http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải §3 TÍCH CỦA MỘT VECTƠ VỚI MỘT SỐ A TÓM TẮT LÝ THUYẾT r r Định nghĩa: Tích vectơ a với số thực k ¹ vectơ, kí hiệu ka , r r hướng với hướng với a k > , ngược hướng với a k < có độ dài r k a r r r r Quy ước: a = k = Tính chất : r r r i) ( k + m)a = ka + ma r r iii) k( ma) = ( km)a r r r r v) 1a = a , (- 1)a = - a r r r r ii) k( a ± b) = ka ± kb ék = r r iv) ka = Û êêr r êëa = Điều kiện để hai vectơ phương r r r r r r • b phương a ( a ¹ ) có số k thỏa b = ka uuur uuur • Điều kiện cần đủ để A , B, C thẳng hàng có số k cho AB = k AC Phân tích vectơ theo hai vectơ không phương r r r r r r Cho a không phương b Với vectơ x biểu diễn x = ma + nb với m, n số thực B CÁC DẠNG TOÁN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI  DẠNG 1: Dựng tính độ dài vectơ chứa tích vectơ với số Phương pháp giải Sử dụng định nghĩa tích vectơ với số quy tắc phép tốn vectơ để dựng vectơ chứa tích vectơ với số, kết hợp với định lí pitago hệ thức lượng tam giác vng để tính độ dài chúng Các ví dụ http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải Ví dụ 1: Cho tam giác ABC cạnh a điểm M trung điểm BC tính độ dài chúng a) uur uuur CB + MA A.a B.2a C.3a D.4a uuur uuur b) BA - BC A c) B a C a D a B a 21 C a 21 D a 21 B a 127 C a 127 D a 127 uuur uuur AB + AC A d) a a 21 uuur uuur MA - 2,5 MB A a 127 Lời giải: (Hình 1.14) http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải uur uuur CB = CM suy theo quy tắc ba điểm ta có a) Do A L K N uur uuur uuur uuur uuur CB + MA = CM + MA = CA Vậy C M B H uur uuur CB + MA = CA = a Q P Hình 1.14 b) Vì uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur BC = BM nên theo quy tắc trừ ta có BA - BC = BA - BM = MA 2 Theo định lí Pitago ta có MA = 2 AB - BM = æa a a - ỗỗ ữ ữ = ỗố ÷ ø uuur uuur a Vậy BA - BC = MA = 2 c) Gọi N trung điểm AB , Q điểm đối xứng A qua C P đỉnh hình bình hành AQPN uuur uuur uuur uuur AB = AN , AC = AQ suy theo quy tắc hình bình hành ta có uuur uuur uuur uuur uuur AB + AC = AN + AQ = AP Khi ta có Gọi L hình chiếu A lên QN · = MNB · · = 600 Vì MN / / AC Þ ANL = CAB · = Xét tam giác vng ANL ta có sin ANL AL · = a sin 600 = a Þ AL = AN.sin ANL AN http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải · = cos ANL NL · = a cos 600 = a Þ NL = AN.cos ANL AN Ta lại có AQ = PN Þ PL = PN + NL = AQ + NL = 2a + a 9a = 4 Áp dụng định lí Pitago tam giác ALP ta có 3a2 81a2 21a2 a 21 AP = AL + PL = + = Þ AP = 16 16 2 Vậy 2 uuur uuur a 21 AB + AC = AP = 2 d) Gọi K điểm nằm đoạn AM cho MK = MA , H thuộc tia MB cho MH = 2,5MB Khi uuur uuuur uuur uuur MA = MK , 2, MB = MH Do uuur uuur uuuur uuur uuur MA - 2,5MB = MK - MH = HK Ta có MK = 3 a 3 3a a 5a , MH = 2, MB = 2, = AM = = 4 Áp dụng định lí Pitago cho tam tam giác vng KMH ta có KH = Vậy MH + MK = 25a 27 a a 127 + = 16 64 uuur uuur a 127 MA - 2, MB = KH = Ví dụ 2: Cho hình vuông ABCD cạnh a r uuur uuur uuur uuuur a) Chứng minh u = MA - MB + MC - MD không phụ thuộc vào vị trí điểm M r u b) Tính độ dài vectơ http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải r B u = a r A u = a r C u = 3a r D u = 2a Lời giải: (Hình 1.15) a) Gọi O tâm hình vng A' Theo quy tắc ba điểm ta có ( ) ( ) ( ) ( B A r uuuur uuur uuuur uuur uuuur uuur uuuur uuur u = MO + OA - MO + OB + MO + OC - MO + OD uuur uuur uuur uuur = 4OA - 3OB + OC - 2OD ) O D Hình 1.15 r uuur uuur uuur uuur uuur uuur Mà OD = - OB, OC = - OA nên u = 3OA - OB r Suy u khơng phụ thuộc vào vị trí điểm M b) Lấy điểm A ' tia OA cho OA ' = 3OA r uuuur uuur uuur uuuur uuur OA ' = 3OA u = OA ' - OB = BA ' Mặt khác BA ' = OB2 + OA '2 = OB2 + 9OA2 = a r Suy u = a Bài tập luyện tập Bài 1.26 Cho tam giác ABC cạnh a Gọi điểm M , N trung điểm BC , CA Dựng vectơ sau tính độ dài chúng uuur uur a) AN + CB A a B a C a D a C http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải b) uuuur uuur BC - MN A 7a B a C 5a D 3a B a 28 C 5a 28 D 3a 28 B 3a C a D a uuur uuur c) AB + AC A a 28 uuur uuur c) 0, 25 MA - MB A 5a Lời giải: A Bài 1.26: a) Theo quy tắc ba điểm ta có N H K C M uuur uur uuur uuur uuuur AN + CB = NC + CM = NM uuur uur a Suy AN + CB = MN = AB = 2 B F I E Hình uuuur uuur uuur uuuur uuur b) Theo quy tắc trừ ta có BC - MN = BM - BA = AM Þ uuuur uuur a BC - MN = AM = 2 c) Gọi F điểm đối xứng A qua C , điểm E là đỉnh hình bình hành ABEF , uuur uuur uuur uuur uuur theo quy tắc hình bình hành ta có AB + AC = AB + AF = AE http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải Gọi I hình chiếu E lên AC · = CAB · = 600 Vì AB / / EF Þ EIF · = sin IFE IE · = a sin 600 = a Þ IE = EF.sin IFE EF · = cos IFE IF · = a cos 600 = a Þ IF = EF.cos IFE EF Áp dụng định lí Pitago ta có AE = 2 AI + IE = ỉ ỉ a 28 ỗỗ a ữ ỗỗ2a + a ữ ữ + = ữ ữ ỗ ữ ỗố ứ çè ÷ ÷ ø uuur uuur a 28 Suy AB + AC = AE = uuur uuuur uuur uuur d) Lấy điểm H , K cho 0, 25 MA = MH ; MB = MK uuur uuur uuuur uuur uuur Suy 0,25MA - MB = MH - MK = KH uuur uuur Do 0, 25 MA - MB = KH = 2 æAM ổ3 ữ ỗỗ + ỗỗ MBữ ữ ữ ữ ữ = ỗố ứ ốỗ ứ 2 ổa ổa ữ ỗỗ ữ ữ + ỗỗ ữ = a ỗỗ ữ ữ ữ ữ ố ứ ốỗ ứ Bi 1.27: Cho hình vng ABCD cạnh a r uuur uuur uuur uuuur a) Chứng minh u = MA - MB + MC - MD không phụ thuộc vào vị trí điểm M r b) Tính độ dài vectơ u r A u = 4a r B u = a r C u = 3a Lời giải: Bài 1.27: Gọi O tâm hình vng Theo quy tắc ba điểm ta có r D u = 2a http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải r uuuur uuur uuuur uuur uuuur uuur uuuur uuur u = MO + OA - MO + OB + MO + OC - MO + OD uuur uuur uuur uuur = OA - 2OB + 3OC - 2OD ( ) ( ) ( ) ( ) uuur uuur uuur uuur r uuur Mà OD = - OB, OC = - OA nên u = - 2OA r Suy u khơng phụ thuộc vào vị trí điểm M r uuur b) u = - 2OA = 2OA = a  DẠNG 2: Chứng minh đẳng thức vectơ Phương pháp giải Sử dụng kiến thức sau để biến đổi vế thành vế hai biểu thức hai vế biểu thức thứ ba biến đổi tương đương đẳng thức đúng: • Các tính chất phép tốn vectơ • Các quy tắc: quy tắc ba điểm, quy tắc hình bình hành quy tắc phép trừ • Tính chất trung điểm: uuur uuur r M trung điểm đoạn thẳng AB Û MA + MB = uuur uuur uuur M trung điểm đoạn thẳng AB Û OA + OB = 2OM (Với O điểm tuỳ ý) • Tính chất trọng tâm: uuur uur uuur ur G trọng tâm tam giác ABC Û GA + GB + GC = O uuur uuur uuur uuur G trọng tâm tam giác ABC Û OA + OB + OC = OG (Với O điểm tuỳ ý) Các ví dụ Ví dụ 1: Cho tứ giác ABCD Gọi I, J trung điểm AB CD, O trung điểm IJ Khẳng định sau