TÍCH PHÂN VẬN DỤNG CAO TRONG ĐỀ THI THPT QUỐC GIA 2018 Vấn đề Tính tích phân theo định nghĩa Câu Cho hàm số f  x  có đạo hàm liên tục 0;1, thỏa f  x   f 1  x    x Giá trị tích phân  f '  x  dx A B Lời giải Ta có  C D f   x  dx  f  x   f 1  f 0 0    f 0       f 0  f 1     Từ f  x   f 1  x    x      f  f         f 1      Vậy I   f '  x  dx  f 1  f 0    Chọn C 5 Câu Cho hàm số f  x  có đạo hàm liên tục 0;1, thỏa mãn f 0  f 1  Biết e x  f  x   f   x  dx  ae  b   Tính Q  a 2018  b 2018 A Q  2017  Lời giải Ta có e B Q  C Q  D Q  2017 1 /  f  x   f   x  dx  e x f  x  dx  e x f  x        x 0  ef 1  f 0 f  0 f 11  e 1 a   2018 Suy    Q  a 2018  b 2018  12018  1  Chọn B  b     Câu Cho hàm số y  f  x , y  g  x  có đạo hàm liên tục 0;2  thỏa mãn  f '  x  g  x  dx  2,  f  x  g '  x  dx  Tính tích phân I    f  x  g  x  dx / 0 A I  1 C I  B I  D I  / Lời giải Ta có I    f  x  g  x  dx    f '  x  g  x   f  x  g '  x  dx 2   f '  x  g  x  dx   f  x  g '  x  dx    Chọn C 0 x2 Câu Cho hàm số y  f  x  liên tục  0; thỏa  1  A f       x2 Lời giải Từ  1 B f      1 f t  dt  x sin  x  Tính f     1 C f      1  D f       f t  dt  x sin  x  , đạo hàm hai vế ta xf  x   sin  x    x cos  x  1 Cho x  ta f 2      sin    cos       2 1 f    Chọn C   Câu Cho hàm số f  x  liên tục a;  với a  thỏa x  a A f 4   x Lời giải Từ  a B f 4   f t  dt   x với x  a Tính f 4 t2 C f 4   f t  f x   dt   x , đạo hàm hai vế ta t2 x2 x Suy f  x   x x   f    4  Chọn C D f  4  16 Vấn đề Kỹ thuật đổi biến e 2017 1 2017 f  x  dx  Tính tích phân I   Câu Cho  0 A I  x f  ln  x  1 dx  x   D I  C I  x d x xd x dt Lời giải Đặt t  ln  x  1, suy dt     x 1 x 1 x   t   Đổi cận:   2017   x  e 1  t  2017 Khi I  B I  2017 f  t  dt   2017  f  x  dx   Chọn A Câu Cho hàm số f  x  liên tục   A I   f f sin x  cos xdx  Tính tích phân I   f  x  dx  0 D I  10 x  t  x , suy tdt  dx x f  x   t  Đổi cận  Suy     x   t   x  C I   x  dx  Đặt t   Xét  x  dx  4, B I  Lời giải  Xét  f  x  dx  x  f t  2dt    f t  dt  1 f sin x  cos xdx  Đặt u  sin x , suy du  cos xdx    x   u  Đổi cận  Suy   f sin x  cos xdx   f t  dt    x   u 1  0   3 Vậy I   f  x  dx   f  x  dx   f  x  dx  Chọn C 0 Câu Cho hàm số f  x  liên tục    f  tan x  dx  4, A I  B I   Lời giải Xét   x f x  d x  Tính tích phân I   f  x  dx x 1 C I  D I  f tan x  dx  Đặt t  tan x , suy dt  dt dx  tan x  1 dx   dx  cos x 1 t  x   t   1  f t  f x  Đổi cận:  Khi  f tan x d x  d t  dx         t 1 x 1 x   t 1  0   1 f x  x f x  Từ suy I   f  x  dx   dx   dx    Chọn A x 1 x 1 0 Câu Cho hàm số f  x  liên tục  thỏa mãn   tan x f cos x  dx  1, 2 f 2 x  dx x A I  B I  C I   Lời giải ● Xét A   tan x f cos2 x  dx  Đặt t  cos x  e I  e2 D I  f  ln x  x ln x dx  Tính tích phân Suy dt  2 sin x cos xdx  2 cos x tan xdx  2t tan xdx   tan xdx   dt 2t   t   x   Đổi cận:     x   t      1 1 f t  f t  f x  f x  1 Khi  A    dt   dt   dx   dx  2 t t x x f ln x  e2 ● Xét B   x ln x e Suy du  2 dx  Đặt u  ln x ln x ln x 2u dx du dx  dx  dx    x x ln x x ln x x ln x 2u   x  e  u  Đổi cận:    u    x  e  4 f x  f u  f x  Khi  B   du   dx   dx  2 u x x ● Xét tích phân cần tính I   f 2 x  dx x     1  dx  dv  v   Đổi cận:   x   Đặt v  x , suy      v   x v      x      4 f v  f x  f x  f x  dv   dx   dx   dx    Chọn D Khi I   v x x x 1 1 2 1  Câu 10 Cho hàm số y  f  x  xác định liên tục  ;2 , thỏa f  x     I  f x  1 f    x   Tính tích phân  x  x dx x 1 A I  C I  B I     x   t   1   Lời giải Đặt x  , suy dx   dt Đổi cận:   t t  x    t      Khi I   2 Suy I   2  1 1     f   f   f    t     t   x     dt   dt   dx   t  t 1 x 1 1  2 t2       f   f x  f   x  2 f x   x   x  x2 dx   dx   dx   dx 2 x 1 x 1 x 1 x 1 1 2     x 1 1   dx   x   d x   2      x x  x 2 2    I  Chọn A 2 D I  Câu 11 Cho hàm số f  x  liên tục  thỏa f  x   f x    cos x với x   3 Tính I  f x d x  3  C I  2   3   x  t   2  dx  dt Đổi cận:  Lời giải Đặt t  x   3 3  x  t    2   A I  6  B I  3 Khi I    f t  dt  3 3  Suy I   3 3   f t  dt  3 3    f t   f t  dt    f x  dx 3 3 3   D I   cos 2t dt  3   CASIO cos t dt  12   I  Chọn D 3 Câu 12 Cho hàm số y  f  x  xác định liên tục  , thỏa f  x  x  3  x  với x   Tích phân  f  x  dx 2 A B 10 C 32 D 72  x  2  t  1  Lời giải Đặt x  t  t  3, suy dx  5t   dt Đổi cận    x   t   Khi 2 1 1 1 f  x  dx   f t  t  35t   dt   2t  15t   dt  10 Chọn B Câu 13 Cho hàm số f  x , g  x  liên tục  0;1, thỏa m f  x   n f 