur uur u u u r u u u r NI = AB − AC NI = − AB + AC 3 C D Hướng dẫn giải Chọn B uur uur uuur r uuur r uuur uuu r r uuur uuu uuu uuu NI = BI − BN = − AB − BC = − AB − AC − AB = AB − AC 3 Ta có ( Câu 97 ) Cho tam giác ABC có I , D trung điểm AB, CI Đẳng thức sau đúng? uuur uuu r uuur uuur r uuur uuu BD = AB − AC BD = − AB + AC 4 A B uuur r uuur uuur r uuur uuu uuu BD = − AB + AC BD = − AB − AC 4 C D Hướng dẫn giải Chọn B uuur uur uur r uur r uu r uuur uuu uuu BD = BI + ID = − AB + IC = − AB + IA + AC 2 2 u u u r u u r u u u r u u u r u u u r r uuur 1 1 1 uuur uuu = − AB + IA + AC = − AB − AB + AC = − AB + AC 2 2 4 ( ) Vận dụng thấp Câu 98 uuur Cho tam giác ABC với phân giác AD Biết AB = , BC = , CA = Khi AD bằng: r uuur r uuur r uuur uuu uuu uuu uuur uuur AB + AC AB − AC AB + AC AB − AC 12 12 12 12 A 12 B 12 C 12 D 12 Hướng dẫn giải Chọn C Vì AD phân giác tam giác ABC nên: uuur uuur BD AB = = ⇒ BD = DC DC AC 7 uuur uuu r uuur uuur ⇔ AD − AB = AC − AD uuur uuu r uuur ⇔ AD = AB + AC 12 12 ( Câu 99 ) Cho AD BE hai phân giác tam giác ABC Biết AB = , BC = CA = uuur Khi DE bằng: r uuu r r uuu r r uuu r r uuu r uuu uuu uuu uuu CA − CB CA − CB CA − CB CA − CB 5 A B C D Hướng dẫn giải Chọn A AD phân giác tam giác ABC nên CD AC CD = = ⇒ = DB AB CD + DB + uuur uuu r CD ⇒ = ⇒ CD = CB CB 10 u u u r r CE 5 uuu = ⇒ CE = CA Tương tự: CA uuur uuu r uuur uuu r uuu r DE = CE − CD = CA − CB Vậy Câu 100 Cho tam giác ABC biết AB = 8, AC = 9, BC = 11 M trung điểm BC, N điểm đoạn AC cho AN = x (0 < x < 9) Hệ thức sau đúng? uuuu r  x  uuur uuur uuuu r  x  uuu r uuu r MN =  − ÷ AC + AB MN =  − ÷CA + BA 2 2 9 9 2 A B uuuu r  x  uuur uuur MN =  + ÷ AC − AB  2 C uuuu r  x  uuur uuur MN =  − ÷ AC − AB 9 2 D Hướng dẫn giải Chọn D Câu 101 Cho tam giác ABC có I , D trung điểm AB, CI , điểm N thuộc cạnh BC cho BN = NC Đẳng thức sau đúng? uuur uuur A AN = DN uuur uuur uuur uuur B AN = ND C AN = 3DN Hướng dẫn giải uuur uuur D AD = DN Chọn D Gọi K trung điểm BN  DN / / IK uuur uur  ⇒ DN = IK   DN = IK Xét ∆CKI ta có  (1) ∆ ABN Xét ta có  AN / / IK uuur uur  ⇒ AN = IK   AN = IK (2) uuur uur uuur uuur AN = IK = 2.2 DN = DN Từ (1) (2) suy Dạng 5: Tính độ dài véctơ – tổ hợp vectơ Nhận biết Câu 102 Cho tam giác ABC Mệnh đề sau đúng? A uuu r uuur uuur AB = AC = BC uuu r uuur uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuur uuu r B AB = AC = BC C AB + AC + BC = 3a r D AB + AC + BC = 3a Hướng dẫn giải Chọn A Câu 103 Gọi M , N trung điểm cạnh AB, AC tam giác ABC Hỏi đẳng thức đúng? uuur uuur A MA = MB