SỞ GD&ĐT NGHỆ AN HỘI THI GIÁO VIÊN DẠY GIỎI BẬC THPT CHU KỲ 2011 – 2015 Đề thi thức Mơn thi: TỐN Thời gian làm 180 phút ( Không kể thời gian giao đề) Câu 1.(4,0 điểm) a Hãy trình bày đường dạy học định lí tốn học Nêu hoạt động củng cố định lý toán học b Trong SGK lớp 12 (NXB Giáo dục) có định lí: “ Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm khoảng K Nếu f '(x)  , x  K hàm số f(x) đồng biến K Nếu f '(x)  , x  K hàm số f(x) nghịch biến K ” Hãy nêu bốn ứng dụng định lí (khơng cần ví dụ) để giải số dạng tập toán Câu (4,0 điểm) a Hãy nói rõ chức tập tốn dạy học tốn bậc THPT b Hãy nêu hai quy trình giải tốn: “ Viết phương trình đường vng góc chung hai đường thẳng chéo không gian tọa độ Oxyz biết phương trình tham số hai đường thẳng ” Câu (5,0 điểm)  xy + x + = 7y a Cho hệ phương trình:  2  x y + xy + = 13y ( x, y  ) Giải hệ phương trình hướng dẫn học sinh tìm cách giải khác  cosx +sinx dx x  (e sinx +1)sinx b Tính tích phân: I =  Câu 4: (4,0 điểm) a Nêu định hướng giúp học sinh giải toán sau cách: “ Chứng minh hình bình hành, tổng bình phương cạnh tổng bình phương hai đường chéo ” b Cho hình chóp S.ABC Lấy điểm M, N, P theo thứ tự tia SA, SB, SC cho SA = aSM, SB = bSN, SC = cSP (a, b, c số thực) Chứng minh mặt phẳng (MNP) qua trọng tâm G tam giác ABC a + b + c = Nêu mệnh đề đảo tốn Mệnh đề hay sai, sao? http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word Câu 5: (3,0 điểm) a Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số f (x) = x ( − x )3 đoạn 0;5 b Cho số thực a,b,c thỏa mãn a  b  c a + b2 + c2 = Chứng minh rằng: (a − b)(b − c)(c − a)(ab + bc + ca)  − -Hết -Họ tên thí sinh……………………………………….SBD…………………………… http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word SỞ GD&ĐT NGHỆ AN HƯỚNG DẪN CHẤM HỘI THI GIÁO VIÊN DẠY GIỎI BẬC THPT CHU KỲ 2011 – 2015 Đáp án: MƠN TỐN (Hướng dẫn chấm gồm có 04 trang) Câu Ý Nội dung a Các đường dạy học định lí tốn học Điểm - Con đường suy diễn Gồm bước: Tạo động cơ, suy diễn để đến định lí, phát biểu định lí, củng cố vận dụng định lí 0,5 - Con đường có khâu suy đốn (quy nạp) Gồm bước: Tạo động cơ, phát định lí, phát biểu định lí, chứng minh định lí, củng cố vận dụng định lí 0,5 Các hoạt động củng cố định lí: - Nhận dạng thể định lí b 0,5 - Hoạt động ngơn ngữ: phát biểu định lí, phát biểu định lý theo dạng khác 0,25 - Khái quát hóa, đặc biệt, hệ thống hóa định lí 0,25 Nêu bốn ứng dụng định lí cho - Xét biến thiên hàm số 0,5 - Chứng minh hàm số đồng biến,nghịch biến 0,5 - Chứng minh bất đẳng thức 0,5 - Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số 0,5 - Giải phương trình, bất phương trình, hệ phương trình - Chứng minh