1  x   g  x  với m, n số thực khác  f  x  dx   g  x  dx  Tính m  n 0 B m  n  C m  n  Lời giải Từ giả thiết m f  x   n f 1 x   g  x  , lấy tích phân hai vế ta A m  n   m f  x   n f 1  x dx  g ( x )dx    1 Suy m  n  f 1  x  dx  (do   Khi 0 f  x  dx   g  x  dx  ) Xét tích phân  D m  n  1 x   t   f 1  x  dx Đặt t   x , suy dt  dx Đổi cận:    x   t  0 1 f 1  x  dx   f t  dt   f t  dt   f  x  dx  1  2 Từ 1 2, suy m  n  Chọn C Câu 14 Cho hàm số f  x  xác định liên tục  0;1, thỏa mãn f '  x   f ' 1  x  với x  0;1 Biết f 0  1, f 1  41 Tính tích phân I   f  x  dx A I  41 B I  21 C I  41  f  x    f 1 x   C Lời giải Ta có f '  x   f ' 1  x   D I  42 f 01, f 1 41 Suy f 0    f 1  C      C  42 Suy f  x    f 1 x   42   f  x   f 1 x   42 1 0     f  x   f 1  x  dx   42dx  42 1 1  2   f  x  dx   f 1  x  dx Vì f '  x   f ' 1  x   0 Từ 1 2, suy  f  x  dx   f 1  x  dx  21 Chọn B 0 Câu 15 Cho hàm số y  f  x  liên tục  thỏa mãn f  x   f  x   x với x   Tính I   f  x  dx 4 A I   B I  C I   5 Lời giải Đặt u  f  x  , ta thu u  u  x Suy 3u  1 du  dx D I  x   u   Từ u  u  x , ta đổi cận  Khi I   u 3u  1 du  Chọn D  x   u    Cách khác Nếu tốn cho f  x  có đạo hàm liên tục ta làm sau:   f 0    f 0   f 0    Từ giả thiết f  x   f  x   x    *       f 2     f 2   f 2    Cũng từ giả thiết f  x   f  x   x , ta có f '  x  f  x   f '  x  f  x   x f '  x   Lấy tích phân hai vế  f '  x  f  x   f '  x  f  x  dx  x f '  x  dx    0   f  x   f  x   2 2  *       xf  x   f  x  dx       f  x  dx       0 Vấn đề Kỹ thuật tích phân phần Câu 16 Cho hàm số f  x  thỏa mãn  x f   x .e f  x dx  f 3  ln Tính I   e f  x  dx 0 A I  B I  11 C I   ln D I   ln 3 3 u  x du  dx   f x  f x  f x    Lời giải Đặt  Khi x f x e d x  x e  e   dx     f x    f x     d v  f x e d x   v  e   0   Suy  3.e f 3  e f x  dx   e f x  dx    Chọn A   Câu 17 Cho hàm số f  x  có đạo hàm liên tục 0;  , thỏa mãn      f '  x  cos2 xdx  10 f 0  Tích phân  f  x  sin xdx B I  7 A I  13  Lời giải Xét  C I  D I  13 u  cos x du   sin xdx    f '  x  cos2 xdx  10 , đặt      dv  f '  x  cos xdx  v  f  x    Khi 10   f '  x  cos xdx  cos xf  x    0     f  x  sin xdx  10   f 0   f  x  sin xdx    f  x  sin xdx  10  f 0  13 Chọn D Câu 18 Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm liên tục  0;1, thỏa mãn  f  x  1 dx  f 1  Tích phân 1 x f '  x  dx A 1 B  C D  Lời giải Ta có 1 Xét t  x 1 f  x 1 dx     f t  dt  hay  f  x  dx  1 u  x   du  dx 1 tf ' t d t  xf '  x  dx Đặt          2 dv  f '  x  dx  v  f  x    1  1 1 tx2 x f '  x  dx    tf ' t  dt   xf  x   f  x  dx     3  Chọn C 2 2 0   t x x f '  x  dx    Khi  Câu 19 Cho hàm số f  x  nhận giá trị dương, có đạo hàm liên tục 0;2 Biết f 0  f  x  f 2  x   e x x  0;2 Tính tích phân I   x  3x 14 B I   Ta có I    x  3x  f '  x  f x  4 x với dx 32 Lời giải Từ giả thiết f  x  f 2  x   e x  f 'x  f x  A I   2 C I   16 D I   16 x 2   f 2   4 x   u  x  3x 2     du  3 x  x  dx dx Đặt  f 'x      dv  dx  v  ln f x        f x    Khi I   x  x  ln f  x  f 21 2   3 x  x  ln f  x  dx   3  x  x  ln f  x  dx  3J Ta có J    x  x  ln f  x  dx 0 x  2t  2  t   2  2  t  ln f 2  t  d 2  t     2  x   2  x  ln f 2  x  d 2  x     x  x  ln f 2  x  dx   2 0 Suy J    x  x  ln f  x  dx    x  x  ln f 2  x  dx    x  x  ln f  x  f 2  x  dx    x  x  ln e x 2 4 x dx    x  x 2 x  x  dx  0 Vậy I  3 J   32 16  J  15 15 16 Chọn D      Câu 20 Cho biểu thức S  ln 1   2  sin x  e cot x dx , với số thực m  Chọn khẳng định khẳng định sau   n   m A S  B S        C S  cot    ln sin    m    m        D S  tan    ln     m    m   2  sin x  e cot x dx   Lời giải Ta có  m2  cot x  dx    sin x e e cot x  sin xe cot x dx m2 2 cot x     m m 2 cot x  2 m      sin x   e cot x dx  sin x  m2   1  d sin x   sin x e  m2 e cot x dx  m  sin xe     Xét   2 e cot x dx  m2  Từ 1 2, suy I  sin x e cot x    1  sin  m2 cot  e m 4m   cot           S  ln sin e m   cot   ln sin  Chọn C 2     4 m    m  4m    Vấn đề Tính a, b, c tích phân  ln 9  x  dx  a ln  b ln  c Câu 21 Biết với a, b, c   Tính P  a  b  c A P  13 B P  18   u  ln 9  x   du  2 x2 dx Lời giải Đặt   9 x   dv  dx     v  x    C P  26 D P  34 2 Khi I   x  3 ln 9  x    1  ln 12 ln   x  ln  x  x  x  3 9 x2   dx  ln  ln   1   dx   x  a      ln  ln    b  6  P  13 Chọn A     c  2 Nhận xét Ở chọn v  x  thay x để rút gọn cho  x , giảm thiểu biến đổi  Câu 22 Biết   x  x  ex x 1 e  dx   ln  p   với m, n, p