LỜI NĨI ĐẦU Ngày phép tính vi tích phân chiếm vị trí quan trọng Tốn học, tích phân ứng dụng rộng rãi để tính diện tích hình phẳng, thể tích khối tròn xoay, đối tượng nghiên cứu giải tích, tảng cho lý thuyết hàm, lý thuyết phương trình vi phân, phương trình đạo hàm riêng Ngồi phép tính tích phân ứng dụng rộng rãi Xác suất, Thống kê, Vật lý, Cơ học, Thiên văn học, y học Phép tính tích phân bắt đầu giới thiệu cho em học sinh lớp 12, phổ biến tất trường đại học cho khối sinh viên năm thứ năm thứ hai chương trình học đại cương Hơn kỳ thi Tốt nghiệp THPT kỳ thi Tuyển sinh Đại học phép tính tích phân ln có đề thi mơn Toán khối A, khối B khối D Bên cạnh đó, phép tính tích phân nội dung để thi tuyển sinh đầu vào hệ Thạc sĩ nghiên cứu sinh Với tầm quan trọng phép tính tích phân, mà tơi viết số kinh nghiệm giảng dạy tính tích phân khối 12 với chuyên đề “TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP PHÂN TÍCH - ĐỔI BIẾN SỐ VÀ TỪNG PHẦN” để phần củng cố, nâng cao cho em học sinh khối 12 để em đạt kết cao kỳ thi Tốt nghiệp THPT kỳ thi Tuyển sinh Đại học giúp cho em có tảng năm học Đại cương Đại học Trong phần nội dung chuyên đề đây, xin nêu số tập minh họa tính tích phân chủ yếu áp dụng phương pháp phân tích, phương pháp đổi biến số, phương pháp tích phân phần Các tập đề nghị đề thi Tốt nghiệp THPT đề thi tuyển sinh Đại học Cao đẳng năm để em học sinh rèn luyện kỹ tính tích phân phần cuối chuyên đề số câu hỏi trắc nghiệm tích phân Tuy nhiên với kinh nghiệm hạn chế nên dù có nhiều cố gắng trình bày chun đề khơng tránh khỏi thiếu sót, mong góp ý chân tình q Thầy Cơ Hội đồng mơn Tốn Sở Giáo dục Đào tạo tỉnh Đồng Nai Nhân dịp xin cảm ơn Ban lãnh đạo nhà trường tạo điều kiện tốt cho cảm ơn q thầy tổ Tốn trường Nam Hà, đồng nghiệp, bạn bè đóng góp ý kiến cho tơi hồn thành chun đề Tơi xin chân thành cám ơn./ Trang http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải MỤC LỤC I I.1 I.2 I.3 I.4 II II.1 II.2 Lời nói đầu Mục lục Nguyên hàm: Định nghĩa nguyên hàm Định lý Các tính chất nguyên hàm Bảng công thức nguyên hàm số công thức bổ sung Tích phân: Định nghĩa tích phân xác định Các tính chất tích phân II.3 Tính tích phân phương pháp phân tích Bài tập đề nghị Tính tích phân phương pháp đổi biến số 10 II.4 II.4.1 Phương pháp đñổi biến số loại III 5 10 Định lý phương pháp đổi biến số loại 13 Một số dạng khác dùng phương pháp đổi biến số loại 14 Bài tập đề nghị số 14 Bài tập đề nghị số 15 Bài tập đề nghị số 4: Các đề thi tuyển sinh Đại học Cao đẳng 16 II.4.2 Phương pháp đổi biến số loại II.5 3 16 Bài tập đề nghị số 21 Các đề thi Tốt nghiệp trung học phổ thông 22 Các đề thi tuyển sinh Đại học Cao đẳng 22 Phương pháp tích phân phần 23 Bài tập đề nghị số 6: Các đề thi tuyển sinh Đại học Cao đẳng 28 Kiểm tra kết giải tính tích phân máy tính CASIO fx570-MS 29 Bài tập đề nghị số 7: Các câu hỏi trắc nghiệm tích phân 30 Phụ lục 36 Trang http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải I NGUYÊN HÀM: I.1 ĐỊNH NGHĨA NGUYÊN