B uuu r uuur AB = AC uuuu r uuu r MN = BC C Hướng dẫn giải Chọn D Phân tích: uuur uuur A MA = MB sai chúng ngược hướng uuuu r r uuu uuuu r uuu r MN = BC C MN = BC sai uuu r B 16 D uuur B AB = AC sai chúng khơng phương D uuur uuuu r BC = MN Câu 104 Cho tam giác ABC vng cân A có AB = AC = Vậy A uuur uuuu r BC = MN BC bằng: C 32 Hướng dẫn giải D Chọn A BC = BC = AB + AC = 16 + 16 = Câu 105 Cho hình vng ABCD có độ dài cạnh Giá trị nhiêu? AC + BD A B C 12 Hướng dẫn giải uuur uuur uuur uuur uuur AC + BD = AO + 2OD = AD = AD = Chọn A bao D A 3 B O D C Câu 106 Cho tam giác ABC cạnh a AB − AC có độ dài bằng: A a B D a C 2a Hướng dẫn giải Chọn A AB − AC = CB = a Câu 107 Cho tam giác ABC vng cân A có AB = AC = Vậy A B 16 BC bằng: C 32 Hướng dẫn giải D Chọn A BC = BC = Câu 108 Biết AB + AC = 16 + 16 = AB = a, BC = 2a A Khơng tính (a độ dài cho trước) B 3a AC bằng: C a Hướng dẫn giải D a Chọn A khơng có sở để tính Câu 109 Cho hình chữ nhật ABCD, có AB = AC = Tìm độ dài vectơ AB + BC A B C D Hướng dẫn giải Chọn A uuu r uuur uuur AB + BC = AC = Câu 110 Cho hình vng ABCD cạnh a Tìm độ dài vecơ AB + DC A 2a B a D a C Hướng dẫn giải Chọn A uuu r uuur uuur AB + DC = AB = 2a Câu 111 Cho hình chữ nhật ABCD, có AB = AC = Tìm độ dài vectơ AB − AC A Chọn A B 41 uuu r uuur uuu r AB − AC = CB D ±3 C Hướng dẫn giải A B BC = AC − AB = 52 − = Câu 112 Cho hình chữ nhật ABCD, có AB = AC = Tìm độ dài vectơ AB + AD D C A B C 49 Hướng dẫn giải D Chọn A uuu r uuur uuur Áp dụng quy tắc hình bình hành AB + AD = AC uuu r uuur uuur AB + AD = AC = A Câu 113 Cho tam giác ABC cạnh a Hãy chọn kết uuur uuur AB + AC A = a B AB + BC = AC C uuur uuur AB + AC =a B D C D AB − AC = CB Hướng dẫn giải Chọn A uuu r uuur Câu 114 Gọi G trọng tâm tam giác vuông ABC với cạnh huyền BC = 12 Tìm độ dài vectơ GB + GC A B C D 12 Hướng dẫn giải Chọn A uuu r CA Cho hình chữ nhật ABCD có AB = 3, BC = Tính độ dài vectơ Câu 115 uuu r uuu r uuu r uuu r CA = CA = 25 CA = CA = A B C D Hướng dẫn giải Chọn A HS tính uuu r CA = CA = AB + BC = uuu r AC AB = BC = Câu 116 Cho hình chữ nhật ABCD có , Tính độ dài vectơ A B 25 C Hướng dẫn giải D AC = AB2 + BC = 32 + = Ta có: Chọn A uuu r AC = AC = Câu 117 Cho hình vng ABCD cạnh a Tính A a uuu r uuu r AD + AB B 2a Hướng dẫn giải C a AC = AB2 + BC2 = a + a = 2a = a Ta có Chọn A uuu r uuu r uuu r AD + AB = AC = AC = a uuu r uuur AB − DA Câu 118 Cho hình vng ABCD cạnh a Khi D A a B 2a Hướng dẫn giải C D 2a Chọn A AC = AB2 + BC = a + a = 2a = a uuu r uuur uuu r uuu r uuu r AB − DA = AB + AD = AC = AC = a Câu 119 Cho hình bình hành ABCD tâm O Đẳng thức sau sai? uuur uuur uuur uuur | AC | = | BD | | A B BC |=| DA | C uuur uuur | AB |=| CD | Hướng dẫngiải Chọn A uuur uuur | AC |≠| BD | uuur uuu r | AO |= | CA | D A D B C Câu 120 Cho tam giác ABC với đường cao AH Đẳng thức sau đúng? uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuu r uuur AH = HC AC = HC HB = HC AB = AC A B C D Hướng dẫn giải Chọn B Câu 121 Cho tam giác ABC cạnh a , trọng tâm G Phát biểu đúng? uuu r uuur uuu r uuu r uuur A AB = AC B GA = GB = GC uuu r uuur uuu r uuur uuu r uuur AB + AC = 2a AB + AC = AB − AC C D Hướng dẫn giải Chọn D Câu 122 Cho tam giác ABC cạnh a Gọi G trọng tâm tam giác ABC Đẳng thức sau sai? uuur uuur a uuur uuur uuu r uuur uuu r uuur uuur GB + GC = AB − AC = a AB + AC = a GA + GB + GC = A B C D Hướng dẫn giải Chọn D Thông hiểu uuur uuur uuuu r MA + MB + MC =6 Câu 123 Cho tam giác ABC , tập hợp điểm M cho là: ABC A đường thẳng qua trọng tâm tam giác B đường tròn có tâm trọng tâm tam giác ABC bán kính C đường tròn có tâm trọng tâm tam giác ABC bán kính D đường tròn có tâm trọng tâm tam giác ABC bán kính 18 Hướng dẫn giải Chọn C uuur uuur uuuu r uuuu r Gọi G trọng tâm tam giác ABC , ta có MA + MB + MC = 3MG uuur uuur uuuu r uuuu r MA + MB + MC = ⇔ 3MG = ⇔ MG = , hay tập hợp điểm M đường tròn có tâm trọng tâm tam giác ABC bán kính Thay vào ta được: Câu 124 Gọi G trọng tâm tam giác vuông ABC với cạnh huyền BC = 12 Tổng hai vectơ GB + GC có độ dài bao nhiêu? B A C Hướng dẫn giải D Chọn A GB + GC = −GA ⇒ GB + GC = GA = 2 GM = = 3 (M trung điểm BC) Câu 125 Cho hình vng ABCD cạnh a Tìm độ dài vecơ AB + AC A a B a C a Hướng dẫn giải D a Chọn A Câu 126 Cho tam giác ABC có cạnh a Tìm độ dài vectơ A a B a r uuu r uuu AB − CA C 2a Hướng dẫn giải a D Chọn A Câu 127 Cho tam giác ABC cạnh Tính A B uuu r uuu r AB − CA C Hướng dẫn giải D Chọn A HS gọi D điểm thỏa ABDC hình bình hành H trung điểm BC tính uuu r uuu r uuu r uuur uuur AB − CA = AB + AC = AD = AD = AH = = uuu r uuur Câu 128 Cho tam giác ABC cạnh 2a Khi độ dài vectơ AB + AC bằng: A 2a B 2a C 4a Hướng dẫn giải D a Chọn B Vẽ hình bình hành ABCD gọi M trung điểm BC uuu r uuur uuur uuuu r AB + AC = AD = AM = AB − BM = (2a )2 − a = 2a Ta có uuu r uuu r OA − CB Câu 129 Cho hình vng ABCD cạnh a, tâm O Tính  2 a2 a a 1 − ÷ ÷   a 2 A B C D Hướng dẫn giải Chọn A uuu r uuu r uuu r uuur uuur BD a OA − CB = OA + AD = OD = OD = = 2 HS tính · a, BDA = 600 Câu 130 Cho hình thoi ABCD có cạnh uuur uuur AB + AD Tính A a Chọn A B 2a