số nguyên dương Tính tổng P  m  n  p x    e.2 m e ln n  e    A P  Lời giải Ta có I   Tính A   B P  C P  x    x  x  ex x  x   dx  x d x  x x      e.2   e.2   D P  A  A x dx Đặt t    e.2 x   dt  e ln 2.2 x dx   x dx  dt   e.2 x e ln  x   t    e Đổi cận:     x   t    2e  2 e Khi A  dt  ln t e.ln e t e.ln  2 e   e    2e e  ln  ln 1   e ln  e e ln  e     m4     1 e   ln 1    n   P  m  n  p  Chọn C Vậy I      e ln  e     p 1    Câu 23 Biết x  2 x  cos x  cos x   sin x  x  cos x A P  B P   Lời giải Ta có I     x  cos x  x  cos x x  cos x  dx   c với a, b, c số hữu tỉ Tính P  ac  b  C P   x  x cos x  cos2 x   1 sin x   dx  a  b  ln  dx  2 d  x  cos x   sin x dx    x  cos x  dx   x  cos x x  cos x 0 1    x  sin x  ln x  cos x          ln     ln 8     a       b    P  ac  b  Chọn C    c 2      D P  ln Câu 24 Biết  e ln b dx   ln  a a  b với a, b   Tính P  a  b a 1  e B P  C P  D P  2x x A P  1 ln Lời giải Ta có I   ln ln   ln e x 1  e x dx   ln  e x   e x dx  ln ln  e x  1dx  ln ln e x dx  e x  2  ln ln  e x dx ln ln   td t td t  2x e t 1 e x  1dx Đặt t  e x   t  e x  , suy tdt  e x dx  dx  ln   x  ln  t  Đổi cận:      x  ln  t  ln Khi  e x  1dx   ln 3  t 1   t dt  dt   1  dt  t  ln    ln    t  1  t    t 1 2   a  Vậy I   ln  2      P  a  b  Chọn D   2  b  Câu 25 Biết   x  1 dx x  x x 1 A P  12  a  b  c với a, b, c   Tính P  a  b  c C P  24 B P  18 Lời giải Ta có I   dx x  x  1  x 1  x D P  46 x 1  x    x  x  1  x 1  x  1   dx    2du  Đặt u  x   x , suy du    x  x   x   u   Khi I  Đổi cận     x   u     2   3  1 du  u2 u 3 2 1  dx x  x 1 x  x  1 dx  1   2      2  1  a  32   3 2 1     32  12    b  P  46 Chọn D   12    32 1     c   Câu 26 Biết sin x  cos x   sin x  2 A P  10 dx  a b c với a, b, c   Tính P  a  b  c B P  12  Lời giải Ta có I   C P  14  sin x cos x   sin x  2 dx   D P  36 sin x cos x  cos x   cos x dx x   t    Đặt t  cos x   dt  2 sin xdx Đổi cận:    x  t0    Khi I    1 t 3 t  3t 2 3  3  t    3  t     3 2 dt   t  t  3t dt     t   t dt a  16   16 12      b  12  P  36 Chọn D     c  x ex  dx  a  e b  e c với a, b, c   Tính P  a  b  c 2x x xe A P  5 B P  4 C P  3 D P  Câu 27 Biết  Lời giải Ta có  x  ex  dx   4x xe x e x  x  4e x x dx   xe x e  x  2e x  x x dx  4   1 1 1 dx     x  dx   x  x       e 1  e 4      e e e e   x 1 x ex 2 x 2e x a        P  a  b  c  4 Chọn B b  1     c     Câu 28 Biết 2 x  2 x dx  a  b  c với a, b, c   Tính P  a  b  c A P   B P  C P  D P     dx  4 sin 2udu x  cos u với u   0;  Suy x  cos2 u    Lời giải Đặt      x   u    Khi I  Đổi cận       x   u        16    u cos  cos u sin u.cos udu sin 2udu   u  cos u  sin    4 u cos cos udu  8 1  cos u .cos udu   cos udu   1  cos 2u  du     sin u    4 x  2.sin 2u  e Câu 29 Biết I   a            P  Chọn C b  4      c    ln x  ln x b với a, b    Tính P  b  a dx   a e  2 ln x  x  1 A P   B P   e e ln x  ln x  ln x  x  1 Lời giải Ta có dx   Đặt t  C P   ln x  / ln x  ln x   dt   dx  dx      ln x  x  ln x  x   ln x  x  1    x 1 t  e 2   Đổi cận:  Khi I    tdt   t   2  x et    e 2    Câu 30 Biết x cos x   1 x  x  A P  37 Lời giải Ta có I       t     1 x  x  1 x  x  x t dx        t  t cos tdt   x   Suy I   x        t   t   D P  41    x  x dx   x  t  cos t   2   Chọn B e  2 C P  35 dx   x cos x 2 e 2 2 3 với a, b, c số nguyên Tính P  a  b  c  b c  x cos x x cos x Lại có I    dx  a  B P  35   D P  10 ln x  ln x dx ln x  x   ln x  x  12   d t      t cos t 1 t  t  dt   x  x cos xdx   x  x cos xdx   x       x  x cos xdx  2  x cos xdx     x  x cos xdx    I   x cos xdx Tích phân phần hai lần ta I     2 3  36 3 a        P  a  b  c  35 Chọn C b  36     c     Vấn đề Tính tích phân hàm phân nhánh  x  Câu 31 Cho hàm số f  x     2x   e 3e 1 2e 2 A I  x  x  7e  2e 2 Tính tích phân I   f  x  dx 1 B I  9e 1 2e 2 C I  Lời giải Ta có I   f  x  dx   f  x  dx   e x dx    x  1 dx  1 1 D I  11e  11 2e e 1 Chọn C 2e 1   Câu 32 Cho hàm số f  x  xác định  \   , thỏa f   x   , f 0  f 1  Giá trị biểu thức   2 x 1     f 1  f 3 B  ln15 Lời giải Ta có f   x   x 1 A ln15 C  ln15    ln 1  x   C1     f x    dx  ln x 1  C     x 1  ln 2 x 1  C      ln 1  2.0  C1   C1   f 0   D  ln15 ;x  ;x   f 1    ln 2.11  C   C     ln 1  x   x    f 1  ln     Do f  x           f 3  ln  ln 2 x 1  x        f 1  f 3   ln  ln   ln15 Chọn C Câu 33 Cho hàm số f  x  xác định \ 2;1, thỏa mãn f   x   1 , f 3  f 3  f 0  Giá trị x  x 2 biểu thức