Bài PHÉP NHÂN MỘT SỐ VỚI MỘT VECTƠ I – TÓM TẮT LÝ THUYẾT Định nghĩa: Cho số k  vectơ a  Tích vectơ a với số k vectơ, kí hiệu k a +) k  k a hướng với a +) k  k a ngược hướng với a Tính chất: Cho a , b hai số h, k ta có:  k (a + b) = ka + kb  (h + k )a = + k a  h(ka) = (hk )a  1.a = a, (−1)a = −a  Nếu I trung điểm AB với điểm M ta có: MA + MB = 2MI  Nếu G trọng tâm tam giác ABC với điểm M ta có: MA + MB + MC = 3MG Điều kiện để hai vectơ phương: +) a b  phương  k : a = kb +) Ba điểm phân biệt A, B, C thẳng hàng có số k  để AB = k AC II – CÁC DẠNG TOÁN: 3.1 Xác định tính độ dài tích số với vectơ Bài Cho hai điểm phân biệt A, B Xác định điểm M biết 2MA − 3MB = Lời giải Ta có: 2MA − 3MB =  2MA − 3( MA + AB) =  − MA − AB =  AM = AB  AM , AB hướng AM = 3AB Bài Cho tam giác ABC a) Tìm điểm K cho KA + 2KB = CB b) Tìm điểm M cho MA + MB + 2MC = Lời giải a) Ta có: KA + 2KB = CB  KA + 2KB = KB − KC  KA + KB + KC =  K trọng tâm tam giác ABC http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word b) Gọi I trung điểm AB Ta có: MA + MB + 2MC =  2MI + 2MC =  MI + MC =  M trung điểm IC Bài Cho tam giác ABC cạnh a Tính a) AB + AC + BC b) AB + AC Lời giải a) AB + AC + BC = ( AB + BC ) + AC = AC + AC = AC = AC = AC = 2a b) Gọi H trung điểm BC Ta có: a AB + AC = AH = AH = AH = AB − BH = a −   = a 2 Bài Cho ABC vuông ta ̣i B có A = 300 , AB = a Go ̣i I là trung điể m của AC Hãy tiń h: a) BA + BC b) AB + AC Lời giải Ta có: BC = AB tan A = a tan 300 = AB a 2a a = = , AC = cos A cos 30 3 a) BA + BC = BI = BI = BI = AC 2a = AC = a 3 a 39 b) AB + AC = AM = AM = AM = AB + BM = a +   =   2 Câu [0H1-1] Khẳng định sai ? http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word A 1.a = a B k a a hướng k  C k a a hướng k  D Hai vectơ a b  phương có số k để a = kb Lời giải Chọn C (Dựa vào định nghĩa tích số với vectơ) Câu [0H1-1] Trên đường thẳng MN lấy điểm P cho MN = −3MP Điểm P xác định hình vẽ sau đây: A Hình B Hình C Hình D Hình Lời giải Chọn A MN = −3MP  MN ngược hướng với MP MN = MP Câu [0H1-1] Cho ba điểm phân biệt A, B, C Nếu AB = −3AC đẳng thức ? A BC = −4 AC B BC = −2 AC C BC = AC D BC = AC Lời giải Chọn D Câu [0H1-1] Cho ba điểm A, B, C phân biệt Điều kiện cần đủ để ba điểm thẳng hàng là: A AB = AC B k  : AB = k.AC C AC − AB = BC D MA + MB = 3MC ,  điểm M Lời giải Chọn B Ba điểm A, B, C thẳng hàng có số k khác để AB = k AC Câu [0H1-1] Tìm giá trị m cho a = mb , biết a , b ngược hướng a = 5, b = 15 A m = B m = − C m = D m = −3 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word Lời giải Chọn B Do a , b ngược hướng nên m = − a =− b =− 15 Câu [0H1-2] Cho ABC Đặt a = BC , b = AC Các cặp vectơ sau phương ? A 2a + b , a + 2b C 5a + b , −10a − 2b D a + b , a − b B a − 2b , 2a − b Lời giải Chọn C Ta có: −10a − 2b = −2.(5a + b )  5a + b −10a − 2b phương Câu [0H1-2] Cho tam giác ABC có cạnh a Độ dài AB + AC bằng: A 2a B a C a D a Lời giải Chọn C Gọi H trung điểm BC Khi đó: a2 AB + AC = AH = AH = AB − BH = a − =a 2 Câu [0H1-2] Biết hai vec tơ a b không phương hai vec tơ 3a − 2b ( x + 1)a + 4b phương Khi giá trị x là: A −7 B C D Lời giải Chọn A Điều kiện để hai vec tơ 3a − 2b ( x + 1)a + 4b phương là: x +1 =  x = −7 −2 Câu [0H1-2] Cho tam giác ABC Gọi I trung điểm AB Tìm điểm M thỏa mãn hệ thức MA + MB + 2MC = A M trung điểm BC B M trung điểm IC C M trung điểm IA D M điểm cạnh IC cho IM = 2MC http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word Lời giải Chọn B MA + MB + 2MC =  2MI + 2MC =  MI + MC =  M trung điểm IC Câu 10 [0H1-2] Cho hình bình hành ABCD , điểm M thõa mãn 4AM = AB + AD + AC Khi điểm M là: A Trung diểm AC B Điểm C C Trung điểm AB D Trung điểm AD Lời giải Chọn A Theo quy tắc hình bình hành, ta có: AM = AB + AD + AC  AM = AC  AM = AC  M trung điểm AC Câu 11 [0H1-3] Cho hình thoi ABCD tâm O , cạnh 2a Góc BAD = 600 Tính độ dài vectơ AB + AD A AB + AD = 2a B AB + AD = a C AB + AD = 3a D AB + AD = 3a Lời giải Chọn A Tam giác ABD cân A có góc BAD = 600 nên ABD AB + AD = AC = AO = AO = AB − BO = 4a − a = 2a Câu 12 [0H1-3] Cho tam giác ABC có điểm O thỏa mãn: OA + OB − 2OC = OA − OB Khẳng định sau ? A Tam giác ABC B Tam giác ABC cân C C Tam giác ABC vuông C D Tam giác ABC cân B http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word Lời giải Chọn C Gọi I trung điểm AB Ta có: OA + OB − 2OC = OA − OB  OA − OC + OB − OC = BA  CA + CB = AB  2.CI = AB  2CI = AB  CI = AB  Tam giác ABC vuông C Câu 13 [0H1-3] Cho tam giác ABC , có điểm M thoả mãn: MA + MB + MC = A B D vô số C Lời giải Chọn D Gọi G trọng tâm tam giác ABC Ta có MA + MB + MC = 3MG = 3MG =  MG = Tập hợp điểm M thỏa mãn MA + MB + MC = đường trịn tâm G bán kính R = Câu 14 [0H1-3] Cho tam giác ABC điểm M tùy ý Chứng minh vectơ v = MA + MB − 2MC Hãy xác định vị trí điểm D cho CD = v A D điểm thứ tư hình bình hành ABCD B D điểm thứ tư hình bình hành C D trọng tâm tam giác ABC D D trực tâm tam giác ABC ACBD Lời giải Chọn B Ta có: v = MA + MB − 2MC = MA − MC + MB − MC = CA + CB = 2CI (Với I trung điểm AB ) Vậy vectơ v không phụ thuộc vào vị trú điểm M Khi đó: CD = v = 2CI  I trung điểm CD http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word Vậy D D điểm thứ tư hình bình hành ACBD Câu 15 [0H1-3] Cho tam giác