phương trình có nghiệm - Tìm điều kiện để phương trình, bất phương trình, hệ pt có nghiệm ( Thí sinh nêu đủ bốn ý cho điểm tối đa ) a Chức tập toán - Chức dạy học: Hình thành, củng cố cho học sinh tri thức, kỹ năng, kỹ xảo giải toán 0,5 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word b - Chức giáo dục: Rèn luyện tư biện chứng, lơgic, gây hứng thú niềm tin, hình thành phẩm chất đạo đức người học 0,5 - Chức phát triển: Phát triển tư duy, lực, nhận thức 0,5 - Chức kiểm tra: Kiểm tra, đánh giá mức độ, kết dạy học, trình độ học sinh Hoàn chỉnh bổ sung kiến thức học 0,5 Nêu quy trình: Giả sử d1, d2 có phương trình theo tham số t, k Quy trình 1: + Lấy A, B thuộc d1; d2, tính AB (theo t, k), tìm vtcp u1 u d1, d2  AB.u1 = + Điều kiện để AB đoạn vng góc chung d1, d2 là:   AB.u = (*) 0,25 0,25 + Giải hệ (*) tìm t, k từ tìm A, B 0,25 + Viết phương trình đường thẳng qua A, B 0,25 Quy trình 2: + Tìm vtcp u1 u d1, d2 chọn vtcp đường vng góc chung 0,25 đường vng góc chung d u =  u1 ;u    + Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa d1 có vtpt n =  u1 ;u  0,25 + Tìm giao điểm M (P) d2 0,25 + Viết phương trình đường thẳng d qua M có vtcp u 0,25  a  xy + x + = 7y Giải hệ  (1) 2  x y + xy + = 13y (2) ( x, y   ) (*) Giải cách 1: Xét y = 0, từ (2) suy = (vơ lí) x  x + + =7  y y x  Xét y  0: (*)   Đặt u = x + , v = y y  x + + x = 13 2  y y y 0,5 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word u + v = u = v =    u + u − 20 =  u = −5  v = 12   u − v = 13 (*)   0,5  x+ =4 y =  y u =   3y − 4y + =   + Nếu  ta có hệ  y = v = x = 3   y 0,5  1  3 Khi hệ có nghiệm: ( 3;1) ; 1;   u = −5 , giải tương tự ta có hệ vơ nghiệm v = 12  + Nếu  0,5  1  3 Vậy hệ cho có nghiệm: ( 3;1) ; 1;  Hướng dẫn cách 2: Từ (1) suy y  −1 rút x theo y: x = - Thế vào (2) đưa pt: 7y − y +1 36y − 33y3 − 5y + y + = (3) - Phân tích (3) thành nhân tử : (y - 1)(3y - 1)(12y2 + 5y + 1) = - Suy pt có nghiệm: y = 1, y = b , tìm x, kết luận nghiệm hệ 0,25 0,25 0,25 0,25  e x (cosx +sinx) I= x dx Đặt ex sinx = t  dt = e x ( sinx +cosx ) dx x  e sinx.(e sinx +1) 0,5 Đổi cận x =      t = e6 ; x =  t = e2 2  e2  I=  e  1  dt =   −  dt t(t + 1) t t +   e2  e6 0,5  = ln t t +1 e2  0,5 e http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word  6   e +2 = ln    e +   a 0,5 Giả sử cho hình bình hành ABCD, chứng minh: AB2 + BC2 + CD2+ DA2 = AC2 + BD2 (*) Cách 1: Sử dụng công thức đường trung tuyến 0,25 + Gọi O tâm hình bình hành ABCD suy O trung điểm AC, BD 0,25 + Áp dụng công thức đường trung tuyến tam giác ABC, ACD 0,25 + Cộng đẳng thức ta có (*) 0,25 Cách 2: Sử dụng véctơ 0,25 + Chuyển từ bình phương độ dài bình phương