Câu 1: Một công ty muốn làm đường ống dẫn từ điểm A bờ đến điểm B đảo Hòn đảo cách bờ biển 6km Giá để xây đường ống bờ 50.000USD km, 130.000USD km để xây nước B’ điểm bờ biển cho BB’ vuông góc với bờ biển Khoảng cách từ A đến B’ 9km Vị trí C đoạn AB’ cho nối ống theo ACB số tiền Khi C cách A đoạn bằng: A 6,5km B 6km C 0km D 9km Hướng dẫn giải: Đặt x = B’C (km); x   0;9 BC = x2 + 36;AC = − x Chi phí xây dựng đường ống C(x) = 130.000 x + 36 + 50.000(9 − x) (USD)  13  Hàm C(x) xác định liên tục  0;9 C'(x) = 10000. − 5  x + 36  C'(x) =  13x = x + 36  169x = 25(x + 36)  x = 25 x=  5 C(0) = 1.230.000;C  = 1.170.000;C(9)  1.406.165  2 Vậy chi phí thấp nhấp x = 2,5 Vậy C cần cách A khoảng 6,5km Câu 2: Một hải đăng đặt vị trí A có khoảng cách đến bờ biển AB = 5km Trên bờ biển có kho vị trí C cách B khoảng 7km Người canh hải đăng chèo đò từ A đến M bờ biển với vận tốc 4km/h đến C với vận tốc 6km/h Vị trí điểm M cách B khoảng để người đến kho nhanh nhất? A 0km C km B 7km D 14 + 5 km 12 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word Hướng dẫn giải: Đặt BM = x(km) suy MC = – x (km), (0 < x < 7) Ta có: Thời gian chèo đò từ A đến M là: t AM = Thời gian từ M đến C là: t MC = Thời gian từ A đến kho t = Khi đó: t ' = x x + 25 − x + 25 (h) 7− x (h) x + 25 − x + , cho t ' =  x = Lập bảng biến thiên, ta thấy thời gian đến kho nhanh x = km Câu 3: Đường dây điện 110KV kéo từ trạm phát (điểm A) đất liền Côn Đảo (điểm C) Biết khoảng cách ngắn từ B đến C 60km, khoảng cách từ A đến B 100km, km dây điện nước chi phí 5000USD, chi phí cho km dây điện bờ 3000USD Hỏi điểm G cách A để mắc dây điện từ A đến G từ G đến C chi phí A 40km B 45km C 55km Hướng dẫn giải: Gọi BG = x (0 < x < 100) suy AG = 100 – x Ta có: GC = BC2 + BG2 = x2 + 3600 Chi phí mắc dây điện: f (x) = 3000(100 − x) + 5000 x + 3600 Khảo sát hàm ta x = 45 Chọn B Câu 4: Một ảnh hình chữ nhật cao 1, 4m đặt độ cao 1,8m so với tầm mắt (tính từ đầu mép hình) Để nhìn rõ phải xác định vị trí đứng cho góc nhìn lớn Hãy xác định vị trí đó? (BOC gọi góc nhìn) A AO = 2,4m B AO = 2m C AO = 2,6m D AO = 3m http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word Hướng dẫn giải: Với toán ta cần xác định OA để góc BOC lớn Điều xảy tanBOC lớn Đặt OA = x(m) với x > Ta có tanBOC = tan(AOC – AOB) = tanAOC− tanAOB 1+ tanAOC.tanAOB AC AB 1,4 − 1,4 x = OA OA = = AC.AB 3,2.1,8 x + 5,76 1+ 1+ OA x2 Xét hàm số f(x) = 1,4 x + 5,76 Bài tốn trở thành tìm x > để f(x) đạt giá trị lớn Ta có: −1,4x + 1,4.5,76 f '(x) = ;f '(x) =  x = 2,4 (x + 5,76)2 Ta có bảng biến thiên: Vậy vị trí đứng cho góc nhìn lớn cách ảnh 2,4m Câu 5: Từ cảng A dọc theo đường sắt AB cần phải xác định trạm trung chuyển hàng hóa C xây dựng đường sắt từ C đến D Biết vận tốc đường sắt v1 đường là v2 (v1 < v2) Hãy xác định vị trí chọn địa điểm C để thời gian vận chuyển hàng từ cảng A đến cảng D ngắn nhất? http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word Hướng dẫn giải: Gọi t thời gian vận chuyển hàng hóa từ cảng A đến cảng D Thời gian t là: t = AC CD AE − CE CD + = + = v1 v2 v1 v2 Xét hàm số t() = − h h h tan  + sin  = − h.cot  − v1 v2 v1 v2 sin  − h.cot  h − v1 v sin  Ứng dụng đạo hàm ta t( ) nhỏ cos= Vậy để t nhỏ ta chọn C cho cos= v2 v1 v2 v1 Câu 6: Hai tàu vĩ tuyến cách hải lý Đồng thời hai tàu khởi hành chạy hướng Nam với hải lý / tàu chạy vị trí tàu thứ với vận tốc hải lý / Hãy xác định mà thời điểm mà khoảng cách hai tàu lớn nhất? Hướng dẫn giải: Tại thời điểm t sau xuất phát, khoảng cách hai tàu d Ta có: d2 = AB12 + AA12 = (5 – BB1)2 + AA12 = (5 – 7.t)2 + (6t)2 Suy d = d(t) = 85t − 70t + 25 Áp dụng đạo hàm ta d nhỏ t = (h) , đí ta có t 17 = 3,25 hải lý Câu 7: Cho hình chữ nhật có diện tích 100(cm2) Hỏi kích thước để chu vi nhỏ nhất? A 10cmx10cm B 20cmx5cm C.25cmx4cm D Đáp án khác Hướng dẫn giải: Gọi chiều dài chiều rộng hình chữ nhật x(cm) y(cm) (x, y > 0) Chu vi hình chữ nhật là: P = 2(x + y) = 2x + 2y http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word Theo đề xy = 100 hay y = Do P = 2(x + y) = 2x + Đạo hàm: P'(x) = − 100 x 200 (x  0) x 200 2x − 200 = x2 x2 Cho y' =  x = 10 Lập bảng biến thiên ta Pmin = 40 x = 10 suy y = 10 Câu 8: Một lão nông chia đất cho trai để người canh tác riêng, biết người chọn miếng đất hình chữ nhật có chu vi 800(m) Hỏi chọn kích thước để diện tích canh tác lớn nhất? A 200mx200m B 300mx100m C 250mx150m D Đáp án khác Hướng dẫn giải: Gọi chiều dài chiều rộng miếng đất là: x(m) y(m) (x, y > 0) Diện tích miếng đất S = xy Theo đề thì: 2(x + y) = 800 hay y = 400 – x Do đó: S = x(400 – x) = - x2 + 400x với x > Đạo hàm: S’(x) = -2x + 400 Cho y’ = suy x = 200 Lập bảng biến thiên ta được: Smax = 40000 x = 200 suy y = 200 Câu 9: Người ta muốn rào quanh khu đất với số vật liệu cho nước ta 180 mét thẳng hàng rào Ở người ta tận dụng bờ giậu có sẵn để làm cạnh hàng rào rào thành mảnh đất hình chữ nhật Hỏi mảnh đất hình chữ nhật rào có diện tích lớn bao nhiêu? A Smax = 3600m2 B Smax = 4000m2 C Smax = 8100m2 D Smax = 4050m2 Hướng dẫn giải: Gọi x chiều dài cạnh song song với bờ giậu y chiều dài cạnh vng góc với bờ giậu, theo ta có: x + 2y = 180 Diện tích miếng đất S = y(180 – 2y) 1 ( 2y + 180 − 2y ) 1802 Ta có: y(180 − 2y) = 2y(180 − 2y)  = = 4050 2 Dấu “=” xảy 2y = 180 – 2y suy y = 45m ©Vậy Smax = 4050m2 x = 90m; y = 45m Câu 10: Trong lĩnh vực thủy lợi, cần phải xây dựng http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word nhiều mương dẫn nước dạng “Thủy động học” (ký hiệu diên tích tiết diện ngang mương S, độ dài đường biên giới hạn tiết diện này, đặc trưng cho khả thấm nước mương; mương gọi có dạng thủy động học với S xác định, nhỏ nhất) Cần xác định kích thước mương dẫn có dạng thủy động học? (nếu mương dẫn nước có tiết diện ngang hình chữ nhật) A x = 4S;y = S B x = 4S;y = S C x = 2S;y = S D x = 2S;y = S Hướng dẫn giải: Gọi x, y chiều rộng, chiều cao mương Theo ta có: S = xy = 2y + x = 2S +x x Xét hàm số (x) = −2S 2S x − 2S + x Ta có: '(x) = + = x x x2 '(x) =  x − 2S =  x = 2S  y = S S = x Dễ thấy với x, y mương có dạng thủy động học, kích thước mương x = 2S;y = S mương có dạng