ABC Gọi M trung điểm BC N trung điểm AM Đường thẳng BN cắt AC P Khi AC = xCP giá trị x là: A − B − C − D − Lời giải Chọn C Kẻ MK / / BP ( K  AC ) Do M trung điểm BC nên suy K trung điểm CP Vì MK / / BP  MK / / NP mà N trung điểm AM nên suy P trung điểm AK 3 Do đó: AP = PK = KC Vậy AC = − CP  x = − 2 Câu 16 [0H1-4] Cho tam giác ABC Hai điểm M , N xác định hệ thức BC + MA = , AB − NA − 3AC = Trong khẳng định sau, khẳng định ? A MN ⊥ AC B MN / / AC C M nằm đường thẳng AC D Hai đường thẳng MN AC trùng Lời giải Chọn B Ta có: BC + MA =  AM = BC  M điểm thứ tư hình bình hành ABCM nên M  AC (1) Cộng vế theo vế hai đẳng thức BC + MA = , AB − NA − 3AC = , ta được: BC + MA + AB − NA − 3AC =  ( MA + AN ) + ( AB + BC ) − AC =  MN + AC − AC  MN = AC  MN phương với AC (2) Từ (1) (2) suy MN / / AC http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word Câu 17 [0H1-4] Cho tam giác OAB vuông cân tạ O với OA = OB = a Độ dài véc tơ u= 21 OA − OB là: A a 140 B a 321 C a 520 D a 541 Lời giải Chọn D Dựng điểm M , N cho: OM = 21 OA, ON = OB Khi đó: 2 a 541  21a   5a  u = OM − ON = NM = MN = OM + ON =   +  =     Câu 18 [0H1-4] Cho tam giác ABC đường thẳng d Gọi O điểm thỏa mãn hệ thức OA + OB + 2OC = Tìm điểm M đường thẳng d cho vectơ v = MA + MB + 2MC có độ dài nhỏ A Điểm M hình chiếu vng góc O d B Điểm M hình chiếu vng góc A d C Điểm M hình chiếu vng góc B d D Điểm M giao điểm AB d Lời giải Chọn A Gọi I trung điểm AB Khi đó: OA + OB + 2OC =  2OI + 2OC =  OI + OC =  O trung điểm IC Ta có: v = MA + MB + 2MC = OA − OM + OB − OM + 2(OC − OM ) = OA + OB + 2OC − 4OM = −4OM http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word Do v = 4OM Độ dài vectơ v nhỏ 4OM nhỏ hay M hình chiếu vuong góc O d Câu 19 [0H1-4] Cho ngũ giác ABCDE Gọi M , N , P, Q trung điểm cạnh AB, BC , CD, DE Gọi I J trung điểm đoạn MP NQ Khẳng định sau ? A IJ = AE B IJ = AE C IJ = AE D IJ = AE Lời giải Chọn C Ta có: 2IJ = IQ + IN = IM + MQ + IP + PN = MQ + PN  1  MQ = MA + AE + EQ  2MQ = AE + BD  MQ = AE + BD , PN = − BD  2   MQ = MB + BD + DQ ( Suy ra: IJ = ( ) ) 1 1 AE + BD − BD = AE  IJ = AE 2 Câu 20 [0H1-4] Cho tam giác ABC Go ̣i M là trung điể m của AB và N thuô ̣c ca ̣nh AC cho NC = 2NA Hãy xác định điểm K thỏa mãn: 3AB + AC −12 AK = điểm D thỏa mãn: 3AB + AC −12KD = A K trung điểm MN D trung điểm BC B K trung điểm BC D trung điểm MN C K trung điểm MN D trung điểm AB D K trung điểm MN D trung điểm AC Lời giải Chọn A http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word   AB = AM Ta có:   AB + AC − 12 AK =  3.2 AM + 2.3 AN − 12 AK =  AK = AM + AN   AC = AN ( ) Suy K trung điểm MN ( ) Ta có: AB + AC − 12 KD =  AB + AC − 12 AD − AK =  AB + AC + 12 AK = 12 AD  12 AD = AB + AC + AB + AC  12 AD = AB + AC  AD = ( AB + AC ) Suy D trung điểm BC 3.2 Chứng minh đẳng thức vectơ Bài Cho tứ giác ABCD Gọi E , F trung điểm AB CD a) Chứng minh rằng: AC + BD = AD + BC = 2EF b) Gọi G trung điểm EF Chứng minh GA + GB + GC + GD = Lời giải a) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) AC + BD = AE + EF + FC + BE + EF + FD = 2EF + AE + BE + FC + FD = 2EF + + = 2EF (1) AD + BC = AE + EF + FD + BE + EF + FC = 2EF + AE + BE + FD + FC = 2EF + + = 2EF (2) TỪ (1) (2) suy ra: AC + BD = AD + BC = 2EF ( ) b) GA + GB + GC + GD = 2GE + 2GF = GE + GF = 20 = Bài Cho hình bình hành ABCD Chứng minh rằng: AB + AC + AD = 3AC Lời giải http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word ( ) VT = AB + AC + AD = AB + AD + AC = AC + AC = AC = VP Bài Cho tam giác ABC Gọi M điểm cạnh BC cho MB = 2MC Chứng minh rằng: AM = AB + AC 3 Lời giải 1 Ta có: AM = AC + CM = AC − BC = AC − ( AC − AB ) = AB + AC (đpcm) 3 3 Bài Cho tứ giác ABCD Gọi I , J trung điểm AC BD Chứng minh rằng: AB + CD = 2IJ Lời giải Ta có:   IJ = IA + AB + BJ  IJ = ( IA + IC ) + ( AB + CD) + ( BJ + DJ )  IJ = + AB + CD + = AB + CD   IJ = IC + CD + DJ   (đpcm) Câu 21 [0H1-1] Cho I trung điểm đoạn thẳng AB Với điểm M bất kỳ, ta ln có: A MA + MB = MI B MA + MB = 2MI C MA + MB = 3MI D MA + MB = MI Lời giải Chọn B Áp dụng tính chất trung điểm đoạn thẳng: Với điểm M bất kỳ, ta ln có MA + MB = 2MI Câu 22 [0H1-1] Cho G trọng tâm tam giác ABC Với điểm M , ta ln có: A MA + MB + MC = MG C MA + MB + MC = 3MG B MA + MB + MC = 2MG D MA + MB + MC = 4MG http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word Lời giải Chọn C Áp dụng tính chất trọng tâm tam giác: Với điểm M , ta ln có MA + MB + MC = 3MG Câu 23 [0H1-1] Cho ABC có G trọng tâm, I trung điểm BC Đẳng thức ? A GA = 2GI B IG = − IA C GB + GC = 2GI D GB + GC = GA Lời giải Áp dụng tính chất trung điểm đoạn thẳng, ta có: GB + GC = 2GI Câu 24 [0H1-1] Cho tam giác ABC Gọi M N trung điểm AB AC Trong mệnh đề sau, tìm mệnh đề sai ? A AB = AM B AC = 2CN C BC = −2 NM D CN = − AC Lời giải Chọn D Ta thấy AC CN ngược hướng nên AC = 2CN sai Câu 25 [0H1-1] Cho đoạn thẳng AB M điểm đoạn AB cho MA = AB Trong khẳng định sau, khẳng định sai ? A AM = AB B MA = − MB C MB = −4MA MB = − AB Lời giải Chọn D http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word D 4 Ta thấy MB AB hướng nên MB = − AB sai Câu 26 [0H1-2] Cho hình bình hành ABCD Đẳng thức ? A AC + BD = 2BC B AC + BC = AB C AC − BD = 2CD D AC − AD = CD Lời giải Chọn A Ta có: AC + BD = AB + BC + BC + CD = BC + ( AB + CD) = BC Câu 27 [0H1-2] Cho G trọng tâm tam giác ABC Trong mệnh đề sau, tìm mệnh đề ? A AB + AC = AG B BA + BC = 3BG C CA + CB = CG D AB + AC + BC = Lời giải Chọn B Gọi M trung điểm AC Khi đó: BA + BC = BM = BG = 3BG Câu 28 [0H1-2] Cho hình vng ABCD có tâm O Trong mệnh đề sau, tìm mệnh đề sai ? A AB + AD = AO B AD + DO = − CA C OA + OB = CB D AC + DB = AB Lời giải Chọn D AC + DB = AB + BC + DC + CB = AB + DC = AB http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word Câu 29 [0H1-2] Cho ba điểm phân biệt A, B, C Nếu AB = −3AC đẳng thức ? B BC = −2 AC A BC = −4 AC C BC = AC D BC = AC Lời giải Chọn D Từ đẳng thức: AB = −3AC suy ba điểm A, B, C thẳng hàng; AB AC ngược hướng; AB = 3AC nên BC = AC Câu 30 [0H1-2] Cho G G ' trọng tâm tam giác ABC A ' B ' C ' Khi tổng AA ' + BB ' + CC ' bằng: A GG ' B 3GG ' C 2GG ' D 4GG ' Lời giải Chọn B AA ' + BB ' + CC ' = ( AG + GG ' + G ' A ') + ( BG + GG ' + G ' B ') + (CG + GG ' + G ' C ') = 3GG ' + ( AG + BG + CG ) + (G ' A ' + G ' B ' + G ' C ') = 3GG ' + = Câu 31 [0H1-3] Cho tam giác ABC có trọng tâm G Gọi điểm D, E , F trung điểm cạnh BC , CA AB Trong khẳng định sau, khẳng định ? A AG = AG = 1 AE + AF 2 B AG = 1 AE + AF 3 C AG = 3 AE + AF 2 2 AE + AF 3 Lời giải Chọn D Ta có: AG = ( ) ( ) 2 1 2 AD = AB + AC = AF + AE = AE + AF 3 3 Câu 32 [0H1-3] Cho a  điểm O Gọi M , N hai điểm thỏa mãn OM = 3a ON = −4a Khi đó: A MN = 7a B MN = −5a C MN = −7a D MN = −5a http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word D Lời giải Chọn C Ta có: MN = ON − OM = −4a − 3a = −7a Câu 33 [0H1-3] Trên đường thẳng chứa cạnh BC tam giác ABC lấy điểm M cho MB = 3MC Khi đẳng thức sau ? A AM = − AB + AC 2 B AM = AB + AC C AM = AB − AC D AM = ( AB + AC ) Lời giải Chọn A Gọi I trung điểm BC Khi C trung điểm MI Ta có: 1 AM + AI = AC  AM = − AI + AC = − ( AB + AC ) + AC = − AB + AC 2 Câu 34 [0H1-3] Cho tứ giác ABCD Gọi M , N trung điểm AB CD Khi AC + BD bằng: A MN B 2MN C 3MN D −2MN Lời giải Chọn B   MN = MA + AC + CN Ta có: +    MN = MB + BD + DN  2MN = AC + BD Câu 35 [0H1-3] Cho hình bình hành ABCD tâm O điểm M Khẳng định sau ? A MA + MB + MC + MD = MO B MA + MB + MC + MD = 2MO http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word D MA + MB + MC + MD = 4MO C MA + MB + MC + MD = 3MO Lời giải Chọn D Ta có: MA + MB + MC + MD = ( MA + MC ) + ( MB + MD) = 2MO + 2MO = 4MO Câu 36 [0H1-4] Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O Gọi H trực tâm tam giác Trong khẳng định sau, khẳng định ? A OH = 4OG B OH = 3OG C OH = 2OG D 3OH = OG Lời giải Chọn B Gọi D điểm đối xứng với A qua O Ta có: HA + HD = HO (1) Vì HBDC hình bình hành nên HD = HB + HC (2) Từ (1), (2) suy ra: HA + HB + HC = HO  ( HO + OA) + ( HO + OB) + ( HO + OC ) = HO  3HO + (OA + OB + OC ) = HO  OA + OB + OC = − HO  3OG = OH Câu 37 [0H1-4] Cho tứ giác ABCD Gọi G trọng tâm tam giác ABD , I điểm GC cho IC = 3IG Với điểm M ta ln có MA + MB + MC + MD bằng: A 2MI C 4MI B 3MI D 5MI Lời giải Chọn C http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word Ta có: 3IG = −IC Do G trọng tâm tam giác ABD nên IA + IB + ID = 3IG  IA + IB + ID = −IC  IA + IB + IC + ID = Khi đó: MA + MB + MC + MD = MI + IA + MI + IB + MI + IC + MI + ID = 4MI + ( IA + IB + IC + ID ) = 4MI + = 4MI Câu 38 [0H1-4] Cho tam giác ABC có tâm O Gọi I điểm tùy ý bên tam giác ABC Hạ ID, IE , IF tương ứng vng góc với BC , CA, AB Giả sử ID + IE + IF = a a IO (với b b phân số tối giản) Khi a + b bằng: A B C D Lời giải Chọn A Qua điểm I dựng đoạn MQ / / AB, PS / / BC , NR / / CA Vì ABC tam giác nên tam giác IMN , IPQ, IRS tam giác Suy D, E , F trung điểm MN , PQ, RS Khi đó: ID + IE + IF = 1 1 ( IM + IN ) + ( IP + IQ) + ( IR + IS ) = ( IQ + IR) + ( IM + IS ) + ( IN + IP)  = ( IA + IB + IC ) 2 2 = 3IO = IO  a = 3, b = Do đó: a + b = 2 Câu 39 [0H1-4] Cho tam giác ABC biết AB = 8, AC = 9, BC = 11 Gọi M trung điểm BC N điểm đoạn AC cho AN = x (0  x  9) Hệ thức sau ? http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word 1 x A MN =  −  AC + AB 2 9  x 1 B MN =  −  CA + BA 9 2  x 1 C MN =  +  AC − AB 9 2  x 1 D MN =  −  AC − AB 9 2 Lời giải Chọn D Ta có: MN = AN − AM = x 1  x 1 AC − ( AB + AC ) =  −  AC − AB 2 9 2 Câu 40 [0H1-4] Cho tam giác ABC Gọi G trọng tâm H điểm đối xứng với B qua G Trong khẳng định sau, khẳng định ? A AH = AC − AB 3 C AH = AC + AB 3 B AH = 1 AC − AB 3 D AH = AB − AC 3 Lời giải Chọn A Gọi M , I trung điểm BC AC Ta thấy AHCG hình bình hành nên AH + AG = AC  AH +  AH = AC − ( ( ) 2 AM = AC  AH + AB + AC = AC 3 ) AB + AC  AH = AC − AB 3 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word ... B a − 2b , 2a − b Lời giải Chọn C Ta có: ? ?10 a − 2b = −2.(5a + b )  5a + b ? ?10 a − 2b phương Câu [0H1-2] Cho tam giác ABC có cạnh a Độ dài AB + AC bằng: A 2a B a C a D a Lời giải Chọn C Gọi H... là: A a 14 0 B a 3 21 C a 520 D a 5 41 Lời giải Chọn D Dựng điểm M , N cho: OM = 21 OA, ON = OB Khi đó: 2 a 5 41  21a   5a  u = OM − ON = NM = MN = OM + ON =   +  =     Câu 18 [0H1-4]... 2 Câu [0H1 -1] Khẳng định sai ? http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word A 1. a = a B k a a hướng k  C k a a hướng k  D Hai vectơ a b  phương có số k để a = kb Lời giải