http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải §4 TRỤC TỌA ĐỘ VÀ HỆ TRỤC TỌA ĐỘ A TÓM TẮT LÝ THUYẾT : I.TRỤC TỌA ĐỘ: Định nghĩa: Trục tọa độ (Trục , hay trục số ) đường thẳng ta xác r r r vị i ( tức i = ) định điểm O vectơ đơn i x' O x Hình 1.30 r Điểm O gọi gốc tọa độ , vec tơ i gọi vectơ đơn vị trục tọa độ Kí hiệu r (O ; i ) hay x ' Ox đơn giản Ox Tọa độ vectơ điểm trục: r ur r ur + Cho vec tơ u nằm trục (O ; i ) có số thực a cho u = a i với a Ỵ R Số a uur r gọi tọa độ vectơ u trục (O ; i ) uuur r ur + Cho điểm M nằm (O ; i ) có số m cho OM = m i Số m gọi r tọa độ điểm M trục (O ; i ) uuur Như tọa độ điểm M trọa độ vectơ OM Độ dài đại số vec tơ trục : uuur Cho hai điểm A, B nằm trục Ox tọa độ vectơ AB kí hiệu AB gọi độ uuur dài đại số vectơ AB trục Ox uuur r Như AB = AB.i Tính chất : + AB = - BA uuur uuur + AB = CD Û AB = CD http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải ur + " A; B; C Ỵ (O ; i ) : AB + BC = AC II HỆ TRỤC TỌA ĐỘ Định nghĩa: Hệ trục tọa độ gồm hai trục vng góc Ox Oy với hai vectơ đơn vị r r i , j Điểm O gọi gốc tọa độ, Ox gọi trục hoành Oy gọi trục y K O tung r r Kí hiệu Oxy hay O ; i , j ( ) M H x Hình 1.31 Tọa độ điểm, tọa độ vec tơ r r r r r + Trong hệ trục tọa độ O ; i , j u = xi + y j cặp số (x; y) gọi tọa độ r r r vectơ u , kí hiệu u = (x; y) hay u(x; y) ( ) r x gọi hoành độ, y gọi tung độ vectơ u uuur r r + Trong hệ trục tọa độ O ; i , j , tọa độ vectơ OM gọi tọa độ điểm M, kí hiệu ( ) M = (x; y) hay M (x; y) x gọi hoành độ, y gọi tung độ điểm M Nhận xét: (hình 1.31) Gọi H, K hình chiếu M lên Ox Oy uuur r r uuur uuur M (x; y) Û OM = xi + y j = OH + OK uuur r uuur r Như OH = xi , OK = y j hay x = OH , y = OK Tọa độ trung điểm đoạn thẳng Tọa độ trọng tâm tam giác + Cho A( x A ; y A ), B( xB ; y B ) M trung điểm AB Tọa độ trung điểm M (xM ; y M ) đoạn thẳng AB xM = x A + xB y + yB , yM = A 2 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải + Cho tam giác ABC có A( x A ; y A ), B( xB ; y B ), C (xC ; yC ) Tọa độ trọng tâm G (xG ; yG ) tam giác ABC xG = x A + xB + xC y + yB + yC yG = A Biểu thứ tọa độ phép toán vectơ ur r Cho u = ( x; y) ; u ' = ( x '; y ') số thực k Khi ta có : r ur ìï x = x ' 1) u = u ' Û ïí ïïỵ y = y ' r r 2) u ± v = ( x ± x '; y ± y ') r 3) k.u = ( kx; ky ) ur r r r 4) u ' phương u ( u ¹ ) có số k cho ìï x ' = kx ïí ïïỵ y ' = ky uuur 5) Cho A( x A ; y A ), B( xB ; y B ) AB = (xB - xA ; yB - y A ) B CÁC DẠNG TOÁN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI  DẠNG 1: Tìm tọa độ điểm; tọa độ vectơ; độ dài đại số vectơ r chứng minh hệ thức liên quan trục (O ; i ) Phương pháp giải Sử dụng kiến thức sau: uuur r • Điểm M có tọa độ a Û OM = a.i uuur r uuur • Vectơ AB có độ dài đại số m = AB Û AB = mi • Nếu a, b tọa độ A, B AB = b - a • Các tính chất + AB = - BA uuur uuur + AB = CD Û AB = CD ur + " A; B; C Ỵ (O ; i ) : AB + BC = AC http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải Các ví dụ r Ví dụ 1: Trên trục tọa độ (O ; i ) cho điểm A ; B ; C có tọa độ –2 ; uuur uuur uuur a) Tính tọa độ vectơ AB ; BC ; CA b) Chứng minh B trung điểm AC Lời giải: a) Ta có AB = + = , BC = 3, CA = - uuur uuur b) Ta có BA = - = - BC Þ BA = - BC suy B trung điểm AC r Ví dụ 2: Trên trục tọa độ (O; i ) cho điểm A, B, C , D Chứng minh AB.CD + AC.DB + AD.BC = Lời giải: Cách 1: Giả sử tọa độ điểm A, B, C, D a, b, c, d Ta có AB.CD = (b - a)(d - c) = bd + ac - bc - ad AC.DB = (c - a)(b - d) = bc + ad - cd - ab AD.BC = (d - a)(c - b) = cd + ab - ac - bd Cộng vế với vế lại ta AB.CD + AC.DB + AD.BC = Cách 2: AB.CD + AC.DB + AD.BC = ( ) ( ) ( AB AD - AC + AC AB - AD + AD AC - AB ) = AB.AD - AB.AC + AC.AB - AC.AD + AD.AC - AD.AB = Bài tập luyện tập r Bài 1.80.Trên trục tọa độ (O; i ) Cho điểm A B có tọa độ a b http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải uuur uuur a)Tìm tọa độ điểm M cho MA = kMB ( k ¹ 1) A xM = kb - a 2k - B xM = kb - 2a k- kb - a k- C xM = 2a + b C xI = a+ b D xM = kb - a k- b)Tìm tọa độ trung điểm I AB A xI = a- b B xI = D xI = a+ b c)Tìm tọa độ điểm N cho NA = - 5NB A xN = 4b + a B xN = 5b + 2a C xN = 5b + 4a D xN = 5b + 3a Lời giải: Bài 1.80: a) xM = 5b + 2a kb - a a+ b b) xI = c) xN = k- r Bài 1.81.Trên trục (O ; i ) cho điểm A ; B ; C có tọa độ a ; b ; c Tìm điểm I uur uur uur ur cho : IA + IB + IC = a+ b+ c A xI = a+ b+ c B xI = C xI = a+ b+ c D xI = a+ b+ c Lời giải: Bài 1.81: xI = a+ b+ c r Bài 1.82 Trên trục tọa độ (O ; i ) cho điểm A, B, C , D có tọa độ a, b, c , d thỏa mãn hệ thức 2( ab + cd) = ( a + b)(c + d) Chứng minh DA DB =- CA CB http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải Lời giải: Bài 1.82: Ta có DA DB =- CA CB Û a- d a- c =b- d b- c Û ab - ac - bd + cd = bc - ab - cd + ad Û 2( ab + cd) = c( a + b) + d( a + b) Û 2( ab + cd) = ( a + b)(c + d)  DẠNG 2: Tìm tọa độ điểm, tọa độ vectơ mặt phẳng Oxy Phương pháp r • Để tìm tọa độ vectơ a ta làm sau uuur r Dựng vectơ OM = a Gọi H , K hình chiếu vng góc M lên Ox, Oy Khi r a (a1 ; a2 ) với a1 = OH , a2 = OK uuur • Để tìm tọa độ điểm A ta tìm tọa độ vectơ OA uuur • Nếu biết tọa độ hai điểm A( x A ; y A ), B( xB ; y B ) suy tọa độ AB xác định theo công uuur thức AB = (xB - xA ; yB - y A ) Chú ý: OH = OH H nằm tia Ox (hoặc Oy ) OH = - OH H nằm tia đối tia Ox (hoặc Oy ) Các ví dụ: Ví dụ 1: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy Cho y điểm M (x; y) Tìm tọa độ điểm M(x;y) M2 O M3 x M1 Hình 1.32 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải a) M1 đối xứng với M qua trục hoành A M1 đối xứng với M qua trục hoành suy M1 (- x; - y) B M1 đối xứng với M qua trục hoành suy M1 (x; y) C M1 đối xứng với M qua trục hoành suy M1 (x; - y) D M1 đối xứng với M qua trục hoành suy M1 (- x; y) b) M đối xứng với M qua trục tung A M đối xứng với M qua trục tung suy M (- x; - y) B M đối xứng với M qua trục tung suy M (x; y) C M đối xứng với M qua trục tung suy M (x; - y) D M đối xứng với M qua trục tung suy M (- x; y) c) M đối xứng với M qua gốc tọa độ A M đối xứng với M qua gốc tọa độ suy M (- x; y) B M đối xứng với M qua gốc tọa độ suy M3 (- x; - y) C M đối xứng với M qua gốc tọa độ suy M (x; - y) D M đối xứng với M qua gốc tọa độ suy M (x; y) Lời giải: (hình 1.32) a) M1 đối xứng với M qua trục hoành suy M1 (x; - y) b) M đối xứng với M qua trục tung suy M (- x; y) http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải c) M đối xứng với M qua gốc tọa độ suy M3 (- x; - y) r r Ví dụ 2: Trong hệ trục tọa độ (O; i ; j ), cho hình vng ABCD tâm I có A(1; 3) Biết uuur uuur r uuur r điểm B thuộc trục (O; i ) BC hướng với i Tìm tọa độ vectơ AB, BC uuur AC uuur A AB(0; - 3) uuur B BC (3; 0) uuur C AC (3; - 3) D Cả A, B, C Lời giải: (hình 1.33) Từ giả thiết ta xác định hình vng mặt phẳng tọa độ (hình bên) Vì điểm A(1; 3) suy AB = 3, OB = y A D Do B (1; 0), C (4; 0), D (4; 3) uuur uuur uuur Vậy AB(0; - 3), BC (3; 0) AC (3; - 3) O O B Cx Hình 1.33 · = 60 Biết Ví dụ 3: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy Cho hình thoi ABCD cạnh a BAD A trùng với gốc tọa độ O, C thuộc trục Ox xB ³ 0, y B ³ Tìm tọa độ đỉnh hình thoi ABCD ổa a ổa aử ữ ữ ỗỗ ÷ ; ÷ , C a 3; a , D ; A A (0; 0), B ỗỗỗ ữ ữ ỗ ữ ữ ỗố 2 ứ 2ứ ữ ữ ốỗ ( ) ỉ a ỉ a ÷ ÷ ; ÷ , C a 3; , D ỗỗỗ;- ữ B A (0; 0), B ỗỗỗữ ữ ữ ữ ỗố 2 ứ 2ứ ữ ữ ốỗ ( ) http://dethithpt.com Website chuyờn thi, tài liệu file word có lời giải ỉa a ữ ổa aử ữ ỗ ỗ ữ ỗ ỗ C A (0; 0), B ỗ ; ữ, C - a 3; , D ỗ ;- ữ ữ ữ ữ ỗố 2 ữ 2ứ ữ ứ ốỗ ( ) ổa a ổa aử ữ ữ ỗỗ ữ D A (0; 0), B ỗỗỗ ; ữ , C a 3; , D ; ữ ữ ỗ ữ ữ ỗố 2 ứ 2ứ ữ ữ ốỗ ( ) Li gii: (hình 1.34) y Từ giả thiết ta xác định hình thoi mặt B phẳng tọa độ Oxy C Gọi I tâm hình thoi ta có A · = a sin 300 = a BI = AB sin BAI AI = AB2 - BI = Suy A (0; 0), a2 - I x D a2 a = Hình 1.34 ỉa a ổa aử ữ ữ B ỗỗỗ ; ữ , C a 3; , D ỗỗỗ ;- ữ ữ ữ ữ ữ ỗố 2 ứ 2ứ ữ ữ ốỗ ( ) Bi luyờn r r Bài 1.83: Trong hệ trục tọa độ (O; i ; j ), Cho tam giác ABC cạnh a, biết O trung uuur r uuur r điểm BC, i hướng với OC , j hướng OA a) Tính tọa độ đỉnh tam giác ABC ỉ a 3÷ ÷ A A ççç0; ÷ çè ÷ ÷ ø ỉ a B B ỗỗ- ; 0ữ ữ ỗố ữ ứ ổa C C ỗỗ ; 0ữ ữ ỗố ÷ ø D.Cả A, B, C b) Tìm tọa độ trung điểm E AC http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có li gii ổ a a 3ữ ỗ ữ ỗ A E ỗ- ; ữ ữ ỗố 4 ứ ữ ổa a ữ ữ B E ỗỗỗ ; ữ ỗố 4 ữ ữ ứ ổa a ữ ỗ ữ ỗ C E ỗ ; ữ ữ ỗố 3 ứ ữ ổa a ữ ữ D E ỗỗỗ ; ữ ỗố 2 ÷ ÷ ø c) Tìm tọa độ tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC ỉ a 3ư ÷ ữ A G ỗỗỗ0; ữ ỗố ữ ữ ứ ổ a 3ử ữ ữ B G ỗỗỗ0; ữ ỗố ÷ ÷ ø ỉ a 3ư ÷ ÷ C G ỗỗỗ0; ữ ỗố ữ ữ ứ ổ a 3ử ữ ữ D G ỗỗỗ0; ữ ỗố ữ ÷ ø Lời giải: ỉ a 3÷ ÷ Bài 1.83: a) A ỗỗỗ0; , ữ ữ ỗố ứ ữ ổ a ổa ữ ỗ B ỗỗ- ; 0ữ ữ ữ ữ, C ốỗỗ ; 0ứ ữ ỗố ứ ổa a ữ ữ b) E ỗỗỗ ; ữ ỗố 4 ữ ữ ø ỉ a 3ư ÷ ÷ c) Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác trùng với trọng tâm G ççç0; ÷ çè ÷ ÷ ø r r Bài 1.84: Trong hệ trục tọa độ (O; i ; j ), Cho hình thoi ABCD tâm O có r uuur uuur r AC = 8, BD = Biết OC i hướng, OB j hướng a) Tính tọa độ đỉnh hình thoi A A (4; 0), C (4; 0), B (1; 3), D (0; - 3) B A (- 4; 0), C (4; 0), B (1; 3), D (0; 3) C A (- 4; 0), C (4; 0), B (0; 3), D (0; - 3) D A (- 4;1), C (4;1), B (1; 3), D (0; - 3) b) Tìm tọa độ trung điểm I BC trọng tâm tam giác ABC ổ 3ử A I ỗỗ2; ữ ữ, G (2;1) ỗố ữ ứ ổ 3ử B I ỗỗ2; ữ ữ, G (0;1) ỗố ữ ứ http://dethithpt.com Website chuyờn đề thi, tài liệu file word có lời giải ur ur r r b) a - 2b + 2u = c ur A u = (- 2; ) ur B u = (0; ) ur C u = (0; ) ur D u = (- 1; ) Lời giải: ur Bài 1.87: ĐS: a) u = (28; - 28) ur b) u = (0; ) Bài 1.88 Cho ba điểm A (- 4; 0), B (- 5; 0) C (3; - 3) r uuur uuur uuur a) Tìm tọa độ vectơ u = AB - BC + 3CA r A u(- 3; 3) r B u(- 8; 3) r C u(- 38; 3) r D u(- 38; 33) C M (2; 1) D M (- 2; - 1) uuur uuur uuur r b) Tìm điểm M cho MA + MB + MC = A M (- 2;1) B M (2; - 1) Lời giải: r Bài 1.88: ĐS: a) u(- 38; 3) b) M (- 2; - 1)  DẠNG 4: Xác định tọa độ điểm hình Phương pháp Dựa vào tính chất hình sử dụng cơng thức + M trung điểm đoạn thẳng AB suy xM = + G trọng tâm tam giác ABC suy xG = r ur + u(x; y) = u ' (x '; y ') Û Các ví dụ ìï x = x ' ïí ïïỵ y = y ' x A + xB y + yB , yM = A 2 xA + xB + xC y + yB + yC , yG = A http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải Ví dụ 1: Cho tam giác ABC có A(2;1), B(- 1; - 2), C(- 3; 2) a) Tìm tọa độ trung điểm M cho C trung điểm đoạn MB A M (- 5; 6) B M (5; 3) C M (- 5; - 6) D M (5; 6) ỉ 1ư C G ỗỗ- ; ữ ữ ỗố 3 ữ ứ ổ2 D G ỗỗ ; ữ ữ çè 3 ø÷ C D (2; 5) D D (1; 5) b) Xác định trọng tâm tam giác ABC ổ 2ử A G ỗỗ- ; ữ ữ ỗố 3 ữ ứ ổ 1ử B G ỗỗ- ; ữ ữ ữ ỗố 3 ứ b) Tỡm điểm D cho ABCD hình bình hành A D (0; 4) B D (0; 5) Lời giải: a) C trung điểm MB suy xC = yC = x M + xB Þ xM = xC - xB = - y M + yB Þ yM = yC - yB = Vậy M (- 5; 6) b) G trọng tâm tam giác suy xG = xA + xB + xC - - y + yB + yC - + 2 = = == yG = A 3 3 ổ 1ử Vy G ỗỗ- ; ữ ữ ữ ỗố 3 ứ uuur c) Gi D( x; y ) Þ DC = (- - x; - y) Ta có: ABCD hình bình hành suy uuur uuur ìï - - x = - AB = DC Û ïí Û ïïỵ - y = - ìï x = ùớ ị D(0; 5) ùùợ y = http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải Vậy D (0; 5) Ví dụ 2: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho A (3; - 1), B (- 1; 2) I (1; - 1) Xác định tọa độ điểm C, D cho tứ giác ABCD hình bình hành biết I trọng tâm tam giác ABC Tìm tọa tâm O hình bình hành ABCD ỉ 7ư A O ỗỗ3; - ữ ữ ữ ỗố 2ứ ổ 5ử C O ỗỗ- 2; - ữ ữ ữ ỗố 2ứ ổ 5ử B O ỗỗ2; - ữ ữ ữ çè 2ø ỉ 5ư D O çç2; ÷ ÷ çè ø÷ Lời giải: Vì I trọng tâm tam giác ABC nên xI = xA + xB + xC Þ xC = 3xI - xA - xB = yI = y A + yB + yC Þ yC = yI - y A - yB = - suy C (1; - 4) Tứ giác ABCD hình bình hành suy uuur uuur ìï - - = - x ìï x = D AB = DC Û ïí Û ùớ D ị D(5; - 7) ùùợ + = - - yD ïïỵ yD = - Điểm O hình bình hành ABCD suy O trung điểm AC xO = ỉ xA + xC y + yC 5ö = 2, yO = A = - ị O ỗỗ2; - ữ ữ çè 2 2÷ ø Bài tập luyện tập Bài 1.89: Cho ba điểm A(3; 4), B(2;1), C(- 1; - 2) a) Tìm tọa độ trung điểm cạnh BC tọa độ trọng tâm tam giác ABC ổ4 ổ1 A I ỗỗ ; - ữ B G ỗỗ ;1ữ ữ ữ ỗố ứữ çè 2 ø÷ C.Cả A, B D Cả A, B sai http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải b) Tìm tọa độ điểm D cho ABCD hình bình hành A D (5;1) B D (0;1) C D (3;1) D D (2;1) Lời giải: ỉ1 ổ4 ửữ ỗỗ ;1ữ Bi 1.89: a) Trung im BC l I ỗỗ ; - ữ , trng tõm ca tam giỏc l G ABC ữ ỗố ứữ ỗố 2 ø÷ uuur uuur b) Tứ giác ABCD hình bình hành Û AB = DC Û ìï x = ùớ ị D (0;1) ùùợ y = Bài 1.90: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho A (3; 4), B (- 1; 2), I (4;1) Xác định tọa độ điểm C, D cho tứ giác ABCD hình bình hành I trung điểm cạnh CD Tìm tọa tâm O hình bình hành ABCD ỉ9 A C (2; - 2), D (3; 0), O ỗỗ ; 2ữ ữ ữ ỗố ø B C (1; - 2), D (- 6;1), O (3; 2) æ9 C C (3; - 2), D (3; 0), O ỗỗ ; ỗố ổ9 D C (2; - 2), D (6; 0), O ỗỗ ; 2ữ ữ ữ ỗố ứ 2ữ ữ ữ ứ Lời giải: Bài 1.90: Do I (4; - 1) trung điểm CD nên đặt uuur C (4 - x; - - y), D (4 + x; - + y) Þ CD (2 x; y) uuur uuur Tứ giác ABCD hình bình hành Û CD = BA Û ìï x = ïí ïïỵ y = ỉ9 Vậy C (2; - 2), D (6; 0), O ỗỗ ; 2ữ ữ ữ ỗố ø Bài 1.91: Cho tam giác ABC có A (3;1), B (1; - 3) , đỉnh C nằm Oy trọng tâm G nằm trục Ox Tìm tọa độ đỉnh C A C (0; 2) B C (0; - 2) C C (0; 4) D C (0; 3) http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải Lời giải: Bài 1.91: Từ giả thiết ta có C (0; y), G (x; 0) ìï ìï x A + xB + xC = 3xG ïï x = ï Û í G trọng tâm tam giác nên í ïïỵ y A + y B + yC = yG ïï y = ïỵ Vậy C (0; 2) Bài 1.92: Cho tam giác ABC có M , N , P trung điểm BC , CA, AB Biết M(1;1), N(- 2; - 3), P(2; - 1) Tìm tọa độ đỉnh tam giác ABC A B (5; 3) B C (- 3; - 1) C A (- 1; - 5) D.Cả A, B, C Lời giải: uuuur uuur uuuur uuur Bài 1.92: Ta có MN (- 3; - 4), PA (xA - 2; y A + 1), MN = PA Þ A (- 1; - 5) N trung điểm AC suy C (- 3; - 1) M trung điểm BC suy B (5; 3) Bài 1.93: Cho tam giác ABC có A (3; 4), B (- 1; 2), C (4;1) A' điểm đối xứng A qua B, B' điểm đối xứng B qua C, C' điểm đối xứng C qua A a) Tìm tọa độ điểm A', B', C' A A ' (- 5; 0) B B ' (9; 0) C C ' (2; ) D.Cả A, B, C b) Chứng minh tam giác ABC A ' B ' C ' có trọng tâm Lời giải: Bài 1.93: a) A' điểm đối xứng A qua B suy B trung điểm AA' http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải A ' (- 5; 0) Tương tự B ' (9; 0), C ' (2; ) ỉ 7ư b) Trọng tâm tam giác ABC A ' B ' C ' cú cựng ta l ỗỗ2; ữ ữ ữ ỗố ø  DẠNG 5: Bài toán liên quan đến phương hai vectơ Phân tích vectơ qua hai vectơ không phương Phương pháp ur r ur r r r • Cho u = ( x; y) ; u ' = ( x '; y ') Vectơ u ' phương với vectơ u ( u ¹ ) ìï x ' = kx có số k cho ïí ïïỵ y ' = ky ur r x' y' Chú ý: Nếu xy ¹ ta có u ' phương u Û = x y r r r • Để phân tích c (c1 ; c2 ) qua hai vectơ a (a1 ; a2 ), b (b1 ; b2 ) khơng phương, ta giả r r r ìï a x + b1 y = c1 sử c = xa + yb Khi ta quy giải hệ phương trình ïí ïïỵ a2 x + b2 y = c2 Các ví dụ r r r Ví dụ 1: Cho a = (1; 2), b = (- 3; 0) ; c = (- 1; 3) a) Khẳng định sau r r A hai vectơ a ; b không phương r r B hai vectơ a ; b phương r r C hai vectơ a ; b song song r r D hai vectơ a ; b ngược chiều r r r b) Phân tích vectơ c qua a ; b r 2r 5r A c = - a + b r 1r 4r B c = a + b http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải r 2r 5r D c = a + b r 4r 7r C c = a + b Lời giải: a) Ta có r - r ¹ Þ a b không phương r r r r r b) Giả sử c = xa + yb Ta có xa + yb = (x - y; x) ìï ï ìï x - y = - ïï x = ï Û í Suy í ïïỵ x = ïï ùù y = ùợ r r r ị c = a+ b 9 ur r r ur Ví dụ 2: Cho u = (m2 + m - ; 4) v = ( m; 2) Tìm m để hai vecto u , v phương A m = m = B m = - m = - C m = - m = D m = - m = Lời giải: ur ur + Với m = : Ta có u = (- 2; 4) ; v = (0; 2) Vì ur ur nên hai vectơ u ; v khơng phương ¹ - ur ur + Với m ¹ : Ta có u ; v phương m2 + m - = Û m2 - m - = Û m ém = - ê êm = ë Vậy với m = - m = giá trị cần tìm Ví dụ 3: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho ba điểm A(6; 3), B(- 3; 6), C(1; - 2) a) Chứng minh A, B, C ba đỉnh tam giác b) Xác định điểm D trục hoành cho ba điểm A, B, D thẳng hàng http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải A D (15; 0) C D (6; 0) B D (1; 0) D D (5; 0) c) Xác định điểm E cạnh BC cho BE = 2EC æ 1ử A E ỗỗ- ; ữ ữ ỗố 3 ữ ứ ổ 2ử B E ỗỗ- ; ữ ữ ữ ỗố 3 ứ ổ 2ử C E ỗỗ- ; - ữ ữ ỗố 3 ữ ứ ổ1 D E ỗỗ ; ữ ữ çè 3 ÷ ø d) Xác định giao điểm hai đường thẳng DE AC ỉ 1ư A I ỗỗ- ; ữ ữ ỗố 2 ứữ ổ3 B I ỗỗ ; - ữ ữ ỗố 2 ứữ ổ7 C I ỗỗ ; ữ ữ ữ ỗố ứ ổ7 D I ỗỗ ; ữ ữ ữ ỗố 2 ø Lời giải: uuur uuur uuur uuur - a) Ta có AB (- 9; 3), AC (- 5; - 5) Vì suy AB AC khơng phương ¹ - - Hay A, B, C ba đỉnh tam giác b) D trục hồnh Þ D (x; 0) uuur uuur Ba điểm A, B, D thẳng hàng suy AB AD không phương uuur x- - Mặt khác AD (x - 6; - 3) = Þ x = 15 - Vậy D (15; 0) uur uuur c) Vì E thuộc đoạn BC BE = 2EC suy BE = EC uur uuur Gọi E (x; y) BE(x + 3; y - 6), EC (1 - x; - - y) ìï x + = (1 - x) Û Do ïí ïï y - = (- - y) ùợ ổ 2ử Vy E ỗỗ- ; ữ ữ ữ ỗố 3 ứ ỡù ùù x = - ïí ïï ïï y = ïỵ http://dethithpt.com – Website chun đề thi, tài liệu file word có lời giải d) Gọi I (x; y) giao điểm DE AC uur uuur ỉ 46 (x - 15) 3y Do ú DI (x - 15; y), DE ỗỗcựng phng suy ; ữ = ị x + 23 y - 15 = ữ ữ ỗố 3 ø - 46 (1) uur uuur x- y- AI (x - 6; y - 3), AC (- 5; - 5) phương suy = Þ x - y - = (2) - - Từ (1) (2) suy x = y = 2 ỉ7 Vậy giao điểm hai đường thẳng DE AC I çç ; ÷ ÷ ÷ çè 2 ø Bài tập luyên tập Bài 1.94 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho điểm A (1; - 2), B (0; 3), C (- 3; 4) D (- 1; 8) a) Bộ ba điểm thẳng hàng A A, B, D thẳng hàng B A, B,C thẳng hàng C A, C, D thẳng hàng D C, B, D thẳng hàng uuur uuur b) Chứng minh AB AC không phương uuur uuur uuur c) Phân tích CD qua AB AC uuur uuur uuur A CD = AB - AC uuur uuur uuur B CD = AB - AC uuur uuur uuur C CD = AB - AC uuuuur uuur uuur D CD = AB - AC Lời giải: Bài 1.94: a) A, B, D thẳng hàng http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải uuur uuur uuur - uuur AC không phương b) AB (- 1; 5), AC (- 4; 6) Vì ¹ Þ AB - uuur uuur uuur uuur c) CD (2; 4) CD = xAB + yAC Û ìï - x - y = ïí Û ïïỵ 5x + y = uuur uuur uuur ìï x = ïí Þ CD = AB - AC ïïỵ y = - Bài 1.95 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho điểm A (0;1), B (1; 3), C (2; ) D (0; 3) Tìm giao điểm đường thẳng AC BD ổ A I ỗỗ- ; 3ữ ữ çè ø÷ ỉ1 B I çç ; - 3ữ ữ ữ ỗố ứ ổ4 C I çç ;13÷ ÷ ÷ çè ø ỉ2 D I ỗỗ ; 3ữ ữ ỗố ứữ Li gii: uuur uuur uur uuur Bài 1.95: Gọi I (x; y) giao điểm AC BD suy AI ; AC phương BI ; BD phương Mặt khác uur uuur x y- AI = ( x ; y - 1), AC = (2 ; 6) suy = Û x - y = - (1) uur uuur BI = ( x - 1; y - 3), BD = (- 1; 0) suy y = vào (1) ta cú x = ổ2 Vy I ỗỗ ; 3ữ ữ l im cn tỡm ốỗ ứữ r r Bài 1.96 Cho a = (3; 2), b = (- 3;1) r r a) Chứng minh a b không phương r r r r r r r r b) Đặt u = (2 - x)a + (3 + y)b Tìm x, y cho u phương với xa + b a + b ìï x = ìï x = A ïí ïí ïïỵ y = ïïỵ y = - ìï x = ìï x = - B ïí ïí ïïỵ y = - ïïỵ y = - ìï x = - ìï x = C ïí ïí ïïỵ y = ïïỵ y = ìï x = ìï x = D ïí ïí ïïỵ y = - ïïỵ y = - http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải Lời giải: r Bài 1.96: b) Ta có u = (- 3x - y - 3; - x + y + 7) r r r r xa + b = (3x - 3; x + 1), a + b = (0; 3) r r r r r u phương với xa + b a + b có sơ k , l cho r r r r r r u = k xa + b , u = l a + b ( ) ( ) ìï - 3x - y - = k (3 x - 3) ïï ïï - x + y + = k x + ( ) Do ïí ïï - 3x - y - = ïï ïïỵ - x + y + = 3l ìï x = ìï x = Suy ïí ïí ïïỵ y = - ïïỵ y = - Bài 1.97 Cho tam giác ABC có A(3; 4), B(2;1), C(- 1; - 2) Tìm điểm M đường thẳng BC cho SABC = 3SABM A M1 (1; 2), M2 (4; 2) B M1 (- 1; 2), M2 (- 3; - 2) C M1 (1; 2), M2 (3; - 2) D M1 (1; 0), M2 (3; 2) Lời giải: uuur uuur Bài 1.97: Ta có SABC = 3SABM Û BC = 3BM Þ BC = ± BM uuur uuur Gọi M (x; y) Þ BM (x - 2; y - 1); BC (- 3; - 3) ìï - = (x - 2) ìï x = ìï - = - (x - 2) ïì x = Û ïí Û ïí Suy ïí ïí ïï - = (y - 1) ïïỵ y = ïï - = - (y - 1) ỵïï y = ïỵ ïỵ Vậy có hai điểm thỏa mãn M1 (1; 0), M2 (3; 2) Bài 1.98 Cho ba điểm A(- 1; - 1), B(0;1), C(3; 0) http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải a) Chứng minh ba điểm A, B, C tạo thành tam giác b) Xác định tọa độ điểm D biết D thuộc đoạn thẳng BC 2BD = 5DC ỉ5 A D çç ; ÷ ÷ çè7 ÷ ø ỉ 15 ữ B D ỗỗ;- ữ ữ ỗố 7ứ ổ15 C D ỗỗ ; ữ ữ çè 7 ÷ ø ỉ15 D D çç ; ÷ ÷ çè 7 ÷ ø c) Xác định tọa độ giao điểm AD BG G trọng tâm tam giác ABC ổ5 A I ỗỗ ;1ữ ữ ỗố9 ữ ứ ổ35 C I ỗỗ ; 2ữ ữ ỗố ữ ứ ổ1 B I ỗỗ ;1ữ ữ ỗố9 ữ ứ ổ35 D I ỗỗ ;1ữ ữ ỗố ÷ ø Lời giải: uuur uuur uuur uuur Bài 1.98: a) Ta có AB(1; 2), AC (4;1) Vỡ ị AB v AC khụng cựng phng uuur uuur uuur uuur b) Ta có BD = 5DC , BD (xD ; yD - 1), DC (3 - xD ; - yD ) ìï x = (3 - x ) D D Do ïí Û ïï (yD - 1) = (- yD ) ïỵ ìï ïï x = 15 ù D ị Dổ ỗỗ15 ; ữ ữ ỗố 7 ữ ùù ứ ùù yD = ùợ ổ2 c) Ta cú G ỗỗ ; 0÷ ÷ Gọi I (x; y) giao điểm ca AD v BG ỗố ứữ uur uuur ổ22 Do AI (x + 1; y + 1), AD ỗỗ ; ữ ữ ữ cựng phng suy ỗố 7 ứ (x + 1) 22 = (y + 1) Þ 9x - 22 y - 13 = uur uuur ỉ uur uuur k : BI = kBG Þ y= BI (x; y - 1), BG ỗỗ- ; 0ữ cựng phng suy tn ti ữ ữ ỗố ứ ổ35 T ú I ỗỗ ;1ữ ữ ỗố ÷ ø Bài 1.99 Tìm trục hồnh điểm P cho tổng khoảng cách từ P tới hai điểm A B nhỏ nhất, biết: http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải a) A (1;1) B (2; - 4) ổ6 A P ỗỗ ; 0ữ ữ ỗố ø÷ B P (2; 0) ỉ C P çç- ; 0÷ ÷ çè ÷ ø D P (1; 0) ổ B P ỗỗ- ; 0ữ ữ ỗố ữ ứ ổ5 C P ỗỗ ; 0ữ ữ ỗố ứữ ổ1 D P çç ; 0÷ ÷ çè ø÷ b) A (1; 2) v B (3; 4) ổ5 A P ỗỗ ; 0ữ ữ ỗố ứữ Li gii: Bi 1.99 a) Dễ thấy điểm A, B nằm hai phía với trục hồnh uuur uuur Ta có PA + PB ³ AB Dấu xảy Û AP phương với AB Suy ỉ6 xP - 0- = ị xP = ị P ỗỗ ; 0ữ ữ ỗố ữ 2- - 4- ø b) Dễ thấy A, B phía với trục hoành Gọi A' điểm đối xứng với A qua trục hoành, suy A ' (1; - 2) PA = PA ' uuuur uuuur Ta có PA + PB = PA '+ PB ³ A ' B Dấu xảy Û A ' P phương với A ' B Suy ỉ5 xP - + = Þ xP = ị P ỗỗ ; 0ữ ữ ữ ỗố ø 3- 4+ Bài 1.100: Cho hình bình hành ABCD có A (- 2; 3) tâm I (1;1) Biết điểm K (- 1; 2) nằm đường thẳng AB điểm D có hồnh độ gấp đơi tung độ Tìm đỉnh lại hình bình hành A D (2;1) B B (0;1) C C (4; - 1) D Cả A, B, C Lời giải: http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải Bài 1.100: I trung điểm AC nên C (4; - 1) Gọi D (2a; a) Þ B (2 - 2a; - a) uuur uuur AK (1; - 1), AB (4 - 2a; - - a) uuur uuur - 2a - - a Vì AK , AB phương nên = Þ a = Þ D (2;1), B(0;1) - http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải ... giải: Cách 1: Giả sử tọa độ điểm A, B, C, D a, b, c, d Ta có AB.CD = (b - a)(d - c) = bd + ac - bc - ad AC.DB = (c - a)(b - d) = bc + ad - cd - ab AD.BC = (d - a)(c - b) = cd + ab - ac - bd Cộng... http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải Lời giải: Bài 1.82: Ta có DA DB =- CA CB Û a- d a- c =b- d b- c Û ab - ac - bd + cd = bc - ab - cd + ad Û 2( ab + cd) = c( a + b) +... B có tọa độ a b http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải uuur uuur a)Tìm tọa độ điểm M cho MA = kMB ( k ¹ 1) A xM = kb - a 2k - B xM = kb - 2a k- kb - a k-