f 4   f 1  f  4 1 C ln 80  D ln  ln  3 1  1     Lời giải Ta có f   x    x  x   x 1 x   1   ln 1  x   ln x  2  C1 ; x  2     3    1   f x    dx   ;2  x    ln 1  x   ln  x  2  C  x  x 2    1   ;x 1   ln  x 1  ln  x  2  C   3 1 1  f 0     ln 1  0  ln 0  2  C    C  ln  3 3 1  f 3  f 3    C1  C  ln 10 1 1 Ta có f 4   f 1  f    ln  ln  ln  C  C1  C  ln  Chọn B 3 3 A 1 ln 20  3 B 10 Hàm dấu tích phân f 2  x  cos  x  f  x  nên ta liên kết với bình phương  f  x    cos  x  x  x  Ta tìm     f  x   2 cos  x     f   dx  2  cos   dx   Chọn B 2      0 1 Cách Theo Holder 1 1  1    f  x  cos  x  dx    cos  x  dx   f  x  dx  2 0   2     Câu 89 Cho hàm số f  x  có đạo hàm liên tục 0;  , thỏa f    0,        f   x  Tích phân   f  x  dx  3 x  sin x  x  f    dx  6 0 dx A   C 3 B  D  x  sin x  x  f    dx  6, kết hợp với Lời giải Tích phân phần  ta  sin xf  x  dx    f    ta   3  x  sin xf  x  nên ta liên kết với bình phương  f  x    sin x   f  x   sin x  f '  x   sin x  f ''  x   cos x Ta tìm   4  Hàm dấu tích phân f  Vậy   f   x   dx   8 cos x  dx  Chọn B 0 Cách Theo Holder     2   3    sin xf  x  dx    sin xdx  f  x  dx  3 16   0    3      Câu 90 Cho   f '  x  hàm số f x e 1 A I  đạo hàm liên tục đoạn 0;1, thỏa mãn f 1  dx    x  1 e x f  x  dx  có B I  e 1 Tính tích phân I   f  x  dx e2 Lời giải Tích phân phần e D I  C I  e    x  1 e x f  x  dx , kết hợp với f 1  ta  xe x f '  x  dx   e 1 Hàm dấu tích phân  f '  x  xe x f '  x  nên ta liên kết với  f  x    xe x   Ta tìm     f '  x   xe x   f  x    xe x dx  1  x  e x  C   C  f 0 1 Vậy f  x   1  x  e x    f  x  dx   1  x  e x dx  e  Chọn C 0 Cách Theo Holder 1 1  e  1 e 1 e        xe x f '  x  dx    x e x dx   f '  x  dx     4  0 Câu 91 Cho hàm số f  x  có đạo hàm liên tục  0;1, thỏa mãn f 0  0, f 1    f  x  dx 29  f '  x    dx  Tích phân ex e 1 A e 2 e 1 e 1 e 2 B D e 1e  2 C  f '  x  Lời giải Hàm dấu tích phân  x  nên ta cần tìm thơng tin liên quan f '  x  e Từ giả thiết f 0  0, f 1  ta nghĩ đến 1 f '  x  dx  f  x   f 1  f 0   0  f '  x   f ' x   x       e  Với số thực  Do ta có hàm dấu tích phân f '  x  nên liên kết với bình phương  ex  e x  ta có   1 2 f '  x  f' x x      e x  dx   d x   f ' x d x       e x  ex   e dx    0  1    2   e 1  e 1   1 e 1 e 1   f 'x    x   Ta cần tìm  cho     e  dx  hay e 1   1       x e 1 e 1 e    f 'x   f 'x  1  e x  dx    e x , x   0;1 Với      x x e  e  e 1  e  e   ex ex ex f  0 0, f 11 Suy f '  x     f x    dx   C  C   e 1 e 1 e 1 e 1 e x 1 e 2    f  x  dx  Chọn A e 1 e 1 Cách Theo Holder 2  1   f 'x   f '  x  x         f '  x  dx     e dx    d x e x dx  e  1  x  x e e 1 e     0 Vậy f  x   Câu 92 Cho hàm số f  x  có đạo hàm liên tục  0;1, thỏa mãn f 0  0, f 1    x  f '  x  dx  f x  Tích phân  1 x A   ln  dx  ln  2 1 ln   B  C Lời giải Tương tự trước, ta có   ln  D     1 ln  f '  x  dx  f  x   f 1  f 0   0    x  f '  x  f '  x  nên liên kết với bình phương   x f '  x   1 x  1   f ' x   Ta tìm    ln  ln  1 x Do ta có hàm dấu tích phân     f x    ln     1 x dx   ln  Mà f 0  0, f 1   C    f x   f x  Vậy   1 x   ln    2 ln x   x ln  dx    ln x   x 1 x        ln x   x  C  ln x   x  ln   dx    ln    ln  x  2  ln  Chọn C Cách Theo Holder 30       x d  ln x   x    2     1 1  12    f '  x  dx     x f '  x  dx    x  f '  x  dx    1 x 0   ln   Câu 93 Cho hàm số f  x  có đạo hàm liên tục 1;1, thỏa mãn f 1  0,  dx 1 x  ln   1  1  f '  x  dx  112   x 1 f  x  dx  16 Tính tích phân I   f  x  dx 1 84 A I  B I  35 C I  Lời giải Như trước, ta chuyển x f  x  dx  1 35 D I  168 16 thông tin f '  x  cách tích phân phần Đặt   du  f '  x  dx   u  f  x       x3   d v  x d x  v      1 1 x3 1 1 f  x    x f '  x  dx  f 1  f 1   x f '  x  dx Tới ta bị vướng f 1 giả  3 3 1 1 1 1 thiết khơng cho Do ta điều chỉnh lại sau   du  f '  x  dx   u  f  x      với k số   x3   k dv  x dx  v     1 3     x x Khi  x f  x  dx    k  f  x      k  f '  x  dx  1    1 1 x f  x  dx  Khi  x3  1       k  f 1    k  f 1     k  f '  x  dx      3   1  f 1 Ta chọn k cho 1 k   k  3 Khi 1 16   x f  x  dx     x 1 f '  x  dx     x 1 f '  x  dx  16 3 1 1 1 Hàm dấu tích phân  f '  x  ,  x 1 f '  x  nên ta liên kết với  f '  x     x 1    f '  x   7  x 1  f  x   7   x 1 dx   x  x  C Ta tìm    35 35 84 f 1  C    f  x    x  x  Vậy I   f  x  dx  4 1 Cách Theo Holder 1 1  2 16 16     x 1 f '  x  dx     x 1 dx   f '  x  dx  112  256  1  1 1 2 Câu 94 Cho hàm số f  x  có đạo hàm liên tục  0;1, thỏa mãn f 1  0,   f '  x   f x  dx  ln  Tích phân 2  x  1 A  ln B  f  x  dx  ln C  ln 31 D  ln 2 dx   ln f x  Lời giải Như trước, ta chuyển   x  1 dx  ln  thông tin f '  x  cách tích phân phần Đặt   u  f x    du  f '  x  dx         dv  dx   v       x  1 x 1     1 f x  f x  f 'x  f 1 f 0  f '  x  Khi  d x    d x     dx Tới ta bị vướng f 0 giả thiết khơng x  0 x  x 1  x  1 cho Do ta điều chỉnh lại sau   u  f x     du  f '  x  dx    với k số   dv  dx   v  k      x  1 x 1     1 f x      1 Khi  dx    k  f  x      k  f '  x  dx     x 1   x 1  0  x  1    1  k  f 0     k  f '  x  dx  x   f 1  Ta chọn k cho 1  k   k  1 1 f x  x x Khi ln    dx   f '  x  dx   f '  x  dx   ln 2 x  x   x  1 0  x x   Hàm dấu tích phân  f '  x  , f '  x  nên ta liên kết với  f '  x     x   x 1 x x Ta tìm   1   f 'x    f x    dx  x  ln x   C x 1 x 1   C  ln 1   f  x   x  ln  x  1  ln 1 Vậy f 0  f  x  dx   ln Chọn B Cách Theo Holder 1 2 3 2  x    x  dx  f '  x  dx    ln 2   ln 2   ln 2   f ' x d x                x  1       x  0   Câu 95 Cho hàm số f  x  có đạo hàm liên tục 1;2, đồng biến 1;2, thỏa mãn f 1  ,   f   x  dx   f  x .f '  x  dx  Tích phân  f  x  dx A B D 2 C Lời giải Hàm dấu tích phân  f   x  , f  x  f   x  nên ta liên kết với bình phương  f   x    f  x  Nhưng khai 2 triển vướng   f  x  dx nên hướng không khả thi Ta có   f  x .f '  x  dx  f x  2  f 2  f 1 f 2     f 2   2 (do đồng biến f 2  f 1  ) Từ f 1  f 2  ta nghĩ đến  f '  x  dx  f  x   f 2  f 1    1 Hàm dấu tích phân  f   x  , f   x  nên ta liên kết với  f   x     2 f 1 Ta tìm      f '  x     f  x   x  C  C   2 Vậy f  x   x     f  x  dx  Chọn A 32 1;2 nên Câu 96 Cho hàm số f  x  có đạo hàm liên tục  0;1, thỏa mãn f 1  ,  f  x  dx    f   x  trị f 2 f  x  dx  Giá   A  B  1 C Lời giải Hàm dấu tích phân  f   x  f  x  f 2  D   1 2   x  nên ta liên kết với bình phương  f   x  f  x    f  x  Nhưng khai triển vướng f  x  f '  x  dx nên hướng không khả thi  Tích phân phần  f  x  dx  kết hợp với f 1  0, ta 1  xf  x  f '  x  dx   Hàm dấu tích phân  f   x  f  x  xf  x  f '  x  nên ta liên kết với bình phương  f  x  f '  x    x  f x  3 3 Ta tìm     f  x  f '  x    x   f  x  f '  x  dx    xdx    x C 2 2   C  f 0 2 3   f  x   1  x   f 2     32 Chọn A Câu 97 Cho hàm số f  x  có đạo hàm liên tục 0;2, thỏa mãn f 2  ,  x f  x  dx  15   f '  x  dx  32 Giá trị tích phân  f  x  dx A  2 B  C  D Lời giải Hàm dấu tích phân  f '  x  x f  x  Lời khuyên đừng có cố liên kết với bình phương nào, có tìm khơng Tích phân phần  x f  x  dx  kết hợp với f 2  , ta 15 x f   x  dx  32 Áp dụng Holder lần ta 4  4  2  2  32 4      x f   x  dx    x xf   x  dx    x dx   x  f '  x  dx                0  0 0 0 2       x dx    x dx   f '  x  dx       2 3 1048576  32       x dx     f '  x  dx        625  Dấu ''  '' xảy ra, tức xf '  x   kx  f '  x   kx thay vào   f '  x    f '  x   x  f  x    xdx  dx  32 tìm k  x f  21  C   C  1 2 x2 1    f  x  dx   Chọn B Cách Áp dụng bất đẳng thức AM – GM ta có Vậy f  x    f '  x   x  x  x  x f '  x    Do  2 0  f '  x  dx  x dx  x f   x  dx Mà giá trị hai vế nhau, có nghĩa dấu ''  '' xảy nên f '  x   x     (Làm tiếp trên) Vấn đề 12 Kỹ thuật đánh giá AM-GM 33 Câu 98 Cho hàm số f  x  nhận giá trị dương có đạo hàm f '  x  liên tục  0;1, thỏa mãn f 1  ef 0 1 dx   f '  x  dx  Mệnh đề sau ? f  x  0   A f 1  2e e 1 Lời giải Ta có   ln f  x  B f 1  e   e 1 1 dx    f '  x  dx   f x  0 2e e 1 D f 1  e   e 1  AMGM 2   dx  f '  x  dx    f ' x    f x     f x     f 1  ln f 1  ln f 0  ln f 0  Mà C f 1   ln e  2 dx   f '  x  dx  nên dấu ''  '' xảy ra, tức f '  x    f x  f 'x   f x  f  x  0      f  x  f '  x  dx   xdx  f x  Theo giả thiết f 1  ef 0 nên ta có  x  C   f  x   x  2C  2C  e 2C   2C  e 2C  C  e 1 2 2e  f    Chọn C   e 1 e 1 e 1 Câu 99 Cho hàm số f  x  nhận giá trị dương  0;1, có đạo hàm dương liên tục  0;1, thỏa mãn f 0    f x   2x   1  f  x    f '  x   dx  f '  x  f  x  dx Tính I  f  x  dx       0 e 1 Lời giải Áp dụng bất đẳng thức AM  GM cho ba số dương ta có A I    B I  e  1 e 1 C I  f  x    f '  x    f '  x      f Suy Mà  f x  f x   3  f '  x  f x  f x   f '  x  f  x  2  x    f '  x   dx  3 f '  x  f  x  dx    f  x    f '  x   dx  3 f '  x  f  x  dx nên dấu ''  '' xảy ra, tức  0  f '  x      e 1 3 D I  f 'x  f x   f x   f x   f 'x   f x  x C f ' x  1  dx   dx  ln f  x   x  