đúng? a) uuur uuur ur A AC + BD = IJ uuur uuur ur B AC + BD = IJ uuur uuur ur C AC + BD = 3IJ uuur uuur ur D AC + BD = IJ http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải b) uuur uuur uuur uuur ur A OA + OB + OC + OD = IJ uuur uuur uuur uuur uuur B OA + OB + OC + OD = 2OI uuur uuur uuur uuur r C OA + OB + OC + OD = uuur uuur uuur uuur uuur D OA + OB + OC + OD = 2OJ c) với M điểm uuur uuur uuur uuuur uuuur A MA + MB + MC + MD = MO uuur uuur uuur uuuur uuuur B MA + MB + MC + MD = MO uuur uuur uuur uuuur uuuur C MA + MB + MC + MD = MO uuur uuur uuur uuuur uuuur D MA + MB + MC + MD = MO Lời giải: (Hình 1.16) B I A O a) Theo quy tắc ba điểm ta có uuur uur ur uur ur uur AC = AI + IJ = AI + IJ + JC D J Hình 1.16 14 uuur uur ur uur Tương tự BD = BI + IJ + JD uur uur r uur uur r Mà I, J trung điểm AB CD nên AI + BI = 0, JC + JD = uuur uuur uur uur Vậy AC + BD = AI + BI + ( ) ( uur uur ur ur JC + JD + IJ = IJ đpcm ) uuur uuur uur uuur uuur uur b) Theo hệ thức trung điểm ta có OA + OB = 2OI , OC + OD = 2OJ uur uur r Mặt khác O trung điểm IJ nên OI + OJ = uuur uuur uuur uuur uur uur r Suy OA + OB + OC + OD = OI + OJ = đpcm ( ) uuur uuur uuur uuur r c) Theo câu b ta có OA + OB + OC + OD = với điểm M C http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải uuur uuur uuur uuur r OA + OB + OC + OD = uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur r Û OM + MA + OM + MA + OM + MA + OM + MA = ( ) ( ) ( ) ( ) uuur uuur uuur uuuur uuuur Û MA + MB + MC + MD = MO đpcm Ví dụ 2: Cho hai tam giác ABC A1 B1C1 có trọng tâm G Gọi G1 , G2 , G3 uuuur uuuur uuuur r trọng tâm tam giác BCA1 , ABC1 , ACB1 Chứng minh GG1 + GG2 + GG3 = Lời giải: uuuur uur uuur uuur Vì G1 trọng tâm tam giác BCA1 nên 3GG1 = GB + GC + GA1 Tương tự G2 , G3 trọng tâm tam giác ABC1 , ACB1 suy uuuur uuur uur uuur uuuur uuur uuur uuur 3GG2 = GA + GB + GC1 3GG3 = GA + GC + GB1 Công theo vế với vế đẳng thức ta có uuuur uuuur uuuur uuur uur uuur uuur uuur uuur GG1 + GG2 + GG3 = GA + GB + GC + GA1 + GB1 + GC1 ( ) ( ) Mặt khác hai tam giác ABC A1 B1C1 có trọng tâm G nên uuur uur uuur r uuur uuur uuur GA + GB + GC = GA1 + GB1 + GC1 uuuur uuuur uuuur r Suy GG1 + GG2 + GG3 = Ví dụ 3: Cho tam giác ABC có trực tâm H, trọng tâm G tâm đường tròn ngoại tiếp O Chọn khẳng định đúng? a) b) uuur uuur uuur uuur A HA + HB + HC = HO uuur uuur uuur uuur B HA + HB + HC = HO uuur uuur uuur uuur C HA + HB + HC = HO uuur uuur uuur uuur D HA + HB + HC = 3HO http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải uuur uuur uuur uuur Khi MA + MB = MA + MC uuur uuur Û ME = MF Û ME = MF Vậy tập hợp điểm M đường trung trực EF uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur b) Ta có MA + MB - MC = MA + MA + AB - MA + AC ( ) ( ) uuur uuur uuur uuur uuur = AB - AC = AB - AH = HB uuur uuur Với H điểm thỏa mãn AH = AC uuur uuur uuur uuur uuur Suy MA + MB = k MA + MB - MC ( ) uuur uuur uuur uuur Û ME = kHB Û ME = kHB Vậy tập hợp điểm M đường thẳng qua E song song với HB Ví dụ 3: Cho tứ giác ABCD Với số k tùy ý, lấy điểm M N cho uuuur uuur uuur uuur AM = k AB, DN = kDC Tìm tập hợp trung điểm I đoạn thẳng MN k thay đổi A tập hợp điểm I đường thẳng