Khảo sát hàm số KSHS 01: TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ A Kiến thức Giả sử hàm số y = f ( x) có tập xác định D • Hàm số f đồng biến D  y  0, x  D y = xảy số hữu hạn điểm thuộc D • Hàm số f nghịch biến D  y  0, x  D y = xảy số hữu hạn điểm thuộc D • Nếu y ' = ax2 + bx + c (a  0) thì:   + y '  0,x  R  a    + y '  0,x  R  a    • Định lí dấu tam thức bậc hai g( x) = ax2 + bx + c (a  0) : + Nếu  < g( x) ln dấu với a + Nếu  = g( x) ln dấu với a (trừ x = − b ) 2a + Nếu  > g( x) có hai nghiệm x1, x2 khoảng hai nghiệm g( x) khác dấu với a, ngồi khoảng hai nghiệm g( x) dấu với a • So sánh nghiệm x1, x2 tam thức bậc hai g( x) = ax2 + bx + c với số 0:    + x1  x2   P   S     +  x1  x2   P   S  • g( x)  m,x  (a; b)  max g( x)  m ; + x1   x2  P  g( x)  m,x  (a; b)  g( x)  m ( a; b) ( a; b) B Một số dạng câu hỏi thường gặp Tìm điều kiện để hàm số y = f ( x) đơn điệu tập xác định (hoặc khoảng xác định) • Hàm số f đồng biến D  y  0, x  D y = xảy số hữu hạn điểm thuộc D http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word Trang Khảo sát hàm số • Hàm số f nghịch biến D  y  0, x  D y = xảy số hữu hạn điểm thuộc D • Nếu y ' = ax2 + bx + c (a  0) thì:  + y '  0,x  R  a     + y '  0,x  R  a    Tìm điều kiện để hàm số y = f ( x) = ax3 + bx2 + cx + d đơn điệu khoảng (a ; b ) Ta có: y = f ( x) = 3ax2 + 2bx + c a) Hàm số f đồng biến (a ; b )  y  0,x  (a ; b ) y = xảy số hữu hạn điểm thuộc (a ; b ) Trường hợp 1: • Nếu bất phương trình f ( x)   h(m)  g( x) (*) f đồng biến (a ; b )  h(m)  max g( x) (a ; b ) • Nếu bất phương trình f ( x)   h(m)  g( x) (**) f đồng biến (a ; b )  h(m)  g( x) (a ; b ) Trường hợp 2: Nếu bất phương trình f ( x)  khơng đưa dạng (*) đặt t = x −a Khi ta có: y = g(t ) = 3at + 2(3a + b)t + 3a + 2b + c a     a    – Hàm số f đồng biến khoảng (−; a)  g(t )  0,t      S   P  a    a    – Hàm số f đồng biến khoảng (a; +)  g(t )  0,t      S   P  b) Hàm số f nghịch biến (a ; b )  y  0,x  (a ; b ) y = xảy số hữu hạn điểm thuộc (a ; b ) Trường hợp 1: • Nếu bất phương trình f ( x)   h(m)  g( x) (*) http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word Trang Khảo sát hàm số f nghịch biến (a ; b )  h(m)  max g( x) (a ; b ) • Nếu bất phương trình f ( x)   h(m)  g( x) (**) f nghịch biến (a ; b )  h(m)  g( x) (a ; b ) Trường hợp 2: Nếu bất phương trình f ( x)  khơng đưa dạng (*) đặt t = x −a Khi ta có: y = g(t ) = 3at + 2(3a + b)t + 3a + 2b + c a     a    – Hàm số f nghịch biến khoảng (−; a)  g(t )  0,t      S   P  a     a    – Hàm số f nghịch biến khoảng (a; +)  g(t )  0,t      S   P  Tìm điều kiện để hàm số y = f ( x) = ax3 + bx2 + cx + d đơn điệu khoảng có độ dài k cho trước  • f đơn điệu khoảng ( x1; x2 )  y = có nghiệm phân biệt x1, x2  a  (1)   • Biến đổi x1 − x2 = d thành ( x1 + x2 )2 − 4x1x2 = d2 (2) • Sử dụng định lí Viet đưa (2) thành phương trình theo m • Giải phương trình, so với điều kiện (1) để chọn nghiệm Tìm điều kiện để hàm số y = ax2 + bx + c (2), (a, d  0) dx + e a) Đồng biến (−; ) b) Đồng biến ( ; +) c) Đồng biến ( ;  )  −e adx2 + 2aex + be − dc f ( x) y ' = = ,  2 d ( dx + e) ( dx + e) Tập xác định: D = R \  http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word Trang Khảo sát hàm số Trường hợp Trường hợp Nếu bpt: f ( x)  khơng đưa dạng (i) ta đặt: t = x −  Khi bpt: f ( x)  trở thành: g(t )  , với: Nếu: f ( x)   g( x)  h(m) (i ) a) (2) đồng biến khoảng (−; )  −e    d   g(t )  0, t  (ii ) a    a  (ii )       S   P   −e    d   g( x)  h(m), x    −e   d h(m)  g( x) ( −; ]  b) (2) đồng biến khoảng ( ; +) −e    d   g( x)  h(m), x    −e   d h(m)  g( x) [ ; + )  g(t ) = adt + 2a(d + e)t + ad + 2ae + be − dc a) (2) đồng biến khoảng (−; ) b) (2) đồng biến khoảng ( ; +)  −e    d   g(t )  0, t  (iii ) a     a  (iii )       S   P  c) (2) đồng biến khoảng ( ;  ) −e    d  ( ;  )  g( x)  h(m), x  ( ;  ) −e   ( ;  )  d h(m)  g( x) [ ;  ]  Tìm điều kiện để hàm số y = ax2 + bx + c (2), (a, d  0) dx + e a) Nghịch biến (−; ) b) Nghịch biến ( ; +) c) Nghịch biến ( ;  ) http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word Trang Khảo sát hàm số  −e adx2 + 2aex + be − dc f ( x) y ' = = ,  2 d ( dx + e) ( dx + e) Tập xác định: D = R \  Trường hợp Nếu f ( x)   g( x)  h(m) (i ) a) (2) nghịch biến khoảng (−; )  −e    d   g( x)  h(m), x    −e   d h(m)  g( x) ( −; ]  b) (2) nghịch biến khoảng ( ; +) −e    d   g( x)  h(m), x    −e   d h(m)  g( x) [ ; + )  Trường hợp Nếu bpt: f ( x)  khơng đưa dạng (i) ta đặt: t = x −  Khi bpt: f ( x)  trở thành: g(t )  , với: g(t ) = adt + 2a(d + e)t + ad + 2ae + be − dc a) (2) đồng biến khoảng (−; )  −e    d   g(t )  0, t  (ii ) a    a  (ii )       S   P  b) (2) đồng biến khoảng ( ; +)  −e    d   g(t )  0, t  (iii ) a     a  (iii )       S   P  c) (2) đồng biến khoảng ( ;  ) −e    d  ( ;  )  g( x)  h(m), x  ( ;  ) −e   ( ;  )  d h(m)  g( x) [ ;  ]  http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word Trang Khảo sát hàm số Câu 1 Cho hàm số y = (m − 1) x3 + mx2 + (3m − 2) x (1) 1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số (1) m = 2) Tìm tất giá trị tham số m để hàm số (1) đồng biến tập xác định • Tập xác định: D = R y = (m − 1) x2 + 2mx + 3m − (1) đồng biến R  y  0, x  m  Câu Cho hàm số y = x3 + 3x2 − mx − (1) http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word Trang Khảo sát hàm số 1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số (1) m = 2) Tìm tất giá trị tham số m để hàm số (1) đồng biến khoảng (−;0) • Tập xác định: D = R y = 3x2 + 6x − m y có  = 3(m + 3) + Nếu m  −3    y  0, x  hàm số đồng biến R  m  −3 thoả YCBT + Nếu m  −3    PT y = có nghiệm phân biệt x1, x2 ( x1  x2 ) Khi hàm số đồng biến khoảng (−; x1),( x2; +)     m  −3   Do hàm số đồng biến khoảng (−;0)   x1  x2   P    − m  (VN) S   −2  Vậy: m  −3 Câu Cho hàm số y = 2x3 − 3(2m+ 1) x2 + 6m(m+ 1) x + có đồ thị (Cm) 1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số m = 2) Tìm m để hàm số đồng biến khoảng (2; +) • Tập xác định: D = R y' = 6x2 − 6(2m+ 1) x + 6m(m+ 1) có  = (2m + 1)2 − 4(m2 + m) =  x = m Hàm số đồng biến khoảng (−; m), (m + 1; +) y' =    x = m+ Do đó: hàm số đồng biến (2; +)  m +   m  Câu Cho hàm số y = x3 + (1− 2m) x2 + (2 − m)x + m + 1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số m = 2) Tìm m để hàm đồng biến khoảng K = (0; +) http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word Trang Khảo sát hàm số • Hàm đồng biến (0; +)  y = 3x2 + 2(1− 2m) x + (2 − m)  với x  (0; +)  f ( x) = 3x2 + 2x +  m với x  (0; +) 4x + 6(2x2 + x − 1) =  2x2 + x − =  x = −1; x = Ta có: f ( x) = (4x + 1)  1 Lập BBT hàm f ( x) (0; +) , từ ta đến kết luận: f    m   m  2 Câu hỏi tương tự: ĐS: m  ĐS: m  ĐS: m  a) y = (m + 1) x3 − (2m − 1) x2 + 3(2m − 1) x + (m  −1) , K = (−; −1) b) y = (m + 1) x3 − (2m − 1) x2 + 3(2m − 1) x + (m  −1) , K = (1; +) c) y = (m + 1) x3 − (2m − 1) x2 + 3(2m − 1) x + (m  −1) , K = (−1;1) Câu 11 Cho hàm số y = (m2 − 1) x3 + (m − 1) x2 − 2x + (1) (m  1) 1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số m = 2) Tìm m để hàm nghịch biến khoảng K = (−;2) • Tập xác định: D = R; y = (m2 − 1) x2 + 2(m− 1) x − Đặt t = x – ta được: y = g(t ) = (m2 − 1)t + (4m2 + 2m − 6)t + 4m2 + 4m − 10 Hàm số (1) nghịch biến khoảng (−;2)  g(t )  0, t  http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word Trang Khảo sát hàm số   TH1: a   m 2−    Vậy: Với Câu 3m − 2m −  m2 −  a      3m − 2m −  TH2:   4m2 + 4m − 10  S   −2m −  P   0  m + −1  m  hàm số (1) nghịch biến khoảng (−;2) 3 Cho hàm số y = (m2 − 1) x3 + (m − 1) x2 − 2x + (1) (m  1) 1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số m = 2) Tìm m để hàm nghịch biến khoảng K = (2; +) • Tập xác định: D = R; y = (m2 − 1) x2 + 2(m− 1) x − Đặt t = x – ta được: y = g(t ) = (m2 − 1)t + (4m2 + 2m − 6)t + 4m2 + 4m − 10 Hàm số (1) nghịch biến khoảng (2; +)  g(t )  0, t    TH1: a   m 2−  0  3m − 2m −  m2 −  a      3m − 2m −  TH2:   4m2 + 4m − 10  S   −2m −  P   0  m + Vậy: Với −1  m  hàm số (1) nghịch biến khoảng (2; +) Câu Cho hàm số y = x3 + 3x2 + mx + m (1), (m tham số) 1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số (1) m = 2) Tìm m để hàm số (1) nghịch biến đoạn có độ dài http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word Trang Khảo sát