2 ( sinx + cosx ) = tanx + cotx, ta tìm Câu (GV Trần Minh Tiến 2018)Từ phương trình cosx có giá trị B − A 2 C 2 D −1 Đáp án C sinx  Hướng dẫn giải: Điều kiện   sin 2x  cosx  Ta có ( sinx + cosx ) = tanx + cotx  ( sinx + cosx ) = sin x cosx + cosx sin x sin x + cos x  ( sinx + cosx ) =  2sinx.cosx ( sinx + cosx ) = sinx.cosx ( ) Đặt t = sinx + cosx −  t   sinx.cosx = t −1 Phương trình trở thành  2t ( t − 1) =  t − t − =  t =  sinx + cosx =  sinx = − cosx Mà sin x + cos x =  cos x +  cosx = ( − cosx ) =  2cos x − 2cosx + = Bổ trợ kiến thức: Ta giải máy tính cầm tay CASIO fx-570VN PLUS sau, dùng lệnh SHIFT SOLVE để xem nghiệm có phương trình cho: Tiếp theo ta tính cos x dễ thấy được: Đến ta dễ dàng chọn phương án nhiều phức tạp C phương án thay cho lời giải tự luận Câu (GV Trần Minh Tiến 2018): Hỏi đoạn 0;2018 , phương trình | sin x − cos x | +4sin 2x = có nghiệm? A 4037 B 4036 C 2018 D 2019 Đáp án A   t = sinx − cosx = sin  x −  4  Hướng dẫn giải: Đặt   sin  x −    −1;1  t  0;  4  Vì t = ( sinx − cosx ) = sin x + cos x − 2sinxcosx  sin 2x = − t 2 Ta có t = t + (1 − t ) =    t = − ( loai )  Phương trình trở thành Với t = 1, ta Theo giả thiết sin 2x =  2x = k  x = x   0; 2018    k 0;1;2;3; ;4036  k ,k k  2018   k  4046 có 4037 giá trị k nên có 4037 nghiệm Câu (GV Trần Minh Tiến 2018) Cho x thỏa mãn phương trình sin 2x + sin x − cos x =   Tính sin  x −  ? 4    sin  x −  = 4  A   sin  x −  = 4    C sin  x −  = − 4  B D   sin  x −  = 4    sin  x −  = 4    sin  x −  = 4    sin  x −  = − 4  Đáp án B   t = sinx − cosx = sin  x −  4  Hướng dẫn giải: Đặt Điều kiện −  t  t = ( sinx − cosx ) = sin x + cos x − 2sinxcosx  sin 2x = − t 2 Ta có t = 1− t2 + t =  t2 − t =   t = Phương trình trở thành + Với t = 1, ta     sin  x −  =  sin  x −  = 4 4   + Với t = 0, ta     sin  x −  =  sin  x −  = 4 4   Bổ trợ kiến thức: Ta giải máy tính cầm tay CASIO fx-570VN PLUS sau, đâu tiên dùng lệnh SHIFT SOLVE để xem nghiệm có phương trình cho:   sin  x −   dễ thấy được:  Tiếp theo ta tính SHIFT SOLVE thêm lần   sin  x −   dễ thấy được:  Tiếp theo ta tính Đến ta dễ dàng chọn phương án B phương án thay cho lời giải tự luận nhiều phức tạp Câu (GV Trần Minh Tiến 2018): Hàm số y = sin x − cos4 x đạt giá trị nhỏ x = x Mệnh đề sau đúng? A x = k2, k  B x = k, k  C x =  + k2, k  D x =  + k, k  Đáp án B Ta có y = sin x − cos x = ( sin x + cos x )( sin x − cos x ) = − cos 2x Mà −1  cos 2x   −1  − cos 2x   −1  y  Do giá trị nhỏ hàm số –1 Đẳng thức xảy  cos 2x =  2x = k2  x = k ( k  ) Câu (GV Trần Minh Tiến 2018): Tìm giá trị lớn M giá trị nhỏ m hàm số