BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT BẰNG BẰNG PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ §1 Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số A Tóm tắt lý thuyết Để tìm giá trị lớn (GTLN), giá trị nhỏ (GTNN) hàm số, ta có hai quy tắc sau đây: Quy tắc (Sử dụng định nghĩa) Giả sử xác định Ta có D⊂ f ¡ ⇔ ; max  ff (M M mD ∀ ∀fxfx(∈ (∈xx)DD ) (mxx))=≤≥min xx∈ ∈D  ∈D D[ a::;ffbf (]( xx00)) == M m Quy tắc (Quy tắc tìm GTLN, ∃∃xx00 ∈ GTNN hàm số đoạn): Để tìm giá GTLN, GTNN hàm số xác định đoạn , ta làm sau: • B1 Tìm điểm , , …, thuộc khoảng mà hàm số có đạo hàm f x x ( a;m12b ) khơng có đạo hàm • B2 Tính , , …, , , • B3 So sánh giá trị tìm fff ( (xxbam12)) bước Số lớn giá trị GTLN đoạn ; [ a;f b ] số nhỏ giá trị GTNN đoạn max f ( x ) = max { f ( x1 ) , f ( x2 ) , K , f ( xm ) , f ( a ) , f ( b ) } x∈[ a ;b] f ( x ) = { f ( x1 ) , f ( x2 ) , K , f ( xm ) , f ( a ) , f ( b ) } x∈[ a ;b] Quy ước Khi nói đến GTLN, GTNN hàm f số mà không rõ GTLN, GTNN tập ta hiểu GTLN, GTNN tập xác định B Một số ví dụ Ví dụ [ĐHD11] Tìm GTLN, GTNN 2[x0; +2]3 x + y= hàm số đoạn x +1 Giải Ta có Lại có , 17 y(x2(2∈0xy)2(y=0; = −∀ +=17 323x) + ) x + x ( x + 3) ( x + 1) max xy∈[(0;2 ] = ) y ' = = >0 x ∈ 0;2 [ ] Suy , 2 33 ( x + 1) ( x + 1) Nhận xét THS PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG 0983070744 website: violet.vn/phphong84 DĐ: BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT BẰNG ;fxb) ] = f ( a )  f[ a(⇒  x∈[ a ;b]  nghịch biến f (⇒ x) = f ( b) •  xmax ∈[ a ;b ] f[ a ;fxb) ] = f ( b ) (  x∈[ a ;b] Ví dụ [ĐHB03] Tìm GTLN, GTNN  y = x + − x f ( x) = f ( a)  xmax ∈[ a ;b ] hàm số • đồng biến ; TXĐ = [ −2; 2] Giải Ta có y ' = 1− Với , ta có x x∈ ( −2; ) − x − x = 4x −∈x( 2−2; ) − x ⇔2 02 4x− 4x≥y−x='20x=− = x =x  2 4 − x = x Vậy () { ( ) } = { −2; 2; 2} = −2 { ( ) } = { −2; 2; 2} = ⇔ y = y ( −2 ) ; y ( ) ;xy= −22 , đạt max y = max y ( −2 ) ; y ( ) ; y ⇔2 , đạt ; Ví dụ [ĐHD03] Tìm GTLN, GTNN [ −1;x2+] y= hàm số đoạn x2 + Giải Ta có y'= Với ta có x + − ( x + 1) x 1− x x +1 x ∈ ( −1; ) = x +1 ( x + 1) x + yx⇔ ' = 10 2 Vậy x⇔ = −1   y = { y ( −1) ; y ( ) ; y ( 1) } = 0; ; 2 =   x⇔ =1 , đạt   max y = max { y ( −1) ; y ( ) ; y ( 1) } = max 0; ; 2 =   Ví dụ [ĐHB04] Tìm GTLN, GTNN 1;eln3 2 x y =  hàm số đoạn x , đạt ; Giải Ta có  ln x  2 ÷.x − ln x ln x − ln x x  y'=  = x x2 THS PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG 0983070744 website: violet.vn/phphong84 DĐ: BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT BẰNG x ∈ ( 1; e3 ) Với ta có x' ln ==2002x = ln xlny−⇔ =e123 ) ∉xx⇔ (=1;e () x⇔ =1  4 y = y ( 1) ; y ( e3 ) ; y ( e ) = 0; ;  =  e e  ⇔2 , đạt  4 x =e max y = max y ( 1) ; y ( e ) ; y ( e ) = max 0; ;  =  e e  e Ví dụ [ĐHD10] y = − x + x + 21 − − x + 3x + 10 Tìm GTNN hàm số