CHUYÊN ĐỀ - BẤT ĐẲNG THỨC VÀ GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, NHỎ NHẤT KIẾN THỨC TRỌNG TÂM Các bất đẳng thức - Bất đẳng thức BECNULI Nếu x  −1   (1 + x )  +  x  Nếu x  −1    (1 + x )  +  x  - Bất đẳng thức trung bình cộng trung bình nhân Nếu a1 , a2 , , an  n   n i =1 n n a i =1 i Dấu xảy khi: a1 = a2 = = an - Bất đẳng thức CAUCHY-SCHWARTZ Với hai dãy số thực: a1 , a2 , , an ; b1 , b2 , , bn  n   n  n    bi     ai2   bi2   i =1   i =1  i =1  Dấu xảy a1 = kb1 , , an = kbn - Bất đẳng thức thứ tự Cho hai dãy số tăng a1  a2   an b1  b2   bn ( n  ) Nếu 1 , , , n hoán vị dãy 1, 2, , n thì: n n n i =1 i =1 i =1  aibn+1−i   aibi   aibi - Bất đẳng thức trung bình lũy thừa Nếu xi  0i = 1, n p  q  1  n q p  n p p  n  xi    n  xi   i =1   i =1  - Bất đẳng thức SHUR Cho a, b, c  0, r  thì: a r ( a − b )( a − c ) + b r ( b − a )( b − c ) + c r ( c − a )( c − b )  - Bất đẳng thức CHEBYCHEP Trang Nếu hai dãy: a1  a2   an  ; b1  b2   bn n  n  a b  n aibi  i   i   i =1  i =1  i =1  n thì:  - Bất đẳng thức MIN-COP-XKI Với hai dãy: a1 , a2 , , an b1 , b2 , , bn n  ( + bi ) i =1  n  ai2 + i =1 n b i =1 i Dùng đạo hàm chứng minh bất đẳng thức: - Nếu y = f ( x ) có y '  K f ( x ) đồng biến K: x  a  f ( x )  f ( a ) ; x  b  f ( x )  f (b ) Đối với y '  ta có bất đẳng thức ngược lại Việc xét dấu y ' phải cần đến y '', y ''', xét dấu phận, chẳng hạn tử số phân số có mẫu dương,… Nếu y ''  y ' đồng biến từ ta có đánh giá f ' ( x ) f ( x ) ,… - Bất đẳng thức có biểu thức dạng f (b) − f ( a ) f (b ) − f ( a ) = f ' ( c ) , tồn dùng định lý Lagrange b−a b−a số c  ( a; b ) hay giá trị f ' ( c ) có đánh giá bất đẳng thức - Bất đẳng thức JENSEN: x  ( a; b )  ( a; b ) i = 1, n n Nếu f '' ( x )  0, x  ( a; b )  f ( )  n i =1 1 n  f     n i =1  1 n  n Nếu f '' ( x )  0, x  ( a; b ) f      f ( )  n i =1  n i =1 - Phương pháp tiếp tuyến: Cho n số thuộc K có tổng a1 + a2 + + an = nb khơng đổi Bất đẳng thức có dạng f ( a1 ) + f ( a2 ) + + f ( an )  nf ( b ) Lập phương trình tiếp tuyến x = b : y = Ax + B Nếu f ( x )  Ax + B K, dấu xảy x = b Khi f ( a1 ) + f ( a2 ) + + f ( an )  A ( a1 + a2 + + an ) + nB = Anb + nB = n ( Ab + B ) = nf (b ) Dấu xảy a1 = a2 = = an = b Còn f ( x )  Ax + B K, dấu xảy x = b có ngược lại Trang f ( a1 ) + f ( a2 ) + + f ( an )  nf ( b ) Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ Đối với hàm số y = f ( x ) D Xét dấu đạo hàm y ' từ bảng biến thiên có kết luận GTLN, GTNN Nếu cần đặt ẩn phụ t = g ( x ) với điều kiện đầy đủ t Nếu y = f ( x ) đồng biến đoạn  a; b  thì: f ( x ) = f ( a ) max f ( x ) = f ( b ) Ngược lại với hàm nghịch biến Nếu y = f ( x ) liên tục đoạn  a; b  f ' ( x ) = có nghiệm xi thì:  f ( a ) ; f ( x ) ; f ( x ) ; ; f ( b ) max f ( x ) = max  f ( a ) ; f ( x ) ; f ( x ) ; ; f ( b ) f ( x ) = 2 Nếu f lồi đoạn  a; b  GTLN = max  f ( a ) ; f ( b ) f lõm đoạn  a; b  GTNN =  f ( a ) ; f ( b ) Đối với đại lượng, chọn đặt biến x (hoặc t), kèm điều kiện tồn Dựa vào giả thiết, quan hệ cho để xác lập hàm số cần tìm giá trị lớn nhất, nhỏ CÁC BÀI TOÁN Bài toán 6.1: Chứng minh bất đẳng thức:     2 a) 2sin x + tan x  3x với x   0; b) cos ( x + y )  5 y sin x với x  0, y  x + y  x sin y Hướng dẫn giải    và:  2 a) Hàm số f ( x ) = 2sin x + tan x − 3x liên tục nửa khoảng  0; f ' ( x ) = 2cos x + 1 − = cos x + cos x + −3 cos x cos x    nên f ( x )  f ( 0) =  2 Do hàm số f đồng biến  0; b) Xét hàm số: f ( t ) = Ta có f ' ( t ) = sin t 5 với  t  t t cos t − sin t cos t ( t − tan t ) = t2 t2 Trang Nếu  t  Nếu   tan t  t  f ' ( t )   t   cos t  sin t   f ' ( t )  Nếu   t  5 5 cos t  0;tan t  t  f ' ( t )  Do f ' ( t )  0,0  t  nên f hàm số 4   nghịch biến khoảng  0; 5    Từ giả thiết có  x  x + y  sin ( x + y ) sin x 5   x + 2y x Do x  x + y  nên từ có x sin ( x + y )  x sin x + y sin x  x.2cos ( x + y ) sin y  y sin x  đpcm (vì x  x + y  5 5  y  sin y  ) Bài toán 6.2: Chứng minh bất đẳng thức   sin x    a)    cos x, x   0;  với    x   2 b) ( x + 1) cos  x +1 − x cos  x  1, x  Hướng dẫn giải sin x   1  có  sin x  x nên  x  2 a) Khi x   0;  sin x    Suy    cos x, x   0;   x   2 Xét hàm số F ( x ) = sin x   − x , x  0;  cos x 2cos x − 3cos x cos x + Ta có F ' ( x ) = 3cos x cos x ( ) Xét G ( t ) = 2t − 3t t + 1, t   0;1 G ' ( t ) = t − t  0, t  0;1 nên G ( t ) nghịch biến G ( t )  G (1) = 0, t  0;1 Trang    nên F ( x ) đồng biến  2 Suy F ' ( x )  0, x   0;     2 Do F ( x )  F ( ) = 0, x  0; b) BĐT  x sin  x sin  ( x + 1) x ( x + 1)  ( x + 1) x ( x + 1) Vì x     sin sin  ( x + 1)  x ( x + 1)  x ( x + 1)   − cos  sin  ( x + 1) x ( x + 1)   x +1 = 2sin  ( x + 1)  ( x + 1)  sin  ( x + 1)   sin 0 x ( x + 1) ( x + 1) Ta chứng minh: x sin Đặt t =  x ( x + 1)  x ( x + 1)  sin  ( x + 1) , t  ( 2)  x sin t  sin xt Xét f ( t ) = x sin t − sin xt , t  0, f ' (t ) = x cos t − x cos xt = x ( cos t − cos xt ) Vì  t  xt    f ' ( t )  với t   f ( t ) đồng biến 0; + )  f ( t )  f ( ) =  đpcm Bài toán 6.3: Chứng minh bất đẳng thức với n nguyên dương: a) n xn + y n  n+1 x n+1 + y n+1 với n  x, y  b) − x + x x3 xi x2n − + + ( −1) + +  với x 2! 3! i! ( n )! Hướng dẫn giải a) Với x = y = , bất đẳng thức n x x Với xy  , BĐT: n +    n +1 +    y  y n +1 Trang Xét hàm số f ( t ) = 1+ tn n n +1 + t n+1 với t  ( 0; + ) t n −1 (1 − t ) Ta có f ' ( t ) = n +1 (1 + t ) n +1 n + n (1 + t ) n n −1 ; f ' ( t ) =  t = BBT x f '(t ) + + − f (t ) 1 Suy f ( t )  với t  ( 0; + )  đpcm i x x3 x2n i x b) Xét f ( x ) = −1 − x − + + ( −1) + + ,x 2! 3! i! ( 2n )! Với x  f ( x )   : Với x  2n thì:  x2n  x2   x x3  x n −1  f ( x ) = +  − x  +  −  + +  −   2!   4! 3!   ( 2n )! ( 2n − 1)!  = 1+ x x3 x n−1 x − + x − + + ( ) ( ) ( x − 2n )   : 2! 