y = − cos3x ? A M = 3, m = −1 B M = 1, m = −1 C M = 2, m = −2 D M = 0, m = −2 Đáp án B Ta có: −1  cos3x    cos3x    −2 cos3x  −2 M =   − cos 3x  −1   y  −1   m = −1 Câu 6: (GV Trần Minh Tiến 2018) Tìm giá trị lớn M giá trị nhỏ m hàm số y = − 3cos x ? A M = 10 , m = B M = , m = C M = 10 , m = D M = , m = Đáp án B Hướng dẫn giải: Ta có −1  cos x    cos x    − 3cos2 x    − 3cos2 x  Câu 7: (GV Trần Minh Tiến 2018) Tìm giá trị nhỏ m hàm số y = 2sin x + sin x ? A m = − B m = −1 D m = − C m = Đáp án B Hướng dẫn giải: Ta có y = 2sin x + sin x = − cos x + sin x   = sin x − cos x + =  sin x − cos x  +         =  sin xcos − sin cos x  + = 2sin  x −  + 6 6        Mà −1  sin  x −    −1  + 2sin  x −    −1  y  6 6   Do giá trị nhỏ hàm số −1 Câu (GV Trần Minh Tiến 2018)Tìm tập giá trị T hàm số y = 12sin x − 5cos x ? B T =  −7;7 A T =  −1;1 C T =  −13;13 D T =  −17;17 Đáp án C  12  Hướng dẫn giải: Ta có y = 12sin x − 5cos x = 13  sinx − cos x  13  13  Đặt 12 = cos  = sin  Khi y = 13 ( sinxcos  − sin  cosx ) = 13sin ( x −  ) 13 13  −13  y  13  T = −13;13 Câu 9: (GV Trần Minh Tiến 2018)Tìm giá trị nhỏ m hàm số y = 4sin x − cos x ? A m = −3 B m = −1 D m = C m = Đáp án B  − cos x  * Hướng dẫn giải: Ta có y = 4sin x − cos x =   − ( cos x − 1)   = − cos 2 x − cos x + = − ( cos x + 1) +  Mà −1  cos x    cos x +    ( cos x + 1)   −1  − ( cos x + 1) +   m = −1 Câu 10: (GV Trần Minh Tiến 2018) Tìm tập giá trị T hàm số y = sin6x + cos6x? A T = 0;2 1  C T =  ;1 4  1  B T =  ;1 2   1 D T = 0;   4 Đáp án C * Hướng dẫn giải: Ta có y = sin x + cos6 x = ( sin x + cos x ) − 3sin x cos x ( sin x + cos x ) 3 − cos x = − 3sin x cos x = − sin 2 x = − = + cos x 4 8 Mà −1  cos x    + cos x    y  8 Câu 11: (GV Trần Minh Tiến 2018)Cho hàm số y = cos4 x + sin x Mệnh đề sau đúng? A y  2, x  B y  1, x  C y  2, x  D y  , x  Đáp án B * Hướng dẫn giải: Ta có y = cos x + sin x = ( sin x + cos x ) − 2sin x cos x = − sin 2 x 1 − cos x = 1− = + cos x 2 4 Mà −1  cos x   Câu 12: 1  + cos x    y  4 (GV Trần Minh Tiến 2018) Tìm giá trị lớn M hàm số π  y = 4sin x + sin  2x +  ? 4  A M = B M = −1 C M = + D M = + Đáp án: D    − cos x  ▪ Hướng dẫn giải: Ta có y = 4sin x + sin  x +  =   + sin x+ cos x 4      = sin x − cos x + = sin  x −  + 4  π π   Mà −1  sin  x −    − +  sin  x −  +  + 4 4   Câu 13: (GV Trần Minh Tiến 2018) Tìm giá trị lớn M hàm số y = ? + tan x A M = B M = D M = C M = Đáp án: D ▪ Hướng dẫn giải: Ta có y = = 1+ tan x = cos x cos x Do  cos2 x    y   M = Câu 14: (GV Trần Minh Tiến 2018) Hằng ngày mực nước kênh lên xuống theo thủy triều Độ sâu h (mét) mực