thủy động học Câu 11: Trong lĩnh vực thủy lợi, cần phải xây dựng nhiều mương dẫn nước dạng “Thủy động học” (ký hiệu diên tích tiết diện ngang mương S, độ dài đường biên giới hạn tiết diện này, đặc trưng cho khả thấm nước mương; mương gọi có dạng thủy động học với S xác định, nhỏ nhất) Cần xác định kích thước mương dẫn có dạng thủy động học? (nếu mương dẫn nước có tiết diện ngang hình chữ nhật) B x = 4S;y = S B x = 4S;y = S C x = 2S;y = S D x = 2S;y = Hướng dẫn giải: Gọi x, y chiều rộng, chiều cao mương Theo ta có: S = xy http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word S = 2y + x = 2S +x x Xét hàm số (x) = −2S 2S x − 2S + x Ta có: '(x) = + = x x x2 '(x) =  x − 2S =  x = 2S  y = S S = x Dễ thấy với x, y mương có dạng thủy động học, kích thước mương x = 2S;y = S mương có dạng thủy động học Câu 12: Người ta muốn làm cánh diều hình quạt cho với chu vi cho trước a cho diện tích hình quạt cực đại Dạng quạt phải nào? a a A x = ;y = a a C x = ;y = 3 a a B x = ;y = 3 D Đáp án khác Hướng dẫn giải: Gọi x bán kính hình quạt, y độ dài cung tròn Ta có chu vi cánh diều a = 2x + y Ta cần tìm mối liên hệ độ dài cung tròn y bán kính x cho diện tích hình quạt lớn Dựa vào cơng thức tính diện tích hình quạt S = hình quạt là: S = S= R  độ dài cung tròn 360 = 2R , ta có: diên tích 360 R Vận dụng tốn diện tích cánh diều là: xy x(a − 2x) = = 2x(a − 2x) 2 Dễ thấy S cực đại  2x = a − 2x  x = a a y= Như với chu vi cho trước, diện tích hình quạt cực đại bán kính nửa độ dài cung tròn http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word Câu 13: Có gỗ hình vng cạnh 200m Cắt gỗ hình tam giác vng, có tổng cạnh góc vng cạnh huyền số 120cm từ gỗ cho gỗ hình tam giác vng lớn Hỏi cạnh huyền gỗ bao nhiêu? A 40cm B 40 3cm C 80cm D 40 2cm Hướng dẫn giải: Kí hiệu cạnh góc vng AB = x, < x < 60 Khi cạnh huyền BC = 120 – x, cạnh góc vng là: AC = BC2 − AB2 = 1202 − 240x Diện tích tam giác ABC là: S(x) = x 1202 − 240x Ta tìm giá trị lớn hàm số khoảng (0; 60) Ta có: S'(x) = 1 −240 14400 − 360x 1202 − 240x + x =  S'(x) =  x = 40 2 1202 − 240x 1202 − 240x Lập bảng biến thiên ta có: Tam giác ABC có diện tích lớn BC = 80 Chọn C Câu 14: Tìm diện tích lớn hình chữ nhật nội tiếp nửa đường tròn bán kính 10cm, biết cạnh hình chữ nhật nằm dọc đường kính đường tròn A 80cm2 B 100cm2 C 160cm2 D 200cm2 Hướng dẫn giải: http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word Gọi x(cm) độ dài cạnh hình chữ nhật khơng nằm dọc theo đường kính đường tròn < x < 10 Khi độ dài cạnh hình chữ nhật nằm dọc đường tròn là: 102 − x (cm) Diện tích hình chữ nhật: S = 2x 102 − x2 Ta có: S' = 10 − x − 2 2x 10 − x 2 = 2.102 − 4x  10 x = S' =    10 (loai) x = −   10  S'' = −8x  S''   = −40     Suy x = 10 điểm cực đại S(x) 102 = 100cm2 Vậy diện tích lớn hình chữ nhật là: S = 10 10 − 2 Câu 15: Một máy tính lập trình để vẽ chuỗi hình chữ nhật góc phần tư thứ trục tọa độ Oxy nội tiếp đường cong y = e -x Hỏi diện tích lớn hình chữ nhật vẽ cách lập trình A 0,3679 (đvdt) C 0, 1353 (đvdt) http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word