HÀM: Hàm số F(x) gọi nguyên hàm hàm số f(x) (a;b) với x∈(a;b): F’(x) = f(x) VD1: a) Hàm số F(x) = x3 nguyên hàm hàm số f(x) = 3x2 R b) Hàm số F(x) = lnx nguyên hàm hàm số f(x) = (0;+∞) x I.2 ĐỊNH LÝ: Nếu F(x) nguyên hàm hàm số f(x) (a;b) thì: a) Với số C, F(x) + C nguyên hàm f(x) khoảng ñó b) Ngược lại, nguyên hàm hàm số f(x) khoảng (a;b) viết dạng F(x) + C với C số Theo định lý trên, để tìm tất nguyên hàm hàm số f(x) cần tìm nguyên hàm cộng vào số C Tập hợp nguyên hàm hàm số f(x) gọi họ nguyên hàm hàm số f(x) ký n hiệu: )  f ( x ) dx a − a sin x = a cos2 x = a cos x ) m a = a m ; m a n = a m (hay gọi tích phân bất định) Vậy:  f ( x ) dx = F ( x ) + C VD2: a)  2xdx = x + C b)  sin xdx = − cos x + C c)  cos x = tgx + C I.3 CÁC TÍNH CHẤT CỦA NGUYÊN HÀM: 1) (  f ( x ) dx ) = f ( x ) 2)  a f ( x ) dx = a  f ( x ) dx ( a  0) 3)   f ( x )  g ( x )dx =  f ( x ) dx   g ( x ) dx  f ( x ) dx = F ( x ) + C   f ( u ( x ) ) u ' ( x ) dx = F (u ( x ) ) + C 4) ' VD3: a)  (5x − x + x ) dx = x − x + x + C b)  cos x.sin xdx = −6  cos x.d ( cos x ) = −3cos x + C Trang http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải I.4 BẢNG CƠNG THỨC NGUN HÀM: BẢNG CÁC NGUYÊN HÀM CƠ BẢN NGUYÊN HÀM CÁC HÀM SƠ CẤP THƯỜNG GẶP NGUYÊN HÀM CÁC HÀM SỐ HỢP 1/  dx = x + C 1/  du = u + C x +1 2/  x dx = + C (  −1)  +1 dx = ln x + C ( x  0) 3/  x 4/  e x dx = e x + C 2/  u du = ax +C 5/  a dx = ln a au + C (  a  1) 5/  a du = ln a  x 3/ (  a  1) u 6/  cos udu = sin u + C 7/  sin udu = − cos u + C 7/  sin xdx = − cos x + C dx  cos 9/  du = ln u + C ( u = u ( x )  0) u 4/  eu dx = eu + C 6/  cos xdx = sin x + C 8/  u +1 + C (  −1)  +1    =  (1 + tg x ) dx = tgx + C  x  + k  x   dx =  (1 + cot x ) dx = − cot x + C sin x ( x  k ) 8/ du  cos 9/     =  (1 + tg 2u ) du = tgu + C  u  + k  u   du =  (1 + cot u ) du = − cot u + C ( a  )( u  k ) sin u CÁC CÔNG THỨC BỔ SUNG ❖ CÔNG THỨC NGUYÊN HÀM THƯỜNG GẶP 1/  dx = x + C ( x  0) x ( ax + b ) +C 2/  ( ax + b ) dx = a  +1 1 dx = ln ax + b + C ( a  0) 3/  ax + b a 4/  e ax +b dx = e ax +b + C ( a  0) a a kx +C 5/  a kx dx = k ln a 6/  cos ( ax + b ) dx = sin ( ax + b ) + C ( a  0) a 7/   sin ( ax + b ) dx = − a cos ( ax + b ) + C ( x  + k ) 8/  tgxdx = − ln cos x + C ( x  k )   +1 ❖ CÁC CÔNG THỨC LŨY THỪA: 1/ a m a n = a m + n am 2/ a n = a m−n ; n = a − n a a 3/ ❖ CÁC CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC: a CÔNG THỨC HẠ BẬC: 1 1/ sin x = (1 − cos x ) 2/ cos x = (1 + cos x ) 2 b CÔNG THỨC BIẾN ĐỔI TÍCH THÀNH TỔNG 1/ cos a.cos b = cos ( a − b ) + cos ( a + b )  (  k  R,0  a  1) cos ( a − b ) − cos ( a + b )  2 3/ sin a.cos b = sin ( a − b ) + sin ( a + b )  2/ sin a.sin b = Trang http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải II TÍCH PHÂN: II.1 ĐỊNH NGHĨA TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH: Giả sử hàm số f(x) liên tục khoảng K, a b hai phẩn tử K, F(x) nguyên hàm hàm số f(x) K Hiệu F(b) – F(a) gọi tích phân từ a đến b f(x) Ký hiệu: b b  f ( x ) dx = F ( x ) a = F ( b ) − F ( a ) a II.2 CÁC TÍNH CHẤT CỦA TÍCH PHÂN: a 1/  f ( x ) dx = a 2/ a b b a  f ( x ) dx = −  f ( x ) dx b b a a 3/  k f ( x ) dx = k  f ( x ) dx b 4/ b b   f ( x )  g ( x ) dx =  f ( x ) dx   g ( x ) dx a 5/ ( k  0) a a b c b a a c  f ( x ) dx =  f ( x ) dx +  f ( x ) dx 6/ Nếu f ( x )  0, x  a; b với c  ( a; b ) b  f ( x ) dx  a 7/ Nếu f ( x )  g ( x ) , x  a; b b  b f ( x ) dx   g ( x ) dx a a b 8/ Nếu m  f ( x )  M , x a; b m ( b − a )   f ( x ) dx  M ( b − a ) a t 9/ t biến thiên  a; b   G ( t ) =  f ( x ) dx nguyên hàm f ( t ) G ( a ) = a II.3 TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP PHÂN TÍCH: b Chú ý 1: Để tính tích phân I =  f ( x ) dx ta phân tích f ( x ) = k1 f1 ( x ) + + km f m ( x ) a Trong đó: ki  (i = 1, 2,3, , m) hàm fi ( x ) ( i = 1, 2,3, , m) có bảng nguyên hàm VD4: Tính tích phân sau: Trang http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải 1) I =  ( 3x − x + 3) dx = ( x3 − x + 3x ) −1 ( −1 ) = ( 23 − 2.22 + 3.2 ) − ( −1) − ( −1) + ( −1) = 12 Nhận xét: Câu ta cần áp dụng tính chất sử dụng cơng thức 1/ 2/ bảng nguyên hàm 3x − x3 + x − x + dx x2 2) I =  Nhận xét: Câu ta chưa áp dụng ñược công thức bảng nguyên hàm, trước hết tách phân số dấu tích phân (lấy tử chia mẫu) áp dụng tính chất sử dụng cơng thức 1/, 2/, 3/ bảng nguyên hàm 3x − x3 + x − x + 4  I = dx =   3x − x + − +  dx x x x  1 2 4  =  x3 − 3x + x − ln x −  = − ln x1  3) I =  x2 − 5x + dx x +1 Nhận xét: Câu ta chưa áp dụng cơng thức bảng ngun hàm, trước hết phân tích phân số dấu tích phân (lấy tử chia mẫu) áp dụng tính chất sử dụng công thức 1/, 2/ bảng nguyên hàm công thức 3/ bổ sung 4) I =  e x ( xe − x + 5x e − x − e − x ) dx Nhận xét: Câu 4: biểu thức dấu tích phân có dạng tích ta chưa áp dụng công thức bảng nguyên hàm, trước hết nhân phân phối rút gọn áp dụng tính chất sử dụng công thức 1/, 2/, 5/ bảng nguyên hàm 1  1 5x I =  e x ( xe− x + 5x e− x − e− x ) dx =  ( x + 5x − 1) dx =  x + − x = ln   ln 0     5) I =   cos x + 2sin x −  dx = ( 4sin x − cos x − 2tgx ) = 2 − − + = cos x  0 Nhận xét: Câu ta cần áp dụng tính chất sử dụng cơng thức 6/, 7/ 8/ bảng nguyên hàm Trang http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải   6) I =  ( 4sin x − 12cos x ) dx = ( −2cos x − 3sin x ) = − − + = −1 − 0 Nhận xét: Câu ta cần áp dụng tính chất sử dụng công thức 6/ , 7/ bảng nguyên hàm phần công thức bổ sung    7) I =  sin  x −  dx 4  12 Nhận xét: Câu học sinh sai sử dụng nhầm cơng thức 2/ bảng bảng nguyên   hàm cột bên phải, xem u = sin  x −  (hơi giống đạo hàm hàm số hợp) 4  Với câu trước hết phải hạ bậc sử dụng công thức 6/ bảng nguyên hàm phần công thức bổ sung     12    12    I =  sin  x −  dx =  1 − cos  x −   dx =  (1 − sin x ) dx 4 0  20   12  1 1    1 1    =  x + cos x  12 =  + cos  −  + cos  = − 2  12  2 0  24 16  16 8) I =  cos x.cos xdx Nhận xét: Ở câu 8: biểu thức dấu tích phân có dạng tích ta chưa áp dụng công thức bảng nguyên hàm, trước hết phải biến đổi lượng giác biến đổi tích thành tổng