TÓM TẮT KỸ THUẬT SỬ DỤNG CASIO – VINACAL HỔ TRỢ GIẢI ĐỀ THI MƠN TỐN 2017 PHƯƠNG PHÁP CASIO – VINACAL BÀI 16 CHỨNG MINH TÍNH ĐÚNG SAI MỆNH ĐỀ MŨ – LOGARIT 1) PHƯƠNG PHÁP Chứng minh tính sai mệnh đề mũ – logarit dạng tổng hợp khó Vì để làm ta phải vận dụng cách khéo léo phương pháp mà học từ trước Luyện tập ví dụ để lấy tích lũy kinh nghiệm xử lý 1) VÍ DỤ MINH HỌA VD1-[Đề minh họa THPT Quốc gia 2017] Cho số thực a , b với a  Khẳng định sau khẳng định ? A log a2 ( ab ) = log a b B loga2 ( ab ) = + 2log a b 1 C log a2 ( ab ) = log a b D log a2 ( ab ) = + log a b 2 GIẢI ❖ Cách : CASIO ➢ Ta hiểu, đáp án A phương trình log a2 ( ab ) − log a b = (1) với giá trị a , b thỏa mãn điều kiện a , b thực a  Ta chọn A = 1.15 B = 0.73 chả hạn Nhập vế trái (1) vào máy tính Casio dùng lệnh tính giá trị CALC iQzd$QzQx$pa1R2$iQz$Qxr1.15=0.73= Máy tính báo kết số khác vế trái (1) khác hay đáp án A sai ➢ Tương tự ta thiết lập phương trình cho đáp án B loga2 ( ab ) − − 2log a b = Sử dụng chức CALC gán giá trị A = 1.15 B = 0.73 cho vế trái (2) iQzd$QzQx$p2p2iQz$Qxr1.15=0.73= Tiếp tục số khác đáp án B sai ➢ Tiếp tục phép thử ta tìm đáp án D đáp án xác iQzd$QzQx$pa1R2$pa1R2$iQz$Qxr1.15=0.73= ❖ Cách tham khảo : Tự luận a  0, a  ▪ Điều kiện  b  0, b  1 1 ▪ Dễ thấy log a2 ( ab ) = log a ab = ( log a a + log a b ) = + log a b 2 2 ❖ Bình luận : Trang 134 Tài liệu lưu hành nội TÓM TẮT KỸ THUẬT SỬ DỤNG CASIO – VINACAL HỔ TRỢ GIẢI ĐỀ THI MƠN TỐN 2017 log a x n • Theo kinh nghiệm làm nhiều trắc nghiệm tác giả đáp án thường có xu hướng xếp đáp án C D nên ta nên thử ngược từ đáp án D trở xuống nhanh tìm đáp án nhanh VD2-[Đề minh họa THPT Quốc gia 2017] Cho số thực a , b với  a  b Khẳng định sau khẳng định A log a b   logb a B  log a b  logb a • Chúng ta ý phân biệt công thức loga xm = m loga x log an x = C logb a  log a b  D logb a   log a b GIẢI ❖ Cách : CASIO ➢ Chọn giá trị a , b thỏa mãn điều kiện a , b thực  a  b Ta chọn a = 1.15 b = 2.05 ➢ Tính giá trị số hạng log a b iQz$Qxr1.15=2.05= Tính giá trị số hạng log b a iQx$Qzr2.05=1.15= ➢ ❖ ▪ ▪ ▪ ❖ • Rõ ràng logb a   log a b  Đáp số xác D Cách tham khảo : Tự luận Vì số a   log a a  log a b   log a b (1) Vì số b   logb a  logb b  logb a  (2) Kết hợp (1) (2) ta có : logb a   log a b  D đáp án xác Bình luận : Chú ý tính chất số : Nếu a  log a u  log a v  u  v  a  log a u  log a v  u  v VD5-[THPT Bảo Lâm – Lâm Đồng 2017] Cho hệ thức a2 + b2 = 7ab ( a, b  0) Khẳng định sau ? a+b = log a + log b A log a+b = ( log a + log b ) C log B 2log2 ( a + b ) = log a + log b D log a+b = log