nước kênh tính thời điểm t (giờ)  πt π ngày công thức h = 3cos  +  + 12 Mực nước kênh cao khi?  4 B t =14 (giờ) A t =13 (giờ) C t =15 (giờ) D t =16 (giờ) Đáp án: B ▪ Hướng dẫn giải: Mực nước kênh cao h lớn πt π  πt π   cos  +  =1  + = k 2π với  t  24 k   4 Lần lượt thay đáp án, ta đán áp B thỏa mãn Vì với t=14  πt π + =2π (đúng với k = 1 ) Câu 15 (GV Trần Minh Tiến 2018)Gọi M, m giá trị lớn nhỏ hàm số y = 8sin x + 3cos x Tính P = 2M − m2 ? A P = B P = C P = 112 D P = 130 Đáp án A Hướng dẫn giải: Ta có y = 8sin x + 3cos x = 8sin x + 3(1 − 2sin x) = 2sin x + Mà −1  sin x    sin x    2sin x +  M=5 3 y 5   P = 2M − m = m=3  Câu 16: (GV Trần Minh Tiến 2018) Tìm giá trị lớn M m hàm số y = sin x − 2cos2 x + ? A M = 2, m = −2 B M = 1, m = C M = 4, m = −1 Đáp án D Hướng dẫn giải: ( ) ( ) Ta có y = sin x − 2cos x + = sin x − − sin x + = sin x + − D M = 2, m = −1 ( ) Do  sin x    sin x +    sin x +  M =  −1  ( sin x + 1) −    m = −1 Câu 17 (GV Trần Minh Tiến 2018): Hàm số y = + 2cos2 x đạt giá trị nhỏ x = x0 Mệnh đề sau đúng? π + kπ, k  Z A x = π + k2π, k Z B x = C x = k2π, k Z D x = kπ, k Z Đáp án B Hướng dẫn giải: Ta có −1  cos x  →  cos x  →  + cos x  Do giá trị nhỏ hàm số Dấu « = » xảy  cos x =  x = + k (GV Trần Minh Tiến 2018) Tìm k để giá trị nhỏ hàm số Câu 18: y = f ( x) =  k sin x + lớn –1? cos x + A k  B k  D k  2 C k  Đáp án D • Hướng dẫn giải: Ta có y = k sin x + Û y cos x - k sin x + y - = , dễ thấy ta cos x + 2 Þ y + k ³ (2 y - 1) Û y - y + 1- k £ Û u cầu tốn Û • 2- 3k + > - 1Û 5> 2- 3k + + 3k + £ y£ 3 3k + Û k < 2 Bổ trợ kiến thức: Để cho toán dễ hiểu em nghĩ hướng giải cách đơn giản sau, em dùng kiến thức min, max hàm số để tìm GTLN GTNN hàm số ( kể có tham số hay khơng có tham số ), sau giải > –1 hồn thành xong tốn Bước khó khăn tốn bước tìm y = f (x)= k sin x + gặp cos x + phải tham số k dùng kĩ thuật sơ cấp để xử lí dễ tìm thấy 3k + + 3k + , ta cần tìm k cho y > –1 ta £ y£ 3 2- chọn đáp án Câu 19: (GV Trần Minh Tiến 2018)Cho góc nhọn x,y thoả mãn phương trình sin x + sin y = sin ( x + y ) Khẳng định sau đúng? A x + y =  B x + y =  C x + y =  D x + y =  Đáp án A • ỉ pư Hướng dẫn giải: Ta có hàm số y = s inx ng bin trờn khong ỗỗ0; ữ v ữ çè ÷ ø ỉ pư p p x, y, - x, - y ẻ ỗỗ0; ữ ữ ỗố ø÷ 2 ìï ïï x > p ï Giả sử x + y > Þ í ïï ïï y > ïỵ ìï ỉp p = cos y ữ - y ùùù sin x > sin ỗỗỗ - yữ ữ ố2 ứ ù ị ù ổp p - x ùù sin y > sin ỗỗ - xữ ữ ữ= cos x ùù ỗố 2 ø ỵ Dễ thấy sin x + sin y = sin x.sin x + sin y.sin y > sin x cos y + sin y cos x = sin (x + y) ( mâu thuẫn với giả thiết ) ìï ïï x < p ï Giả sử x + y < Þ í ïï ïï y < ùợ ỡù ổp p ữ - y ùùù sin x < sin ỗỗỗ - yữ ữ= cos y ố2 ø ï Þ í ï ỉp p - x ùù sin y < sin ỗỗ - xữ ữ ữ= cos x ùù ỗố 2 ứ ợ D thấy sin x + sin y = sin x.sin x + sin y.sin y < sin x cos y + sin y cos x = sin (x + y) thuẫn với giả thiết), ta x + y = • (mâu p Bổ trợ kiến thức: Các em sử dụng máy tính cầm tay VINACAL 570ES PLUS II để giải toán sau Giả sử cho x = 0,27 , từ phương trình đề bài: sin x + sin y = sin (x + y) từ đáp án bên dưới, ta thử phương án rõ ìï x = 0, 27 ï ràng ïí làm thỏa mãn phương trình, ta dễ dàng chọn phương ïï y = p - 0, 27 ïỵ án ỉ pư Các em ghi nhớ ln – để áp dụng vào tập khác: “với x, y ẻ ỗỗ0; ữ thỡ ữ ỗố ữ ø ln có sin x + sin y = sin (x + y ) Þ x + y = Câu 20 p ” (GV Trần Minh Tiến 2018): Cho a,b,c,d số thực khác hàm số y = f ( x ) = a sin cx + b cos dx Khẳng định sau đúng? A y = f ( x ) = a sin cx + b cos dx hàm số tuần hoàn c số hữu tỉ d B y = f ( x ) = a sin cx + b cos dx hàm số tuần hoàn a số hữu tỉ d C y = f ( x ) = a sin cx + b cos dx hàm số tuần hoàn c số hữu tỉ b D y = f ( x ) = a sin cx + b cos dx hàm số tuần hoàn a số hữu tỉ x Đáp án • Hướng dẫn giải: Giả sử y = f (x) hàm số tuần hồn Þ $ T > : f (x + T )= f (x)" x Ỵ ¡ Cho ìï a sin cT + b cos dT = b x = 0, x = - T ị ùớ ị ùùợ - a sin cT + b cos dT = b Giả s ùớỡù dT = 2np ị c = m ẻ Ô ùùợ cT = mp d 2n 2p k 2l p c c k = ẻ Ô ị $ k , l ẻ Â : = t T = c d d d l Dễ thấy T= ì ùớù cos dT = ị ùùợ sin cT = f (x + T )= f (x)" x Ỵ ¡ Þ f (x) hàm số tuần hồn với chu kì 2p k 2l p = c d Bổ trợ kiến thức: Thường tốn em suy luận c có liên quan định đến việc hàm số y = f (x) có tuần hồn d hay không Tuy nhiên cần nhận chiều thuận “ y = f (x)= a sin cx + b cos dx hàm số tuần hồn Þ c số hữu tỉ” em thấy phương án rồi, để d chứng minh chiều ngược lại điều khơng dễ dàng Các em ghi nhớ – để áp dụng vào tập khác: “Cho a,b,c,d số thực khác hàm số y = f (x)= a sin cx + b cos dx , y = f (x)= a sin cx + b cos dx hàm số tuần hồn khi c số hữu tỉ” d Câu 21 (GV Trần Minh Tiến 2018): Biết m có giá trị m = m0 phương trình sau 2sin x − (5m + 1)sinx + 2m2 + 2m = có nghiệm phân biệt thuộc khoảng     − ;3  Mệnh đề sau mệnh đề đúng?   A m0 = −3 B m = 3  C m0   ;   10   2 D m0   − ; −   5 Đáp án: D ▪ Hướng dẫn giải: Đặt t = sin x ( −1  t  1) Phương trình cho trở thành 2t − (5m + 1) + 2m2 + 2m = (*) Yêu cầy tốn tương đương với phương trình (*) có nghiệm t1 = −1 (có nghiệm x) nghiệm  t  (có bốn nghiệm x) Khi với t1 = −1  t = − c = − m − m Thay t1 = −1 vào phương trình a (*), ta  m = −3  t = −6  (0;1)   m = −  t =  (0;1)  Tất nhiên đến mà vội vàng kết luận chưa hồn thành, em dễ thấy