hàm số • Ta có y ' = 3x2 + 6x + m có  = − 3m + Nếu m ≥ y  0, x  R  hàm số đồng biến R  m ≥ không thoả mãn + Nếu m < y = có nghiệm phân biệt x1, x2 ( x1  x2 ) Hàm số nghịch biến đoạn m  x1; x2  với độ dài l = x1 − x2 Ta có: x1 + x2 = −2; x1x2 = YCBT  l =  x1 − x2 =  ( x1 + x2 )2 − 4x1x2 =  m = Câu Cho hàm số y = −2x3 + 3mx2 − (1) 1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số m = 2) Tìm giá trị m để hàm số (1) đồng biến khoảng ( x1; x2 ) với x2 − x1 = • y' = −6x2 + 6mx , y ' =  x =  x = m + Nếu m =  y  0,x   hàm số nghịch biến  m = không thoả YCBT + Nếu m  , y  0,x  (0; m) m  y  0,x  (m;0) m  Vậy hàm số đồng biến khoảng ( x1; x2 ) với x2 − x1 = ( x ; x ) = (0; m)  x2 − x1 =  ( x1; x2 ) = (m;0) Câu m − =  − m =  m = 1  Cho hàm số y = x4 − 2mx2 − 3m+ (1), (m tham số) 1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số (1) m = 2) Tìm m để hàm số (1) đồng biến khoảng (1; 2) http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word Trang 10 Khảo sát hàm số k  2 2 g(k) = (m − 1) k − 4(m − m − 4)k + 4m =  Qua M (m;2m + 1)  d kẻ tiếp tuyến đến (C)   = −32(m2 − m − 2)  0; g(0) = 4m2 =   g(k) = có nghiệm k     = −32(m2 − m − 2)  0; g(0) = 4m2 =   m − =  16k + =  k = − m =    m = −1 m =  m =  M (0;1)  M ( −1; −1)  M (2;5)  M (1;3) KSHS 06: ĐIỂM ĐẶC BIỆT CỦA ĐỒ THỊ Kiến thức bản: 1) Khoảng cách hai điểm A, B: AB = ( xB − xA )2 + ( yB − yA )2 2) Khoảng cách từ điểm M ( x0; y0 ) đến đường thẳng : ax + by + c = : d( M , d ) = ax0 + by0 + c a2 + b2 Đặc biệt: + Nếu : x = a d( M , ) = x0 − a + Nếu : y = b d( M, ) = y0 − b + Tổng khoảng cách từ M đến trục toạ độ là: x0 + y0 3) Diện tích tam giác ABC: S= 1 AB.AC.sin A = AB2.AC2 − ( AB.AC ) 2 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word Trang 139 Khảo sát hàm số  x + x = 2x I 4) Các điểm A, B đối xứng qua điểm I  IA + IB =   A B  yA + yB = 2yI  5) Các điểm A, B đối xứng qua đường thẳng    AB ⊥  (I trung điểm AB) I   x = x Đặc biệt: + A, B đối xứng qua trục Ox   B A  yB = − yA x = x + A, B đối xứng qua trục Ox   B A  yB = − yA 6) Khoảng cách đường thẳng  với đường cong (C) khoảng cách nhỏ điểm M   điểm N  (C) 7) Điểm M ( x; y) gọi có toạ độ nguyên x, y số nguyên http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word Trang 140 Khảo sát hàm số Câu 174 Cho hàm số y = − x3 + 3x + (C) 1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số 2) Tìm điểm đồ thị hàm số cho chúng đối xứng qua tâm M(–1; 3) • Gọi A( x0; y0 ) , B điểm đối xứng với A qua điểm M(−1;3)  B( −2 − x0;6 − y0 )  y = − x3 + 3x + 0 A, B  (C)   − y = − ( − − x0 )3 + 3(−2 − x0 ) +   = − x03 + 3x0 + − ( −2 − x0 ) + 3( −2 − x0 ) +  6x02 + 12x0 + =  x0 = −1  y0 = Vậy điểm cần tìm là: (−1;0) (−1;6) http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word