Vậy Giải , đạt { { , suy Ta có } } 2− x2+3∈≤4⇔ 57 ≥ ≤TXĐ 2;5 − ] x− xx[x− +≤≤ 21  TXÑ=  2−2 ≤ x ≤  − x + x + 10 ≥ y'= − x−2 − x + x + 21 + 2x − − x + x + 10 ⇒ ' = 04 x −212 x −x3+ x −x 4−x2+ y ⇔ = = 22 2 −−xx ++44xx++21 21 42( − − x x+ +3x3x+ + 1010 ) ( − x + x + 10 ) ( x − x + ) ⇔ = ( − x + x + 21) ( x − 12 x + ) ⇔29 51x − 104 xx==x + 29 = 17 y '1 Thử lại, ta thấy có nghiệm x= ⇒ yy( (1x−5⇔ 2=) )==1=432 y y  ÷= 3 , , , đạt C Bài tập Tìm GTLN, GTNN hàm số 1) 2) đoạn 3) đoạn 4) đoạn 5) đoạn 6) đoạn 7) đoạn 8) đoạn 9) khoảng 10) khoảng 11) nửa khoảng 12) nửa khoảng y = − x2 y = [x−2 2;3 + 2]x − y = −[x2;+4]2 x + y = x − x + −3;  3[ −4;0 y = x3 + x22 2]+ 3x − y =3x [+−34;x 4]− x + y = x[ −3 3;1 + 5]x − 4 y = x [ 1;3 − 8]x + 16 y( 0; = x+∞ +) 1x y =( 1;x +∞ + ) x 1− y (=0;x2−] xx y( =−2; 4] x+2 THS PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG 0983070744 website: violet.vn/phphong84 DĐ: BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ 13) đoạn 14) 15) 16) 17) 18) 19) TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT BẰNG 2 x[ 0;1 +]5 x + y= 4 y = sin x + cos x y = 2sin x + 2sin x − y = cos 2 x − sin x cos x + y = cos3 x − cos x + cos x + y = sin x − cos x + sin x + y = − sin x − 3sin x y= cos + cos x + cos + THS PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG 0983070744 website: violet.vn/phphong84 DĐ: BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT BẰNG §2 Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ biểu thức A Nguyên tắc chung Việc giải toán dạng gồm bước sau: Xác định ẩn phụ • t Từ giả thiết, tìm miền giá trị • t Đưa việc tìm GTLN, GTNN biểu thức cần xét việc tìm GTLN, GTNN • t hàm biến miền giá trị B Một số ví dụ Cho , thỏa mãn Tìm GTLN, Ví dụ GTNN Giải Đặt , suy Ta có x1 =0 4y − S = ( xx3+y−y≥ )( ) 0≤t ≤ t = xy ( x + y) =4 Xét hàm , với Ta có đồng biến f '((tt)∀ 33⇒ +42t0;)12 t] −>63 ) t==t∈[t∈f0; [t([0; ]+44]12 Do , đạt • S = f ( t ) = f ( ) = −63 ( xy ) = 63 23 +− 12  + 3Stt − − ( x + y ) ( tx +− 4y )t 4− 3xy   t∈[ 0;4] • , đạt max S = max f ( t ) = f ( ) = 49 Cho , thỏa mãn Tìm Ví dụ GTLN, GTNN x 2y0=− 2xy S x=2 + xy +y≥ t =t ⇒ >x +0 y Giải Đặt Ta có ≤ 2 t = ( x + y ) t≤⇒ ( x + y2 ) = , 2 xy ≥ x + y = t = ( x + y ) = x t+≥⇒ y2 + Suy Lại có t ∈  2;  x−2 1+ty2 2+) t + (Sx =+ yf )( t )−=(⇒ xy = = t −1 2 ,, Do f ' ( tt ∈ t==+211 > f)f = (( 12−))2; ( Ta có với , đạt ) y=f=1( ) = =x⇔  xS+  2 , đạt  x +y y= 1= • y1 −+ =13 xS+=⇔ max f ( 1) = x =  2  x + y 2= + − XÂY  y = 1ĐH THS PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG DỰNG   0983070744 website: violet.vn/phphong84 •   xy = 24) ( x; y x) =+ (y2;=⇔   xy = t∈[ 0;4 ] DĐ: =⇔ 4;0 44) ( x; y x) =+ (y0; BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT BẰNG Cho , thỏa mãn Tìm GTLN, Ví dụ GTNN y ≥ x x 20 y S =x + y += y +1 