4! ( n )! Với  x  2n f liên tục đoạn  0;2n  nên tồn giá trị bé x0 Nếu x0 = hay x0 = 2n f ( x )  f ( x0 )   Nếu x0  ( 0;2n ) f đạt cực tiểu f ' ( x ) = −1 + x − x2 x n−1 x2n + + = − f ( x) 2! ( 2n − 1)! ( 2n )! x02 n   f ( x )  f ( x0 )  : Vì f ' ( x0 ) =  f ( x0 ) = ( 2n ) ! Bài toán 6.4: Chứng minh bất đẳng thức sau: ( ) a) a + b4 + c + d + 2abcd − a 2b2 + a 2c + a d + b 2c + b d + c d  với số a, b, c, d dương b) 27c + 2a − 9ab  (a − 3b ) với a, b, c số mà phương trình: Trang x3 + ax2 + bx + c = có nghiệm phân biệt Hướng dẫn giải a) Khơng tính tổng qt, giả sử a  b  c  d  Xem vế trái hàm số f ( a ) , a  f ' ( a ) = 4a3 + 2bcd − 2a ( b2 + c + d ) f '' ( a ) = 12a − ( b2 + c + d )  nên f ' đồng biến ( 0;+ ) : a  b  f ' ( a )  f ' ( b ) Vì f ' ( b ) = 2b ( b2 − c ) + 2bd ( c − d )  nên f ( a ) đồng biến 0;+ ) : a   f ( a )  f ( 0) = : đpcm b) Đặt f ( x ) = x3 + ax + bx + c, D = , f ' ( x ) = 3x + 2ax + b Vì f ( x ) = có nghiệm phân biệt nên f ' ( x ) = có nghiệm phân biệt: x1 = −a − a − 3b −a + a − 3b với a − 3b  , x2 = 3 Và hệ số cao f dương nên yC Ð = f ( x1 )  f ( x2 ) = yCT  1 3 Ta có f ( x ) =  x +  f ( xi ) =  ab a  f ' ( x ) + ( 3b − a ) x + c −  9 ab 3b − a ) xi + c − ( 9 Từ f ( x1 )   −2 (a − 3b )  2a + 27c − 9ab f ( x2 )   2a + 27c − 9ab  Do vậy: 2a + 27c − 9ab  (a (a − 3b ) − 3b ) 3 Bài toán 6.5: Chứng minh bất đẳng thức: x2 a) + x −  + x  + x , với x  b) 1 + x2 + 1 + y2  với x, y  0;1 + xy Hướng dẫn giải Trang a) Xét hàm số f ( x ) = + f '( x ) = x − + x 0;+ ) Ta có: 1 −  với x  nên f ( x ) đồng biến nửa khoảng 0;+ ) 2 1+ x Do f ( x )  f ( 0) = với x  Xét hàm số g ( x ) = + x − − Ta có: g ' ( x ) = x2 0;+ ) + 1 x 1 − + , g '' ( x ) = −  nên g ' đồng biến 0;+ ) , 4 (1 + x ) + x 1+ x g ' ( x ) = g ' ( 0) = Suy g đồng biến 0;+ ) nên g ( x )  g ( 0) = với x  0; + )  đpcm b) Giữ y cố định, xét hàm số f ( x ) = Ta có f ' ( x ) = x (1 + x ) 3/2 − 1 − − đoạn  0;1 + xy + x2 + y2 y (1 + xy ) 3/2 Như dấu f ' ( x ) dấu x (1 + xy ) − y (1 + x ) = ( x − y ) ( x + y + 3x y − x y ) 3 Do x, y thuộc  0;1 nên thừa số thứ hai dương, f ' ( x ) đổi dấu từ âm sang dương y, suy y điểm cực đại, suy f ( x )  f ( y ) = : đpcm Dấu xảy x = y Bài toán 6.6: Cho x, y, z  x + y + z = Chứng minh: a)  xy + yz + zx − xyz  27   1 1 1 1 1  +  + y  +  + z  +  + 1   z x   x y   27   y z b) xyz  x  Hướng dẫn giải a) Giả sử z số bé  z  Ta có T + xy + yz + zx − xyz = xy (1 − z ) + ( x + y ) z  xy ( x + y ) z  Trang  x+ y Và có T    (1 − z ) + ( x + y ) z   = 1 (1 − z ) (1 − z ) + (1 − z ) z = ( −2 z + z + 1) 4 Xét f ( z ) = −2 z + z + 1,0  z   1 f ' ( z ) = −6 z + z = z (1 − 3z )  f ( z ) đồng biến 0;  , đó:  3 1 T = f (z)  f   =   27   1 1 1 1 1  +  + y  +  + z  +  + 1  z x x y    y z b) Ta có: xyz  x  = x y + x z + y x + z x + z y + yz + xyz = ( x + y + z )( xy + yz + zx ) − 2xyz = xy + yz + zx − 2xyz Vì x + y + z =   số x, y , z  1 Giả sử z  3  S ( x, y, z ) = xy + yz + zx − xyz = xy (1 − 2z ) + ( x + y ) z −2 z + z +  x+ y 1− z   − z + x + y z = − z + − z z = ( ) ( ) ( ) ( )        Xét f ( z ) = −2 z + z + −3z + z  1  1  0;  f ' ( z ) =   0;  nên f đồng biến,  3  3 1 max f ( z ) = f   =   27 Vậy S ( x, y , z )  dấu đẳng thức xảy x = y = z = 27 Bài toán 6.7: Chứng minh bất đẳng thức: a) cos b − cos a  b − a với a, b tùy ý b) 1 + ( x + 1)  arctan 1  với x  x + x + 1 + x2 Hướng dẫn giải a) Nếu a = b bất đẳng thức Trang Nếu a  b bất đẳng thức tương đương: cos b − cos a  Khơng tính tổng quát, giả sử b  a b−a Hàm số f ( x ) = cos x liên tục  a; b  có đạo hàm f ' ( x ) = − sin x Theo định lý Lagrange, tồn c  ( a; b ) cho: f (b) − f ( a ) cos b − cos a = f '(c )  = − sin c b−a b−a  cos b − cos a = − sin c  : đpcm b−a b) BĐT: 1 + ( x + 1)  arctan ( x + 1) − arctan x  + x2 ( x + 1) − x Hàm số f ( x ) = arctan x liên tục  x; x + 1 có f ' ( x ) = 1 + x2 Theo định lý Lagrange, tồn c  ( x; x + 1) cho: f (b ) − f ( a ) arctan ( x + 1) − arctan x = f '(c )  = b−a + c2 ( x + 1) − x Vì c  ( x; x + 1) nên 1 + ( x + 1)  1   đpcm 1+ c + x2 Bài toán 6.8: Cho số thực dương Chứng minh a2 b2 c2 a+b+c a) + +  b+c c+a a+b b) 1 1 63 + + +  a + b2 + c2 + d + với tổng a + b + c + d = a b c d Hướng dẫn giải a) Bất đẳng thức nên ta chuẩn hóa: a + b + c = Do x2 a2 b2 c2 với  x  + +  Xét hàm số f ( x ) = 3− x 3− a 3−b 3−c Ta có f ' ( x ) = x − x2 (3 − x ) ; f '' ( x ) = 18 (3 − x ) Vì f '' ( x )  ( 0;3) nên f lõm, theo bất đẳng thức Jensen có Trang 10 BBT x f' + 0 Vậy max M = + 1/18 f Do đó:  M  + 1 Kết hợp  M  18 18 x = y , M = y = 18 Bài toán 6.24: Cho số thực x, y, z không âm thỏa mãn điều kiện: x3 + y + z = + 3xyz Tìm giá trị nhỏ biểu thức P = x + y + z Hướng dẫn giải Từ giả thiết x3 + y + z = + 3xyz  ( x + y + z ) ( x + y + z − xy − yz − zx ) = 2 3  ( x + y + z )  ( x2 + y + z ) − ( x + y + z )  = 2 2  Đặt t = x + y + z Khi t  x + y + z = t2 + 3t t2 Xét hàm f ( t ) = + ( 0;+ ) 3t (t − 2) 4 , f ' (t ) =  t = Ta có f ' ( t ) = t − = 3t 3t Lập BBT f ( t ) = f t( 0;+ ) ( 2) = 3 , đạt t = Ta có P  x2 + y + z  Dấu đẳng thức xảy x = 2, y = z = Vậy P = , đạt x = 2, y = z = Bài toán 6.25: Cho số thực x, y thỏa mãn điều kiện: Trang 24 x + y = x −1 + y + Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ biểu thức P = x + y + ( x + 1)( y + 1) + − x − y Hướng dẫn giải Điều kiện x  y  Suy x + y  ( Áp dụng bất đẳng thức ( au + bv )  a + b 2 ( x + y) = ( x −1 + y + ) =( )(u + v ) ta có: ) x − + y +  ( x + y ) Suy  x + y  Đặt t = x + y t   0;3 P = ( x + y ) + ( x + y ) + − ( x + y ) + = t + 2t + − t + 2 Xét hàm f ( t ) = t + 2t + − t + 0;3 f ' ( t ) = 2t + − ; f '' ( t ) = − 4−t ( 4−t )  với t  0;3 Suy f ' ( t ) đồng biến 0;3 Do f ' ( t )  f ' ( 0) = với t   0;3 Suy f ( t ) đồng biến 0;3 Vậy max P = max f ( t ) = f ( 3) = 25 , đạt t =  x = 2, y = 0;3 P = f ( t ) = f ( 0) = 18 , đạt