áp dụng tính chất sử dụng công thức 6/ bảng nguyên hàm phần công thức bổ sung   16 16  I =  cos x.cos xdx = 11  0 ( cos8 x + cos x )dx =  sin x + sin x  11    11 2  11 =  sin + sin  −  sin + sin  =  + 1+ = 28 4  28   8  16 (  ) 9) I = x − dx −2 Nhận xét: Câu biểu thức dấu tích phân có chứa giá trị tuyệt đối, ta hướng học sinh khử dấu giá trị tuyệt đối cách xét dấu biểu thức x2 – [-2;2] kết hợp với tính chất 5/ tích phân để khử giá trị tuyệt đối Trang http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải I =  x − dx = −2 −1 −2 −1 2  ( x − 1) dx −  ( x − 1) dx +  ( x − 1) dx  x3  −1  x3   x3 2 =  − x − − x + − x =   −2   −1  1 10) I =  3x + dx x − 4x − Nhận xét: Câu 10 ta không thực phép chia đa thức câu 3, mặt khác biểu thức mẫu phân tích thành ( x − 5)( x − 1) nên ta tách biểu thức dấu tích phân 3x + A B = + = − (phương pháp hệ số bất định) x − 4x − x − x +1 x − x +1 3 3x +   I = dx =   − dx = 4ln x − − ln x + ( )  x − 4x − x − x +1  2 sau: = ln − ln − ln + ln = ln − 3ln = ln 27 a ' x + b' Chú ý 2: Để tính I =  dx (b2 − 4ac  0) ta làm sau: ax + bx + c b   TH1: Nếu b − 4ac = , ta ln có phân tích ax + bx + c = a  x +  2a   b  ba '  a '  x +  + b' − a' 2a  2a I =  dx = a b   a x +  2a   2  dx + b x+ 2a ba ' dx 2a  a b   x +   2a   b' − TH2: Nếu b2 − 4ac   ax2 + bx + c = a ( x − x1 )( x − x2 ) Ta xác định A,B cho A + B = a ' a ' x + b ' = A ( x − x1 ) + B ( x − x2 ) , đồng hai vế    Ax1 + Bx = − b ' A ( x − x1 ) + B ( x − x2 )  A B  I=  dx =   + dx a a  x − x2 x − x1  ( x − x1 )( x − x2 ) Trang http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải Chú ý 3: TH1: Để tính I =  P ( x) dx ta làm sau: ( x − a1 )( x − a2 ) ( x − an ) P ( x) An A1 A2 = + + + ( x − a1 )( x − a2 ) ( x − an ) ( x − a1 ) ( x − a2 ) ( x − an ) TH2: Để tính P ( x) ( x − a1 ) ( x − a2 ) ( x − an ) m k P ( x) = r ta làm sau: A1 + A2 ( x − a1 ) ( x − a2 ) ( x − an ) ( x − a1 ) ( x − a2 ) P ( x) TH3: Để tính I =  với P(x) Q(x) hai đa thức: Q ( x) m k r m m −1 + + Am + ( x − am ) * Nếu bậc P(x) lớn bậc Q(x) lấy P(x) chia cho Q(x) * Nếu bậc P(x) nhỏ bậc Q(x) tìm cách đưa dạng Nhận xét: Ví dụ gồm tập tính tích phân đơn giản mà học sinh áp dụng bảng cơng thức ngun hàm để giải tốn với phép biến đổi đơn giản nhân phân phối, chia đa thức, đồng hai đa thức, biến đổi tích thành tổng Qua ví dụ nhằm giúp em thuộc cơng thức nắm vững phép tính tích phân BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ 1: Tính tích phân sau: ( ) 1) I =  x x + x + dx 2) I =  x − 3x − x + dx 3) I =  x−2 −1 x x + x x − 3x + dx x2 2 4) I =  (x  12 + x − 3) dx −2  5) I =  ( sin x + cos x − sin x ) dx 6) I =  4sin x.sin x.sin xdx  16 7) I =  cos xdx dx 9) I =  x − 5x + 8) I = x + x − dx −2 dx x +1 + x 10) I =  11) I =  x + 2x + dx ( x − 1)( x − )( x − ) 12) I =  13) I =  xdx x − 6x2 + 14) I =  2 x2 + ( x − 1) ( x + 3) dx x dx (1 + x ) Trang http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải II.4 TÍCH PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ: II.4.1 