x +1 t = x+ y Giải Đặt , ta có , Suy Lại có Ta có biến đổi sau ( x + y) ( x + y) ≤+4y ) = ×8 = 16 ≤ ( xt2⇒ 2+ 22xy ≥ x + y = = x +t y≥2⇒ 2 ≤t ≤4 x ×y = ( x + y) − ( x2 + y2 ) S(t+x(+ty+28( −yy)8+−) 12) xy x+(tyx2) + 1+t )− x ( = × = == − 16 x8t + (xy+t+ty12++) −(2txy ++48+11) 2 ≤ t ≤ t + f ( t ) = 22 t2 − = 2 Xét hàm với Ta có t + 2t − f '( t ) (t = + 2t − ) − ( t + ) ( 2t + ) (t + 2t − ) = t 2− ≤ −t∀2 t−:16 22t ≤ THS PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG 0983070744 website: violet.vn/phphong84 ⇔ ( x + y − 1) ( x + y( )x ++ y2)( x++(xxy+)++yy2≥) 1≥ 02 DĐ: BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT BẰNG (do , ) Đặt 22 Xét hàm , Ta có đồng biến  ( xt+=yx⇒ + y12 ) 9t211= t ≥ 1f9⇒ ff (' t( )t )≥= ∀ =t tf;≥(≥ t t) −÷22=t>+01 +∞   Như , dấu “” xảy  242 222 16  A ≥ f t == 99t − 2t + ( S) ≥  16 Vậy , đạt ⇔ [ĐHB12] Cho số thực , , S =1 91 1  x(;x2xymin ; )+y=)y52= − =2; −0 ÷5 ÷ ( Ví dụ x =+xy +zxy+zy2z516 P +=2z12  thỏa mãn điều kiện Tìm giá trị nhỏ biểu thức Giải Từ suy , thay vào đẳng thức thứ + −y (+xz+=y0) zx = hai giả thiết, ta Biến đổi x = 1y ⇔ 1 ÷  2 2 22 21  x + y = ( x; y( x) ;=y) −=  ; −; = x +t y=2 x++( xy+ y ) = ( x + y ) − xy ≥ ( x + y ) − Do đó, đặt ta có t≤2 1− 16  226  t⇔ xy = t ∈ 2 − ;   3  2 ( x + y) = ( x + y) 2 , 5 5P 2 = ( x + y ) ( x=2 x+5 y+2 )y− −x ( yx +( xy )+ y ) − ( x + y ) = ( x + y ) − xy ( x + y )  ( x + y ) − xy  − x y ( x + y ) − ( x + y )    2 3 2t −  = −2 ( 2t23t− −t )1   2t −  = t − × ×t  t −4 × − ÷ t −t     5 232     Xét hàm , với Ta có  f f t ) 6=−∈− 6−( ;26t66− −t1)6 t = ±'t( ∈ ;     có hai nghiệm 6 344 33   Ta có , , ,  666 555666 f ff−− ÷ ÷÷ ÷=÷ ÷==−−36 36   65636 Vậy , đạt chẳng hạn , x z = P = y = − = − Cho , , thỏa mãn Tìm z >xy 03636 Ví dụ x+ y+z ≤ GTNN biểu thức 1 S = x + y + z 2t +> 0x y + y z + z x Giải Đặt Ta có t = xyz Suy ⇒1 ≥ x + yt + ≤ z ≥ 3 xyz 2  1 t ∈  0;   2 THS PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG 0983070744 website: violet.vn/phphong84 DĐ: BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT BẰNG Lại có , 1 x + 1y + z ≥ 31 x 1y z 1= 3t 3 + + ≥ 33 × × = = 2 x y y z z x x y y z z x xyz t ⇒2  S ≥ 3 t + ÷ t   Xét hàm với Ta có , suy 12t15 −99  =3f 1t211+ f ( ) S ∀ t = t ∈ ∈ 0; f 0; 0; f ' t = − 4 = ÷ 3=4 < nghịch biến Vậy , đạt ( ) t  t 2222 t x =⇔y = z x= y = z =  xy 12 y >+ 0z=≤ [ĐHA03] Cho , , thỏa mãn x+3 zxyz  Ví dụ Chứng minh rằng: x2 + ( 1) 1 + y + + z + ≥ 82 2 x y z r r r  rr  1  a + b + c =  bxac+  yxzy; + ÷z; + + ÷ r r r xyzr xr ry z  a + b + c ≥ a +b +c Giải Xét , , , ta có Từ suy 1 x + + y2 + + z2 + ≥ x y z ( x + y + z) 2 1 1 + + + ÷ x y z Đến ta có hai cách tiếp: Cách Áp dụng bất đẳng thức Cơ-si ta có: Do 1x + 1y + z1 ≥ 3 xyz + + ≥ 33 x y z xyz Ta có VTt (=1) ≥ xyz 9t + t ( ) , , với Xét với Ta có nghịch biến  x+ y+z 0