t =  x = 1, y = 0;3 Bài toán 6.27: Cho số thực x, y, z không âm thỏa mãn: x − y + y − x2 = Hướng dẫn giải Ta có ( a − b ) a + b2 với a, b Áp dụng:   ab  x − y2  x2 + − y y + − x2 , y − x2  2 Suy = x − y + y − x  Do dấu đẳng thức xảy nên x = − y y = − x2 Trang 25 Suy x, y  x + y = ( ) Đặt t = x + y Khi  t  x + y = ( ) Đặt t = x + y Khi t  x + y = Mặt khác t = ( x + y )  x + y = Suy t  2 Do t   2;2 Ta có xy =   ( x + y) − ( x2 + y ) = t2 −1 Suy P = ( x + y ) + 12 ( x + y ) − 12 xy − 12 + xy  t2  t2 = ( x + y ) + 12 ( x + y ) − 12  − 1 − 12 + −1 2  = t − 6t + 12t + t2 −1 t2 Xét hàm f ( t ) = t − 6t + 12t + −  2;2 Ta có: f ' ( t ) = 3t − 12t + 12 + t t   − 1 2   , với t   2;2 nên f ( t ) đồng biến  2;2   Vậy max f ( t ) = f ( ) = ; f ( t ) = f  ;2     2;2   ( ) = 14 − 12 Bài toán 6.28: Cho số thực dương x, y, z thỏa mãn điều kiện: x + y + z = xy + yz + zx = Hướng dẫn giải  y + z = − x  yz = − x ( − x ) Từ giả thiết ta có:  S  P  ( − x )  5 − x ( − x )  3x − x +   x2 ( ) Mà: x3 + y + z = ( x + y + z ) x + y + z − xy − yz − zx + 3xyz Trang 26 = ( x + y + z ) ( x + y + z ) − ( xy + yz + zx )  + 3xyz   = + 3xyz , nên P = ( + 3xyz ) xy + yz + zx 20 20 = + 15 = + 15 xyz xyz x − x + 5x 2  Xét hàm f ( x ) = x3 − x + x  ;  3  f ' ( x ) = 3x − x + 5, f ' ( x ) =  x = 1, x = 2   50 f (1) = f ( ) = 2, f   = ,f  =   27   27 2    Do  f ( x )  với x   ;2  nên P  25 Dấu đẳng thức xảy x = 2, y = z = hoán vị Vậy P = 25 , đạt x = 2, y = z = hoán vị Bài toán 6.29: Cho số thực dương a, b, c Tìm giá trị nhỏ biểu thức P= ab ( a + 2c )( b + 2c ) − 16 + a + b2 + c 2 Hướng dẫn giải Ta có: + a + b + c  Suy ra: 1+ a + b + c 2 1 2 (1 + a ) + ( b + c )  (1 + a + b + c ) 2  1+ a + b + c Áp dụng bất đẳng thức Côsi, ta có: ab ( a + 2c )( b + 2c )  = a + b a + 2c + b + 2c 2 1 ( a + b )( a + b + 4c ) = ( a + b )( a + b + 4c ) 12 (a + b + c) 3 ( a + b ) + ( a + b + 4c )    = 12 Suy ab ( a + 2c )( b + 2c )  (a + b + c) Trang 27 nên P  27 (a + b + c) − 32 1+ a + b + c Đặt t = a + b + c t  P  Xét hàm f ( t ) = 27 32 − t2 t +1 27 32 54 32 − 0; + , f ' t = − + ( ) ( ) t2 t +1 t ( t + 1)2 f ' ( t ) =  ( t − 3) (16t + 21t + ) =  t = Lập BBT f ( t ) = f ( 3) = −5 ( 0;+) Do P  −5 , dấu đẳng thức xảy a = b = c = Vậy giá trị nhỏ P −5, đạt a = b = c = Bài tốn 6.30: Tính giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số y=4 sin x +2 cos x + Hướng dẫn giải Đặt sin x = t ,0  t  y = 4t + y ' = 4t ln + 1−t + Ta có y ' =  = t 1−t 1−t + ,0  t  −t 1− t2 22t 1−t  = 2t 1− t2 1− t2 2t 2u Xét hàm số f ( u ) = ,0  u  u u u 2u ln − 2u ( u.ln − 1) f '(u ) = = ; f '(u )    u  2 u u ln Vì   f (1) = f ( 2) = ln Suy f ( u )  2, u  1;2 f ( u )  2, u  ( 0;1) 22t 1+t 2 Giả sử  2t  : khơng thỏa mãn 2t 1− t2 Do  2t  Vì f ( u ) nghịch biến ( 0;1) nên phương trình Trang 28 f ( 2t ) = f ( ) − t  2t = − t  t =   Ta có y ( ) = 9, y (1) = 8, y   = 5.4 , so sánh  5 y = , cos x = max y = 5.4 , sin x = Bài toán 6.31: Cho số thực x, y, z thỏa mãn x + y + z = Tìm giá trị nhỏ P=3 x− y +3 y−z +3 z−x − x2 + y + 6z Hướng dẫn giải Ta có x + y + z = nên z = − ( x + y ) có số khơng âm khơng dương Do tính chất đối xứng ta giả sử xy  Ta có P = =3 x− y 3 x− y 3 x− y x− y +3 +3 y+ x +3 +3 x+ y y+ x + x+ y + 2.3 + 2.3 y+ x x+ y 2 x+ y − 12 ( x + y + xy ) − 12 ( x + y ) − xy    − 12 ( x + y ) − xy    −2 x+ y Đặt t = x + y  , xét f ( t ) = f ' ( t ) = 2.3 ( 3) 3t ( ) 3t − 3t ln − =   ( 3) 3t ln −     f đồng biến 0; + )  f ( t )  f ( ) = Mà x− y  30 = nên P  30 + = , dấu “=” xảy  x = y = z = Vậy P = ( ) Bài toán 6.32: Cho số thực không âm a, b, c thỏa mãn điều kiện: a + b2 + c + ab + bc + ca = 12 Tìm a + b2 + c giá trị lớn giá trị nhỏ P = + ab + bc + ca a+b+c Hướng dẫn giải Từ giả thiết a, b, c không âm thỏa mãn: Trang 29 ( a + b2 + c ) + ab + bc + ca = 12 ta có a + b + c = 24 − ( a + b + c ) ( 12  ( a ) +c )+a Và 12  a + b + c  a + b + c  + b2 2 + b2 + c  a + b2 + c  Suy a + b2 + c  3;4 ( Đặt t = 24 − a + b + c Do P = ) t  2;3 a + b2 + c2 24 − ( a + b + c ) + 12 − ( a + b + c ) 24 − t ) ( 24 − t  24  12 = + 12 − =  3t − t +  − t 5 t  Xét hàm f ( t ) = 3t − t + f ' ( t ) = 6t − − 24  2;3 t 24 24   = ( t − 1) +  5t −   với t   2;3 t t   nên f đồng biến đoạn  2;3 Do max f ( t ) = f ( 3) = 32;min f ( t ) = f ( ) = 22 nên  P  2;3 2;3 Vậy max P = , đạt a = b = c = Min P = , đạt a = 2, b = c = hoán vị Bài toán 6.33: Cho số dương x, y, z thỏa mãn x + y + z = Tìm giá trị lớn biểu thức 2  x + xy + z   y + yz + x   z + zx + y  P=  +   +    x + y + z +       Hướng dẫn giải Với vectơ u, v ta có u.v  u v ( ) ( ) Chọn u = x; x ;1 , v = 1; y ; z (x + xy + z ) = ( x −1 + 2 x y + 1.z )  (x 2 + x + 1)(1 + y + z ) Trang 30  x + xy + z  Do đó:    + y + z  x +1   2  y + yz + x   z + zx + y  Tương tự   + 2z + x2 ;     + 2x + y   y +1 z +1     ( ) Nên P  + ( x + y + z ) + x + y + z  + x + y + z = 12 Dấu đẳng thức xảy x = y = z = Vậy giá trị lớn P 12, dấu = x = y = z = Bài toán 6.34: Cho số thực x, y, z thuộc đoạn  0;1 Tìm giá trị lớn biểu thức: x3 + y + z + P= + + y + z + x2 + Hướng dẫn giải Vì a, b  0;1 nên ta có: a3 + a + 1 b2   = a + − ( )   b2 + b2 + 2  b2 +  2 b2 = ( a + 3) − ( a + 3) 2 b +2  b2 a + 3) − ( a + ) = ( a − b ) + − a b ( 2 2 Dấu đẳng thức xảy a, b  0;1 Tương tự: b3 + 2 2  (b − c ) + − b c c2 + 2 c3 + 3  ( c − a2 ) + − c2a 2 a +2 2 Suy P  2 − ( a b + b 2c + c a )  Vậy giá trị lớn P , đạt ba số a, b, c có nhiều số 1, số lại Bài toán 6.35: Cho số thực dương x, y, z thỏa mãn điều kiện: ( x + y + z ) = 3xyz Tìm giá trị lớn biểu thức: Trang 31 P= 1 + + + x + yz + y + zx + z + xy Hướng dẫn giải Ta có: xyz = ( x + y + z )  4.3 xyz nên xyz  Và: + x + yz  2 x + yz  2 x yz = 2 xyz yz  4 yz Suy 1 1 11     +  + x + yz 4 yz  yz  1 1  1    + + =  +   yz   yz  Tương tự: 