C   f x   e f x  2 x Theo giả thiết f 0   C   f  x   e    f  x  dx    e 1 Chọn A Câu 100 Cho hàm số f  x  nhận giá trị dương  0;1, có đạo hàm dương liên tục  0;1, thỏa mãn  1 f 0  1, f 1  e Tính giá trị f         A f    B f        Lời giải Hàm dấu tích phân xf '  x  f x   x 1 C f    e   f ' x  f x  f x   mx  m f x  , x   0;1 Điều làm ta liên tưởng đến đạo hàm xf '  x  f x  34 dx  1 D f    e   muốn ta phải đánh giá theo AM  GM sau: f ' x  xf '  x  với m  x  0;1 f ' x  f x  , Do ta cần tìm tham số m  cho   f 'x     dx  m  mx   f x     xf '  x  f x  dx hay ln f  x  m x2  m  ln f 1  ln f 0   m m  m     m 2 m  m  m  f ' x   4x Với m  đẳng thức xảy nên f x  Để dấu ''  '' xảy ta cần có     f ' x  f x  dx   xdx  ln f  x   x  C  f  x   e x C   f 0  1  C    f  x   e x   f    e Chọn C Theo giả thiết        f 1  e Cách Theo Holder 1  xf '  x  2  f '  x   f 'x  f 1      dx     x dx    xdx  dx  ln    f  x   f  x   f x  f 0   0 0 Vậy đẳng thức xảy nên ta có Suy f 'x  f x  xf '  x   kx , thay vào  f x  dx  ta k  f ' x   x (làm tiếp trên) f x  Câu 101 Cho hàm số f  x  có đạo hàm liên tục 0;1, thỏa mãn   f  x  f '  x  dx  f 0  1, f 1  Tính giá 1 trị f     1 1  1 A f    B f    C f    e       Lời giải Nhận thấy ngược dấu bất đẳng thức với 1 D f    e   Hàm dấu tích phân  f  x  f '  x  Điều làm ta liên tưởng đến đạo hàm f  x  f '  x  , muốn ta phải đánh giá theo AM  GM sau:  f  x  f '  x   m  m f  x  f '  x  với m    Do ta cần tìm tham số m  cho    f  x  f '  x    m dx  m  f  x  f '  x  dx 0 hay  m  m f x    m  m Để dấu ''  '' xảy ta cần có  m  m  m   f x  f 'x   Với m  đẳng thức xảy nên  f  x  f '  x      f  x  f '  x   1 1 f x   f  x  f '  x   1    f  x  f '  x  dx   dx   x   1 (vô lý) 0 0  f  x  f '  x      f  x  f '  x  dx   dx  f x   x  C   f  x   x  2C   f 0   1 Theo giả thiết   C    f  x   x      f       1 f    Chọn A   35 Cách Ta có  f  x  f '  x  dx  f x   1 f 1  f 0   Theo Holder 1 1 2      f  x  f '  x  dx    12 dx   f  x  f '  x  dx  1.1    0 Vậy đẳng thức xảy nên ta có f '  x  f  x   k, thay vào  f  x  f '  x  dx  ta k  Suy f '  x  f  x   (làm tiếp trên) Câu 102 Cho hàm số f  x  nhận giá trị dương có đạo hàm f '  x  liên tục 1;2, thỏa mãn  f 1  1, f 2  16 Tính giá trị f A f    B f  f '  x    dx  24 xf  x     2  C f    D f     f '  x       f '  x  Điều làm ta liên tưởng đến đạo hàm f '  x  , muốn ta Lời giải Hàm dấu tích phân  xf  x  x f x  f x  2 phải đánh giá theo AM  GM sau:  f '  x     mx  m f '  x  với m  x  1;2 xf  x  f x  Do ta cần tìm tham số m  cho   f '  x    f 'x      xf  x   mx  dx  m  f  x  dx   hay 24  2m 4 m f x   24  2m  m  f 2   2m f 1   24   12 m  m  16  2m Để dấu ''  '' xảy ta cần có 24   12 m  m  16  f '  x    16 x  f '  x   x Với m  16 đẳng thức xảy nên  xf  x  f x    f 'x  f x  dx   x dx  f  x   x  C   f x   x C    f 1   C    f  x   x   f  Chọn D Theo giả thiết    f  16     2 f 'x  f 'x  dx  2. dx  f  x    f 2  f 1  Cách Ta có    f x  f x  1   Theo Holder 2 f' x        dx         f  x   1 2 Vậy đẳng thức xảy nên ta có f 'x  f x  f 'x  xf  x  2  f '  x   x2 x dx    xdx   dx  24  36 xf  x  xf  x   1 f 'x  k x  f 'x  f x   kx , thay vào  f 'x  f x  dx  ta k  Suy  x (làm tiếp trên) Vấn đề 13 Tìm GTLN-GTNN tích phân Câu 103 Cho hàm số f  x  liên tục , có đạo hàm cấp hai thỏa mãn x f   x   e x  x f  2  2e, f 0   e Mệnh đề sau đúng? A f 2  e 1 B f 2  2e  e C f 2  e  2e D f 2  12 36 Lời giải Từ giả thiết x f   x   e x  x ta có  x f   x  dx   e x  x  dx 1 u  x   du  dx Đặt      dv  f   x   v  f   x    2  x2  Khi 1  x f   x    f   x  dx  e x    0  2  x2   x f   x   f  x   e x    0   2 f  2  f  0   f 2  f 0  e  1  f 2  e 1 (do f  2  2e, f 0  e ) Chọn A Câu 104 Cho hàm số 3 S   f  x  dx  1 f  x  dương liên tục 1;3, thỏa max f  x   2, B    C   f  x   f  x  dx   dx   1 biểu thức 1 Lời giải Từ giả thiết ta có  f  x   , suy f  x    f x  1;3 dx đạt giá trị lớn nhất, tính I   f  x  dx f x  A Suy f  x   1;3  3 1 dx   f x  Khi S   f  x  dx  f  x  dx   D 3 1 dx    dx    f  x  dx f x  f x  1   25 f  x  dx 5   f  x  dx      2 25 25 (dạng t 5  t   t  5t  t     )   4  Dấu "  " xảy f  x  dx  Chọn D Câu 105 Cho hàm số f  x  có đạo hàm liên tục , thỏa mãn f  x   f   x   với x   f 0  Giá trị lớn f 1 A e  Lời giải Từ B giả thiết e 1 e f x   f x   , e e 1 nhân thêm D e C hai vế cho ex để thu đạo hàm e x f  x   e x f   x   e x , x    e x f  x    e x , x   