OO', O, O' trung điểm AC BD, B tập hợp điểm I đường thẳng OO', O, O' trung điểm AD BC, C tập hợp điểm I đường thẳng OO', O, O' trung điểm AB DC, D Cả A, B, C sai Lời giải: (hình 1.29) Gọi O, O' trung điểm AD BC, ta có uuur uuur uuuur uuuur uuur uuur uuuur uuuur AB = AO + OO ' + O ' B DC = DO + OO ' + O ' C uuur uuur uuuur Suy AB + DC = 2OO ' Tương O, I trung điểm AD MN nên A B M O' O I D N Hình 1.29 C http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải uuuur uuur uur AM + DN = 2OI uur uuur uuur uuuur Do OI = kAB + kDC = kOO ' ( ) Vậy k thay đổi, tập hợp điểm I đường thẳng OO' Bài tập luyện tập Bài 1.59 Cho điểm cố định A, B Tìm tập hợp điểm M cho: uuur uuur uuur uuur a) MA + MB = MA - MB A Tập hợp điểm M đường tròn tâm I bán kính AB với I trung điểm AB B Tập hợp điểm M đường tròn tâm I bán kính AB với I trung điểm AB C Tập hợp điểm M đường tròn tâm I bán kính AB với I trung điểm AB D Tập hợp điểm M đường tròn tâm I bán kính AB với I trung điểm AB uuur uuur uuur uuur b) MA + MB = MA + MB Lời giải: Bài 1.59: a) Tập hợp điểm M đường tròn tâm I bán kính AB uuur uur r b) Gọi K điểm thoả mãn: 2KA + KB = uur uur r L điểm thoả mãn: LB + LC = uuur uuur uuur uuur uuur uuur Ta có: MA + MB = MB + MC Û MK = ML Tập hợp điểm M đường trung trực đoạn thẳng KL AB với I trung điểm http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải Bài 1.60 Cho ABC Tìm tập hợp điểm M cho: uuur uuur uuur a) MA + kMB = kMC với k số thực thay đổi r uuur uuur uuur uuur b) v = MA + MB + MC phương với véc tơ BC uuur uuur uuur uuur c) MA + BC = MA - MB (HD: dựng hình bình hành ABCD) Lời giải: Bài 1.60: a) Ta có: uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur MA + kMB = kMC Û MA = k( MC - MB) Û MA = kBC Vậy tập hợp điểm M đường thẳng qua A song song với cạnh BC ABC uur uur uur r b) Gọi J trung điểm AB, I trung điểm JC ta có IA + IB + IC = r uuur uuur uuur uuur Þ v = MA + MB + MC = MI uuur r Do v phương với BC M thuộc đường thẳng qua I song song với BC Bài 1.61 Cho ABC Tìm tập hợp điểm M trường hợp sau: uuur uuur uuur uuur a) MA + MB = MB - MC uuur uuur uuur uuur uuur uuur b) MA + MB + MC = MA - MB - MC Lời giải: uuur uur r Bài 1.61: a) Gọi K điểm thoả mãn: 2KA + 3KB = uur uur r L điểm thoả mãn: LB - LC = uuur uuur uuur uuur uuur uuur Ta có: MA + MB = MB + MC Û MK = ML http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải  Tập hợp điểm M đường trung trực đoạn thẳng KL uur uur uur r b) Với I trung điểm BC Gọi J điểm thoả mãn: JA + JB + JC = Ta có: uuur uuur uuur uuur uuur uuur MA + MB + MC = MA - MB - MC uuur uuur uuur uuur uur Û MJ = MA - MI Û MJ = IA Û MJ = IA Vậy tập hợp điểm M đường tròn tâm J bán kính R = IA Bài 1.62: Cho tứ giác ABCD uuur uuur uuur a)Xác định điểm O cho : OB + 4OC = 2OD uuur uuur uuuur uuur b)Tìm tập hợp điểm M thoả mãn hệ thức MB + MC - MD = MA Lời giải: uuur uuur uuur uuur uur Bài 1.62: a) OB + 4OC = 2OD Û OB = CI với I trung điểm BD uuur uuur uuuur uuur uuuur uuur b) MB + MC - MD = MA Û MO = MA Vậy tập hợp điểm M đường trung trực đoạn OA Bài 1.63: Cho lục giác ABCDEF Tìm tập hợp điểm M cho : uuur uuur uuur uuuur uuur uuur MA + MB + MC + MD + ME + MF nhận giá trị nhỏ Lời giải: Bài 1.63: Gọi P trọng tâm D ABC , Q trọng tâm D DEF uuur uuur uuur uuuur uuur uuur MA + MB + MC + MD + ME + MF = uuur uuuur MP + MQ = (MP + MQ) ³ 3QP http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải Dấu " = " xảy M thuộc đoạn PQ Vậy tập hợp điểm M cần tìm điểm thuộc đoạn PQ Bài 1.64: Trên hai tia Ox Oy góc xOy lấy hai điểm M, N cho OM + ON = a với a số thực cho trước tìm tập hợp trung điểm I đoạn thằng MN Bài 1.64: Gọi hai điểm M , N thuộc tia Ox Oy cho OM0 = ON0 = a uuur a - k uuuuuur Giả sử OM = k , £ k £ a ta có MI = M0 N0 Do tập hợp điểm I đoạn a M0 N  DẠNG 7: Xác định tính chất hình biết đẳng thức vectơ Phương pháp giải Phân tính định tính xuất phát từ đẳng thức vectơ giả thiết, lưu ý tới hệ thức biết trung điểm đoạn thẳng, trọng tâm tam giác kết " r r r r r ma + nb = Û m = n = với a , b hai vectơ không phương " Các ví dụ Ví dụ 1: Gọi M, N trung điểm cạnh AD DC tứ giác ABCD Các uuur uuur uuur uuur đoạn thẳng AN BM cắt P Biết PM = BM ; AP = AN tứ giác ABCD 5 hình gì? A hình bình hành B.hình thang C.hình chữ nhật Lời giải: uuur uuuur uuur uuuur uuur Ta có: AB = AM + MB = AM + MP uuur uuuur uuur uuur = AP - AM = AN - AD uuur uuur uuur = 2( AD + DN ) - AD uuur uuur = 2DN = DC Þ ABCD hình bình hành D.hình vng http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải Ví dụ 2: Cho tam giác ABC có cạnh a, b, c trọng tâm G thoả mãn: uuur uur uuur r a GA + b2 GB + c GC = ABC tam giác ? A.đều B.cân A C.thường D.Vuông B Lời giải: uuur uur uuur r uuur uur uuur G trọng tâm tam giác ABC nên GA + GB + GC = Û GA = - GB - GC Suy uuur uur uuur r a GA + b2 GB + c GC = uur uuur uur uuur r Û a - GB - GC + b GB + cGC = uur uuur r Û (b2 - a )GB + (c - a )GC = 0.(* ) ( ) uuur uur Vì GB GC hai vecơ khơng phương, (*) tương đương với: ìï b2 - a = ï Û a = b = c hay tam giác ABC í ïï c - a = ỵ Ví dụ 3: Cho tam giác ABC có trung tuyến AA' B' , C' điểm thay đổi CA, uuuur uuur uuur r AB thoả mãn AA ' + BB ' + CC ' = Chứng minh BB', CC' trung tuyến tam giác ABC Lời giải: uuur uuur uuuur uuur Giả sử AB ' = mAC , AC ' = nAB uuur uuur uuur uuur uuur Suy BB ' = AB ' - AB = mAC - AB uuur uuuur uuur uuur uuur CC ' = AC ' - AC = nAB - AC uuuur uuur uuur Mặt khác A' trung điểm BC nên AA ' = AB + AC ( uuuur uuur uuur r Do AA ' + BB ' + CC ' = Û uuur uuur uuur uuur r uuur uuur AB + AC + mAC - AB + nAB - AC = ( ) ) http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải ỉ ưuuur ỉ ưuuur r ççm - ÷ hay ççn - ÷ AB + ữ ữ ữ ữAC = ỗố ỗố 2ứ 2ứ uuur uuur Vì AB , AC khơng phương suy m = n = B', C' trung điểm CA, AB Vậy BB', CC' trung tuyến tam giác ABC Bài tập luyên tập Bài 1.65: Cho tứ giác ABCD có hai đường chéo cắt O thoả mãn uuur uuur uuur uuur r OA + OB + OC + OD = tứ giác ABCD hình gì? A hình bình hành B.hình thang C.hình chữ nhật D.hình vng Lời giải: uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur Bài 1.65: Đặt OA = xAC , OC = yAC , OB = zBD , OD = tBD uuur uuur uuur uuur r uuur uuur r Suy OA + OB + OC + OD = Û (x + y) AC + (z + t )BD = Do x = - y; z = - t Þ OA = OC , OB = OD nên tứ giác ABCD hình bình hành Bài 1.66: Cho ABC có BB', CC' trung tuyến, A' điểm BC thoả mãn uuuur uuur uuur r AA ' + BB ' + CC ' = Chứng