1  1    + ,   +  + x + yz  zx  + x + yz  xy  1 1  1 3 + + + =  + =  xy yz zx   4  Do P   Vậy max P = , x = y = z = Bài tốn 6.36: Tìm giá trị nhỏ hàm số: y = − x + x + 21 − − x + 3x + 10 Hướng dẫn giải − x + x + 21   −2  x  Với −2  x  : Điều kiện  − x + x + 10  y' = −x + − x + x + 21 ( − 2x) = − −2 x + − x + x + 10 − x + 3x + 10 − ( − x ) − x + x + 21 − x + x.21 − x + 3x + 10 Cho y ' =  ( − x ) − x + 3x + 10 = ( − x ) − x + x + 21 ( − x )( − x )   2 2 ( − x ) ( − x + x + 10 ) = ( − x ) ( − x + x + 11) Trang 32   x  hay x   x= −51x + 104 x − 29 =  Ta có y ( −2 ) = 3; y = 1 = 2; y ( ) = Vậy y = x = 3 Bài toán 6.37: Cho hàm số f, xác định thỏa mãn: f ( cot x ) = sin x + cos x, x  Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số g ( x ) = f ( x ) f (1 − x ) đoạn  −1;1 Hướng dẫn giải z + 2z −1 Đặt z = cot x f ( z ) = f ( cot x ) = sin x + cos x = z2 +1 x + x − (1 − x ) + (1 − x ) − suy g ( x ) = x2 + (1 − x ) +   1 Đặt y = − x t = xy Do x   −1;1 nên ta có t   −2;   t + 8t − g ( x ) = = h (t ) t − 2t + h '(t ) = − ( 5t − 4t − ) (t − 2t + ) , h '(t ) =  t = − 34 1 4 Lập BBT thì: max g ( x ) = max h ( t ) = h   = x −1;1  1 t−2;   4 25  − 34  g ( x ) = h ( t ) = h   = − 34 x −1;1  1 t −2;     4 Bài toán 6.38: Cho số thực dương a, b, c thỏa mãn điều kiện ( a + c )( b + c ) = 4c Tìm giá trị nhỏ biểu thức P= 32a3 ( b + 3c ) + 32b3 ( a + 3c ) a + b2 − c  a  b  + 1 + 1 =  c  c  Ta có ( a + c )( b + c ) = 4c   Trang 33 Đặt x = a b ; y = ( x + 1)( y + 1) = c c  S + P =  P = − S Do   x 3  y   2 P = 32   +  − x + y  y +   x +    x y  2  8 +  − x +y  y +3 x +3  S + 3S − ( − S )   S + 3S − P  S S = 8 − = 8  −  2  3S + P +   3S + ( − S ) +  3  S + 5S −  S S  S −1  = 8 = 8  −  − 2    S + 12  = ( S − 1) − P ' = ( S − 1) − S ,S  2 0, S  2 Dấu “=” xảy chẳng hạn x = y = Vậy P = P ( ) = − BÀI LUYỆN TẬP Bài tập 6.1: Chứng minh bất đẳng thức: x3   a) tan x  x + với x   0;   2 b) b.tan a  a.tan b với  a  b   Hướng dẫn x3  a) Xét f ( x ) = tan x − x − ,0  x  b) Xét f ( x ) = tan x  ,0  x  x Bài toán 6.2: Cho a, b, c số dương, đặt X = b+c c+a ,Y = a+b+c a+b+c Trang 34 Chứng minh 1 +  2 1+ X 1+ Y Hướng dẫn a + b + 2c  , cố định X giảm giá trị Y vế trái bất đẳng thức tăng lên nên ta a+b+c cần chứng minh X + Y = X +Y = Bài toán 6.3: Chứng minh a) ( a − b) 8a ( a − b ) với a  b  a+b  − ab  8b ( a + b − 3c ) + ( a + c − 3b ) + ( c + b − 3a )  2 2 2c + ( b + a ) 2b + ( c + a ) 2a + ( b + c ) b) 2 với a, b, c  Hướng dẫn a) Dùng định lý Lagrange b) VT bậc Đặt x = a b c ,y = ,z = (a + b + c) (a + b + c) (a + b + c) Bài toán 6.4: Chứng minh a) b) a (b + c ) (b + c ) + a2 + b (c + a ) (c + a) + b2 + c (a + b) (a + b) + c2  với a, b, c  a b c −3 + +  với a, b, c  a + b + c = a + b + c + 10 Hướng dẫn a) Chuẩn hóa: a + b + c = dùng tiếp tuyến x = b) Tiếp tuyến x = x hàm số f ( x ) = x +1 Bài toán 6.5: Chứng minh a) tan A B C + tan + tan  với tam giác ABC 2 2 xn 1+ x   b)  n +1 1+ x   n −1 xn −  với x  0, x  1, n  1, n  n x −1 Hướng dẫn x a) Dùng bất đẳng thức Jensen cho f ( x ) = tan ,0  x   Trang 35 b) Chứng minh quy nạp Bài tập 6.6: Cho ABC tam giác có ba góc nhọn, cạnh a, b, c Chứng minh: a b c + +  A B C a)  ( a + b + c )  3( aA + bB + cC ) b) ( a + b + c )    Hướng dẫn a) Áp dụng bất đẳng thức Trebusep b) Áp dụng bất đẳng thức Trebusep Bài tập 6.7: Chứng minh bất đẳng thức: a) x y x− y +  với x, y  2019 + x 2019 + y 2019 + x − y b) a b c a+b b+c + +  + + với a, b, c  b c a b+c a+b Hướng dẫn a) Xét hàm số f ( t ) = t ,t  , 2019 + t b) BĐT  ( a + b ) + ( b + c ) + ( a + b )( b + c )  b2 ( a + b ) cb ( b + c ) a 2c + a + ab + ac + + b + ab + c + bc b c a Bài toán 6.8: Chứng minh rằng: a) ( cot x ) cos x   với  x  sin x 2 a −b b−c c −a  2 + +  1 − b)  với a, b, c  1;2 c a b   Hướng dẫn a) Đặt t = tan x, t  Đưa t.ln t  ( t + 1) ln t +1 b) Dồn biến với giả sử  a  b  c  Xét f ( a ) = ( a − b )( b − c )( c − a )  abc f '( a )  Bài tập 6.9: Cho số dương a, b, c, d Chứng minh rằng: a4 b4 c4 d4 a+b+c+d a) + + +  2 2 2 2 ( a + b ) ( a + b ) (b + c ) (b + c ) ( c + d ) ( c + d ) ( d + a ) ( d + a ) Trang 36 ( ) ( ) b) a + b3 + c + a + b + c + 12abc  , a + b + c = Hướng dẫn a) Dùng BCS b) Đặt x = ab + bc + ca, y = abc Đưa chứng minh: 18 y − 12 x +  Bài tốn 6.10: Tìm giá trị lớn nhỏ hàm số sin x cos x + cos6 x sin x b) f ( x ) = sin x + cos x 1 − a) f ( x ) = sin x + cos x − Hướng dẫn a) Đặt t = cos x − sin x xét hàm Kết f = 4 ; max f = 8+ 8− , f = 27 b) Kết max f = Bài toán 6.11: Cho số dương có tổng ( ) ( a) Tìm GTNN a3 + b3 + c3 + d − a + b2 + c + d b) Tìm GTLN ) 1− b − c 1− c − a 1− a − b + + + a2 + b2 + c2 Hướng dẫn a) Dùng phương pháp tiếp tuyến Kết b) Kết 1 a = b = c = d = a = b = c = 10 Bài tốn 6.12: Cho số thực khơng âm x, y thay đổi thỏa mãn x + y = Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức S = ( x3 + y )( y + 3x ) + 25 xy Hướng dẫn S = 16 x y + 12 ( x3 + y ) + xy + 25 xy = 16 x y + 12 ( x + y ) − 3xy ( x + y )  + 34 xy = 16 x y − xy + 12   Trang 37 Đặt t = xy , ta S = 16t − 2t + 12 ( x + y)  xy  =  1  t  0;   4  1   Xét hàm f ( t ) = 16t − 2t + 12 đoạn  0;  Kết max S = 191 25 , S = 16 Trang 38 ... Bất đẳng thức có biểu thức dạng f (b) − f ( a ) f (b ) − f ( a ) = f ' ( c ) , tồn dùng định lý Lagrange b−a b−a số c  ( a; b ) hay giá trị f ' ( c ) có đánh giá bất đẳng thức - Bất đẳng thức. .. 3) (16t + 21t + ) =  t = Lập BBT f ( t ) = f ( 3) = −5 ( 0;+) Do P  −5 , dấu đẳng thức xảy a = b = c = Vậy giá trị nhỏ P −5, đạt a = b = c = Bài toán 6. 30: Tính giá trị lớn giá trị nhỏ hàm...  Dấu đẳng thức xảy x = 2, y = z = Vậy P = , đạt x = 2, y = z = Bài toán 6. 25: Cho số thực x, y thỏa mãn điều kiện: Trang 24 x + y = x −1 + y + Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ biểu thức P