vơ hướng 0,25 + Do ABCD hình bình hành nên có AB = DC;AD = BC 0,25 + Biến đổi tương đương (*) 0,25 Cách 3: sử dụng định lý cosin + Áp dụng định lý cosin tam giác ABC + Áp dụng định lý cosin tam giác ABD + Do tính chất hình bình hành nên cosA +cosD = 0, cơng đẳng thức lại, từ suy (*) ( Thí sinh nêu đủ hai cách cho điểm tối đa ) b Mệnh đề đảo: Cho hình chóp S.ABC Lấy điểm M, N, P theo thứ tự tia 1,0 SA, SB, SC cho SA = aSM, SB = bSN, SC = cSP (a, b, c số thực) Chứng minh a + b + c = mặt phẳng (MNP) qua trọng tâm G tam giác ABC Chứng minh mệnh đề ( Do G trọng tâm tam giác ABC nên SG = SA + SB + SC ) 0,25 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word Mà SA = SA SM = a.SM , tương tự SB = b.SN ; SC = c.SP SM Suy SG = a b c SM + SN + SP (1) 3 Từ giả thiết ta có : Từ (1) , (2) suy SG = (1 −  SG − SM = 0,25 a b c a b c + + =  = − + (2) 3 3 3 b c b c − )SM + SN + SP 3 3 b b c c (SN − SM) + (SP − SM)  MG = MN + MP (3) 3 3 0,25 Vì MN, MP khơng phương nên từ (3) ta có M, N, P, G đồng phẳng, suy mặt phẳng (MNP) qua trọng tâm G tam giác ABC a 0,25 f(x) = x (5 − x)3 hàm số liên tục đoạn [0; 5] f(x) = x(5 − x)3/ x  (0;5) 0,5 f ’(x) = 5 − x (5 − x) 0,5 f ’(x) =  x = 5; x = Ta có : f(2) = , f(0) = f(5) = 0,5 Vậy Max f(x) = f(2) = , Min f(x) = f(0) = 0,5 x[0;5] x[0;5] b (a − b)(b − c)(c − a)(ab + bc + ca)  −  (a − b)(b − c)(a − c)(ab + bc + ca)  (*) Đặt vế trái (*) P 0,25 Nếu ab + bc + ca < P  suy BĐT chứng minh Nếu ab + bc + ca  , đặt ab + bc + ca = x   a − b + b − c  (a − c) (a-b)(b-c)    =   2  (a - b)(b - c)(a - c)  (a − c)3 (1) 0,25 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word Ta có : 4(a2 + b2 + c2 - ab - bc - ca) = 2(a - c)2 + 2(a - b)2 + 2(b - c)2  2(a - c)2 + [(a - b) + (b - c)]2 = 2(a - c)2 + (a - c)2 = 3(a - c)2 Suy 4(5 - x)  3(a - c) ,từ ta có x  a − c  (5 − x) (2) 0,25 3 4  Từ (1) , (2) suy P  x  (5 − x)  = x (5 − x)3 (3) 3  Theo câu a ta có: f(x) = x (5 − x)3  với x thuộc đoạn [0; 5] nên suy P   P  Vậy (*) chứng minh 0,25 Dấu xảy a = 2; b = 1; c = http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word ... − -Hết -Họ tên thí sinh……………………………………….SBD…………………………… http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word SỞ GD&ĐT NGHỆ AN HƯỚNG DẪN CHẤM HỘI THI GIÁO VIÊN DẠY GIỎI BẬC THPT CHU. .. (a-b)(b-c)    =   2  (a - b)(b - c)(a - c)  (a − c)3 (1) 0,25 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word Ta có : 4(a2 + b2 + c2 - ab - bc - ca) = 2(a - c)2 + 2(a -. .. ab - bc - ca) = 2(a - c)2 + 2(a - b)2 + 2(b - c)2  2(a - c)2 + [(a - b) + (b - c)]2 = 2(a - c)2 + (a - c)2 = 3(a - c)2 Suy 4(5 - x)  3(a - c) ,từ ta có x  a − c  (5 − x) (2) 0,25 3 4  Từ