B 0,3976 (đvdt) D 0, 5313 (đvdt) Hướng dẫn giải: Diện tích hình chữ nhật điểm x S = xe –x S'(x) = e− x (1− x) S'(x) =  x = Dựa vào bảng biến thiên ta có S = 2xh + 2yh + xy = 4x + 6400 1600 8000 + = 4x + = f (x) x = x x x Câu 16: Cho nhơm hình vng cạnh 6cm Người ta muốn cắt hình thang hình vẽ Tìm tổng x + y để diện tích hình thang EFGH đạt giá trị nhỏ A B.5 C 2 D Hướng dẫn giải: Ta có SEFGH nhỏ S = SAEH + SCGF + SDGH lớn Tính 2S = 2x + 3y + (6 – x)(6 – y) = xy – 4x – 3y + 36 (1) Mặt khác tam giác AEH đồng dạng tam giác CGF nên Từ (1) (2) suy 2S = 42 − (4x + Biểu thức 4x + AE AH =  xy = (2) CG CF 18 ) Ta có 2S lớn nhỏ x 18 18 nhỏ  4x =  x =  y = 2 Chọn C x x Câu 17: Có nhơm hình vng cạnh 12cm Người ta cắt bốn góc nhơm bốn hình vng nhau, hình vng có cạnh x(cm) gấp nhơm lại hình vẽ để hộp khơng nắp Tìm x để hình hộp nhận thể tích lớn A x = B x = C x = D x = Hướng dẫn giải: Độ dài cạnh đáy hộp: 12 – 2x Diện tích đáy hộp: (12 – 2x)2 Thể tích hộp là: V = (12 – 2x)2 X = 4x3 – 48x2 + 144x với x  (0;6) Ta có: V’(x) = 12x3 – 96x2 + 144x Cho V’(x) = 0, giải chọn nghiệm x =2 10 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word A 16 r2h B 18 r2h C r2h D 36 r2h Hướng dẫn giải Ta có hình vẽ minh họa mặt đáy hình cho trên, ta rõ ràng nhận R = 3r, đề khác phức tạp, nhiên để ý lại đơn giản Vậy V = B.h = (3r)2  = r2h Câu 196: Một nhà văn viết tác phẩm viễn tưởng người tí hon Tại ngơi làng có ba người tí hon sống vùng đất phẳng Ba người phải chọn vị trí để đào giếng nước cho tổng quãng đường ngắn Biết ba người nằm ba vị trí tạo thành tam giác vng có hai cạnh góc vng km km vị trí đào giếng nằm mặt phẳng Hỏi tổng quãng đường ngắn bao nhiêu?(làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai) A 7km B 6,5km C 6, 77km D 6,34km Hướng dẫn giải Trên mặt phẳng Oxy ta lấy hai điểm B (3; 0) C(0; 4) ba người mà ta xét nằm ba vị trí O; B; C ta cần tìm điểm M thỏa mãn: MO + MB + MC đạt giá trị nhỏ Ta có hai cách làm: + Một gọi H, K hình chiếu M lên OB; OC sau đặt MH = x; MK = y tiếp tục giải + Hai ta dựng tam giác OBX; OMI hình vẽ Khi đó, ta có: OMI = OIX => MO + MB + MC = CM + MI + IX CX xảy C, M, I, X thẳng hàng Điểm M giao CX đường tròn ngoại tiếp OBX Ta có X(x; y) Khi đó:  x=  x + y =  XO = XB = OB=    2 3 (x − 3) + y =  y=  2 3 3 Do X nằm trục hoành nên X  ; −  2   Khi ta có: 115 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word CX : x−0 y−4 −24 + = x= (y − 4) 37 − 3 −0 −4 2 2  3  3 (OBX) :  x −  +  y +  =3     Do điểm M nghiệm hệ:  −24 + (y − 4) x = 2 37  −24 +  3  3  (y − 4) −  +  y +  =3        37 2   3  x−     + y + =       2     2  −24 +   3  3  3   y +  +y +  y − =0    37          3  3 y = −  x =  M = X(loai) y = −  2    3  −24 +   372 − 3( −24 + 3)2  − −         2  37  372    y = y =   (−24 + 3)2 + 372    −24 +        +1    37   37       (−1088 + 1296 3) 486 − 136 y= y= 2188 − 432 547 − 108 −24 + −1702 + 296 ( −24 + 3)( −46 + 3) 1320 − 606 = x= 37 547 − 108 547 − 108 547 − 108  1320 − 606 486 − 136   M( ;   547 − 108 547 − 108    