C a Hướng dẫn giải D a uuu r uuur uuur AB + AD = AC = AC HS tính Gọi O giao điểm hai đường chéo AC BD a BD = a ⇒ OD = Tam giác ABD nên Xét tam giác OCD vuông O: a 3a a = ⇒ OC = ⇒ AC = a 4 uuu r uuu r AB + AC Câu 131 Cho tam giác ABC vuông cân C, ΑΒ = Tính OC = CD − OD = a − A B C Hướng dẫn giải Chọn A Ta có ΑΒ = ⇒ AC = BC = AM = AC + CM = + = uuu r uuu r uuu r AB + AC = AD = AD = 2.AM = = Câu 132 Cho tam giác ABC cạnh a Khi uuu r uuu r AB − CA = a A uuu r uuu r a AB − CA = B uuu r uuu r AB − CA = a C uuu r uuu r a AB − CA = D Hướng dẫn giải Chọn A D AM = AB2 − BM = a − a2 3a a = = 4 Ta có: uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r a AB − CA = AB + AC = AD = AD = 2.AM = =a Câu 133 Cho hình thang ABCD có AB song song với CD Cho AB = 2a , CD = a O trung điểm AD Khi đó: uuu r uuur 3a uuu r uuur uuu r uuur uuur uuur OB + OC = OB + OC = a OB + OC = 2a OB + OC = 3a A B C D Hướng dẫn giải Chọn D uuu r uuur uuuu r Gọi M trung điểm BC ta có OB + OC = 2OM mà OM đường trung bình hình thang uuur uuur OB + OC = 3a ABCD nên 2OM = AB + DC = 3a suy uuur uuur S = AD + DB Câu 134 Cho hình vng ABCD cạnh  a Tính ? A A =  2a B A =  a C A =  a Hướng dẫn giải Chọn A Ta có uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuu r uuur S = AD + DB = AD + AD + DB = AD + AB = AC = a 2 = 2a D A =  a uuu r uuu r Câu 135 Cho hình vng L cạnh a , tâm O M trung điểm AB Tính độ dài vectơ OA + OB A a B sin ·ANL = AL a a ⇒ AL = AN sin ·ANL = sin 600 = AN a C D 2a Hướng dẫn giải Chọn A uuu r uuur AB = AB = a AC = AC = AB + BC = a Ta có ; uuu r a uuuur a OA = OA = AC = , OM = OM = 2 Gọi E điểm cho tứ giác OBEA hình bình hành hình vng Ta có AM Vận dụng thấp Câu 136 Cho hình thang ABCD có AB song song với CD Cho AB = 2a , CD = a Gọi O trung điểm AD Khi uuu r uuu r 3a uuur uuur uuu r uuu r uuu r uuu r OB + OC = OB + OC = 3a OB + OC = a OB + OC = A B C D Hướng dẫn giải Chọn A uuu r uuu r uuur uuur uuur uuu r OB + OC = OA + AB + OD + DC uuur uuu r uuu r uuu r = AB + DC = AB + DC uuu r DC hướng) = AB + DC = 2a + a = 3a uuu r AB (vì Câu 137 Cho tam giác ABC vng cân A có BC = a , M trung điểm BC Khẳng định sau uuu r uuuu r a uuu r uuuu r a uuu r uuuu r a 10 uuu r uuuu r BA + BM = BA + BM = BA + BM = BA + BM = a 2 A B C D Hướng dẫn giải Chọn D Dựng hình bình hành ABMN Ta có uuu r uuuu r uuur uuu r uuuu r uuur BA + BM = BN = BN BA + BM = BN nên BCN C Tam giác vng có NC = AM = a BC = 2 2a a = Suy uuu r uuuu r uuur uuu r uuuu r uuuu r BA + BM = AC nên chọn A BA + BM = AM Học sinh nhầm lẫn nên chọn B; uuur uuur A , AB = AC = ABC Câu 138 Tam giác vuông Độ dài vectơ AB − AC bằng: BN = BC + NC = 2a − A 17 B 15 C Hướng dẫn giải D 17 Chọn D uuuu r uuu r uuuur uuur AB ' = AB ; AC ' = − AC Vẽ hình bình hành AC′DB′ Vẽ uuu r uuur uuur uuuu r uuur AB − AC = AB′ + AC ′ = AD = AD Ta có: Do AD = AB′2 + AC ′2 = 82 + 2 = 17 Câu 139 Cho đoạn thẳng AB có độ dài a Một điểm M di động cho Gọi H hình chiếu M lên AB Tính độ dài lớn MH ? a A a B C a Hướng dẫn giải N Chọn A Gọi đỉnh thứ hình bình hành uuur uuur uuuu r MANB Khi MA + MB = MN uuur uuur uuur uuur uuuu r uuu r MA + MB = MA − MB ⇔ MN = BA Ta có hay MN = AB o · Suy MANB hình chữ nhật nên AMB = 90 Do M nằm đường tròn tâm O đường kính AB MH lớn H trùng với tâm O hay uuur uuur uuur uuur MA + MB = MA − MB D 2a AB a = 2 Học sinh nhầm lẫn độ dài lớn bán kính lần bán kính, độ dài đường cao tam giác max MH = MO = Câu 140 Cho tam giác ABC có G trọng tâm Gọi H chân đường cao hạ từ A cho uuur uuur uuuu r uuur BH = HC BC BM = xBC M Điểm di động nằm cho Tìm x cho độ dài uuur uuur vectơ MA + GC đạt giá trị nhỏ A B C D Hướng dẫn giải Chọn B Dựng hình bình hành AGCE Ta có uuur uuur uuur uuur uuur MA + GC = MA + AE = ME ( F ∈ BC ) Khi Kẻ EF ⊥ BC uuur uuur uuur MA + GC = ME = ME ≥ EF uuur uuur MA + GC Do nhỏ M ≡ F Gọi P trung điểm AC , Q hình chiếu ( Q ∈ BC ) vng góc P lên BC BE Khi P trung điểm GE nên uuur uuur BQ BP = = BF = BQ Ta có ∆BPQ ∆BEF đồng dạng nên BF BE hay uuur uuur BH = HC Mặt khác, uuur uuur HQ = HC PQ đường trung bình ∆AHC nên Q trung điểm HC hay uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur BQ = BH + HQ = HC + HC = HC = BC = BC 6 Suy uuur uuur uuur BF = BQ = BC Do BP = Dạng 6: Tập hợp điểm thoả điều kiện cho trước Nhận biết Câu 141 Cho hai điểm cố định A, B ; gọi I trung điểm AB Tập hợp điểm M thoả: uuur uuur uuur uuur MA + MB = MA − MB là: A Đường tròn đường kính AB B Trung trực AB C Đường tròn tâm I , bán kính AB D Nửa đường tròn đường kính AB Hướng dẫn giải Chọn A uuu r uuu r uuur uuur uuur uuur BA MA + MB = MA − MB ⇔ MI = BA ⇔ MI = BA ⇔ MI = Ta có Vậy tập hợp điểm M đường tròn đường kính AB uuur uuur uuuu r MA + MB + MC =5 Câu 142 Cho tam giác ABC , có điểm M thỏa ? A B C vơ số D Khơng có điểm Hướng dẫn giải Chọn C uuur uuur uuuu r uuuu r Gọi G trọng tâm tam giác ABC , ta có MA + MB + MC = 3MG uuur uuur uuuu r uuuu r MA + MB + MC = ⇔ 3MG = ⇔ MG = , hay tập hợp điểm M Thay vào ta được: đường tròn có tâm trọng tâm tam giác ABC bán kính Câu 143 Cho hai điểm cố định A, B ; gọi I trung điểm AB Tập hợp điểm M thoả: uuur uuur uuur uuur MA + MB = MA − MB là: A Đường tròn đường kính AB B Trung trực AB C Đường tròn tâm I , bán kính AB D Nửa đường tròn đường kính AB Hướng dẫn giải Chọn A Thông hiểu Câu 144 Cho G trọng tâm tam giác ABC , a độ dài cho trước Tập hợp điểm M cho uuur uuur uuuu r MA + MB + MC = 3a là: A Đường thẳng AB B Đường tròn tâm G , bán kính 3a C Đường tròn tâm G , bán kính a D Đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Hướng dẫn giải Chọn C uuur uuur uuuu r uuuu r MA + MB + MC = 3a ⇔ 3MG = 3a ⇔ GM = a Ta có: Nên M thuộc đường tròn tâm G , bán kính a Câu 145 Cho I , J , K trung điểm cạnh AB, BC , CA tam giác ABC Giả sử M uuur uuur uuuu r r điểm thỏa mãn điều kiện MA + 2MB + MC = Khi vị trí điểm M là: A M tâm hình bình hành BIKJ B M đỉnh thứ tư hình bình hành AIKM C M trực tâm tam giác ABC D M trọng tâm tam giác IJK Hướng dẫn giải uuur uuur uuuu r r uuur uuuu r uuur r MA + 2MB + MC = ⇔ MA + MC + 2MB = Chọn A uuuu r uuur r uuuu r uuur r ⇔ 2MK + 2MB = ⇔ MK + MB = ⇔ M trung điểm KB ⇔ M tâm hình bình hành BIKJ ( ) Câu 146 Cho hình chữ nhật ABCD Tập hợp điểm M thỏa mãn uuur uuur uuuu r uuuu r MA + MB = MC + MD là: A Đường tròn đường kính AB B Đường tròn đường kính BC C Đường trung trực cạnh AD D Đường trung trực cạnh AB Hướng dẫn giảiChọn C Gọi E , F trung điểm AB DC uuur uuur uuuu r uuuu r uuur uuur MA + MB = MC + MD ⇔ 2ME = 2MF ⇔ ME = MF Do M thuộc đường trung trực đoạn EF hay M thuộc đường trung trực cạnh AD uuur uuuu r uuur uuuu r MA + MC = MB + MD Câu 147 Cho hình bình hành ABCD Tập hợp điểm M thỏa mãn là: A Một đường thẳng B Một đường tròn ( ABCD ) C Toàn mặt phẳng rỗng Hướng dẫn giải D Tập Chọn C Gọi O tâm hình bình hành ABCD Ta có: uuur uuuu r uuur uuuu r uuuu r uuuu r MA + MC = MB + MD ⇔ 2MO = MO ⇔ MO = MO (đúng với M ) ( ABCD ) Vậy tập hợp điểm M toàn mặt phẳng uuur uuur uuuu r uuur uuuu r MA + MB + MC = MB + MC Câu 148 Cho tam giác ABC điểm M thỏa Tập hợp M là: A Một đường tròn B Một đường thẳng C Một đoạn thẳng D Nửa đường thẳng Hướng dẫn giải Chọn C uuur uuur uuuu r MA + MB + MC = Câu 149 Cho tam giác ABC Có điểm M thỏa A B C D Vô số Hướng dẫn giải Chọn D uuur uuur uuuu r uuur uuur 3MA − MB + MC = MB − MA Câu 150 Cho tam giác ABC điểm M thỏa Tập hợp M là: A Một đoạn thẳng B Một đường tròn C Nửa đường tròn D Một đường thẳng Hướng dẫn giải Chọn B ... = D IA + IB + IC = Hướng dẫn giải Chọn A Câu 50 Cho tam giác ABC , có trọng tâm G Gọi A1 ,B1 ,C1 trung điểm BC ,CA, AB Chọn khẳng định sai? uuur uuur uuuu r r uuur uuur uuur r GA + GB + GC