http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải §4 HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT NHIỀU ẨN A TÓM TẮT LÝ THUYẾT Hệ hai phương trình bậc hai ẩn a) Định nghĩa: Hệ phương trình bậc hai ẩn hệ phương trình có dạng ìï a1x + b1 y = c1 ïí ( a12 + b12 ¹ 0, a22 + b22 ¹ 0) ïïỵ a2 x + b2 y = c2 b) Giải biện luận hệ hai phương trình bậc hai ẩn: a b c b a Tính định thức: Dx = 1 , Dy = D= 1 , a2 b2 c2 b2 a2 Xét định thức c1 c2 Kết ỉ Dy ữ D ữ H cú nghim nht ỗỗỗx = x ; y = ÷ è D Dø D0 Dx  Dy  Hệ vô nghiệm D=0 Chú ý: Để giải hệ phương trình bậc hai ẩn ta dùng cách giải biết như: phương pháp thế, phương pháp cộng đại số Hệ phương trình bậc nhiều ẩn Nguyên tắc chung để giải hệ phương trình nhiều ẩn khử bớt ẩn để đưa Dx = Dy = Hệ có vơ số nghiệm phương trình hay hệ phương trình có số ẩn Để khử bớt ẩn, ta dùng phương pháp cộng đại số, phương pháp hệ phương trình bậc hai ẩn B CÁC DẠNG TỐN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI ➢ DẠNG TOÁN 1: GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN, BA ẨN Phương pháp giải • Sử dụng phương pháp cộng đại số, phương pháp thế, dùng định thức Các ví dụ minh họa Ví dụ 1: Tìm số nghiệm hệ phương trình sau http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải ìï 5x - y = a) ïí ïïỵ x - y = A.1 nghiệm B.2 nghiệm C.3 nghiệm D Vô nghiệm B.2 nghiệm C.3 nghiệm D Vô nghiệm B.2 nghiệm C.3 nghiệm D Vô nghiệm B.2 nghiệm C.3 nghiệm D Vơ nghiệm ìï x + y = 11 b) ïí ïïỵ 5x - y = A.1 nghiệm ìï x + y = - ï c) í ïï x + y = ïỵ A.1 nghiệm ìï 3x - y = ï d) í ïï 5x + y = ïỵ A.1 nghiệm Lời giải a) Ta có D = - - = 5, Dy = = 19 = - 17 , Dx = - - ỉD Dy ỉ 19 ÷ ÷ ữ = ỗỗ;Suy h phng trỡnh cú nghim l (x; y) = ỗỗỗ x ; ữ ữ ữ ỗ çè D D ÷ ÷ 17 17 è ø ø b) Ta có D = 11 2 11 = - 52, Dy = = - 13 , Dx = = - 39 - - ỉD Dy ÷ ÷ Suy h phng trỡnh cú nghim l (x; y) = ỗỗỗ x ; ữ= (4; 3) ỗố D D ữ ữ ø c) ) Ta có D = 4 = , Dx = - = - - 20 ¹ http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải Suy hệ phương trình vơ nghiệm d) Ta có D = - = 11 , Dx = - = 2+ 3, Dy = =- ỉD Dy ÷ ỉ 2+ 2ư ÷ ÷ ÷ Suy hệ phương trình cú nghim l (x; y) = ỗỗỗ x ; = ççç ;÷ ÷ ÷ ÷ çè D D ø ÷ çè 11 11ø ÷ Ví dụ 2: Tìm số nghiệm hệ phương trình sau ìï ( x + 3) y - 5) = xy a) ïí ïïỵ ( x - 2)( y + 5) = xy A.1 nghiệm B.2 nghiệm C.3 nghiệm D Vô