Trang 141 Khảo sát hàm số Câu 175 Cho hàm số y = − x3 11 + x2 + 3x − 3 1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số 2) Tìm đồ thị (C) hai điểm phân biệt M, N đối xứng qua trục tung  x2 = − x1   y1 = y2 • Hai điểm M ( x1; y1), N( x2; y2 )  (C) đối xứng qua Oy    x2 = − x1   x1 =  x = −3    x3    x 11 11  x2 = −3  x2 = − + x1 + 3x1 − = − + x2 + 3x2 − 3   16   16   , N  −3;  3  3  Vậy hai điểm thuộc đồ thị (C) đối xứng qua Oy là: M  3; Câu 176 Cho hàm số y = − x3 + 3x + (C) 1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số 2) Tìm (C) hai điểm đối xứng qua đường thẳng d: 2x − y + = • Gọi M ( x1; y1 ); N ( x2; y2 ) thuộc (C) hai điểm đối xứng qua đường thẳng d  x1 + x2 y1 + y2  ;  , ta có I  d 2   I trung điểm AB nên I  Có: ( ) ( ) − x13 + 3x1 + + − x23 + 3x2 + y1 + y2 x +x = = 2 + 2 2 x + x =  − ( x1 + x2 ) + 3x1x2 ( x1 + x2 ) + 3( x1 + x2 ) = ( x1 + x2 )   12 2  x1 − x1x2 + x2 = Mặt khác: MN ⊥ d  ( x2 − x1 ) 1+ ( y2 − y1 ) = http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word Trang 142 Khảo sát hàm số ) (  7( x2 − x1 ) − 2( x2 − x1 ) x12 + x1x2 + x22 =  x12 + x1x2 + x22 = - Xét x1 + x2 =  x1 =  ;x = 2 7   x2 − x x + x2 =  x1 + x2 = 2   vô nghiệm - Xét  7  x1 + x1x2 + x2 = x x =    7  7 ;2 −  ;  − ;2 +   2   2   Vậy điểm cần tìm là:  Câu 177 Cho hàm số y = x3 + x2 − 3x + 3 1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số 2) Gọi A, B giao điểm (C) với trục Ox Chứng minh đồ thị (C) tồn hai điểm nhìn đoạn AB góc vng • PT hồnh độ giao điểm (C) với trục hoành:   3 x = x + x − 3x + =   3  x = −5 5 3  A(−5;0), B(1;0) Gọi M  a; a3 + a2 − 3a +   (C), M  A, B   5 3   5 3  AM =  a + 5; a3 + a2 − 3a +  , BM =  a − 1; a3 + a2 − 3a +  AM ⊥ BM  AM.BM =  (a + 5)(a − 1) + (a + 5)2 (a − 1)4 = 9  + (a − 1)3(a + 5) =  a4 + 2a3 − 12a2 + 14a + = (*) Đặt y = a4 + 2a3 − 12a2 + 14a + = , có tập xác định D = R http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word Trang 143 Khảo sát hàm số 2043 y = 4a3 + 6a2 − 12a + 14 ; y = có nghiệm thực a0  −  y0  − 16 Dựa vào BBT ta suy (*) ln có nghiệm khác –5 Vậy ln tồn điểm thuộc (C) nhìn đoạn AB góc vng Câu 178 Cho hàm số y = x4 − 2x2 + 1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số 2) Tìm toạ độ hai điểm P, Q thuộc (C) cho đường thẳng PQ song song với trục hoành khoảng cách từ điểm cực đại (C) đến đường thẳng PQ • Điểm cực đại (C) A(0;1) PT đường thẳng PQ có dạng: y = m (m  0) Vì d( A, PQ) = nên m = Khi hồnh độ điểm P, Q nghiệm phương trình: x4 − 2x2 − =  x = 2 Vậy: P(−2;9), Q(2;9) P(2;9), Q(−2;9) Câu 179 Cho hàm số y = x4 + mx2 − m − (Cm) 1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số m = –2 2) Chứng minh m thay đổi (Cm) ln ln qua hai điểm cố định A, B Tìm m để tiếp tuyến A B vng góc với • Hai điểm cố định A(1; 0), B(–1; 0) Ta có: y = 4x3 + 2mx Các tiếp tuyến A B vng góc với  y (1).y (−1) = −1  (4 + 2m)2 =  m= − ; m= − http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word Trang 144 Khảo sát hàm số Câu 180 Cho hàm số y = x+2 2x − 1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số 2) Tìm điểm đồ thị (C) cách hai điểm A(2; 0) B(0; 2) • PT đường trung trực đọan AB: y = x Những điểm thuộc đồ thị cách A B có hồnh độ nghiệm PT: x+2 1− 1+ = x  x2 − x − =  x = ;x= 2x − 2  1− 1−   1+ 1+  , , ;   2   2   Hai điểm cần tìm là:  Câu 181 Cho hàm số y = 3x − (C) x−2 1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số 2) Tìm điểm thuộc (C) cách tiệm cận • Gọi M ( x; y)  (C) cách tiệm cận x = y = Ta có: x − = y −  x − = x 3x − x x =  = ( x − 2)   −2  x−2 = x−2 x−2 x−2 x = Vậy có điểm thoả mãn đề : M1( 1; 1) M2(4; 6) Câu 182 Cho hàm số y = 2x + x +1 (C) 1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word Trang 145 Khảo sát hàm số 2) Tìm (C) điểm có tổng khoảng cách đến hai tiệm cận (C) nhỏ • Gọi M ( x0; y0 )  (C), ( x0  −1 ) y0 = 2x0 + 1 = 2− x0 + x0 + Gọi A, B hình chiếu M TCĐ TCN thì: MA = x0 + , MB = y0 − = x0 + Áp dụng BĐT Cơ-si ta có: MA + MB  MA.MB = x0 +  MA + MB nhỏ x0 + = =2 x0 + x =  x0 +  x0 = −2 Vậy ta có hai điểm cần tìm (0; 1) (–2; 3) Câu hỏi tương tự: a) y = 2x − x +1 ĐS: x0 = −1 Câu 183 Cho hàm số y = b) y = 3x − x−2 ĐS: M (1;2), M (3;4) 2x − (C) x +1 1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số 2) Tìm điểm M thuộc đồ thị (C) để tiếp tuyến (C) M với đường thẳng qua M giao điểm hai đường tiệm cận có tích hệ số góc –9 • Giao điểm tiệm cận I (−1;2)   y −y −3 M I = Gọi M  x0;2 −   (C)  kIM = x + x − x ( x0 + 1)2 M I   http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word Trang 146 Khảo sát hàm số + Hệ số góc tiếp tuyến M: kM = y ( x0 ) = ( x0 + 1) x = + YCBT  kM kIM = −   Vậy có điểm M thỏa mãn: M(0; –3) M(–2; 5)  x0 = −2 Câu 184 Cho hàm số y = x+2 x −1 1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số 2) Tìm điểm M (C) cho khoảng cách từ M đến đường thẳng d : 2x + y − = k=   • Gọi M  m; m+   2m2 − 3m + = m −   (C) Ta có: d( M , d) = m−1  5  m = 2; m = ; m = −2; m = 5  1   M (2;4); M  ;3 ; M (−2;0); M  ; −5 2  2  Câu hỏi tương tự: a) y =  16 15    11  3x − 12 7 ; d : 3x − 4y + = 0; k = ĐS: M (1; −2); M  ;  ; M  −2;  ; M  ;6  x−2 4   4 3  Câu 185 Cho hàm số y = 2x + x +1 1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số 2) Tìm điểm M đồ thị (C) cho khoảng cách từ M đến đường thẳng d : x − 4y + = ngắn • Gọi  tiếp tuyến (C) song song với d http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word Trang 147 Khảo sát hàm số x  PTTT (C) 1 : y = + x 13 2 : y = + 4  3  2   5 2 Các tiếp điểm tương ứng: M1  1;  , M2  −3;  Ta tính d( M1, )  d( M2 , )  3  2  M1  1;  điểm cần tìm   2x +    (C) Tính f = d( M , d) Sử dụng phương pháp hàm số để tìm x +1  y= 2x − x +1 Cách 2: Giả sử M  x; f Câu 186 Cho hàm số 1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số 2) Tìm tọa độ điểm M  (C) cho khoảng cách từ điểm I (−1; 2) tới tiếp tuyến (C) M lớn  • Giả sử M  x0; −  y− 2+    (C) PTTT  (C) M là: x0 +  3 = ( x − x0 )  3( x − x0 ) − ( x0 + 1)2 ( y − 2) − 3( x0 + 1) = x0 + ( x + 1) Khoảng cách từ I (−1;2) tới tiếp tuyến  là: d= 3(−1 − x0 ) − 3( x0 + 1) + ( x0 + 1) Theo BĐT Cô–si: ( x0 + 1) = x0 + + ( x0 + 1)4 = ( x0 + 1)2 + ( x0 + 1) + ( x0 + 1)2  =  d  http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word Trang 148 Khảo sát hàm số Khoảng cách d lớn ( x0 + 1) = ( x0 + 1)2  ( x0 + 1)2 =  x0 = −1  Vậy có hai điểm cần tìm là: M ( −1 + 3;2 − ) M ( −1 − 3;2 + ) Câu 187 Cho hàm số y= 2x − x +1 1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số 2) Tìm (C) hai điểm đối xứng qua đường thẳng MN biết M(–3; 0) N(–1; –1) • MN = (2; −1)  Phương trình MN: x + 2y + = Phương trình đường thẳng (d) ⊥ MN có dạng: y = 2x + m Phương trình hồnh độ giao điểm (C) (d): 2x − = 2x + m  2x2 + mx + m + = ( x  −1) x +1 (1) (d) cắt (C) hai điểm phân biệt A, B   = m2 − 8m − 32  (2) Khi A( x1;2x1 + m), B( x2;2x2 + m) với x1, x2 nghiệm (1)  x1 + x2 Trung điểm AB I     m m ; x1 + x2 + m  I  − ;  (theo định lý Vi-et)   2 A, B đối xứng qua MN  I  MN  m = −4  x = Suy (1)  2x2 − 4x =   x =  A(0; –4), B(2; 0) Câu 188 Cho hàm số y = 2x x −1 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word Trang 149 Khảo sát hàm số 1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số 2) Tìm đồ thị (C) hai điểm B, C thuộc hai nhánh cho tam giác ABC vuông cân đỉnh A với A(2; 0) • Ta có (C) : y = + x −1   Gọi B  b;2 +     , C  c;2 +  với b   c b − 1 c − 1  Gọi H, K hình chiếu B, C lên trục Ox Ta có: AB = AC; BAC = 900  CAK + BAH = 900 = CAK + ACK  BAH = ACK  AH = CK và: BHA = CKA = 900   ABH = CAK  C HB = AK  2 − b = + c − b = −1  Hay:  c =3 2+ = c−2 b −1  B  H A K Vậy B(−1;1), C(3;3) Câu 189 Cho hàm số y = x−3 x +1 1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số 2) Tìm hai nhánh đồ thị (C) hai điểm A B cho AB ngắn • Tập xác định D = R \ { − 1} Tiệm cận đứng x = −1   4 a   4 b Giả sử A −1− a;1+  , B −1+ b;1−  (với a  0, b  ) điểm thuộc nhánh (C)  1   16  16  64 AB2 = (a + b)2 + 16 +  = (a + b)2 1+  4ab 1+ = 4ab +  32   ab  a b  a2b2   a2b2  http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word Trang 150 Khảo sát hàm số a = b a = b   a= b= 44 16   4 ab = a =   ab AB nhỏ  AB =   Khi đó: A( −1− 4;1+ 64 ) , B( −1+ 4;1− 64 ) Câu hỏi tương tự: a) y = 4x − x−3 ĐS: A( − 3;4 − 3) , B(3 + 3;4 + ) Câu 190 Cho hàm số y = −x + x−2 1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số 2) Tìm đồ thị (C), điểm A, B cho độ dài đoạn AB đường thẳng AB vng góc với đường thẳng d : y = x • PT đường thẳng AB có dạng: y = − x + m PT hoành độ giao điểm (C) AB: −x + = − x + m  g( x) = x2 − (m + 3) x + 2m + = (1) ( x  2) x−2 g   g(2)  Để có điểm A, B (1) phải có nghiệm phân biệt khác     (m + 3) − 4(2m + 1)   m 4 − (m + 3).2 + 2m +  x + x = m+ Ta có:  A B Mặt khác yA = − xA + m; yB = − xB + m  xA.xB = 2m +  Do đó: AB =  ( xB − xA )2 + ( yB − yA )2 = 16  m2 − 2m − =   m = −1 m = http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word Trang 151 Khảo sát hàm số  + Với m = , thay vào (1) ta được: x2 − 6x + =   x = +  y = − x = 3−  y =  A(3 + 2; − 2), B(3 − 2; 2) A(3 − 2; 2), B(3 + 2; − 2)  + Với m = −1 , thay vào (1) ta được: x2 − 2x − =   x = +  y = −2 −  x = −  y = −2 +  A(1 + 2; −2 − 2); B(1 − 2; −2 + 2) A(1 − 2; −2 + 2); B(1 + 2; −2 − 2) Câu 191 Cho hàm số y = 3x2 + 5x + 14 có đồ thị (C) 6x + Tìm tất các điểm (C) có toạ độ nguyên 1 4 • Ta có: y =  2x + + 53   6x +  x  Z  Điểm M ( x; y)  (C) có toạ độ nguyên    53  Z  y =  2x + +  4 6x +  x  Z x  Z x  Z   53 53   Z   2x + +  6x + = 1  6x + = 53 Z    6x +   6x +     2x + + 53  53  53  x + +     2x + + 6x +   6x +   6x +     x =  y = 14 Vậy có hai điểm thoả YCBT: (0;14), (−9; −4)  x = −9  y = −4 Câu 192 Cho hàm số y = x2 − 3x + có đồ thị (C) x−2 1  Tìm cặp điểm đồ thị (C) đối xứng qua điểm I  ;1 2  http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word Trang 152 Khảo sát hàm số 1  2  • Gọi M( x1; y1), N( x2; y2 )  (C) đối xứng qua điểm I  ;1  x + x =  x2 = − x1 Khi ta có:    N(1 − x1;2 − y1)  y1 + y2 =  y2 = − y1  x2 − 3x1 +  y1 =  x = −2; y1 = −4 x1 −  Vì M ( x1; y1), N( x2; y2 )  (C) nên ta có:    x1 = 3; y1 = 2 − y = x1 − x1 +  − x1 −  Vậy (C) có cặp điểm thoả YCBT: M (−2; −4), N (3;6) Câu 193 Cho hàm số y = x2 + x + có đồ thị (C) x +1 Tìm cặp điểm đồ thị (C) đối xứng qua đường thẳng d :16x + 17y + 33 =   • ĐS: A  −5; − 21   13   , B  3;  4  4 HẾT http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word Trang 153 ... Website chuyên đề thi – tài liệu file word Trang 26 Khảo sát hàm số Câu 30 Cho hàm số y = x3 − ax2 − 3ax + (1) (a tham số) 1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số a = 2) Tìm a để hàm số (1) đạt... 3a + 2b + c Hàm số có cực trị thuộc K1 = (−; ) Hàm số có cực trị khoảng (−; )  f ( x) = có nghiệm (−; )  g(t ) = có nghiệm t < Hàm số có cực trị thuộc K2 = ( ; +) Hàm số có cực trị... – Website chuyên đề thi – tài liệu file word Trang 17 Khảo sát hàm số a) Hàm số có hai cực trị x1, x2 thoả x1    x2  g(t ) = có hai nghiệm t1, t2 thoả t1   t2  P  b) Hàm số có hai cực