M(0,7512;0,6958) x= 116 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word Nên OM = BM + CM = 6,77 km Đáp án C Câu 197:Một người nông dân có 15 000 000 đồng để làm hàng rào hình chữ E dọc theo sơng (như hình vẽ) để làm khu đất có hai phần chữ nhật để trồng rau Đối với mặt hàng rào song song với bờ sơng chi phí ngun vật liệu 60 000 đồng mét, ba mặt hàng rào song song chi phí nguyên vật liệu 50 000 đồng mét Tìm diện tích lớn đất rào thu A 6250m2 B 1250m2 C 3125m2 D 50m2 Hướng dẫn giải Do bác nông dân trả 15 triệu đồng để chi trả cho nguyên vật liệu biết giá thành mặt nên ta có quan hệ: 3x 50000 + 2y.60000 = 15000000  15x + 2y = 1500  y = 150 − 15x 500 − 5x = 12 Diện tích khu vườn sau rào tính cơng thức: f(x) = 2xy = 2x 500 − 5x = −5x + 500x Xét hàm số f(x) = ( ( ) ) −5x + 500x (0; 100) f '(x) = (−10x + 500);f'(x) =  x = 50 Ta có BBT 117 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word Vậy ta có kết tốn Câu 198: Khi quan sát q trình chép tế bào phòng thí nghiệm sinh học, nhà sinh vật học nhận thấy tế bào tăng gấp đôi phút Biết sau thời gian t có 100000 tế bào ban đầu có tế bào Tìm t: A t 16,61 phút B 16,5 phút C t 15 phút D t 15,5 phút Hướng dẫn giải Do ban đầu có tế bào nên: Sau phút chép thứ số tế bào là: N1 = Sau phút chép thứ số tế bào là: N1 = 22 …… Sau phút chép thứ t số tế bào là: Nt = 2t = 100000 => t = log2100000 16,61 phút Câu 199: Một công ti phải gánh chịu nợ với tốc độ D(t) đô la năm, với D’(t) = 90(t + 6) t + 12t t số lượng thời gian (tính theo năm) kể từ công ty bắt đầu vay nợ Đến năm thứ tư công ty phải chịu 626 000 la tiền nợ nần Tìm hàm số biểu diễn tốc độ nợ nần công ty này? A f (t) = 30 (t + 12t)3 + C B f (t) = 30 (t + 12t)2 + 1610460 C f (t) = 30 (t + 12t)3 + 1595280 D f (t) = 30 (t + 12t)3 + 1610460 Hướng dẫn giải Ta dễ dàng nhận thấy tốn cho đạo hàm hàm số, công việc tìm nguyên hàm: 118 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word  90(t + 6) t + 12tdt = 45 t + 12td(t + 12t) = 45 (t + 12t) d(t + 2t) = 45 1+ 1+ (t + 12t) = 30 (t + 12t)3 Vì đến năm thứ tư công ty chịu 1610640 tiền nợ nần nên số tiền mà công ty vay năm đầu tính 1610640 − 30 (42 + 12.4)3 = 1595280 Vậy cơng thức tính tiền nợ nần sau: D(t) = 30 (t +12t)3 + 1595280 Câu 200: Tốc độ thay đổi doanh thu (bằng đô la máy tính) cho việc bán x máy tính f(x), biết f’(x) = 12x5 + 3x2 + 2x + 12 Tìm tổng doanh thu bán mười hai máy tính A 5973984 la B 1244234 đô la C 622117 đô la D 2986992 đô la Hướng dẫn giải: Nhận thấy  (12x + 3x + 2x + 12)dx = 12 x + x + x + 12x + C = 2x + x3 + x + 12x + C 5+1 +1 1+ Nhận thấy tốc độ thay đổi doanh thu (bằng la máy tính) nên C = Do ta cần thay x = 12 vào được: f(12) = 2.126 +123 + 12.12 = 5973984 Câu 201: Một hộp đựng chocolate kim loại có hình dạng lúc mở nắp hình vẽ đây, Một phần tư thể tích phía hộp dải lớp bơ sữa ngọt, phần lại phía chứa chocolate nguyên chất Với kích thước hình vẽ, gọi x = x0 giá trị làm cho hộp kim loại tích lớn nhất, thể tích chocolate ngun chất có giá trị V0 Tìm V0 A 48đvtt B 16đvtt C 64đvtt D 64 đvtt Hướng