nghiệm B.2 nghiệm C.3 nghiệm D Vô nghiệm B.2 nghiệm C.3 nghiệm D Vô nghiệm ìï x - y = b) ïí ïï x - y = - ïỵ A.1 nghiệm ìï ïï ï c) ïí ïï ïï ïỵ 3( x + y ) =- x- y 5x - y = y- x A.1 nghiệm Lời giải ìï xy - 5x + y - 15 = xy a) Hệ phương trình tương đương với ïí ïïỵ xy + 5x - y - 10 = xy ìï - 5x + y = 15 Û ïí Û ïïỵ 5x - y = 10 ìï y = 25 ïí Û ïïỵ 5x - y = 10 ìï x = 12 ïí ïïỵ y = 25 Vậy hệ phương trình có nghiệm (x; y) = (12; 25) http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải ìï x - y = ± b) Hệ phương trình tương đương với ïí ïï x - y = - ỵ ìï x - y = (1) Û ïí ïï x - y = - ỵ ìï x - y = - ï (2) í ïï x - y = - ỵ ìï x = - - ìïï x = - - Ta có (1) Û ïí Û í ïï x - y = - ïï y = - - 2 ỵ ïỵ (2) Û ìï x = - + ìïï x = - - ï Û í í ïï x - y = - ï ỵ ïỵï y = - + 2 ( ) ( Vậy hệ phương trình có nghiệm (x; y) - 1- 2; - 1- 2 - 1- 2; - + 2 c) ĐKXĐ: x ¹ y ìï 3( x + y) = - (x - y) ï Hệ phương trình tương đương với í ïï (5x - y) = (y - x) ïỵ ìï 10 x - y = ìï x = (khơng thỏa mãn) Û ïí Û ïí ïïỵ 20 x - y = ïïỵ y = Vậy hệ phương trình vơ nghiệm Ví dụ 3: Tìm số nghiệm hệ phương trình sau ìï ïï ï a) ïí ïï ïï ïỵ + x x = y 10 =1 y A.1 nghiệm B.2 nghiệm C.3 nghiệm D Vô nghiệm ) http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải ìï ïï + = ïï x - y x + y b) í ïï + =- ïï ïỵ x - y x + y A.1 nghiệm B.2 nghiệm C.3 nghiệm D Vô nghiệm B.2 nghiệm C.3 nghiệm D Vô nghiệm B.2 nghiệm C.3 nghiệm D nghiệm ìï x - 2y ïï = ïï y - x + c) í ïï x - 4y = ïï ïỵ y - x + A.1 nghiệm ìï x - + y + = d) ïí ïï x - - y + = ỵ A.1 nghiệm Lời giải ìï x ¹ a) KX: ùớ ùùợ y ỡù ùù u = ï Đặt ïí ïï ïï v = ïỵ x Hệ cho trở thành y ìï ïï ï Ta hệ phương trình: ïí ïï ïï ïỵ = x = y ìï 6u + 5v = ïí Û ïïỵ 9u - 10v = 1 Û ìï ïï u = ï í ï ïïï v = ïỵ ïìï x = (thỏa mãn) í ïỵï y = Vậy hệ phương trình có nghiệm (x; y) = (3; 5) http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải ìï x - y ¹ ìï x ¹ b) KX: ùớ ùớ ùùợ x + y ùùợ y ỡù ùù u = ï x - 2y Đặt ïí Hệ cho trở thành ïï ïï v = x + 2y ïỵ ìï ïï u = ìï 6u + 2v = ï ïí Û í ïïỵ 3u + 4v = - ïï ïï v = ïỵ ìï ìï ïï = ïï x - y = ïï x - y ï Û Û í Ta hệ phương trình: í ïï ïï ïï - = ïï x + y = ïỵ x + y ïỵ ìï ïï x = ï í ïï ïï y = ïỵ 70 (thỏa mãn) 87 140 ỉ3 87 ÷ Vậy hệ phương trình có nghiệm l (x; y) = ỗỗ ; ữ ỗố70 140 ÷ ø ìï x ¹ - c) ĐKXĐ: ïí ùùợ y ỡù ùù u = x - ï y- Đặt ïí