minh AA' trung tuyến tam giác ABC Lời giải: uuuur uuur uuur r Bài 1.66: Ta có AA ' + BB ' + CC ' = uuur uuur uuur uur uuur uuur r uuuur BA + BC CA + CB r Û AA ' + + = Û BA ' + CA ' = 2 Û AA' trung tuyến tam giác ABC Bài 1.67: Cho ABC có A', B', C' điểm thay đổi BC, CA, AB cho uuuur uuur uuur r AA ', BB', CC ' đồng quy thoả mãn AA ' + BB ' + CC ' = Chứng minh AA ', BB', CC ' trung tuyến tam giác ABC http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải Lời giải: uuuur uuuur uuur uuuur uuuur uuur Bài 1.67: Giả sử A ' B = k A ' C , B ' C = mB ' A , C ' A = nC ' B uuur uuur uuuur uuuur uuur uuuur uuur uuuur uuuur AB - kAC A ' B = kA ' C Û AB - AA ' = k AC - AA ' Û AA ' = 1- k ( ) uuur uuur uuur uuur uuur BC - mBA (m - 1) AB + AC Tương tự ta có BB ' = , = 1- m 1- m uuur uuur uuur uur uuur CA - nCB - nAB + (n - 1) AC CC ' = = 1- n 1- n uuuur uuur uuur r Þ AA ' + BB ' + CC ' = uuur ỉ - k ỉ n ÷ ỗỗ - 1AB + ỗỗ + ữ ữ ỗố1 - k ỗ 1- nứ ố1 - k - m Suy ị ửuuur r 1ữ ữAB = ø÷ n - k - 1= + - 1= Þ k = m = n 1- k 1- n 1- k 1- m Mặt khác theo định lí Xêva ta có kmn = - nên k = m = n = - Vậy AA ', BB', CC ' trung tuyến tam giác ABC Bài 1.68: Cho điểm A, B, C, D; I trung điểm AB J thuộc CD thoả mãn uuur uuur ur AD + BC = IJ Chứng minh J trung điểm CD Lời giải: uuur uuur ur uur uur ur Bài 1.68: AD + BC = 2IJ Û ID + IC = 2IJ uur uur uur Gọi K trung điểm DC suy ID + IC = IK K º J hay J trung điểm CD Bài 1.69: Cho tứ giác ABCD Giả sử tồn điểm O cho OA = OB = OC = OD uuur uuur uuur uuur r OA + OB + OC + OD = Chứng minh ABCD hình chữ nhật Lời giải: http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải Bài 1.69: (hình 1.55) Gọi M, N, P, Q trung điểm AB, BC, CD, DA từ phương trình thứ hai ta được: r uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur r = OA + OB + OC + OD = 2OM + 2OP Û OM + OP = Û M , P , O thẳng hàng O trung điểm MP A Q M B r uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur r = OA + OB + OC + OD = 2ON + 2OQ Û ON + OQ = O N D P C Hình 1.55 Û N , Q , O thẳng hàng O trung điểm NQ Ta có D OAD cân O nên NQ ^ AD , D OBC cân O nên NQ ^ BC suy AD / / BC Tương tự AB / / DC suy ABCD hình bình hành Mà N, Q trung điểm BC, AD nên AB / / NQ Þ AB ^ BC Suy ABCD hình chữ nhật Bài 1.70: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O, gọi G trọng tâm tam giác uuur uuuur uuur uuur uuur uuur ABC A', B', C' điểm thỏa mãn: OA = 3OA ', OB = 3OB ', OC = 3OC ' Chứng minh G trực tâm tam giác A ' B ' C ' Lời giải: uuur uuur uuur uuur Bài 1.70: G trọng tâm tam giác ABC nên 3OG = OA + OB + OC uuur uuuur uuur uuur Do OG = OA ' + OB ' + OC ' Suy G trực tâm tam giác A ' B ' C ' Bài 1.71: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O, gọi H trực tâm tam giác A', uuuur uuur uuur uuur uuur uuur B', C' điểm thỏa mãn: OA ' = 3OA , OB ' = 3OB, OC ' = 3OC Chứng minh H trọng tâm tam giác A ' B ' C ' Lời giải: uuur uuur uuur uuur Bài 1.71: H trực tâm tam giác ABC suy OH = OA + OB + OC uuur uuuur uuur uuur Do 3OH = OA ' + OB ' + OC ' hay H trọng tâm tam giác A ' B ' C ' http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải Bài 1.72: Cho tam giác ABC điểm M nằm tam giác Đường thẳng AM cắt BC uuur uur uur