dẫn giải Trước tiên ta nhận thấy V = (6 − x)(12 − 2x)x = 2x(x − 6)2 = 2x(x − 12x + 36) = 2x − 24x + 72x 119 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word Xét hàm số f(x) = 2x − 24x + 72x (0; 6) f’(x) = 6x2 – 48x + 72; f’(x) = => x = 6; x = Khi ta có max f(x) = f(2) = 64 đvtt Đến nhiều quý độc giả vội vã khoanh C mà không đắn đo Tuy nhiên vội vã bạn sai, đề u cầu tìm thể tích chocolate ngun chất mà khơng phải thể tích hộp Tức 1− Tức thể tích hộp = 4 64 = 48 đvtt Câu 202: Biết thể tích khí CO2 năm 1998 V(m3) 10 năm tiếp theo, thể tích CO2 tăng m%, 10 năm nữa, thể tích CO2 tăng n% Tính thể tích CO2 năm 2016? ((100 + m)(100 + n))10 A V2016 = V (m ) 1020 (100 + m)10 (100 + n)8 B V2016 = V (m ) 1036 C V2016 = V + V.(1+ m + n)18(m3 ) D V2016 = V.(1+ m + n)18(m3) Hướng dẫn giải: Năm 1999 thể tích khí CO2 là: V1 = V + V  m m  m + 100 = V 1+  = V 100 100  100  2   m + 100  m  Năm 2000 thể tích khí CO2 V2 = V  +  = V   100   100  Vậy ta có quy luật nên nhẩm nhanh sau: từ năm 1998 đến năm 2016 18 năm, 10 năm đầu số tăng m%, năm sau số tăng n% Vậy thể tích là: 10  m + 100   n + 100  (m + 100)10 (n + 100)8 V2016 = V     = V 1036  100   100  Câu 203: Một bác thợ xây bơm nước vào bể chứa nước Gọi h(t) thể tích nước bơm sau t giây Cho h’(t) = 3at2 + bt ban đầu bể khơng có nước Sau giây thể tích nước bể 150m3 Sau 10 giây thể tích nước bể 1100m3 Tính thể tích nước bể sau bơm 20 giây A 8400m3 B 2200m3 C 600m3 D 4200m3 Hướng dẫn giải Từ kiện đề cho ta có:  (3at + bt)dt = 125a + 25 b = 150 120 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word Tương tự ta có 1000a + 50b = 1100 Vậy từ ta tính a = 1; b = 20 Vậy thể tích nước sau bơm 20 giây  h'(t)dt = 8400 Câu 204: Từ mảnh giấy hình vng cạnh a, người ta gấp thành phần dựng lên thành hình lăng trụ tứ giác (như hình vẽ) Từ mảnh giấy hình vng khác có cạnh a, người ta gấp thành phần dựng lên thành hình lăng trụ tam giác (như hình vẽ) Gọi V1, V2 thể tích lăng trụ tứ giác lăng trụ tam giác So sánh V1 V2 Hướng dẫn giải a a a3 a a a3 Ta có V1 = a = ;V2 = a = 4 16 3 36 Do V1 > V2 Câu 205: Tốc độ sinh sản trung bình sau thời gian t năm lồi hươu Krata mơ tả hàm số: v(t) = 2.103 e-t t Hỏi sau 20 năm, số lượng tối thiểu biết ban đầu có 17 hươu Krata số lượng hươu L(t) tính qua công thức dL(t)/dt = v(t) ? A 2017 B 1000 C 2014 D 1002 Hướng dẫn giải Ta có: x dL = v(t) = 2.103.2− t t  L(x) − L(0) =  2.103.2− t tdt dt ( )  L(x) = L(0) − 2.103 xe− x + e− x − x = 20;L(0) = 17  L(20) = 2017 Câu 206: Một xe tải chạy với vận tốc 60km/h tài xế đạp phanh Sau đạp phanh, tài xế chuyển động chậm dàn với vận tốc v(t) = -27t + 24(m/s), t khoảng thời gian tính 121 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word giây kể từ lúc bắt đầu đạp phanh Hỏi từ lúc đạp phanh đến dừng hẳn, xe tải di chuyển mét? A 2m B 5m C 8m D 11m Hướng dẫn giải Lấy mốc thời gian lúc xe bắt dầu phanh Gọi T thời điểm xe tải dừng hẳn Ta có v(T) = suy -27T + 24 =  T = 24 Như vậy, khoảng thời gian từ lúc đạp phanh đến dừng hẳn xe tải 27 24 giây Trong khoảng thời gian