trường hợp lại khơng có m thỏa mãn u cầu tốn Trường hợp phương trình (*) có nghiệm t1 = (có hai nghiệm x) nghiệm −1  t  (có ba nghiệm x)  m =  t =  ( −1;0 Rất dễ để tìm  rõ ràng khơng có m theo yêu cầu  m =  t =  ( −1;0  Vậy ta kết luận m = −  2 thỏa mãn yêu cầu toán m = −   − ; −   5 ▪ Bổ trợ kiến thức: Không dễ để em nhận trường hợp toán, gặp số trường hợp giải kết mà có khả đáp án cao em nên mạnh dạn bỏ hẳn trường hợp lại để tránh việc nhiều thời gian vào trường hợp không đâu, phương án bên cho nhẹ nên em dễ dàng  2 kết luận m = −   − ; −  chọn đáp án  5 Câu 22   (GV Trần Minh Tiến 2018): Cho x, y   0;  thỏa mãn phương trình  2 cos 2x + cos 2y + 2sin(x + y) = Tìm xác giá trị nhỏ P = A P =  B P =  C P = 3 sin x cos4 y ? + y x D P =  Đáp án: B ▪ Hướng dẫn giải: Theo đề bài, ta có được: cos 2x + cos 2y + 2sin(x + y) =  sin x + sin y = sin(x + y)  x + y = Áp dụng bất đẳng thức  a b2 (a + b)2 (sin x + sin y)2 +  P = m n m+n x+y  Đẳng thức xảy  x = y =  Do ta dễ dàng nhận thấy P =  ▪ Bổ trợ kiến thức: Ở để giải toán em cần có bước trung gian quan    trọng, thứ với x, y   0;  sin x + sin y = sin(x + y)  x + y = bất  2 đẳng thức em học lớp là: a b (a + b) +  m n m+n Nếu xử lí trực tiếp tốn mà khơng phải qua bước trung gian khó, điều quan trọng em phải biết áp dụng bước trung gian cho hợp lí để đưa tốn đến kết nhanh Câu 23: (GV Trần Minh Tiến 2018) Biến đổi phương trình sau cos 3x − sin x = 3(cos x − sin 3x) dạng sin(ax + b) = sin(cx + d) với b, d thuộc khoảng     − ;  Tính xác giá trị b + d ?  2 A b + d =  12 B b + d =  C b + d =  D b + d =  Đáp án: D ▪ Hướng dẫn giải: Phương trình cho  sin 3x + cos3x = sin x + cos x  1     sin 3x + cos 3x = sin x + cos x  sin  3x +  = sin  x +  , dễ thấy 6 3 2 2   b + d =    + = ▪ Bổ trợ kiến thức: Ở dạng tốn ta khó biến đổi để xử lí máy tính cầm tay, có lẽ nên sử dụng hình thức tự luận để giải toán trắc nghiệm khơng q khó khăn Học sinh cần ghi nhớ số cơng thức sử dụng tốn trên: "sin(a + b) = sin a cos b + cos a sin b" ... điều quan trọng em phải biết áp dụng bước trung gian cho hợp lí để đưa tốn đến kết nhanh Câu 23: (GV Trần Minh Tiến 2018) Biến đổi phương trình sau cos 3x − sin x = 3(cos x − sin 3x) dạng sin(ax... k 0;1;2;3; ;4036  k ,k k  2018   k  4046 có 4037 giá trị k nên có 4037 nghiệm Câu (GV Trần Minh Tiến 2018) Cho x thỏa mãn phương trình sin 2x + sin x − cos x =   Tính sin  x −... ta tính Đến ta dễ dàng chọn phương án B phương án thay cho lời giải tự luận nhiều phức tạp Câu (GV Trần Minh Tiến 2018): Hàm số y = sin x − cos4 x đạt giá trị nhỏ x = x Mệnh đề sau đúng? A x =