Hệ cho trở thành ïï y ïï v = x+ ïỵ ì ìï 3u - v = ïïï u = ïí Û í ïïỵ 2u - v = ïï v = ïỵ ìï x - ïï = ïï y - Û Ta hệ phương trình: í ïï y = ïï ïỵ x + ìï x - y = - Û íï ïïỵ x - y = - ìï x = ïï í ïï y = ïỵ ỉ 1ư Vậy hệ phương trình có nghiệm (x; y) = ỗỗ0; ữ ữ ữ ỗố ứ ỡù u = x - , u ³ 0, v ³ , hệ phương trình trở thành d) Đặt ïí ïï v = y + ỵ ìï 2u + 3v = ïí Û ïïỵ 5u - 4v = ìï u = ïí ïïỵ v = http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải ìï éx = ïï ê ìï = x - ì ï x - = ± ïïï êëx = Thay vào ta có ïí Û ïí Û í ïï = y + ïïỵ y + = ± ïï é y = ỵ ïï ê ïïỵ êëy = - Vậy hệ phương trình có nghiệm (x; y) (7; 0), (7; - 2), (5; 0), (5; - 2) ïìï 3x + y - 3z = (1) ï (2) Ví dụ 4: Tìm số nghiệm hệ phương trình sau ïí x - y + z = ïï ïïỵ - x + y + z = (3) A.1 nghiệm B.2 nghiệm C.3 nghiệm D Vô nghiệm Lời giải Cách 1(Phương pháp cộng đại số): Hệ phương trình tương đương với ìï y + 3z = 10 ïï ïí y + z = Û ïï ïïỵ - x + y + z = ìï 25z = 25 ïï ïí y + z = Û ïï ïïỵ - x + y + z = ìï x = ï ïíï y = ïï ïïỵ z = Vậy hệ phương trình có nghiệm (x; y ; z) = (1;1;1) Cách 2(Phương pháp thế): Ta có (2) Û x = y - 2z + vào (1) ta (y - 2z + 2)+ y - 3z = Û y - 9z = - (*) (3) Û x = y + z - vào (1) ta (2 y + z - 3)+ y - 3z = Û 3z = 10 - y vào (*) ta y - (10 - y) = - Û y = Þ x = z = Vậy hệ phương trình có nghiệm (x; y ; z) = (1;1;1) Bài tập luyện tập Bài 3.45: Tìm số nghiệm hệ phương trình sau http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải ìï 3x - y = a) ïí ïïỵ x - y = A.1 nghiệm B.2 nghiệm C.3 nghiệm D Vô nghiệm B.2 nghiệm C.3 nghiệm D Vơ nghiệm ìï ( + 1)x + y = - ï b) ïí ïï x - ( - 1) y = 2 ïỵ A.1 nghiệm ìï ïï ï c) í ïï ïï ïỵ x+ x2 y = 16 3 y = 11 A.1 nghiệm Bài 3.45: a) Vô nghiệm B.2 nghiệm C.3 nghiệm D Vô nghiệm b) (x; y) = (1; - 2) ổ 136 1905 ữ ;c) (x; y) = ỗỗữ ữ ỗố 73 73 ứ Bi 3.46: Tỡm s nghim hệ phương trình sau ìï x + y - z = ïï a) ïí x - y + z = ïï ïïỵ x - y = A.1 nghiệm B.2 nghiệm C.3 nghiệm D Vô nghiệm B.2 nghiệm C.3 nghiệm D Vô nghiệm ìï 3x + y - z = ïï b) ïí x - y + z = ïï ïïỵ x - y - 3z = A.1 nghiệm ìï x + y + z = ïï c) ïí x + y + z = ïï ïïỵ x + y + z = http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải A.1 nghiệm B.2 nghiệm C.3 nghiệm B.2 nghiệm C.3 nghiệm D Vô nghiệm ìï x - y + z = - ïï d) ïí - x + y + z = ïï ïïỵ x + y - z = A.1 nghiệm ìï x + y - 