r D, BM cắt CA E CM cắt AB F Chứng minh AD + BE + CF = M trọng tâm tam giác ABC Lời giải: Bài 1.72: Trước tiên ta chứng minh bổ đề sau r r r Cho ba véc tơ a; b; c đôi không phương thỏa mãn điều kiện : r r r r ìï ma + nb + pc = ïï r r r (m , m ' ¹ 0) í r ïï m ' a + n ' b + p ' c = ïỵ Chứng minh : p m n Thật : = = m' n' p ' Dễ thấy m, m ' ¹ suy n, n’, p, p’ phải khác khơng ìï r n r ïï a = b + ï m Từ giả thiết ta có : ïí r ïï n' r b+ ïï a = m' ïỵ pr c m p' r c m' véc tơ phân tích cách qua hai véc tơ không phương nên p' p n n' p m n = ; = Þ = = m m' m m' m' n' p ' Trở lại toán uuur uur uur r AD uuur BE uuur CF uuur r Ta có AD + BE + CF = Û MA + MB + MC = MA MB MC Mặt khác S AD SABD S CF BE S S = = ADC = = = , tương tự MA SABM SACM S - Sa MC S - Sc MB S - Sb (với S = SABC , Sa = SMBC , Sb = SMCA , Sc = SMAB ) uuur uuur uuur r MA MB MC + + = Do ta có S - Sa S - Sb S - Sc http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải uuur uuur uuur r Mặt khác ta có Sa MA + Sb MB + Sc MC = 1 S - Sa S - Sb S - Sc Áp dụng bổ đề suy = = Û Sa = Sb = Sc hay M trùng trọng tâm Sa Sb Sc tam giác ABC  DẠNG 8: Chứng minh bất đẳng thức tìm cực trị liên quan đến độ dài vectơ Phương pháp • Sử dụng bất đẳng thức bản: r r Với vectơ a , b ta ln có r r r r r r + a + b £ a + b , dấu xảy a , b hướng r r r r r r + a - b ³ a - b , dấu xảy a , b ngược hướng uuur • Đưa tốn ban đầu tốn tìm cực trị MI với M thay đổi uuur + Nếu M điểm thay đổi đường thẳng D MI đạt giá trị nhỏ M hình chiếu M lên D uuur + Nếu M điểm thay đổi đường tròn (O) MI đạt giá trị nhỏ uuur M giao điểm tia OI với đường tròn; MI đạt giá trị lớn M giao điểm tia IO với đường tròn Các ví dụ Ví dụ Cho tam giác ABC đường thẳng d Tìm điểm M thuộc đường thẳng d để uuur uuur uuur biểu thức sau đạt giá trị nhỏ T = MA + MB - MC Lời giải: uur uur uur r Gọi I đỉnh thứ tư hình bình hành ACBI IA + IB - IC = http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải uuur uur uuur uur uuur uur Khi : T = MI + IA + MI + IB - MI + IC ( ) ( ) ( ) uuur uur uur uur uuur = MI + IA + IB - IC = MI Vậy T đạt giá trị nhỏ M hình chiếu I lên đường thẳng d Ví dụ 2: Cho tam giác ABC A ' B ' C ' tam giác thay đổi, có trọng tâm G G' cố định Tìm giá trị nhỏ tổng T = AA'+ BB'+ CC ' uuuuur uuuur uuuur r uuur uur uuur r Giải: Vì GA + GB + GC = G ' A ' + G ' B ' + G ' C ' = nên uuuur uuur uuur uuur uuur uuuur uuur AA ' + BB ' + CC ' = AG + GG ' + G ' A + BG + uuur uuuur uuur uuur uuuur + GG ' + G ' B ' + CG + GG ' + G ' C ' uuur uuur uuur uur uuur uuuuur uuuur uuuur = 3GG ' - (GA + GB + GC) + (G ' A ' + G ' B ' + G ' C ') = 3GG ' Do đó: uuuur uuur uuur uuur uuuur uuur uuur AA '+ BB '+ CC ' = AA ' + BB ' + CC ' ³ AA ' + BB ' + CC ' = GG ' = 3GG ' uuuur uuur uuur Đẳng thức xảy vectơ AA ', BB ', CC ' hướng Vậy giá trị nhỏ T 3GG ' Bài tập luyên tập Bài 1.73: Cho tam giác ABC , đường thẳng d ba số a , b , g cho a + b + g ¹ Tìm uuur uuur uuur điểm M thuộc đường thẳng d để biểu thức T = a MA + b MB + g MC đạt giá trị nhỏ Lời giải: uur uur uur r Bài 1.73: Do a + b + g ¹ nên tồn điểm I cho a IA + b IB + g IC = uuur uuur uuur uuur uur uuur uur uuur uur Ta có a MA + b MB + g MC = a ( MI + IA) + b ( MI + IB) + g ( MI + IC ) uuur uur uur uur uuur = (a + b + g )MI + a IA + b IB + g IC = (a + b + g )MI http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải Do T = a + b + g MI Suy T nhỏ M hình chiếu I lên đường thẳng d Bài 1.74: Cho tam giác ABC Tìm điểm M đường tròn (C) ngoại tiếp tam giác ABC uuur uuur uuur cho MA + MB + MC a) Đạt giá trị lớn b) Đạt giá trị nhỏ Lời giải: uuur uuur uuur uuur Bài 1.74: G trọng tâm tam giác ABC ta có MA + MB + MC = MG a) M giao điểm tia GO với (C) b) M giao điểm tia OG với (C) Bài 1.75: Cho tứ giác ABCD A ' B ' C ' D ' tứ giác thay đổi, có trọng tâm G G' cố định Tìm giá trị nhỏ tổng T = AA'+ BB'+ CC '+ DD' Lời giải: Bài 1.75: ĐS: T = 4GG ' Bài 1.76: Cho tam giác ABC M, N, P điểm cạnh BC, CA, AB uuur uuur uuur uuur uuur uuur cho BM = kBC , CN = kCA , AP = k AB Chứng minh đoạn thẳng AM, BN, CP ba cạnh tam giác Do đoạn thẳng AM, BN, CP ba cạnh tam giác Lời giải: uuuur uuur uur r Bài 1.76: Ta có AM + BN + CP = uuuur uuur uur uuuur uuur uur uuur uur Suy AM = - BN + CP Þ AM = BN + CP £ BN + CP ( ) uuur uur Vì BN CP khơng phương nên khơng thể xảy dấu http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải AM < BN + CP Tương tự ta có BN < AM + CP, CP < AM + BN Bài 1.77 : Cho tam giác ABC Chứng minh với điểm M thuộc cạnh AB khơng trùng với đỉnh ta có: MC.AB < MA.BC + MB.AC Lời giải: uuur MB uuur MA uur MB MA Bài 1.77: CM = CA + CB Þ MC < CA + CB AB AB AB AB Hay MC.AB < MA.BC + MB.AC Bài 1.78: Cho tứ giác ABCD , M điểm thuộc đoạn CD Gọi p , p1 , p2 chu vi tam giác AMB, ACB, ADB Chứng minh p < max {p1 ; p2 } Lời giải: uuuur MD uuur MC uuur MD MC Bài 1.78: Ta có: AM = AC + AD Þ AM < AC + AD CD CD CD CD uuur MD uuur MC uuur MD MC BM = BC + BD Þ BM = BC + BD CD CD CD CD Từ suy MD MC (AC + BC )+ (AD + BD) CD CD ổMD MC ữ ị AM + BM < ỗỗ + ữ ữ.max {AC + BC ; AD + BD} ỗố CD CD ứ AM + BM < Þ p < max {AC + BC + AB; AD + BD + AB} Hay p < max {p1 ; p2 } Bài 1.79: Trên đường tròn tâm O bán kính lấy 2n+ điểm Pi , i = 1, 2, , 2n + 1(n Ỵ N ) phía với đường kính Chứng minh http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải n+ å uuur OPi ³ i= Lời giải: Bài 1.79: Ta chứng minh quy nạp + Với n = : hiển nhiên k+ + Giả sử BĐT với n = k ta chứng minh với n = k + hay å i= uuur uuuuuur Trong 2k + vectơ ta chọn hai vectơ có góc lớn nhất, giả sử OP1 , OP2 k+ uuur uuur uuuuuur uuur Đặt OA = OP1 + OP2 k+ , OB = k+ å uuur OPi i= · · Suy điểm A, B nằm góc POP AOB £ 900 k+ uuur uuur uuur Þ OA + OB ³ OB uuur Mặt khác theo giả thiết quy nạp ta có OB = k+ å i= 2 k+ Suy å i= uuur uuur uuur uuur OPi = OA + OB ³ OB ³ uuur OPi ³ uuur OPi ³ ... + CC ' = GG ' Bài 1.34: Cho n vectơ đôi khác phương tổng n- vectơ n vectơ phương với vectơ lại Chứng minh tổng n vectơ cho vectơ không Lời giải: r ur ur ur ur Bài 1.34: Giả sử n vectơ , i = 1,... an r Vì tổng n- vectơ n vectơ phương với vectơ lại u ur ur r r phương với hai vectơ a1 , a2 nên u = http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải Bài 1.35: Cho... uuur Bài 1.29: a) Ta có AH = AG - AB = AC + AB - AB = AC - AB 3 ( ) uuur uuur uuur uuur uuur CH = AH - AC = - AB - AC 3 uuuur uuur uuur uuur uuur uuur b) MH = AH - AB + CH = AC - AB 6 ( ) Bài