Suy  e x f  x   dx  e x dx  e x f  x       0 f 0  f 1   e 1  ef 1 1 f 0  e 1 e 1 Chọn B e Câu 106 Cho hàm số f  x  nhận giá trị dương có đạo hàm f   x  liên tục  0;1, thỏa mãn f 1  2018 f 0 Giá trị nhỏ 1 dx    f   x  dx    f  x  A ln 2018 B ln 2018 C m  e Lời giải Áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta 1 f  x  M  dx    f   x  dx   dx  ln f  x  f x     f  x  0 biểu thức M   Câu 107 Cho hàm số f  x  có đạo hàm liên tục  0;1  1  x    f  x  dx  f 0 37 D m  2018e  ln f 1 f 0   ln 2018 Chọn B f   x  dx   Giá trị nhỏ nhật biểu thức A B C  Lời giải Tích phân phần D  3 1  1 x  f   x  dx   , ta f 0    1 x  f  x  dx 0 Áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta 1 2  1  x  f  x  dx   1  x  dx    f  x  dx Từ suy   f  x  2 0    f  x  dx  f 0   1  x  3   f  x  dx   1  x  f  x  dx   1  x  dx Vậy 1 dx  f 0   Chọn D  Câu 108 Cho hàm số f ( x ) liên tục [0; 1] thỏa mãn xf  x  dx  max f  x   Tích phân [0; 1] khoảng khoảng sau đây?  3  5 A ;   B  ; e 1    4        e x f  x  dx  f  x  dx thuộc D e 1;  e x f  x  dx    xf  x  dx x  C  ;  Lời giải Với số thực    ta có e f  x e x   x  dx   f  x  e x   x dx   e x   x dx 0 Suy     f  x  dx   e x   x dx   e x   x dx  e 1    e  Chọn C   0;1  0;1   2     0 e x x Câu 109 Cho hàm số f  x  nhận giá trị không âm liên tục 0;1 Đặt g  x     f t  dt Biết g  x   f  x  với x  0;1 , tích phân 1 dx có giá trị lớn g x   A B 2 C D x   g 0   Lời giải Từ giả thiết g  x     f t  dt , ta có  g  x   0, x  0;1     g 'x   f x  Theo giả thiết g  x   g 'x  t Suy  Do  g x  g 'x  f  x    g x   g 'x   t dx   1dx , t  0;1  g x  t g x  x t 1   g 'x  g x   1 1  t   1 t g t  g 0  g t  1 dx   1  x  dx  Chọn B g x  x Câu 110 Cho hàm số f  x  nhận giá trị không âm liên tục đoạn 0;1, thỏa mãn f  x    3 f t  dt  g  x  với x  0;1 , tích phân  g  x dx có giá trị lớn A B D   g    g  x   0, x   0;1 f t  dt , ta có      g 'x   f x  C x Lời giải Từ giả thiết g  x    3 38  g '  x    g 'x    g x    Theo giả thiết g  x   f  x   g x  2 t Suy 2 t g x  dx   t 3 dx , t  0;1  g x   x 2 t 3  g t   g 0  t  g t   t  2 3  g  x dx    x  1 dx  Chọn B   Do g 'x   x Câu 111 Cho hàm số f  x  nhận giá trị không âm liên tục đoạn  0;1, thỏa mãn f  x   2018   f t  dt với x  0;1 Biết giá trị lớn tích phân  f  x  dx có dạng ae  b với a, b   Tính a  b A B 1009 C 2018 D 2020   g 0   2018 Lời giải Đặt g  x   2018   f t  dt , ta có  g  x   0, x   0;1     g 'x   f x  g 'x  g 'x   g x     Theo giả thiết g  x   f  x   g x  x g 'x  t Suy  g x  t t dx   2dx , t  0;1  ln g  x   2x 0 t  ln g t   ln g 0  2t  ln g t   2t  ln 2018  g t   2018.e 2t Do 1 f  x  dx   g  x  dx  2018  e x dx  1009e x  0  1009e 1009 Chọn A x2 Câu 112 Cho hàm số f  x  nhận giá trị không âm liên tục đoạn 0;1 Đặt g  x     f t  dt Biết g  x   xf  x  với x  0;1 , tích phân  g  x  dx có giá trị lớn B e 1 C D e    g     Lời giải Từ giả thiết g  x     f t  dt , ta có  g  x   0, x   0;1  g '  x   xf  x     g 'x   g x   g 'x    Theo giả thiết g  x   xf  x   g x  A x2 g 'x  t Suy  g x  t t t 0 dx   1dx , t  0;1  ln g  x   x  ln g t   ln g 0  t  ln g t   t  g t   e t Do g  x  dx   e x dx  e 1 Chọn B  0 Nhận xét Gọi F t  nguyên hàm hàm số f t  đoạn 0; x  Khi g  x    F t  x2 /   F  x   F 0   g '  x    F  x    x  F /  x   xf  x    / Câu 113 Cho hàm số f  x  có đạo hàm liên tục  0;1, thỏa f '  x   f  x   0, x  0;1 Giá trị lớn biểu thức 1 dx f x  f 0. e 1 e f 'x   1, x  0;1 Lời giải Từ giả thiết f '  x   f  x   0, x   0;1 ta có f x  A t Suy  B f 'x  f x  t e 1 e C t t 0 dx   1dx , t   0;1  ln f  x   x D e 1  ln f t   ln f 0  t  f t   f 0 e t 39 Do f 0. 1 e 1 dx   x dx  Chọn B f x  e e Câu 114 Cho hàm số f  x  liên tục 0;  , thỏa mãn    f  x  dx   cos xf  x  dx  Giá trị nhỏ tích phân 0   f  x  dx  Lời giải Theo Holder A B  C  D 2       1    cos xf  x  dx    cos xdx  f  x  dx   f  x  dx 0    Suy  f  x  dx  (Đến bạn đọc chọn A)   Dấu ''  '' xảy f  x   k cos x thay vào  f  x  dx  ta     f  x  dx  k  cos xdx  k.sin x 0   0 Điều hồn tồn vơ lý Lời giải Ta có    f  x  dx   0     a  a cos xf  x  dx      a, b      với cos xf  x  dx     2      a  b   b   bf  x  dx     Theo Holder    2  a  b     a cos x  b  f  x  dx    a cos x  b  dx  f  x  dx   0 Lại có   a cos x  b  2 a  b   Từ suy   Do  dx   a  2b  2 f  x  dx   a  2b  với a, b   a  b   a  b 2      Chọn B f  x  dx  max   2    a  b        Nhận xét:  Ta nhân thêm a, b vào giả thiết gọi phương pháp biến thiên số a  b   Cách tìm giá trị lớn P  ta làm sau: a  2b Nếu b    P  (chính đáp án sai mà làm trên)  a     a  t  a b a  b   b  t  2t  b Nếu b   P    Tới ta khảo sát hàm số dùng MODE dò tìm Kết 2 a  2b t2 2  a      b  2 a t      a  2b b a  2b  Vậy dấu ''  '' để toán xảy  thay ngược lại điều kiện, ta     f  x   b 2 cos x  1  cos x   f x    b 2 cos x  1 dx   b     thu GTLN P  Lúc    cos x  1 f  x  dx     dx       40 Cách khác Đưa bình phương Hàm dấu tích phân f 2  x , f  x , cos xf  x  nên ta liến kết với  f  x    cos x    Với số thực ,  ta có     0  f  x    cos x     f  x  dx   cos x    f  x  dx   cos x   2 dx          f  x  dx              đạt giá trị nhỏ Ta có 2    2 1 3                      2      Ta cần tìm ,  cho      Vậy với    ;    ta có     1   f  x   cos x        f  x  dx     cos x  1 3 f  x  dx    f  x   cos x     Dấu ''  '' xảy f  x             Suy  Câu 115 Cho hàm số f  x  liên tục 0;  , thỏa mãn   sin xf  x  dx   cos xf  x  dx  Giá trị nhỏ tích phân 0   f  x  dx  A B  C  D 2 Lời giải Liên kết với bình phương  f  x    sin x   cos x   Ta có   f  x    sin x   cos x  dx    0    f  x  dx    sin x   cos x  f  x  dx    sin x   cos x  dx   2  f  x  dx            2 Phân tích      2     2  2           Chọn C 2      Câu 116 Cho hàm số f  x  liên tục  0;1, thỏa mãn  f  x  dx   e x f  x  dx  Gọi m giá trị nhỏ tích phân 0   f  x  dx Mệnh đề sau đúng? A  m  B  m  C  m  D  m     a   ae x f  x  dx    Lời giải Từ giả thiết, ta có      b   bf  x  dx     Theo Holder 1 1  2 x   a  b     ae  b  f  x  dx    ae x  b  dx  f  x  dx   0 Lại có 41  ae x  b  dx   a e x  2abe x  b  dx   Suy  Do 0 e 1 a  e 1 ab  b a  b  với a, b   a  b  2 e 1 a  e 1 ab  b         a  b   1   f  x  dx  max    3,1316 Chọn D   1     e e   e 1 a  e 1 ab  b       2  f  x  dx  Câu 117 Cho hàm số f  x  liên tục  0;1 thỏa mãn 1  f  x  dx   0 x f  x  dx  Giá trị nhỏ tích phân  f  x  dx A B C D    a    a x f  x  dx    Lời giải Từ giả thiết, ta có     b   bf  x  dx     Theo Holder 1 1 2 2 a  b    a x  b f  x  dx    a x  b dx  f  x  dx   0 Lại có    a   x  b dx   Do  a ab   b2 a  b  Suy  f  x  dx  với a, b   a  b  a ab  b         a  b       f  x  dx  max    Chọn D   a ab 2    b     2    Cách Liên kết với bình phương  f  x    x       Ta có   f  x    x    dx            f  x  dx    x   f  x  dx    x   dx  0     f  x  dx             2 2          1         18 3 Phân tích      Câu 118 Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm liên tục 1;2, thỏa x f  x  dx  31 Giá trị nhỏ tích phân  f  x  dx A 961 B 3875 C 148955 Lời giải Ta có áp dụng hai lần liên tiếp bất đẳng thức Holder ta 42 D 923521 2  2                2      31    x f  x  dx      x xf  x  dx      x dx    x f  x  dx     x dx   f  x  dx               Suy f  x  dx  314 2 3  x dx      1  3875 Dấu ''  '' xảy f  x   kx nên k  x dx  31  k    f  x   x Chọn B Câu 119 Cho hàm số f  x  liên tục có đạo hàm đến cấp 0;2  thỏa f 0  f 1  f 2  Giá trị nhỏ tích phân   f ''  x  dx A B  Lời giải Ta có C  f ''  x  dx  x dx  f ''  x  dx      2 0 D 1 2      x f ''  x  dx    Holder udv x f ''x dx  f ' 1  f 0  f 1 ; 2  Holder  f ''  x  dx  3  x  2 f ''  x  dx      1    2 1  f ''  x  dx   x  2 dx     udvx f ''2x dx  Suy   f ''  x  2  f ' 1  f 2   f 1 2 dx   f ' 1  f 0  f 1   f ' 1  f 2  f 1  f 0  f 1  f 2   Chọn B   2 a  b  Nhận xét: Lời giải sử dụng bất đẳng thức bước cuối a  b  Câu 120 Cho hàm số f  x  có đạo hàm 1;3 f 1  0, max f  x   10 Giá trị nhỏ tích phân 1;3   f '  x  A B C 10 D 20 Lời giải Vì max f  x   10   x  1;3 cho f  x   10 1;3    x  1;3 cho f  x   10 f 0 Theo Holder x0 x0 x0  x0     12 dx  f '  x  dx   x 1  f '  x  dx f ' x d x              1 2  x0 2  x0   Mà   f '  x  dx    f  x     f  x   f 1  10      x0 Từ suy   f '  x  dx  10 x 1 x0 2 10 10 Chọn B     f '  x  dx    f '  x  dx   x 1 1 1 43 dx ...  t sin 2018 t   x sin 2018 x d t  d t   sin2018 t  cos2018 t  sin 2018 x  cos2018 x dx sin 2018   t   cos2018   t  0 2018   x sin 2018 x x sin 2018 x  sin 2018 x d x... dx 2018 2018 2018 2018 2018  sin x  cos x sin x  cos x sin x  cos2018 x 0   Suy I          sin 2018 x   sin 2018 x sin 2018 x  I   dx    dx   dx  2018 2018 sin 2018. .. sin 2018 x  cos 2018 x  sin 2018 x  cos 2018 x sin x  cos x      Đặt x  u  ta suy      sin 2018 x cos2018 u cos2018 x dx   du   dx 2018 2018 2018 2018 2018 sin x  cos x