đó, xe tải di chuyển được: 27 24 27  (24 − 27t)dt = S= 32 (m) Câu 207: Giả sử dãy Mariana Tây Bắc Thái Bình Dương (nơi sâu đại dương), nồng đồ muối nước biển C (mol/l) hàm số phụ thuộc vào độ sâu s(km) có phương trình es−s C(s) = s+ + 0,1(mol / l) Tìm độ sau S0 (km) để nồng độ muối nơi lớn A s0 = −1+ −1− (km) B s0 = (km) C, s0 = 1,182 (km) 4 D Không tồn s0 Hướng dẫn giải Bản chất tốn tìm giá trị lớn hàm số, ta có: es−s es−s (4s2 + 2s − 1) C(s) = + 0,1  C'(s) = − 2(s+ 1)3/2 s+ 2  −1 − (loai) s =  C(s) =   −1 + (chon) s =  Vì s độ sau nên ta cần xét trường hợp s s0 = Do đó, dễ dàng nhận thấy giá trị lớn −1+ (km) Đáp án A Câu 208: Một vi sinh đặc biệt X có cách sinh sản vơ tính kì lạ (sinh sản vơ tính tức sinh sản khơng 122 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word cần qua giao phối hai con), thời điểm 0h có X Với X, sống tới thứ n (với n số nguyên dương) thời điểm đẻ 2n X khác, nhiên chu kì X ngắn nên sau đẻ xong lần thứ 4, chết Hỏi lúc 7h, có sinh vật X sống? A 19328 B 14336 C 19264 D 20170 Hướng dẫn giải Đây câu suy luận thú vị trừu tượng học sinh, cần phân tích kĩ Ta vẽ thành bảng với hàng biểu thị số sống 0, 1, 2, 3, tiếng cột biểu thị số thời điểm 0h, 1h, 2h, 3h,…, 7h 0t 1t 2t 3t 4t 0h 1h 2h 16 3h 64 16 4h 256 64 16 5h 960 256 64 16 6h 3712 960 256 64 16 7h 14336 3712 960 256 64 Ta mơ tả sau: hàng 1, có sống tiếng thời điểm 0h Tại hàng hai tức thời điểm 1h, sống tiếng sinh 21 = nên có tổng sinh ra, sống tiếng thời điểm Tại hàng thứ ba tức thời điểm 2h, sống tiếng sống tiếng, chúng đẻ 4.21 + 2.22 = 16 16 sống tiếng thời điểm Cứ tiếp tục ta có bảng thu được, thời điểm 7h ta có tổng số sống là: 14336 + 3712 + 960 + 256 + 64 = 19264 Đáp án C Câu 209: Người ta thí nghiệm đo phân bố loại tảo có hại cho cá hố rộng, nhận thấy phân bố loại tảo hàm f(h) theo độ sau tính từ mực nước Tức độ sau h(m), có f(h) (kg/m3) tảo Cho f (h) = h4 − 2h2 + , tìm độ sâu mà nơng độ tảo lớn nhất, biết hồ sau 123 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word 4m A 7(kg/m3) B 3(kg/m3) C 39(kg/m3) D 45(kg/m3) Hướng dẫn giải Ta tìm cực trị điểm biên f(h) khoảng xét h   0;4 lấy điểm có f(h) lớn nhất, max f(h) cần tìm Cực trị nghiệm phương trình f’(h) = => h3 – 4h = => h = 2; h = -2; h = Có f(0) = 7; f(2) = 3; f(4) = 39 Vậy f(4) = 39 giá trị max cần tìm Đáp án C Câu 210: Hai chuồn chuồn bay hai quỹ đạo khác thời điểm Một bay quỹ đạo đường thẳng từ điểm A(0; 0) đến điểm B(0; 100) với vận tốc 5m/s Con lại bay quỹ đạo đường thẳng từ C(60; 80) A với vận tốc 10m/s Hỏi trình bay khoảng cách ngắn mà hai đạt bao nhiêu? A 20m B 50m C 20 10m D 20 5m Hướng dẫn giải Xét thời điểm t Tọa độ chuồn chuồn bay từ B A (0; 100 – 5t) Do chuồn chuồn bay từ C A đường thẳng AC có hệ số góc k = tan  = nên tọa độ chuồn chuồn là:  x = 60 − 10t.cos=60 - 10t = 60 − 6t  y = 80 − 10sin  = 80 − 8t  Như thời điểm t khoảng cách hai chuồn chuồn là: d = (60 − 6t)2 + (20 + 3t)2 124 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word Khoảng cách hai chuồn chuồn nhỏ (60 - 6t)2 + (20 + 3t)2 đạt giá