3z = ïï Bài 3.46: a) ïí x - y + z = Û ïï ïïỵ x - y = b) (x; y ; z) = (1; - 1;1) ìï x = + y ïï ïí + y + y - z = Û ïï ïïỵ + y - y + z = c) (x; y ; z) = (0; - 4;10) ìï x = + y ïï ïí y - z = Û ïï ïïỵ y + z = D Vơ nghiệm ìï x = ïï ïí y = ïï ïïỵ z = ỉ11 d) (x; y; z) = ỗỗ ; ; - ữ ữ ữ çè14 ø Bài 3.47: Tìm số nghiệm phương trình sau ìï x + y = a) ïí ïïỵ 3x - y = A.1 nghiệm ìï 1 ïï + = ïï x + y x - y b) í ïï 1 = ïï ïỵ x - y x + y B.2 nghiệm C.3 nghiệm D Vô nghiệm B.2 nghiệm C.3 nghiệm D Vô nghiệm B.2 nghiệm C.3 nghiệm D nghiệm 8 A.1 nghiệm ìï x + y - x - y = c) ïí ïï x + y + x - y = 17 î A.1 nghiệm ìï x + y + x - y = d) ïí ïï x + y - x - y = ỵ http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải A.1 nghiệm B.2 nghiệm ìï x + y = Bài 3.47: a) ïí Û ïïỵ 3x - y = b) ĐKXĐ: x ¹ ± y , đặt ìï 3x + 15 y = 21 ïí Û ïïỵ 3x - y = C.3 nghiệm ìï 17 y = 17 ïí Û ïïỵ 3x - y = D Vơ nghiệm ìï y = ïí ïïỵ x = 1 = u; = v x+ y x- y ìï ïï u + v = ï Û Khi đó, có hệ í ïï ïï - u + v = ïỵ ìï 2v = ïï Û í ïï u + v = ïỵ ìï ïï v = ï í ïï ïï u = ïỵ ìï x + y = ìï x = Thay trở lại, ta được: ïí Û ïí ïïỵ x - y = ïïỵ y = c) (- 3; - 2), (- 2; - 3), (2; 3), (3; 2) d) (- 1; - 1), (1;1) ➢ DẠNG TOÁN 2: GIẢI VÀ BIỆN LUẬN HỆ HAI PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN Phương pháp giải Sử dụng định thức: Tính D , Dx , Dy ỉD Dy ÷ ÷ · Nếu D ¹ hệ có nghiệm (x; y) = ỗỗỗ x ; ốD Dữ ứ ã Nu D = ta xét Dx , Dy éDx ¹ Với êê phương trình vơ nghiệm êëDy ¹ Với Dx = Dy = hệ phương trình có vơ số nghiệm tập nghiệm hệ phương trình tập nghiệm hai phương trình có hệ Các ví dụ minh họa ìï mx - y = 2m Ví dụ 1: Giải biện luận hệ phương trình: ïí ïïỵ x - my = m + http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải A m ¹ m ¹ - hệ phương trình có nghiệm ỉ2m + m ữ nht (x; y) = ỗỗ ;ữ ữ çè + m m + 1ø B m = hệ phương trình có nghiệm (x; y) = (t ; 2t - 4), t Ỵ R C m = - hệ phương trình vơ nghiệm D.Cả A, B, C Lời giải Ta có D = m - = - m2 = (2 - m)(2 + m) - m Dx = 2m - = - 2m2 + m + = (2 - m)(2m + 3) m+ - m Dy = m 2m = m2 - 2m = m (m - 2) m+ ỡù m Với D ¹ Û ïí : Hệ phương trình cú nghim nht ùùợ m - ổD Dy ữ ổ2m + m ữ ỗỗ x ; ữ x ; y = = ỗỗ ;ữ ( ) ỗ ữ ữ ữ ỗố D D ứ ữ ỗố + m m + 1ứ Với D=0 Û m = ± : + Khi m = ta có D = Dx = Dy = nên hệ phương trình có nghiệm nghiệm phương trình 2x - y = Û y = 2x - Do hệ phương trình có nghiệm (x; y) = (t ; 2t - 4), t Ỵ R + Khi m = - ta có D = 0, Dx ¹ nên hệ phương trình vơ nghiệm Kết luận ỉ2m + m ữ ;m v m - hệ phương trình có nghiệm (x; y) = çç ÷ ÷ çè + m m + 1ø http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải m = hệ phương trình có nghiệm (x; y) = (t ; 2t - 4), t Ỵ R m = - hệ phương trình vơ nghiệm ìï a (x - 1)+ by = ï Ví dụ 2: Giải biện luận hệ phương trình sau: í ïï b (x - 1)+ ay = ïỵ ỉa + b + 1 ữ ; A a b v a ¹ - b hệ phương trình có nghiệm nht (x; y) = ỗỗ ữ ỗố a + b a + b ÷ ø ỉ - at + a + B a = b ¹ hệ phương trình cú nghim l (x; y) = ỗỗt ; ỗố a 1ư ÷ ÷ ÷ ø C a = - b hệ phương trình vơ nghiệm D Cả A, B, C Lời giải ìï ax - a + by = ìï ax + by = a + Hệ tương đương: ïí Û ïí ïïỵ bx - b + ay = ïïỵ bx + ay = b + Ta có: D = Dx = a b = a2 - b2 = (a - b)(a + b) b a a+ b a a+ = (a - b)(a + b + 1), Dy = = a- b b+ a b b+ ìï a ¹ b TH1: Vi D a2 - b2 ùớ ùùợ a - b Dy (a - b)(a + b + 1) D ; y= = Hệ có nghiệm (x; y) x = x = D D a+ b (a - b)(a + b) • TH2: Với D = Û a2 - b2 = Û a = ± b : + Khi a = b ta có D = 0; Dx = 0; Dy = hệ phương trình có nghiệm nghiệm phương trình a (x - 1)+ ay = hay ax + ay = a + (*) http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải Nếu a = phương trình (*) vơ nghiệm, a ¹ (*) Û y = æ - at + a + Vì hệ phương trỡnh cú nghim dng (x; y) = ỗỗt ; ỗố a - ax + a + a 1ư ÷ ÷ ÷ ø + Khi a = - b ta có D = 0; Dy = - 2b Nếu b ¹ Þ D = 0; Dy ¹ suy hệ phương trình vơ nghiệm ìï 0.x + 0.y = Nếu a = b = : Hệ phng trỡnh tr thnh ùớ ị h vụ nghim ùùợ 0.x + 0.y = Kết luận æa + b + 1 ữ ; a b v a ¹ - b hệ phương trình có nghiệm nht (x; y) = ỗỗ ữ ỗố a + b a + b ÷ ø ỉ - at + a + a = b ¹ hệ phương trình có nghim l (x; y) = ỗỗt ; ỗố a 1ử ÷ ÷ ÷ ø a = - b hệ phương trình vơ nghiệm ìï 2m2 x + (m - 1)y = ï Ví dụ 3: Tìm m để hệ vơ nghiệm í ïï m (x + y)- y = ïỵ A m = m = B m = m = C m = m = D m = m = Lời giải ìï 2m2 x + (m - 1)y = ï Hệ phương trình tương đương với í ïï mx + (m - 2)y = ïỵ http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải Ta có D = Dx = 2m2 m 3( m - 1) = m - m + 3m m- 3( m - 1) 2m2 = - 3m ; D y = m- m = m - 3m Hệ cho vô nghiệm xảy hai trường hợp sau ìï D = Û TH1: ùớ ùùợ Dx ỡù m3 - m2 + 3m = ïí ï ỵï - 3m ¹ ìï m (2 m2 - m + 3) = Û ïí Û 2m2 - m + = ùù m ùợ ém = ê ê êm = êë ìï ém = ïï ê ïï êm = ïï ê ïï êê ïï êm = ìï m3 - m2 + 3m = ïï ë ìï D = ï ï ï Û í TH2: í Û í m¹ Û ïï Dy ¹ ùù m2 - 3m ùù ợ î ïï ïï m ¹ ïï ïï ïï ïïỵ Vậy hệ vơ nghiệm m = m = ém = ê ê êm = êë 2 ìï x + 2ay = b Ví dụ 4: Tìm giá trị b cho với a hệ phương trình ïí ïï ax + (1 - a) y = b2 ỵ có nghiệm A b = Lời giải B b = C b = D b = http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải Ta có: D = 2a = - a - 2a a 1- a ỡù a - ù ị D Û a + a - ¹ Û ùớ ùù a ùợ 2 ỡù a ¹ - ï Suy ïí hệ phương trỡnh cú nghim ùù a ùợ ỡù x - y = b Khi a = - , hệ trở thành: ïí , ïï x - y = - b2 ỵ éb = Hệ có nghiệm Û b = - b2 Û b + b2 = Û ê êb = - ë Khi a = ìï x + y = b ïí ïï x + y = 2b ỵ , hệ trở thành é b= ê Hệ có nghiệm Û b = 2b Û ê êb = - êë 2 ìï é b = ïï ê ïï êb = - ïë Vậy hệ có nghiệm với a Ỵ ¡ ïí é b = Û b = ïï ê ïï ê ïï êb = ê ïỵ ë Ví dụ 4: Tùy vào m tìm giá trị lớn nhỏ biểu thức sau: 2 P (x; y) = (x + 2my + 1) + (mx + y) A Vậy m ¹ ± P (x; y) = , m = ± P (x; y) = B Vậy m ¹ ± P (x; y) = , m = ± P (x; y) = http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải C Vậy m ¹ ± P (x; y) = - , m = ± P (x; y) = D Vậy m ¹ ± P (x; y) = , m = ± P (x; y) = Lời giải ìï x + 2my + = Ta có P (x; y) ³ , dấu xảy ïí (*) ïïỵ mx + y = D= 2m = - m2 m Nếu D ¹ Û - 2m2 ¹ Û m ¹ ± hệ phương trình (*) có nghiệm P (x; y) = ém= Nếu D = Û ê êm = - ë 2 Với m = ta có P (x; y) = (x + y + 1) + (x + y) = (x + y) + (x + y)+ ỉ 1ư 1 Þ P (x; y) = ççx + y + ÷ ÷+ ³ çè 2÷ ø 2 Suy P (x; y) = 1 Û x + 2y + = 2 2 Với m = - ta có P (x; y) = (x - y + 1) + (- x + y) = (x - y) + (x - y)+ ỉ 1ư 1 Þ P (x; y) = ỗỗx - y + ữ ữ+ ỗố 2÷ ø 2 Suy P (x; y) = 1 Û x - 2y + = 2 Vậy m ¹ ± P (x; y) = , m = ± P (x; y) = Bài tập luyện tập http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải Bài 3.48: Giải biện luận hệ phương trình sau: ìï mx + y = 2m a) ïí ïïỵ x + y = A m ¹ hệ phương trình có nghiệm x = Dy Dx 2m - m = ;y= = D m- D m- B m = Þ Dx = - ị h phng trỡnh vụ nghim C.C A, B D.Cả A, B sai ìï ( m + 1)x - y = m - b) ïí ïï m x - y = m2 + 2m ợ A m v m ¹ - B m = - hệ phương trình có nghiệm (x; y) = hệ phương trình có nghiệm (x; y) = (4t - 1; t ), t Ỵ R C m = hệ phương trình vơ nghiệm D.Cả A, B, C Bài 3.48: a) Từ hệ phương trình ta có: D = Dx = 2m = m.1 - 3.2 = m - Dy = m 2m = m.3 - 1.2 m = 3m - m = m · Nếu D ¹ Û m–2 ¹ Û m ¹ ổm + 2m ữ ỗỗ ; ữ ữ ỗố