Phương pháp đổi biến số loại 1: b Ta có ý (SGK trang 123): Tích phân  f ( x ) dx phụ thuộc vào hàm số f(x), cận a a b mà không phụ thuộc vào cách ký hiệu biến số tích phân Tức là: b  b b a a f ( x ) dx =  f ( t ) dt =  f ( u ) du = a Trong số trường hợp tính tích phân mà khơng tính trực tiếp cơng thức hay qua bước phân tích ta không giải Ta xét trường hợp sau: VD5: Tính tích phân sau: 1) I = 2 dx  − x2 Phân tích: Biểu thức dấu tích phân có chứa bậc hai, ta không khử phép biến đổi bình phương hai vế được, ta thử tìm cách biến đổi ñưa bậc hai dạng A2 , ta liên tưởng đến cơng thức: − sin x = cos2 x = cos x , đó:    Đặt x = sin t  dx = cos tdt , t   − ;   2 Đổi cận: x = 2   sin t = t = 2 x =  sin t =  t = f ( x ) =   6 I = cos t.dt − 2sin t =  cos t.dt  x =  =  dt = t = (vì (1 − sin t ) 0   Trong VD ta thay đổi sau: I = I =   t  0;   cos t  0)  6 2− x 6   sin t = t = 2 dx − x2 Học sinh làm tương tự kết Kết bị sai hàm số khơng xác định x=    Do x = sin t  dx = cos tdt , t   − ;  đề dạng Giáo viên cần ý:  2 hàm số f(x) xác định [a;b] Trang 10 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải Nhận xét: Ví dụ dạng tích phân phần  P ( x ) enx dx hướng học sinh đặt u = P(x) P(x) tam thức bậc hai nên ta tính tích phân phần hai lần Tù rút nhận xét chung cho học sinh: Nếu P(x) đa thức bậc k tính tích phân phần k lần  4 I =  4e x cos xdx Nhận xét: Dạng tích phân phần tích phân có dạng  e x sin ( nx ) dx biểu thức dấu tích phân ví dụ chứa cos2x hạ bậc ta đưa tích phân dạng     4 4  I =  4e cos xdx =  2e (1 + cos x)dx =  2e (1 + cos x)dx =  2e dx +  2e x cos 2x.dx = I1 + I x x x x 0 Ta có:    I1 =  2e dx = 2e = 2e − 0 x x  I =  2e x cos xdx u = cos x du = −2.sin xdx Đặt:    x x dv = 2e dx v = 2e   I = 2e cos x +  4e x sin xdx = + B 0 x B =  4e x sin xdx u = sin x du = 2.cos xdx Đặt:   x x dv = 4e dx v = 4e    B = 4e sin x −  8e cos xdx = 4e − I 0 x x   I = −2 + B = −2 + 4e − I Trang 28 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải    1  5I = −2 + 4e  I =  −2 + 4e  5     14  12 1 I = I1 + I = 2e − +  −2 + 4e  = e − 5  Nhận xét: Ở ví dụ học sinh phải tính tích phân phần hai lần, tính lần hai biểu thức xuất tích phân I cần tính ban đầu nên ta gọi dạng tích phần phần lặp Trong dạng tập làm học sinh cần lưu ý dấu sử dụng cơng thức tích phân phần   x dx B = x.tg xdx (ĐH NN Khối B 2000) Từ suy ra:  cos x 0 A =     u = x du = dx  d ( cos x )  Đặt    A = x tgx − tgxdx = + dx  0 0 cos x dv = v = tgx  cos x  =    + ln cos x = − ln 4      2    B =  x.tg xdx =  x  − 1 dx =  x dx −  xdx = − ln − cos x  cos x 32 0  0 4 I =  ln ( x − x ) dx (ĐHCĐ Khối D 2004)  ( x − 1) dx = ( x − 1) dx u = ln ( x − x ) du =  x2 − x x ( x − 1) Đặt:  dv = dx  v = x −  (nguyên hàm v = x + c nên thay c = -1 để khử mẫu số) 3 2x −  I = ( x − 1) ln ( x − x ) −  dx = 2ln − 2ln + = 2ln + 2 x Nhận xét: Trong dạng tập tích phân phần có chứa ln(u(x)) thường xuất phân số nên rèn luyện cho học sinh khéo léo kết hợp thêm tính chất nguyên hàm ∫f(x)dx=F(x)+C với C số thích hợp ta đơn giản phân số bước tính tích phân đơn giản Một ví dụ tương tự: I =  x ln ( x − ) dx     2 I =  sin xdx (ĐH KTrúc HN 2001); Nhận xét: Ở ví dụ học sinh phải nhận xét bước đầu phải đổi biến số Trang 29 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải Đặt u = x  u = x  3u = dx Đổi cận: x     2 u    2 0 ⇒ I =  3u sin udu I =  3x sin xdx ta biến đổi để học sinh dễ nhận dạng tích phân phần dạng Nhận xét: Đến tích phân có dạng tích phân phần Do đa thức bậc hai nên để tính I, học sinh phải tính tích phân phần lần: u = 3x du = xdx Đặt   dv = cosx.dx v = sinx   3 − I1 ⇒ I = 3x sinx −  xsinxdx = 0 2  I1 =  xsinxdx u = x du = 6dx  Đặt  dv = sin x.dx v = − cos x    ⇒ I1 = −6 x.cosx +  cos xdx =6 x.sinx = 3 0 3 3 + I1 = − 3 4 Nhận xét: Qua ví dụ trên, để tính tích phân đơi học sinh phải áp dụng hai phương pháp đổi biến số loại tích phân phần Ví dụ tương tự: (phối hợp hai phương pháp) ⇒ I =− 2 a) I = 2  sin e4 xdx  d) I =  ecosx sin x.dx b) I =  x.ln (1 + x ) dx c) I =  cos ln x dx x  e) I =   ln tgx dx cos x f) I =  e x dx BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ 6: Trang 30 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải Tính tích phân sau:   ln  a) I = 6 c) I =  ( x − ) sin xdx b) I =  (12 x − ) cos xdx xe − x dx 0  d) I =  ( x − 1) ln ( x + 1)dx e) I =  ( x − 1) ln ( x − 1)dx f) I =   xdx sin x  g) I =  x ln h) I =  (12 x − + e ) sin xdx ( x + 1)dx x 0 i) I =  x ln ( x − 1)dx  j) I =  ( x + sin x ) cos xdx (TNTHPT – 2005) 2 Tính tích phân sau: (Các đề thi tuyển sinh Đại học)  a) I =  e sin xdx (ĐH A.Ninh 1997) 3x b) I =  ( x − 1) e x dx (ĐH DLNN-T.Học 1997)  c) I =  x sin xdx (ĐH A.Ninh 1998) d) I =     4  cos xdx (ĐH DLNN-T.Học 1998)  ln x dx (ĐH Huế 1998) x2 e) I =  ln ( x + 1) dx (ĐH Cđoàn 2000) g) I =  x2     2 f) I =  x ( cos x − 1) dx (ĐH TCKT 1998) 10 h) I =  x lg xdx (ĐH Y Dược 2001) i) I =  e sin xdx (ĐH KTrúc HN 2001); j) I =  x ln xdx (ĐH KTế HDương 2002) 0 x2 + ln xdx (ĐHCĐ Dự bị 2-2003); k) I =  x e m) I =  x 3e x dx (ĐHCĐ Dự bị 2-2003); 0 ( ) l) I =  x e2 x + x + dx (ĐHCĐ D.bị 2003) −1 n) I =  ( x + x ) e − x dx (ĐH GTVT 2003) III Kiểm tra kết giải tính tích phân máy tính CASIO fx570-MS Trong số trường hợp số tích phân phức tạp giải kết chưa đánh giá độ xác kết hay sai, ta sử dụng máy tính cầm tay CASIO fx-570MS để kiểm tra kết Ví dụ với đề thi  sin x + sin x dx ta sửdụng máy tính sau: + 3cos x Khối A năm 2005 I =  Trang 31 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải + Với kết qủa giải tay 34 ta chuyển sang số thập phân ≈ 1,259259… 27 + ðối với tích phân lượng giác trước hết chuyển sang chế độ Rad + Quy trình bấm máy CASIO fx-570MS sau: ( ∫dx ( ALPHA X ) , X ( sin ÷ ) , ALPHA ( SHIFT π ) X + + cos ÷ ) sin ALPHA = Và kết qủa máy tính 1,2593 So với kết gần đồng nghĩa với đáp số giải tay BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ 7: CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM TÍCH PHÂN Câu 1:  x + dx có giá trị bằng: A B C -2 D C -1 D e Câu 2: x − 1dx có giá trị bằng: A B Câu 3: Chọn mệnh đề đúng: A   3   dx   − 2sin x B  3 C  x   4 3 dx   − 2sin dx   − 2sin x   D  3 dx   − 2sin x   4 e Câu 4: ln x dx bằng: x  A B C -1 D e Câu 5:  ( x + 2) dx có giá trị bằng: Trang 32 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải 211 A B 211 201 C 201 D C e D - e C D  Câu 6:  esin x cos xdx có giá trị bằng: A e - B  Câu 7:  + 3cos x sin xdx có giá trị bằng: A B Câu 8: x 2 Câu 9:  dx có giá trị bằng: + x +1  A B ( 2x − 1) dx x2 − x −1  C B ln ( x + ) dx Câu 10:  có giá trị bằng: x + x +1 A 3ln Câu 11: x + 2x + 2 −1 ( A ln + Câu 11: B ln  A Câu 12: ) −3x + x + 1  ( x + ) dx x2 − x + (  3 A ln + ) D ln C ln D ln có giá trị bằng: dx  C ln B 2ln3 dx  D có giá trị bằng: A ln  ( +5 ) C ln ( 2+ ) D ln ( 5− ) ( ) có giá trị bằng: B  C  D 12  15 có giá trị bằng: ( B ln + ) ( C 8ln + ) D 10ln + 2 Câu 13:  x x + 1dx có giá trị bằng: Trang 33 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải 26 A Câu 14: x dx x2 − B dx  x2 + C 32 D 34  C  D 12  36 có giá trị bằng: B ln A ln Câu 16: 28 có giá trị bằng:  A Câu 15: B dx  cos x + C ln ( ) +1 D ln ( 2+2 ) có giá trị bằng: A B  Câu 17: dx  sin x + C D C D C − ln D + ln có giá trị bằng: A B  Câu 18: dx  sin x − cos x − có giá trị bằng: A − ln B ln   sin x − cos x  Câu 19:    dx có giá trị bằng: sin x + cos x  0 A +   Câu 20: B −1 + cos x  11 − sin x − cos A − ln x  C −  D −1 −  dx có giá trị bằng: B − ln C ln D ln C ln D ln  x + cos x dx có giá trị bằng: x Câu 21:  − sin − A ln B ln   + sin x  Câu 22:  ln   dx có giá trị bằng:  + cos x  Trang 34 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải  A B 3 C D  Câu 23:  sin sin x dx có giá trị bằng: x + cos x A − ln B − ln D − ln3 C − ln3 −  Câu 24: Cho hàm số f(x) liên tục R thỏa f ( − x ) + f ( x ) = cos x  f ( x ) dx có giá trị −  bằng: A 16 35 B 32 35 C 24 35 D − 12 35  Câu 25: Cho hàm số f(x) liên tục R thỏa f ( − x ) + f ( x ) = cos x.sin x  f ( x ) dx có giá −  trị bằng: A − B − C D C D C 14 D Câu 26: x − x dx có giá trị bằng: A B Câu 27: x − x − x + dx có giá trị bằng: −1 A B 37 12 41 12 Câu 28:  x − x + dx có giá trị bằng: −3 A 59 B 59 C − 59 D − 59   2    Câu 28:  − cos x − 4sin xdx có giá trị bằng:   − cos x − 4sin xdx =  2sin x − dx  0 0        A −2 − − C + − D + + B − − 6 6  Trang 35 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải  Câu 30:  cos x − dx có giá trị bằng: A − + (2 x B − −  C − +  D − −  ) Câu 31:  − dx có giá trị bằng: −1 1 B + ln ln 2 dx Câu 32:  có giá trị bằng: 1+ 1− x −1 A + A ln B ln C + ln D + ln C 3ln D ln C D C D 11 Câu 33:  ( x − x − ) dx có giá trị bằng: −1 A B Câu 34:  ( − x − + x ) dx có giá trị bằng: A B Câu 35:  x ln xdx có giá trị bằng: A e2 + B e2 + C e2 + 1 D e2 +  Câu 36:  x cos xdx có giá trị bằng:  +2 B  xe dx có giá trị bằng: A  −2 C  +1 D  −1 Câu 37: x A B C D  Câu 38:  e x sin xdx có giá trị bằng:  2  A −  e + 1 5   1  B −  e + 1 5  C  2   e + 1 5  D  2   e + 1 5  Trang 36 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải  Câu 39:  e x cos xdx có giá trị bằng: A  (e + 2) B  ( e − 2) C 2e + 1) ( D 2e − 1) ( C 3e2 − D − 3e2 C  ( e − 1) D ( −e + 1) Câu 40:  e x ( x − ) dx có giá trị bằng: A − 3e2 B 3e2 − ex Câu 41:  cos ( ln x ) dx có giá trị bằng: A  ( e + 1) B −  ( e + 1) e Câu 42:  sin ( ln x ) dx có giá trị bằng: A ( sin1 − cos1) e + B ( sin1 − cos1) e − 2 + sin x dx có giá trị bằng: Câu 43:  e x + cos x C ( cos1 − sin1) e + D ( cos1 − sin1) e + e A e  e Câu 44:  e x B e + x2 (1 + x ) A Câu 45:  e x A x (1 + x ) e−2 2 D e 2 dx có giá trị bằng: B e C e 3 C e D dx có giá trị bằng: B e+2 C e −1 D e +1 Trang 37 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải Nhận xét: Trong phần nội dung chuyên đề trên, nêu số tập minh họa tính tích phân chủ yếu áp dụng phương pháp phân tích, phương pháp đổi biến số, phương pháp tích phân phần Các tập đề nghị đề thi Tốt nghiệp THPT đề thi tuyển sinh Đại học Cao đẳng năm trước để em học sinh rèn luyện kỹ tính tích phân, bên cạnh hướng dẫn học sinh kiểm tra kết giải có kết hay sai máy tính cầm tay CASIO fx-570MS phần cuối chuyên đề số câu hỏi trắc nghiệm tích phân Để phần củng cố, nâng cao cho em học sinh khối 12 để em đạt kết cao kỳ thi Tốt nghiệp THPT kỳ thi Tuyển sinh Đại học giúp cho em có tảng năm học Đại cương Đại học Tuy nhiên với kinh nghiệm hạn chế nên dù có nhiều cố gắng trình bày chuyên đề không tránh khỏi thiếu sót, mong góp ý chân tình q Thầy Cơ Hội đồng mơn Tốn Sở Giáo dục Đào tạo tỉnh Đồng Nai Một lần xin cảm ơn Ban lãnh đạo nhà trường tạo điều kiện tốt cho cảm ơn quý thầy tổ Tốn trường Nam Hà, đồng nghiệp, bạn bè đóng góp ý kiến cho tơi hồn thành chun đề Tơi xin chân thành cám ơn./ Trang 38 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải TÀI LIỆU THAM KHẢO Sách giáo khoa giải tích 12 Sách giáo viên giải tích 12 Tuyển tập chuyên đề kỹ thuật tính tích phân - Trần Phương Đạo hàm tích phân - Võ Đại Mau & Võ Đại Hồi Đức Chun đề tích phân đại số tổ hợp xác suất - Phạm An Hòa & Nguyễn Vũ Thanh Các dạng toán giải tích 12 - Nguyễn Ngọc Khoa Trắc nghiệm khách quan giải tích tích phân - Đồn Vương Ngun Trang 39 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải NHẬN XÉT Trang 40 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải Trang 41 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải Trang 42 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải ... chất tích phân II.3 Tính tích phân phương pháp phân tích Bài tập đề nghị Tính tích phân phương pháp đổi biến số 10 II.4 II.4.1 Phương pháp đñổi biến số loại III 5 10 Định lý phương pháp đổi biến... Website chuyên đề thi thử file word có lời giải II.4 TÍCH PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ: II.4.1 Phương pháp đổi biến số loại 1: b Ta có ý (SGK trang 123): Tích phân  f ( x ) dx phụ thuộc vào... giải tính tích phân máy tính CASIO fx570-MS 29 Bài tập đề nghị số 7: Các câu hỏi trắc nghiệm tích phân 30 Phụ lục 36 Trang http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải