Câu (Gv Lê Tuấn Anh 2018)Cho hình chóp S.ABCD có cạnh đáy 2a , góc mặt bên mặt đáy 600 Tính thể tích khối chóp S.ABCD A 2a 4a 3 B C 2a 3 D a3 Hướng dẫn: B Gọi M trung điểm CD , O giao điểm AC BD Ta có CD ⊥ OM  CD ⊥ ( SOM )  CD ⊥ SO  (( SCD ) , ( ABCD )) = ( SM , OM ) = SMO = 60 Ta có OM = BC = a  SO = OM tan SMO = a Ta lại có S ABCD = AB.BC = 4a  VS ABCD Câu 2: 1 4a 3 = SO.S ABCD = a 3.4a = 3  C có đáy tam giác (Gv Lê Tuấn Anh 2018) Cho lăng trụ đứng ABC.AB cạnh a Mặt phẳng ABC tạo với mặt đáy góc 600 Tính theo a thể tích khối lăng trụ  C ABC.AB A V = a3 B V = 3a3 C V = a3 D V = 3a3 Hướng dẫn: D  C lăng trụ đứng nên AA ⊥ ABC Gọi M trung Vì ABC.AB  C nên suy AM  ⊥ BC Khi điểm BC ,do tam giác AB 600 = (( ABC) ,( ABC)) = ( AM, AM ) = AMA Tam giác AAM có AM = a 3a ; AA = AM tanAM A = Diện 2 tích tam giác SABC = a3 3a3 Vậy V = SABC A A = (đvdt) Câu 3: (Gv Lê Tuấn Anh 2018) Cho hai điểm A , B cố định Gọi M điểm di động không gian cho MAB = 300 Khẳng định khẳng định ? A M thuộc mặt cầu cố định B M thuộc mặt trụ cố định C M thuộc mặt phẳng cố định D M thuộc mặt nón cố định Hướng dẫn: D Từ A kẻ đường thẳng d tạo với AB góc 300 ta quay đường thẳng vừa tạo quanh AB với góc 300 khơng đổi thu hình nón Lấy điểm K mặt nón đó, ta có KAB = 300 Do A , B cố định  mặt nón cố định Như K  M thỏa mãn yêu cầu Tức quỹ tích điểm M thuộc mặt nón cố định nhận A làm đỉnh, có đường cao AB trùng với góc đường sinh tia AB 300 Câu 4: ( (Gv Lê Tuấn Anh 2018) Cho hình chóp S.ABCD có cạnh bên SA = a  a  cạnh lại Tính theo a thể tích V khối chóp S.ABCD A V = a − a2 B Đáp án khác C V = − a2 a Hướng dẫn: B  HB = SB − SH   + Kẻ SH ⊥ ABCD H ta có  HC = SC − SH  2  HD = SD − SH Bài SB = SC = SD =  HB = HC = HD  H tâm đường tròn ngoại tiếp BCD Hơn BCD cân C  H  AC + Ta có SBD = CBD ( c − c − c )  SO = CO  SO = CO = AO  SAC vuông S Cạnh AC = SA2 + SC = a2 + a2 + − a2  AC   OB = SB − SO = −  = − =  4   2  OB = 2 − a2  a   BD = − a 2 ( ) 1 a AC.BD + Do VS ABCD = SH S ABCD = 3 a +1 D V = − a2 a ) = a a2 + Câu 5: a + − a = a − a2 (Gv Lê Tuấn Anh 2018) Cho hình lập phương ABCD.ABCD có cạnh Gọi M , N trung điểm AB CD Tính khoảng cách hai đường thẳng AC MN A B C 2 D Hướng dẫn: B Do MN / / BC  d ( AC , MN ) = d ( MN , ( ACB ) ) = d ( M , ( ACB ) ) = d ( A, ( ACB ) )  BC ⊥ AB AH ⊥ AB ta có   BC ⊥ ( ABA )  BC ⊥ AH mà  BC ⊥ AA Kẻ AH ⊥ AB  AH ⊥ ( ABC ) 1 = + =  AH = 2 AH AA AB Ta có  d ( A, ( ABC ) ) = Câu 6: 2  d ( M , ( ACB ) ) = (Gv Lê Tuấn Anh 2018)Cho khối lập phương ABCD.ABCD cạnh a Các điểm E F trung điểm CB CD Mặt phẳng ( AEF ) cắt khối lập phương cho thành hai phần, gọi V1 thể tích khối chứa điểm A V2 thể tích khối chứa điểm C Khi A V1 V2 25 47 B C 17 25 Hướng dẫn: A + Đường cắt EF cắt AD  N , M , AN cắt DD P , AM cắt AB BB Q Từ mặt phẳng ( AEF ) cắt khối lăng trụ thành hai khối ABCDC QEFP AQEFPBAD + Gọi V = VABCD ABC D , V3 = VA AMN , V4 = VPFD ' N , V5 = VQMBE  D 17 + Do tính đối xứng hình lập phương nên ta có V4 = V5 V3 = 1 3a 3a 3a AA AM AN = a = 6 2 V4 = 1 a a a a3 25a3 47a PD.DF DN = = ;V1 = V3 − 2V4 = ,V2 = V − V1 = 6 2 72 72 72 Vậy V1 25 = V2 47 (Gv Lê Tuấn Anh 2018)Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng, Câu 7: SAD tam giác nằm mặt phẳng vng góc với mặt phẳng đáy Biết diện tích mặt cầu ngoại tiếp khối chóp S.ABCD 4 ( dm ) Khoảng cách hai đường thẳng SD AC gần với giá trị sau đây? A dm B dm C dm D dm Hướng dẫn: D + Gọi x  cạnh hình vng ABCD H trung điểm cạnh AD + Dễ dàng chứng minh SH ⊥ ( ABCD ) , SH = x + Gọi O = AC  BD G trọng tâm SAD , đồng thời d1 , d trục đường tròn ngoại tiếp ABCD , SAD ( d1 qua O / / SH , d qua G / / AB )  I = d1  d tâm mặt cầu ngoại tiếp khối chóp S.ABCD  R = SI 2 21  x   x S = 4 R  R = = SI = SG + GI =   +    x = ( dm )  3   2 (trong video giảng chữa đề, phần Thầy dùng cơng thức tính nhanh bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp trường hợp chóp có mặt bên vng góc với mặt đáy) + Gọi E điểm thỏa ADEC hình  ED / / AC  d ( AC, SD ) = d ( AC, ( SDE ) )  d ( AC, SD ) = d ( A, ( SDE ) ) = 2d ( H , ( SDE ) ) = 2HP (do HP ⊥ ( SDE ) ) bình thành SKH = 1 1 x 21 = + = +  HP = = dm  d ( AC ; SD ) = dm 2 2 HP SH KH 14 7 x 3 x 2         (Gv Lê Tuấn Anh 2018) Hình sau khơng phải hình đa diện ? Câu A B C D Chọn đáp án D Vì có cạnh cạnh chung mặt (Gv Lê Tuấn Anh 2018) Cho hình hộp chữ nhật ABCD.ABCD có Câu 9: AB = a, BC = 2a, AA = a Lấy điểm I cạnh AD cho AI = 3ID Tính thể tích khối chóp B.IAC A V = a3 B V = 3a C V = a3 D V = a3 Chọn đáp án D Ta có ID = SIDC = 1 a AD = S ADC = AD.DC = a Lại có 2 a2 ID.DC =  SAIC = SADC − SIDC SIDC = a − Câu 10: a 3a a3 =  VB AIC = 4 (Gv Lê Tuấn Anh 2018) Cho hình tròn tâm S , bán kính R = Cắt hình tròn dán lại để tạo mặt xung quanh hình nón Tính diện tích tồn phần hình nón A 21 ( ) B +  ( Chọn đáp án A Đường tròn ( S ; R ) có + Chu vi hình tròn ( S ; R ) C = 4 + Diện tích hình tròn ( S ; R ) S = 4 Khi cắt ) C +  hình tròn D 3 dán lại để tạo mặt xung quanh hình nón, ta có Diện tích xung quanh hình nón S xq = S = 3 Chu vi đáy hình nón C( N ) = AB = C = 3 bán kính đáy hình nón r = 21 Vậy Stp = S xq + Sd = Câu 11 (Gv Lê Tuấn Anh 2018): Cho lăng trụ tam giác ABC ABC có độ dài cạnh đáy 3a chiều cao 8a Tính bán kính R mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCC A R = 4a B R = 5a C R = a 19 D R = 2a 19 Chọn đáp án C - Vì BBCC hình chữ nhật nên mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCC mặt cầu ngoại tiếp hình chóp A.BBCC - Gọi H trung điểm BC ; G trọng tâm tam giác ABC ; K = BC   BC - Trục đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC trục đường tròn ngoại tiếp hình chữ nhật BBCC cắt I - Khi I tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp A.BBCC tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCC ; bán kính R = IA - Ta có  3 2 AG =  3a  = a 3; GI = HK = 4a  R = IA = GA + GI = a 19   Câu 12: (Gv Lê Tuấn Anh 2018) Cho hình chóp S.ABC có góc đỉnh S 600 , SA = a, SB = 2a, SC = 3a Tính khoảng cách từ đỉnh A đến mặt phẳng ( SBC ) A a B a C a D a Chọn đáp án C Gọi S1 = ASB, S2 = ASC, S3 = ASC Ta có V = S SBC = SA.SB.SC + cos S1 cos S cos S3 − cos S1 − cos S − cos S3 = a 3 3V SB.SC sin S = a Mà d ( A; ( SBC ) ) = = a 2 S SBC (Gv Lê Tuấn Anh 2018)Cho hình chóp tam giác S.ABC có cạnh đáy a Câu 13: Góc hợp cạnh bên mặt phẳng đáy 600 Khi khoảng cách hai đường thẳng SA BC A 3a B 3a C 3a D 3a Chọn đáp án B Gọi G trọng tâm tam giác ABC , E trung điểm SA, K , H hình chiếu G, E lên SA Ta có AG = a AE = , EH ⊥ SA 3 HE ⊥ BC HE trung tuyến tam giác cân HBC Suy HE đoạn vng góc chung SA BC  d ( SA, BC ) = d ( E, SA) = EH Xét tam giác SAG vuông G SG = tan 600 AG = a AG.GS GK = AG + GS EHM a GKA ( g − g ) Vậy d ( SA, BC ) = Câu 14: = EH EA EA a 3a =  EH = GK = = EG GA GK 2 3a (Gv Lê Tuấn Anh 2018) Cho hình chóp S.ABC có đáy tam giác ABC cạnh a , tam giác SBA vuông B , tam giác SAC vuông C Biết góc hai mặt phẳng ( SAB ) ( ABC ) 600 Tính khoảng cách từ điểm C A 3a B 3a C đến mặt phẳng ( SAB ) 3a Chọn đáp án B Gọi H hình chiếu đỉnh S xuống mặt phẳng ( ABC ) Khi đó, ta có SH ⊥ AB, SH ⊥ AC Ta có D 3a 11     AB ⊥ ( SBH )  AB ⊥ BH SH  SB = S  AB ⊥ SB AB ⊥ SH Tương tự, ta chứng minh AC ⊥ ( SCH ) Từ suy AC ⊥ CH Do SH ⊥ AB, BH ⊥ AB nên suy góc ( SAB ) ( ABC ) góc SBH Vậy SBH = 600 Do ABH = ACH  BAH = 300 Trong tam giác vuông ABH , ta có BH = AB.tan 300 = a Trong tam giác vng SHB , ta có SH = BH tan 600 = a 3=a 1 a a3 a2 Vậy VS ABC = SH SABC = a = SSAB = SB AB = 3 12 Vậy d ( B; ( SAB ) ) = 3VS ABC 3a = S SAB (Gv Lê Tuấn Anh 2018) Khi cắt mặt cầu S ( O; R ) mặt kính qua tâm Câu 15: O , ta hai nửa mặt cầu giống Giao tuyến mặt kính với mặt cầu gọi mặt đáy nửa mặt cầu Một hình trụ gọi nội tiếp nửa mặt cầu S ( O; R ) đáy hình trụ nằm đáy nửa mặt cầu, đường tròn đáy giao tuyến hình trụ với nửa mặt cầu Biết R = , tính bán kính đáy r chiều cao h hình trụ nội tiếp nửa mặt cầu S ( O; R ) để khối trụ tích lớn A r = , h= 2 B r = , h= 2 C r = , h= 3 D r = , h= 3 Chọn đáp án C Hình trụ nội tiếp nửa mặt cầu, nên theo giả thiết đường tròn đáy có tâm O hình chiếu O xuống mặt đáy ( O ) Suy hình trụ nửa mặt cầu chung trục đối xứng tâm đáy hình trụ trùng với tâm O nửa mặt cầu Ta có h2 + r = R2 (  h  R = 1)  r = − h2 Thể tích khối trụ V =  r h =  (1 − h ) h = f ( h )  f  ( h ) =  (1 − 3h ) =  h = 3 Vậy Max V = ( 0;1 2 h = ( đvdt ) r = 3 Câu 16 (Gv Lê Tuấn Anh 2018): Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD tứ giác (AB không song song CD) Gọi N trung điểm SD, M trung điểm nằm cạnh SB cho SM = 2MB, O giao điểm AC BD Cặp đường thẳng sau cắt A SO AD B MN SO C MN SC D SA BC Chọn đáp án B + Giả sử SO, AD cắt Khi SO, AD đồng phẳng, suy S thuộc mp (ABCD) (Vô lý) Đáp án A bị loại + Giả sử MN cắt SC Khi MN SC đồng phẳng, suy C thuộc (SBD) (Vô lý) Do đáp án C bị loại + Giả sử SA cắt BC Khi SA, BC đồng phẳng Suy S thuộc mp (ABCD) (Vô lý) Đáp án D bị loại MN, SO nằm mp (SBD), không song song trùng Câu 17: (Gv Lê Tuấn Anh 2018) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh Cạnh bên SA vng góc với mặt phẳng ABCD SC = Tính thể tích khối chóp S.ABCD A V = 3 B V = C V = Chọn đáp án A Đường chéo hình vng AC = Xét tam giác SAC, ta có SA = SC2 − AC2 = Chiều cao khối chóp SA = Diện tích hình vng ABCD SABCD = 12 = Thể tích khối chóp S.ABCD VS.ABCD = SABCD SA = (dvtt ) 3 D V = 15 (Gv Lê Tuấn Anh 2018) Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có đáy ABCD hình Câu 18: thoi cạnh a, BCD = 1200 AA ' = 7a Hình chiếu vng góc A’ lên mặt phẳng ABCD trùng với giao điểm AC BD Tính theo a thể tích khối hộp ABCD.A’B’C’D’ B V = 3a3 A V = 8a3 C V = 12a3 D V = 9a3 Chọn đáp án B Gọi O = AC  BD Từ giả thiết suy A' O ⊥ ABCD Cũng từ giả thiết, suy ABC tam giác nên S ABCD = 2S ABC a2 = Đường cao khối hộp  AC  A' O = AA' − AO = AA' −   = 2a   2 Vậy VABCD.A' B'C ' D ' = S Câu 19 ABCD A' O = 3a (dvtt ) (Gv Lê Tuấn Anh 2018): Cho hình chóp tam giác S.ABC biết AB=3, BC=4, CA=5 Tính thể tích khối chóp SABC biết mặt bên hình chóp tạo với mặt đáy góc 300 A 3 B C 200 3 Chọn đáp án A + Dễ thấy tam giác ABC vuông B S ABC = + Gọi p nửa chu vi p = 3+ + = 6; S = pr  r = + Gọi I tâm đường tròn nội tiếp tam giác từ giả thiết mặt bên tạo với đáy ABC góc 30 độ ta suy I chân đường cao khối chóp tan300 = SI 3  SI = MI tan300 = = MI 3 +VS.ABC = S ABC SI = Do ta chọn A 3 D Câu 20: (Gv Lê Tuấn Anh 2018) Cho hình trụ có thiết diện qua trục hình vng ABCD diện tích 12(cm2 ) với AB đường kính đường tròn đáy tâm O Gọi M điểm thuộc cung AB đường tròn đáy cho ABM = 600 Thể tích khối tứ diện ACDM B V = 5(cm3 ) A V = 3(cm3 ) C V = 8(cm3 ) D V = 12(cm3 ) Chọn đáp án A BM ⊥ AM Ta có   MB ⊥ ( AMD)  BM ⊥ DA Mặt khác, ta tính MB = 3; AM = 1 Thể tích VACDM = SDAM BM = 3.3 = 3 Câu 21 (Gv Lê Tuấn Anh 2018)Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vuông cân B AB = BC = a , góc SAB = SCB = 900 khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC) a Thể tích khối cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC A 3 a3 C 3 a3 B 5 a3 D 3 a3 Chọn đáp án D + Gọi H trung điểm SB Do tam giác SAB vuông A, SBC vuông C suy ta HA = HB = HS = HC Suy H tâm mặt cầu + Gọi I hình chiếu H lên (ABC) Do HA = HB = HC , suy IA = IB = IC Suy I trung điểm AC Gọi P trung điểm BC, tam giác ABC vuông cân, suy IP ⊥ BC  ( IHP) ⊥ BC , dựng IK ⊥ HP  IK ⊥ ( HBC) ( ) ( ) + d A, ( SBC ) = a  d I , ( SBC ) = Áp dụng hệ thức IK = IH + a a  IK = 2  IH = a2 IP 2  a  3a2 = 3a2 , suy R = a , suy V = 3 a3 Suy AH = AI + IH =   +     (Gv Lê Tuấn Anh 2018): Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng Câu 22 cạnh a, SA=a SA vng góc với đáy Gọi M trung điểm SB, N điểm thuộc cạnh SD cho SN=2ND Tính tỉ số thể tích A V = B V = VACMN VSABCD C V = D V = Chọn đáp án A a3 Ta có VS.ABCD = SA.SABCD = 1   a3 VNDAC = NH S DAC = a  a2  = 3   18 1 a   a3 VMABC = MK S ABC =  a2  = 3   12 a3 d A, ( SMN ) S SMN = 18 ( ) 1  a  a3 Suy VNSAM = NL.S SAM = a  a  = 3  2  18 Mặt khác VC.SMN 1 a3 = d C, ( SMN ) S SMN = d A, ( SMN ) S SMN = 3 18 ( ) ( ) Vậy VACMN = VS.ABCD − VNSAM − VNADC − VMABC − VSCMN = Kết luận VACMN VSABCD Câu 23 = a3 a3 a3 a3 a3 − − − − = a 18 18 12 18 12 (Gv Lê Tuấn Anh 2018) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình bình hành, E trung điểm SA, F, G điểm thuộc cạnh BC, CD Thiết diện hình chóp cắt A Tam giác (CF