m - m - 1ứ m = m.1- 1.2 = m - 1 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải Suy hệ phương trình có nghiệm nhất: x = · Nếu D = Û m = Þ b) Ta có D = Dy Dx 2m - m = ;y= = D m- D m- Dx = - ¹ Þ hệ phương trình vơ nghiệm m+ - = 2m2 - m - = (m - 1)(2m + 1) m - Dx = m- - = 2m2 + 3m + = (m + 1)(2m + 1) m + 2m - Dy = m+ m- = (m + 1)(m2 + 2m)- m2 (m - 1) = 2m (2m + 1) 2 m m + 2m • • ìï m ¹ ï Với D ¹ Û ïí : Hệ phương trình có nghiệm ùù m - ùợ ổD D ỉm + 2m ÷ ; ÷ (x; y) = ỗỗỗ x ; y ữữữữ= ỗỗỗ ữ ỗố D D ø ÷ è m - m - 1ø é m= ê Với D = Û ê : êm = - êë ta có D = Dx = Dy = nên hệ phương trình có nghiệm nghiệm 1 phương trình x - y = - Û x = y - Do hệ phương trình có nghiệm 2 + Khi m = - (x; y) = (4t - 1; t ), t Ỵ R + Khi m = ta có D = 0, Dx ¹ nên hệ phương trình vơ nghiệm Kết luận: m ¹ m ¹ - m= - hệ phương trình có nghiệm (x; y) = hệ phương trình có nghiệm m = hệ phương trình vơ nghiệm (x; y) = (4t - 1; t ), t Ỵ R ổm + 2m ữ ỗỗ ; ữ ữ ỗố m - m - 1ứ http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải ìï ( m + 1)x + y = 4m Bài 3.49: Tìm m để hệ phương trình ïí có nghiệm ïïỵ mx + ( m + 3) y = 3m - A m ¹ m ¹ Bài 3.49: Ta có: D = B m ¹ C m ¹ D m ¹ m ¹ m+ = ( m + 1)( m + 3) - m = m2 - m + m+ m Hệ cho có nghiệm Û D ¹ Û m2 - 4m + ¹ Û m ¹ m ¹ ìï - x + my = m + Bài 3.50: Tìm m để hệ phương trình ïí có vơ số nghiệm: ïï (m + 6)x + y = m + ỵ A m = - B m = - C m = - D m = - Bài 3.50: Ta có: D = - - m (m + 6) = - m2 - m - Dx = (m + 1)- m (m + 3) = - m2 - m + Dy = - (m + 3)- (m + 1)(m + 6) = - m2 - 11m - 18 ìï - m2 - 6m - = ìï D = ïï ïï ï Hệ có vơ số nghiệm Û í Dx = Û ïí - m2 - m + = Û m= - ïï ïï ïï Dy = ïï - m2 - 11m - 18 = ỵ ỵ Vậy hệ có vơ số nghiệm m = - Bài 3.51: Tùy theo giá trị m , tìm giá trị nhỏ biểu thức : 2 P (x; y) = (mx + y - 2m) + (x + y - 3) A m ¹ P (x; y) = , B m = P (x; y) = C.Cả A, B D.Cả A, B sai http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải ìï mx + y - 2m = Bài 3.51: Ta có P (x; y) ³ , dấu xảy ïí (*) ïïỵ x + y - = D= m = m- 1 Nếu D ¹ Û m ¹ hệ phương trình (*) có nghiệm P (x; y) = Nếu D = Û m = ta có 2 P (x; y) = (2 x + y - 4) + (x + y - 3) = (x + y) - 22 (x + y)+ 25 ổ 4 11ữ ị P (x; y) = ỗỗx + y + ữ ỗố 5ữ ø 5 Suy P (x; y) = 11 Û x+ y=0 5 Vậy m ¹ P (x; y) = , m = P (x; y) = ìï (2m + 1)x - y = 3m - Bài 3.52: Cho hệ phương trình: ïí ïïỵ ( m + 3)x - ( m + 1) y = 2m a) Tìm m để hệ có nghiệm A m ¹ - B m = C m ¹ - D m ¹ - b) Tìm m để hệ có nghiệm (x;y) thỏa mãn x ³ 2y éìï m ³ - ờùớ A ờờùùợ m ờm < - ờở ộỡù m ờùớ B ờờợùù m êm < - êë éìï m ³ - ờùớ C ờờùùợ m ờm < - êë éìï m ³ êïí D êêỵïï m ¹ êm < - êë c) Tìm m để hệ có nghiệm (x;y) cho P = x2 + 3y2 nhỏ http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải A m = B m = C m = D m = Bài 3.52: Ta có: D = - 2( m - 2)( m + 2) ; Dx = ( m - 2)(1 - 3m) ; Dy = ( m - 2)( m + 3) ïì D = a) Ta có hệ vơ nghiệm Û ïí Û m= - ùù Dx + Dy2 ợ Vậy hệ có nghiêm Û m ¹ - ìï ïï x = 3m - ï 2( m + 2) b) Hệ có nghiệm Û m ¹ ± ïí ïï m+ ïï y = 2( m + 2) ïỵ 3m - 2( m + 3) 5m + Þ x ³ 2y Û ³ Û ³ 0Û 2( m + 2) 2( m + 2) m+ éìï m ³ - ờùớ ờù m ờợù ờm < - êë c) Hệ có nghiệm Û m ¹ ± P = x2 + 3y = 3m + 3m + Û (3 - P)m2 + (3 - P)m + - P = (1) m + 4m + * P = (1) có nghiệm m = - * P ị (1) có nghiệm Û D = 52P - 75 ³ Û P ³ Đẳng thức xảy m = Vậy P nhỏ Û m = 75 52 75 MinP = 52 ìï m x + + y = m + ï Bài 3.53: Giải biện luận hệ: ïí ïï x + + m y = ïỵ http://dethithpt.com – Website chun đề thi, tài liệu file word có lời giải ìï x + = u ï (u, v > 0) Bài 3.53: Đặt: í ïï y = v ïỵ ìï mu + v = m + Khi hệ có dạng: ïí ùùợ ux + mv = ổm ữ ữ Ta cú: D = ỗỗỗ = m2 - ữ ỗố mữ ứ ổm + 1 ữ ữ Du = ỗỗỗ = m2 + m - 2; Dv = ữ ữ ỗố mứ ổm am + 1ử ữ ỗỗ ữ = m- ữ ỗốỗ ữ ứ ã Nu D m2 - ¹ Û m ¹ ± Hệ có nghiệm u = m+ v = m+ m+ ìï m + ïï ³ ïï m + Vì điều kiện u, v > nên ta có : í Û m> - ïï ³ ïï ïỵ m + ìï ïï x + = m + ï m+ Û Khi ta được: ïí ïï ïï y = m+ ïỵ ìï ïï x = 2m + ïï ( m + 1)2 í ïï ïï y = ( m + 1)2 ïỵ ém = · Nếu D = Û m2 - = Û ê êm = - ë Với m = Þ Du = Dv = , hệ có vơ số nghiệm thoả Vi m = - ị Du = , hệ vô nghiệm x+ 1+ y= ... = D m- D m- Dx = - ị hệ phương trình vơ nghiệm m+ - = 2m2 - m - = (m - 1)(2m + 1) m - Dx = m- - = 2m2 + 3m + = (m + 1)(2m + 1) m + 2m - Dy = m+ m- = (m + 1)(m2 + 2m )- m2 (m - 1) = 2m (2m + 1)... m = - D m = - Bài 3.50: Ta có: D = - - m (m + 6) = - m2 - m - Dx = (m + 1 )- m (m + 3) = - m2 - m + Dy = - (m + 3 )- (m + 1)(m + 6) = - m2 - 11m - 18 ìï - m2 - 6m - = ìï D = ïï ïï ï Hệ có vơ số... x - y = - ïï y = - - 2 ỵ ïỵ (2) Û ìï x = - + ìïï x = - - ï Û í í ïï x - y = - ï ỵ ïỵï y = - + 2 ( ) ( Vậy hệ phương trình có nghiệm (x; y) - 1- 2; - 1- 2 - 1- 2; - + 2 c) ĐKXĐ: x ¹ y ìï 3( x +