trị nhỏ với t = 20 Xét f(t) = (60 - 6t)2 + (20 + 3t)2 t   0;10 Ta có f’(t) = 90t – 600 = => t = 20  20  minf(t) = f   = 2000  3 => khoảng cách ngắn hai chuồn chuồn trình bay 20 5m Câu 211: Vào ngày Tết Việt Nam, người ta thường chia bánh chưng (gọi hình hộp hai mặt hình vng chiều nửa cạnh hình vng) thành phần (bằng lát cắt mặt phẳng vng góc với đáy chúng mặt phẳng đáy chúng có vết cắt hình vẽ sau Hỏi tổng diện tích toàn phần của tất phần so với diện tích bánh tăng lên lần? A + 2 B + 2 C + 3 D 3+ 2 Hướng dẫn giải + mảnh thu + Phần diện tích tăng lên ranh giới lát cắt tạo + Diện tích tồn phần ban đầu bánh: S1 = 2.(2a)2 + 4.2.a.a = 16a2 + Diện tích phần miếng bánh sau cắt (bao gồm mặt dưới, mặt vng góc, mặt từ cạnh huyền): s = a2 + 2(a.a) + a 2.a = (3 + 2)a2 Do với phần ta có diện tích tồn phần lúc sau là: S2 = 8s = 8(3 + 2)a2 125 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word S1 8(3 + 2)a2 + Do diện tích tăng lên: = = S2 16a2 Đáp án D Câu 212: Tính thể tích vật thể mà có hình chiếu sau (đường nét liền đường nhìn thấy, đường nét đứt đường bị che khuất) Hình A hình chiếu đứng vật thể có M đồng thời trung điểm XY đồng thời trung điểm AB Tam giác SAB cân S có SA = SB = 50mm; AB = 60mm; XYZT hình chữ nhật có XY = 20mm; YZ = 15mm; hình B hình chiếu nằm vật thể A 11 (cm3 ) B 1445 (mm3) C 1450 (mm3) D 21 (cm3 ) Hướng dẫn giải + Thể tích hình nón là: 2 2  AB   60  1  AB   60  2 V1 = .MA SM = .  SA −    V1 = .  50 −   = 12000(mm ) 3   2        V1 = 12(cm3 ) + Thể tích khối lăng trụ là:  20  V2 = .MX XT = .  15 = 1500(mm3 )  V2 = (cm3 )  2 + Thể tích vật thể là: V = V1 – V2 = 21 (cm3 ) Câu 213: Giả sử người anh câu chuyện Cây khế phép may tối đa túi (để xách lên hai vai) từ mảnh vải chọn tùy ý có diện tích 9m2 Hỏi người anh phải chọn vải cách may để đem nhiều vàng (tức thu thể tích lớn nhất), biết túi 126 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word coi hình hộp chữ nhật?  3 B    2 A 3/2 C 3 D Hướng dẫn giải Đáp án B Với khối hình hộp chữ nhật có diện tích tồn phần khơng đổi thể tích lớn hình lập phương Thật gọi ba kích thước hình hộp chữ nhật a, b, c Khi đó, ta có:  ab + bc + ca  Stp = 2(ab + bc + ca);V = abc = ab.bc.ca    V    Stp      Dấu xảy a = b = c Với trường hợp ta cần xét trường hợp hai túi hình lập phương Gọi hai cạnh hình lập phương a, b Ta có: 3  6a + 6b  a + b = ;Vtong a3 + b3 = a3 +  − a2  2  2 3/2 3/2 3  Xét f (x) = x +  − x  ;0  x  2  Từ ta tìm thể tích đạt giá trị lớn x = 0;x =  3    2 3/2 m3 Câu 214: Tại thời điểm t trước lúc đỗ xe trạm dừng nghỉ, ba xe chuyển động với vận tốc 60km/hl 50km/h; 40km/h Xe thứ thêm phút bắt đầu chuyển động chậm dần dừng hẳn trạm phút thứ 8; xe thứ hai thêm phút bắt đầu chuyển động chậm dần dừng hẳn trạm phút thứ 13; xe thứ ba thêm phút bắt đầu chuyển động chậm dần dừng hẳn trạm phút thứ 12 Đồ thị biểu thị vận tốc ba xe theo thời gian sau: đơn vị trục tung x 10km/h; đơn vị trục tung phút Giả sử thời điểm t trên, ba xe cách trạm d1; d2; d3 So sánh khoảng cách A d1 < d2 < d3 B d2 < d3 0) chi u rộng, chi u