SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC KÌ THI CHỌN HSG LỚP 10, 11 THPT NĂM HỌC 2017-2018 ĐỀ CHÍNH THỨC ĐỀ THI MƠN: TỐN 10 – THPT Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian giao đề Câu (2,0 điểm) Tìm tập xác định hàm số f  x   2017  3x  x  2018 x 2x2  x Câu (2,0 điểm) Tìm tất giá trị tham số m để hàm số y  ( x  m)( x  5) xác định đoạn [  2;5] Câu (2,0 điểm) Giả sử phương trình x  mx   có hai nghiệm x1 , x2 Tìm giá trị lớn biểu thức A   x1  x2   x12  x22 Câu (2,0 điểm) Tìm tất giá trị tham số m để phương trình m x   m x   m  có nghiệm Câu (2,0 điểm) Giải bất phương trình: x  x   x   x  x   2  10  xy  3  x  y    x  y  Câu (2,0 điểm) Giải hệ phương trình:  2 x    x y  x, y    ACB  120 Gọi M điểm thay đổi Câu (2,0 điểm) Cho tam giác ABC cân C có AB  4a,  cho MA  3MB Tìm giá trị nhỏ độ dài đoạn thẳng MC Câu (2,0 điểm) Cho đường tròn  O  dây cung AA1 , BB1 , CC1 song song với Gọi H1 , H , H trực tâm tam giác ABC1 , BCA1 , CAB1 Chứng minh ba điểm H1 , H , H thẳng hàng Câu (2,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho hình thang ABCD vng A D , AB  AD  CD Giao điểm AC BD E  3; 3 , điểm F  5; 9  thuộc cạnh AB cho AF  FB Tìm tọa độ đỉnh D , biết đỉnh A có tung độ âm Câu 10 (2,0 điểm) Cho số thực dương x, y thỏa mãn x  y   3xy Tìm giá trị lớn biểu thức: P  3x 3y 1    y ( x  1) x( y  1) x y -Hết Thí sinh khơng sử dụng tài liệu máy tính cầm tay Cán coi thi khơng giải thích thêm Họ tên thí sinh:…………………….…… …….…….….….; Số báo danh…………………… SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC KÌ THI CHỌN HSG LỚP 10, 11 THPT NĂM HỌC 2017-2018 HƯỚNG DẪN CHẤM MƠN: TỐN 10 - THPT (Hướng dẫn chấm có 05 trang) I LƯU Ý CHUNG: - Hướng dẫn chấm trình bày cách giải với ý phải có Khi chấm học sinh làm theo cách khác đủ ý cho điểm tối đa - Điểm tồn tính đến 0,5 khơng làm tròn - Với hình học thí sinh khơng vẽ hình phần khơng cho điểm tương ứng với phần II ĐÁP ÁN: Câu Nội dung trình bày Điểm 2018 x Tìm tập xác định hàm số f  x   2017  x  x  2,0 x2  x 4  3x  x  Đk:  0,5 2 x  x  1  x     x  0,5  x    1  x   3  x  Vậy tập xác định hàm số là: D   1;0    3;4 Tìm tất giá trị tham số m để hàm số y  ( x  m)( x  5) xác định đoạn [  2;5] Hàm số xác định ( x  m)( x  5)  - Nếu m  5 hàm số xác định (; m]  [  5; ) nên xác định đoạn  2;5 0,5 0,5 2,0 0,5 0,5 - Nếu m  5 hàm số xác định (; 5]  [m; ) nên xác định đoạn  2;5 m  2  5  m  2 0,5 Vậy với m  2 hàm số xác định đoạn  2;5 0,5 Giả sử phương trình x  mx   có hai nghiệm x1 , x2 Tìm giá trị lớn biểu thức A   x1  x2   x12  x22 Ta có   m  16  m   suy phương trình cho ln có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 x  x  m Theo Vi – ét ta có:   x1 x2  4  x1  x2    x1  x2   2m    Ta có A  2 x1  x2  x1  x2   x1 x2 m   Am  2m  A   (*) TH1: A   m   2,0 0,5 0,5 0,5 TH2: A  Để phương trình (*) có nghiệm    8 A2  A      A  Vậy AMax  m  Tìm tất giá trị tham số m để phương trình m x   m x   m  có nghiệm - Nếu m  phương trình cho vơ nghiệm m3 - Nếu m  phương trình cho tương đương với | x  |  | x  1| m Xét hàm số f ( x) | x  |  | x  1| , có đồ thị hình vẽ sau: 0,5 2,0 0,5 0,5 Nghiệm phương trình cho hồnh độ giao điểm đồ thị hàm số vẽ m3 y  f  x  đường thẳng y  m m3 2m  3 3 0  m  Để phương trình cho có nghiệm: m m 3  m  Vậy Giải bất phương trình: x  x   x   x  x  ĐK: x  (; 3]  {  1}  [3; ) Dễ thấy x  1 nghiệm bất phương trình - Nếu x  BPT  ( x  1)( x  3)  ( x  1)( x  1)  ( x  1)( x  3)  x   x   x   2x   x2  x   x   x2  x    x x    3  x  x   1    3  x      x    x  3   3x  x  37    1  x     0,5 0,5 2,0 0,5 0,5 - Nếu x  3 BPT  (  x  1)(  x  3)  ( x  1)(1  x)  (  x  1)( x  3)   x   x   x   x  x   x  x  3 , x  3 nghiệm 1   ;   KL: Tập nghiệm BPT D  ( ; 3]  {  1}     0,5 0,5  2  10  xy  3  x  y    x  y  Giải hệ phương trình:  2 x    x y Đk: x  y  x, y     I  2   20 2  x  y    x  y   x  y   Hệ phương trình  I  tương đương   x  y    x  y     x y  a    b  x  y  a 2 2a  b  22     a  Đặt  suy hệ  I  trở thành   a  b  x  y  x  y  b      14  b   x  y  a  x  y  x   Với     b  x  y  y 1 x  y  x  y      10 x  y   x   3        10 3  10   x  y  x  y  y a        3   Với        10 b  14  x  y   14 x  y   x     x  y  3        10   y  3  10  x  y     Vậy hệ phương trình  I  có nghiệm  x; y    10 3  10    10 3  10  ; ; ;  3     Cho tam giác ABC cân C có AB  4a,  ACB  120 Gọi M điểm thay đổi cho MA  3MB Tìm giá trị nhỏ độ dài đoạn thẳng MC 2,0 0,5 0,5 0,5 0,5  2;1 ;  A B H M C I 2,0   Ta có MA  3MB  MA2  9MB  MI  IA    8MI  IA2  IB  2MI IA  IB *       MI  IB   0,5    a 9a Lấy điểm I cho IA  IB  IB  , IA  2 9a Khi *  IM   IA2  IB   0,5 Suy tập hợp điểm M đường tròn tâm I , bán kính R  3a a 273 Gọi H trung điểm AB  IC  CH  IH  Do IC  R  độ dài đoạn thẳng CM nhỏ M giao điểm đoạn thẳng IC đường tròn  I ; R  , hay CM  IC  R  OI  OC  R    273  a Cho đường tròn  O  dây cung AA1 , BB1 , CC1 song song với Gọi H1 , H , H trực tâm tam giác ABC1 , BCA1 , CAB1 Chứng minh ba điểm H1 , H , H thẳng hàng     OH1  OA  OB  OC1     OH  OB  OC  OA1     OH  OC  OA  OB1          Suy H1H  OH  OH1  OA1  OA  OC  OC1  AA1  C1C          H1H  OH  OH1  OC  OC1  OB1  OB  C1C  BB1      Vì AA1 , BB1 , CC1 song song nên AA1 , BB1 , CC1 phương nên H1H H1H phương Suy H1 , H , H thẳng hàng Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho hình thang ABCD vuông A D , AB  AD  CD Giao điểm AC BD E  3; 3 , điểm F  5; 9  thuộc cạnh AB cho AF  FB Tìm tọa độ đỉnh D , biết đỉnh A có tung độ âm A F 0,5 0,5 2,0 0,5 0,5 0,5 0,5 2,0 B E D I C Gọi I  EF  CD Ta chứng minh tam giác EAI vuông cân E             Đặt AB  a, AD  b Khi a  b a.b  Ta có AC  AD  DC  b  3a           FE  AE  AF  AC  AB  b  3a  a  3b  a 6 12     0,5   2 2 b  a  Do AC  EF Suy AC.FE  (1) 12 Từ (1) suy tứ giác ADIE nội tiếp Suy  AIE   ADE  45 (2) Từ (1) (2) suy tam giác EAI vuông cân E   Ta có nAC  EF  2; 6  nên AC : x  y  12   A  3a  12; a  , (a  0) Ta có EIC  EFA ECD  EAB   EI EC CD     EI  3FE  I  3;15  Theo định lý Talet ta có EF EA AB  a  (l ) 2 Khi EA  EI   3a     a  3  360   Suy A  15; 9   a  9  Ta có AF  20;0  nên AD : x  15  CD : y  15 Do D  15;15  10  Cho số thực dương x, y thỏa mãn: x  y   3xy Tìm giá trị lớn 3x 3y 1    biểu thức: P  y ( x  1) x( y  1) x y 2 3x ( y  1)  y ( x  1) x  y 3xy ( x  y )  3x  y x  y  2   2 Ta có: P  xy ( x  1)( y  1) x y xy ( xy  x  y  1) x y 2 xy ( x  y )  ( x  y )  x2 y 0,5 0,5 0,5 2,0 0,5 Đặt t  xy, t  Từ x  y   3xy  3t  t     t 1 0,5  t 1   t  5t   1  Khi P       4t 4t  2t  Do t   P  Vậy giá trị lớn P  xy  t 1   x  y 1 x  y  -Hết 0,5 0,5 ... GD&ĐT VĨNH PHÚC KÌ THI CHỌN HSG LỚP 10, 11 THPT NĂM HỌC 2017- 2018 HƯỚNG DẪN CHẤM MƠN: TỐN 10 - THPT (Hướng dẫn chấm có 05 trang) I LƯU Ý CHUNG: - Hướng dẫn chấm trình bày cách giải với ý phải có. .. Khi chấm học sinh làm theo cách khác đủ ý cho điểm tối đa - Điểm tồn tính đến 0,5 khơng làm tròn - Với hình học thí sinh khơng vẽ hình phần khơng cho điểm tương ứng với phần II ĐÁP ÁN: Câu Nội...  có hai nghiệm x1 , x2 Tìm giá trị lớn biểu thức A   x1  x2   x12  x22 Ta có   m  16  m   suy phương trình cho ln có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 x  x  m Theo Vi – ét ta có: