BÀI TỐN VẬN DỤNG VỀ TỌA ĐỘ KHƠNG GIAN Oxyz  Dạng 132 Bài tốn vận dụng viết phương trình mặt phẳng Câu 01 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ , biết A ( 0; 0; ) , B ( 1; 0; ) , D ( 0; 1; ) A ’ ( 0; 0; 1) Phương trình phương trình mặt phẳng ( P ) chứa đường thẳng CD’ tạo với mặt phẳng ( B B’D ’D ) góc lớn nhất? A x − y + z = B x − y + z − = C x + 2y + z − = D x + 3y + z − = Lời giải tham khảo Ta có: B ( 1; 0; ) , B’ ( 1; 0; 1) , C ( 1; 1; ) , D’ ( 0; 1; 1) Do ( BB’D ’D ) có phương trình: x + y − = ( P ) tạo với ( BB’D’D ) góc lớn  ( P ) vng góc với ( BB’D’D ) Vậy ( P ) chứa CD’ vuông góc với ( BB’D ’D ) http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word nên phương trình ( P ) là: x − y + z = Câu 02 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho đường thẳng  : x−1 y z −2 = = 2 điểm M ( 2; 5; ) Phương trình phương trình mặt phẳng ( P ) chứa  cho khoảng cách từ M đến mp ( P ) lớn nhất? A x − 4y − z + = B x + 4y + z − = C x − 4y + z − = D x + 4y − z + = Lời giải tham khảo Ta có khoảng cách từ M đến mặt phẳng chứa  không vượt khoảng cách từ M đến đường thẳng  khoảng cách đạt giá trị lớn mặt phẳng chứa  nhận MH làm vectơ pháp tuyến H hình chiếu M lên  Ta có H ( 3; 1; ) MH (1; −4; 1) Câu 03 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai điểm A ( 1; 2; −1) , B ( 0; 4; ) mặt phẳng ( P ) : x − y − z + 2017 = Phương trình phương trình mặt phẳng ( Q ) qua hai điểm A, B tạo với mặt phẳng ( P ) góc nhỏ nhất? A ( Q ) : x + y − z + = B ( Q ) : x + y − z − = C ( Q ) : 2x + y − 3z − = D ( Q ) : 2x − y − z − = Lời giải tham khảo Nhận xét: 00  ( ( P),(Q) )  900 , nên góc ( ( P ),(Q) ) nhỏ cos ( ( P),(Q) ) lớn (Q ) : ax + b( y − 4) + cz = 0; A  (Q)  a = 2b + c Ta có cos ( ( P),(Q) ) = a − b − 2c a2 + b2 + c = b a2 + b2 + c Nếu b =  cos ( ( P),(Q) ) =  (( P),(Q) ) = 90 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word Nếu b   cos (( P),(Q) ) = 1 = c c 2  + 4  + b b  c   + 1 + b  Dấu xảy b = −c; a = − c , nên phương trình mp ( Q ) là: x + y − z − = Câu 04 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho đường thẳng  : ( P ) : x − y + 2z − = Phương trình phẳng ( Q ) chứa  tạo với ( P ) góc nhỏ nhất? mặt phẳng x −1 y z +1 = = −1 phương trình mặt A 2x − y + 2z − = B 10x − y + 13z + = C 2x + y − z = D −x + 6y + 4z + = Lời giải tham khảo Gọi A giao điểm d ( P ) , m giao tuyến ( P ) ( Q ) Lấy điểm I d · góc ( P ) Gọi H hình chiếu I ( P ) , dựng HE vng góc với m , suy φ = IEH ( Q ) • tan  = IH IH Dấu " = " xảy E  A  HE HA Khi đường thẳng m vng góc với d , chọn um = dd ; nP    nQ = ud ; um    Câu 05 (S ) : ( x − 1) Trong không gian với hệ tọa + ( y − 2)2 + ( z − 3)2 = đường thẳng độ : Oxyz , cho mặt cầu x−6 y−2 z−2 = = Phương −3 2 trình phương trình mặt phẳng ( P ) qua M ( 4; 3; ) , song song với đường thẳng ∆ tiếp xúc với mặt cầu ( S ) ? A 2x + y + 2z − 19 = B x − 2y + 2z − = C 2x + 2y + z − 18 = D 2x + y − 2z − 10 = Lời giải tham khảo http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word Gọi n = ( a; b; c ) vecto pháp tuyến ( P ) Ta có −3a + 2b + 2c = Điều kiện tiếp xúc ta có 3a + b + c = a2 + b2 + c Từ suy 2b = c , b = 2c Suy hai mặt phẳng A C C loại chứa  http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word  Dạng 133 Bài toán vận dụng tổng hợp tọa độ không gian Oxyz Câu 06 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho bốn điểm A ( 1; 2; ) , B ( 2; 1; 1) , C ( 3; 1; ) D ( 5; −1; ) Hỏi có mặt phẳng qua hai điểm A B cách C D A B C D Vô số mặt phẳng Lời giải tham khảo Kiểm tra ta AB song song với CD nên có vơ số mặt phẳng mặt phẳng qua hai điểm A B cách C D Câu 07 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , Cho điểm A ( 1; 0; ) , B ( 0; 1; ) , C ( 0; 0; 1) , D ( 0; 0; ) Hỏi có điểm cách mặt phẳng ( ABC ) , ( BCD ) , (CDA ) , ( DAB ) ? A B C D Lời giải tham khảo Gọi I ( x; y ; z ) cách mặt ta có x + y + z = x+ y + z −1 , phương trình có nghiệm Câu 08 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho bốn điểm A ( 1; –2; ) , B ( 0; –1; 1) , C ( 2; 1; –1) D ( 3; 1; ) Hỏi có tất mặt phẳng chia tứ diện ABCD thành phần tích ? A mặt phẳng B mặt phẳng C mặt phẳng D Có vơ số mặt phẳng Lời giải tham khảo MN AN AP = mp ( MNP ) AB AC CB chia khối tứ diện ABCD thành hai phần tích có vơ số mặt phẳng thỏa mãn Trên cạnh AB, AC , AD lấy M , N , P cho yêu cầu http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word Câu 09 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho bốn điểm A ( 1; –2; ) , B ( 0; –1; 1) , C ( 2; 1; –1) D ( 3; 1; ) Hỏi có tất mặt phẳng cách bốn điểm ? A mặt phẳng B mặt phẳng C mặt phẳng D Có vơ số mặt phẳng Lời giải tham khảo Ta có: AB = ( −1; 1; 1) ; AC = (1; 3; −1) ; AD = ( 2; 3; ) Khi đó:  AB; AC  AD = −24  A, B, C , D không đồng phẳng   Do có mặt phẳng cách điểm cho bao gồm +) Mặt phẳng qua trung điểm AD song song với mặt phẳng ( ABC ) +) Mặt phẳng qua trung điểm AB song song với mặt phẳng ( ACD ) +) Mặt phẳng qua trung điểm AC song song với mặt phẳng ( ABD ) +) Mặt phẳng qua trung điểm AB song song với mặt phẳng ( BCD ) +) Mặt phẳng qua trung điểm AB CD đồng thời song song với BC AD +) Mặt phẳng qua trung điểm AD BC đồng thời song song với AB CD +) Mặt phẳng qua trung điểm AC BD đồng thời song song với BC AD Câu 10 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm M ( 1; 2; ) mặt phẳng ( P ) qua M cắt Ox , Oy , Oz A ( a; 0; ) , B ( 0; b; ) , B ( 0; 0; c ) (với a, b, c  ) Với giá trị a, b, c thể tích khối tứ diện OABC ( O gốc tọa độ) nhỏ nhất? A a = 9, b = 6, c = B a = 6, b = 3, c = C a = 3, b = 6, c = D a = 6, b = 9, c = Lời giải tham khảo Phương trình mặt phẳng ( P ) : x y z + + = a b c http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word Vì mặt ( P ) qua M ( 1; 2; ) nên ta có: Nên thể tích khối tứ diện OABC : V = Ta có: = + + = ( 1) a b c a.b.c ( 2) a.b.c + +  33   27 Vậy thể tích lớn là: V = 27 a b c a.b.c Vậy a = 3; b = 6; c = Phương trình là: ( P ) : x y z + + =  x + y + z − 18 = Câu 11 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng ( P ) : 3x − y + z + 16 = , đường thẳng d : x−1 y + z − điểm M ( ; ; 1) Gọi A điểm thuộc đường = = −1 thẳng d, B hình chiểu A mặt phẳng ( P ) Tìm tọa độ điểm A biết tam giác MAB cân M A A ( ; 1; ) C A ( ; −1 ; ) B A ( ; −3 ; ) D A ( 0; −5; ) Lời giải tham khảo Gọi H trung điểm AB A’ điểm đối xứng A qua M  MH / / A ' B Khi đó:   A ' B ⊥ AB  A '  ( P )  MH ⊥ AB Vì M trung điểm AA’ nên A ( −t + 3; −2t + 9; t − ) Mà A’  ( P )  t =  A ( 3; 1; ) Câu 12 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt cầu (S) : ( x − 1) + ( y + 1) + ( z − 1) = mặt phẳng ( P ) : x + y + z + = Điểm M thuộc mặt phẳng ( P ) cho qua M kẻ tiếp tiếp tuyến đến mặt cầu ( S ) tiếp xúc với mặt cầu (S ) N thỏa mãn MN nhỏ Mệnh đề đúng? 2 A M ( −1; −3; −1) B M ( 1; 3; 1) C Không tồn điểm M D Điểm M thuộc đường tròn có tâm ( −1; −2; −3 ) , bán kính thuộc ( P ) http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word Lời giải tham khảo Tâm ( S ) I ( 1; −1; 1) bán kính ( S ) R = Ta có: MN = IM2 – R2  IH – R2 Trong H hình chiếu I ( P ) Vậy: MN nhỏ  M hình chiếu I ( P ) Vậy M ( −1; −3; −1) Câu 13 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho đường thẳng d : x−4 y−5 z = = mặt phẳng ( ) chứa đường thẳng d cho khoảng cách từ O đến ( ) đạt giá trị lớn Tìm tọa độ giao điểm M ( ) trục Ox A M ( 3; 0; ) B M ( 6; 0; ) 9  C M  ; 0;  2  D M ( 9; 0; ) Lời giải tham khảo Gọi ( ) mặt phẳng thỏa mãn yêu cầu tốn: ( ) Tọa độ hình chiếu O đường thẳng M Ta có tọa độ M là: M ( 3; 3; −3 ) ( ) Gọi H hình chiếu M mặt phẳng cần lập ta có: d O , ( ) = OH  OM Vậy khoảng lớn băng OM  ( ) : x + y − z − = Vậy tọa độ giao điểm ( ) với Ox N ( 9; 0; ) Câu 14 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt cầu ( S ) mặt phẳng ( P ) khơng có điểm chung Có điểm thuộc mặt phẳng ( P ) cho qua điểm kể tiếp tiếp tuyến đến mặt cầu ( S ) thỏa mãn khoảng cách từ điểm đến tiếp điểm đạt giá trị nhỏ nhất? A điểm B điểm C khơng có điểm D có vơ số điểm Lời giải tham khảo http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word Gọi điêm M thuộc mặt phẳng ( P ) kẻ tiếp tuyến MA ( A tiếp điểm) MA2 = MI + R2 (với I tâm cố định, R không đổi) MA nhỏ MI nhỏ nhất, M hình chiếu I ( P ) ( ý mặt cầu ( S ) mặt phẳng ( P ) điểm chung) Câu 15 Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng ( P ) : x − y + z − = hai điểm A ( −3; 0; 1) , B (1; −1; ) Phương trình phương trình qua A song song với ( P ) , đồng thời khoảng cách từ B đến đường thẳng nhỏ nhất? A x+1 y z−2 = = 31 12 −4 B x−1 y + z = = 12 11 C x y + z −1 = = 21 11 −4 D x + y z −1 = = 26 11 −2 Lời giải tham khảo Đường thẳng d cần viết nằm mặt phẳng ( Q ) qua A song song với ( P ) Pt ( Q ) là: x − 2y + 2z + = Để khoảng cách từ B đến d nhỏ d phải qua A điểm H hình chiếu vng góc B ( Q )  11  Ta có H  − ; ;  Phương trình d phương trình đường thẳng qua AH  9 9 Câu 16 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai điểm A ( 1; 2; ) ; B ( 5; 4; ) mặt phẳng ( P ) : x + y − z + = Gọi M điểm thay đổi thuộc ( P ) , tính giá trị nhỏ MA2 + MB2 A 60 B 50 C 200 D 2968 25 Lời giải tham khảo Ta có MA2 + MB2 = MI + AB2 AB2  2d ( I ; ( P) ) + = 60 với I trung điểm AB 2 Câu 17 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho bốn điểm A ( 1; 2; 1) , B ( 2; 1; 1) , C ( 1; 1; ) Tập hợp tất điểm M mặt phẳng ( ) : x + y − z − = cho http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word MA.MB + MB.MC + MC.MA = hình hình sau? A đường tròn B mặt cầu C điểm D mặt phẳng Lời giải tham khảo Gọi G trọng tâm tam giác ABC ta có MA.MB + MB.MC + MC.MA =  3MG2 + GA.GB + GB.GC + GC.GA =  MG = Vì d (G ,( ) ) = nên M hình chiếu G ( ) : x + y − z − = Câu 18 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai điểm A ( 1; 2; −2 ) , B ( 3; 4; ) mặt phẳng (P) : x + y – z + = Tìm tọa độ điểm M nằm (P) cho MA2 + MB2 nhỏ B M ( −3; 1; 1) A M ( −2; 1; 1) C M ( −2; 1; ) D M ( 3; −1; 1) Lời giải tham khảo ( ) Áp dung công thức MA2 + MB2 = MI + AB2 với I trung điểm đoạn AB Vậy để MA2 + MB2 đạt giá trị nhỏ MI nhỏ Hay M hình chiếu vng góc I ( P ) I ( 2; 3; 1) , ta tìm M ( −2; 1; ) Câu 19 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai điểm A ( 1; 2; −1) , B ( 0; 4; ) mặt phẳng ( P ) : x − y − z + 2015 = Gọi  góc nhỏ mặt phẳng ( Q ) qua hai điểm A, B tạo với mặt phẳng ( P ) Tính giá trị cos  A cos  = B cos  = C cos  = D cos  = Lời giải tham khảo Mặt phẳng ( Q ) qua điểm B nên có phương trình dạng ax + b ( y − ) + cz = (Q ) (a + b2 + c  ) Mà điểm A thuộc ( Q ) nên a.1 + b ( − ) + c ( −1) =  a = 2b + c ( 1) http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word 10 Một véctơ pháp tuyến mặt phẳng ( P ) : nP = ( 2; −1; −2 ) Một véctơ pháp tuyến mặt phẳng (Q ) : nQ = ( a; b; c ) Gọi  góc tạo hai mặt phẳng ( P ) , ( Q ) Khi ta có cos = nP nQ = nP nQ a − b − 2c a2 + b2 + c ( 2) Thế a = 2b + c ( 1) vào ( ) ta cos = 3b 5b2 + 4bc + 2c = b 5b2 + 4bc + 2c +) Nếu b =  cos =0   =900 +) Nếu b   cos = c c 2  + 4  + b b = c c 2  + 4  + b b = c   + 1 + b   http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word 11 ĐÁP ÁN TỐN THỰC TẾ: TỌA ĐỘ KHƠNG GIAN 01A 02C 03B 04B 05A 06D 07A 08D 09C 11A 12A 13D 14A 15D 16A 17C 18C 19D 10C http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word 12 ... liệu file word  Dạng 133 Bài toán vận dụng tổng hợp tọa độ không gian Oxyz Câu 06 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho bốn điểm A ( 1; 2; ) , B ( 2; 1; 1) , C ( 3; 1; ) D ( 5; −1; ) Hỏi có. .. Website chuyên đề thi – tài liệu file word Câu 09 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho bốn điểm A ( 1; –2; ) , B ( 0; –1; 1) , C ( 2; 1; –1) D ( 3; 1; ) Hỏi có tất mặt phẳng cách bốn điểm... bán kính ( S ) R = Ta có: MN = IM2 – R2  IH – R2 Trong H hình chi u I ( P ) Vậy: MN nhỏ  M hình chi u I ( P ) Vậy M ( −1; −3; −1) Câu 13 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho đường thẳng