a + log b GIẢI ❖ Cách : CASIO ➢ Vì a, b  nên ta chọn a = , b thỏa mãn hệ thức + b = 7b  b − 7b + =  b = ➢ Lưu a = vào biến A 7+3 73 Chọn b = 2 1=qJz Trang 135 Tài liệu lưu hành nội TÓM TẮT KỸ THUẬT SỬ DỤNG CASIO – VINACAL HỔ TRỢ GIẢI ĐỀ THI MƠN TỐN 2017 Lưu b = 7+3 vào biến B a7+3s5R2=qJx a+b − log a − log b = Để kiểm tra sai hệ thức ta nhập vế trái vào máy tính Casio nhấn nút =nếu kết khác sai ➢ Nếu đáp án A log 4i2$aQz+QxR6$$pi2$Qz$pi2$Qx= Kết biểu thức vế trái khác đáp án A sai ➢ Tương tự với đáp án B, C, D cuối ta tìm đáp án D đáp án xác 2i2$aQz+QxR3$$pi2$Qz$pi2$Qx= ❖ Cách tham khảo : Tự luận  a+b Biến đổi a + b = 7ab  ( a + b ) = 9ab    = ab   ▪ a+b  a+b = log a + log b Logarit số vế ta : log   = log ab  log   ❖ Bình luận : • Một tốn biến đổi tương đối zic zắc đòi hỏi học sinh phải nhuần nhuyễn công thức ác phép biến đổi Logarit ▪ VD4-[Chuyên Vị Thanh – Hậu Giang 2017] Nếu log7 x = 8log7 ab2 − 2log7 a3b, ( a, b  0) x : A a 4b B a 2b14 C a 6b12 D a 8b14 GIẢI ❖ Cách : CASIO ➢ Chọn giá trị a , b thỏa mãn điều kiện a, b  thực Ta tiếp tục chọn a = 1.15 b = 2.05 ➢ Ta có log x = 8log ab2 − 2log a3b  x = 78log7 ab − 2log7 a3b 7^8i7$QzQxd$p2i7$Qz^3$Qxr1.15=2.05= Trang 136 Tài liệu lưu hành nội TÓM TẮT KỸ THUẬT SỬ DỤNG CASIO – VINACAL HỔ TRỢ GIẢI ĐỀ THI MƠN TỐN 2017 Vậy ta biết x = 30616.09068 ➢ Tới ta cần tính giá trị đáp án A, B, C, D xem đáp án 30616.09068 xong Và ta thấy đáp số B đáp số xác QzdQx^14r1.15=2.05= ❖ Cách tham khảo : Tự luận a8b16 ▪ Thu gọn log x = log ( ab ) − log ( a b ) = log ( a b ) − log a b = log = log a 2b14 ab ▪ Vì số b   logb a  logb b  logb a  (2) ▪ Kết hợp (1) (2) ta có : logb a   log a b  D đáp án xác ❖ Bình luận : • Chú ý tính chất số : Nếu a  log a u  log a v  u  v  a  log a u  log a v  u  v 8 16 VD5-[THPT Bảo Lâm – Lâm Đồng 2017] Cho hàm số f ( x ) = 3x x Khẳng định sau sai : A f ( x )   x2 + x log3  B f ( x )   x2 log2 + x  2log C f ( x )   x log3 + x log  log9 D f ( x )   x2 ln + x ln  2ln GIẢI ❖ Cách : CASIO ➢ Từ điều kiện đề bài, ta khai thác để tìm x : f ( c )   3x x −  (1) ➢ Dùng Mode để dò khoảng nghiệm (1) w73^Q)d$O4^Q)$p9==p9=10=1= Quan sát bảng giá trị (chú ý lấy phần F ( X )  ) Thấy x  −2, Ta đặt x  a Thấy x  0, Ta đặt x  b ➢ Để phóng to khoảng nghiệm tìm xác a , b ta chọn lại miền giá trị X C==p3=1=0.25= Trang 137 Tài liệu lưu hành nội TÓM TẮT KỸ THUẬT SỬ DỤNG CASIO – VINACAL HỔ TRỢ GIẢI ĐỀ THI MƠN TỐN 2017 Vậy x  0.75 x  −2.25 ➢ Việc cuối ta cần dò khoảng nghiệm xuất đáp án A, B, C, D xem khoảng trùng với khoảng nghiệm w7Q)d+2Q)i3$2$p2==p3=1=0.25= Ta thấy đáp án A trùng khoảng nghiệm đáp án A đáp án xác ❖ Cách tham khảo : Tự luận 2 3x x2 x  x  3x −  − x ▪ Biến đổi f ( c )     ▪ Logarit số vế ta : ( log3 3x −2 )  log ( )  x −x −  − x log3  x2 + x log3  ❖ Bình luận : • Một tự luận ta nhìn biết dùng phương pháp logarit vế ln số hạng bất phương trình khác số số mũ có nhân tử chung x BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 1-[HSG tỉnh Ninh Bình 2017] Cho số dương a, b, c a  Khẳng định ? A loga b + loga c = log ( b + c ) B loga b + loga c = loga b − c b D log a b + log a c = log a   c Bài 2-[Thi thử tính Lâm Đồng - Hà Nội 2017] Cho số thực dương a , b với a  Khẳng định sau khẳng định ?  a  1  a   A log a3  B log a3   = 1 + log a b   = (1 − log a b )    b  b C loga b + log a c = log a ( bc )  a  1  C log a3   = 1 − log a b     b  a    D log a3   = 1 − log a b     b Bài 3-[Chuyên Nguyễn Thị Minh Khai 2017] Nếu a  a log b  log b ta có : A  a  b  B  b  a  C  a   b D  a  b Bài 4-[THPT Lương Thế Vinh – HN 2017] Khẳng định sau ? A.Hàm số y = e1999x nghịch biến R B Hàm số y = ln x đồng biến ( 0; +  ) C log3 ( a + b ) = log3 a + log3 b D log a b.logb c.log c a = với a, b, c  R Bài 5-[Chuyên Vị Thanh – Hậu Giang 2017] Cho  a  Tìm mệnh đề sai mệnh đề sau : A log a x   x  B log a x  x  Trang 138 Tài liệu lưu hành nội TÓM TẮT KỸ THUẬT SỬ DỤNG CASIO – VINACAL HỔ TRỢ GIẢI ĐỀ THI MƠN TỐN 2017 C x1  x2 log a x1  log a x2 D Đồ thị hàm số y = log a x có tiệm cận đứng trục tung Bài 6-[THPT Lương Thế Vinh – HN 2017] Tìm mệnh đề mệnh đề sau ? A Hàm số y = log a x với  a  hàm số đồng biến khoảng ( 0; +  ) B Hàm số y = log a x với a  hàm số nghịch biến khoảng ( 0; +  ) C Hàm số y = log a x (  a; a  1) có tập xác định R D Đồ thị hàm số y = log a x y = log x (  a; a  1) đối xứng qua trục hoành a Bài 7-[THPT HN-Amsterdam 2017] Cho a , b số thực dương a  Khẳng định sau ? A log a ( a + ab ) = + log a ( a + b ) B log a ( a + ab ) = log a (a + b) C log a (a + ab ) = + log a b D log a (a + ab ) = + log a b Bài 8-[THPT Kim Liên – HN 2017] Trong khẳng định sau, khẳng định sai : A Hàm số y = log x hàm số logarit B Hàm số y = ( 3−1 ) hàm số mũ x C Hàm số y = ( ) nghịch biến R x D Hàm số y = ln x đồng biến khoảng ( 0; +  ) Bài 9-[Sở GD-ĐT Nam Định 2017] Cho a  0; a  x; y số dương Khẳng định sau khẳng định ? log a x x log a x A log a = B log a ( x − y ) = log a y y log a y x C log a = log a x − log a y D loga ( x − y ) = loga x − loga y y LỜI GIẢI BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 1-[HSG tỉnh Ninh Bình 2017] Cho số dương a, b, c a  Khẳng định ? A loga b + loga c = log ( b + c ) B loga b + loga c = loga b − c b D log a b + log a c = log a   c GIẢI ▪ Chọn a = 1.25, b = 1.125, c = 2.175 lưu giá trị vào A, B, C C loga b + log a c = log a ( bc ) 1.25=qJz1.125=qJx2.175qJc ▪ Kiểm tra đáp án ta có đáp án C xác loga b + log a c − log a ( bc ) = iQz$Qx$+iQz$Qc$piQz$QxQc= Bài 2-[Thi thử tính Lâm Đồng - Hà Nội 2017] Cho số thực dương a , b với a  Khẳng định sau khẳng định ? Trang 139 Tài liệu lưu hành nội TÓM TẮT KỸ THUẬT SỬ DỤNG CASIO – VINACAL HỔ TRỢ GIẢI ĐỀ THI MƠN TỐN 2017  A log a3    C log a3    B log a3   a  1   D log a3   = 1 − log a b  b    GIẢI ▪ Chọn a = 1.25, b = 1.125 lưu giá trị vào A, a  1   = 1 + log a b  b   a   = (1 − log a b ) b a     = 1 − log a b  b   B 1.25=qJz1.125=qJx  a  1   − 1 − log a b  =    b ▪ Kiểm tra đáp án ta có đáp án C xác log a3  iQz^3$$aQzRsQx$$$pa1R3$(1pa1R2$iQz$Qx$)=  log b ta có : D  a  b Bài 3-[Chuyên Nguyễn Thị Minh Khai 2017] Nếu a  a log b B  b  a  A  a  b  4 C  a   b GIẢI ▪ Từ a  a  a − a  Tìm miền giá trị a chức MODE   a  w7Q)^a3R4$$pQ)^a4R5==0=3=0.2= 2  log b  log b − log b  Tìm miền giá trị b chức MODE 3  b 1 ▪ Từ log b w7iQ)$a1R2$$piQ)$a2R3==0=3=0.2= Tóm lại  a   b  Đáp số xác C Bài 4-[THPT Lương Thế Vinh – HN 2017] Khẳng định sau ? A.Hàm số y = e1999x nghịch biến R B Hàm số y = ln x đồng biến ( 0; +  ) C log3 ( a + b ) = log3 a + log3 b D log a b.logb c.log c a = với a, b, c  R GIẢI ▪ Khẳng định A có số mũ cao nên ta để lại sau ▪ Kiểm tra khẳng định B chức MODE Ta thấy F ( X ) ln tăng  B xác w7hQ))==0.5=10=0.5= Trang 140 Tài liệu lưu hành nội TÓM TẮT KỸ THUẬT SỬ DỤNG CASIO – VINACAL HỔ TRỢ GIẢI ĐỀ THI MƠN TỐN 2017 ▪ Vì đáp án C, D sai ta việc chọn a = 1.25 , b = −3.75 rõ ln (vì điều kiện ràng buộc khơng có nên để đảm bảo tính tổng quát ta chọn giá trị dương giá trị âm) Bài 5-[Chuyên Vị Thanh – Hậu Giang 2017] Cho  a  Tìm mệnh đề sai mệnh đề sau : A log a x   x  B log a x  x  C x1  x2 log a x1  log a x2 D Đồ thị hàm số y = log a x có tiệm cận đứng trục tung GIẢI ▪ Cho  a  ta chọn a = 0.123 Kiểm tra đáp số A ta dò miền nghiệm phương trình log a x  xem miền nghiệm có trùng với  x  không xong Để làm việc ta sử dụng chức MODE w7i0.123$Q)==0.2=2=0.2= Quan sát bảng giá trị ta miền nghiệm  x  (phần làm cho F ( X )  ) , miền nghiệm giống miền  x  đáp số A ▪ Tương tự cách kiểm tra đáp án A ta áp dụng cho đáp án B thấy B ▪ Để kiểm tra đáp án C ta chọn hai giá trị x1 =  x2 = Thiết lập hiệu log a x1 − log a x2 Nếu hiệu âm C dương C sai Để tính hiệu ta sử dụng chức CALC 0.125$2$pi0.125$5= Vậy hiệu log a x1 − log a x2 lớn hay log a x1  log a x2 Vậy đáp án C sai Bài 6-[THPT Lương Thế Vinh – HN 2017] Tìm mệnh đề mệnh đề sau ? A Hàm số y = log a x với  a  hàm số đồng biến khoảng ( 0; +  ) B Hàm số y = log a x với a  hàm số nghịch biến khoảng ( 0; +  ) C Hàm số y = log a x (  a; a  1) có tập xác định R D Đồ thị hàm số y = log a x y = log x (  a; a  1) đối xứng qua trục hoành a GIẢI ▪ Câu D khó hiểu nên ta ưu tiên xác định sai đáp án A , B , C trước ▪ Kiểm tra khẳng định đáp án A chức MODE với a = 0.5 thỏa  a  Ta thấy F ( X ) giảm  A sai  Đáp án B sai w7i0.5$Q)==1=10=1= ▪ Kiểm tra khẳng định đáp án C chức MODE Ta thấy hàm số không xác định x  Trang 141 Tài liệu lưu hành nội TÓM TẮT KỸ THUẬT SỬ DỤNG CASIO – VINACAL HỔ TRỢ GIẢI ĐỀ THI MƠN TỐN 2017  Đáp án C sai  Tóm lại đáp án xác D w7i2$Q)==p9=10=1= ▪ Nếu tím hiểu hai đồ thị đối xứng qua trục hồnh ta phải hiểu ý nghĩa “nếu đồ thị hàm số y = f ( x ) đồ thị hàm số y = g ( x ) đối xứng qua trục hồnh f ( x ) = − g ( x ) ” Vậy ta chọn a = 2; x = tính y = log = 2.32 y = log x = −2.32  D Trang 142 Tài liệu lưu hành nội TÓM TẮT KỸ THUẬT SỬ DỤNG CASIO – VINACAL HỔ TRỢ GIẢI ĐỀ THI MƠN TỐN 2017 PHƯƠNG PHÁP CASIO – VINACAL BÀI 17 TÍNH NHANH BÀI TỐN CĨ THAM SỐ MŨ – LOGARIT 1) PHƯƠNG PHÁP ▪ Bước : Cô lập m đưa dạng m  g ( x ) m  g ( x ) ▪ Bước : Đưa tốn ban tốn giải phương trình, bất phương trình học 2) VÍ DỤ MINH HỌA VD1-[Thi thử chuyên KHTN lần năm 2017] Tìm tập hợp tất các giá trị m để phương trình log2 x − log2 ( x − 2) = m có nghiệm : A  m  +  C  m  +  B  m  +  D  m  +  GIẢI ❖ Cách : CASIO ➢ Đặt log2 x − log ( x − ) = f ( x ) m = f ( x ) (1) Để phương trình (1) có nghiệm m thuộc miền giá trị f ( x ) hay f ( )  m  f ( max ) ➢ Tới tốn tìm tham số m quy tốn tìm min, max hàm số Ta sử dụng chức Mode với miền giá trị x Start End 10 Step 0.5 w7i2$Q)$pi2$Q)p2==2=10=0.5= ➢ Quan sát bảng giá trị F ( X ) ta thấy f (10)  0.3219 đáp số A B sai Đồng thời x tăng F ( X ) giảm Vậy câu hỏi đặt F ( X ) có giảm hay khơng Ta tư F ( X ) giảm có nghĩa phương trình f ( x ) = có nghiệm Để kiểm tra dự đốn ta sử dụng chức dò nghiệm SHIFT SOLVE i2$Q)$pi2$Q)p2qr3= Máy tính Casio báo phương trình khơng có nghiệm Vậy dấu = khơng xảy ➢ Tóm lại f ( x )   m  D đáp án xác ❖ Cách tham khảo : Tự luận ▪ Điều kiện : x  2    x  ▪ Phương trình  m = log    m = log 1 +   x−2  x−2 2     log 1 + ▪ Vì x  nên x −   +   log = x−2  x−2   Vậy m = log 1 + 0  x−2 ❖ Bình luận : • Một tốn mẫu mực dạng tìm tham số m ta giải cách kết hợp chức lập bảng giá trị MODE chức dò nghiệm SHIFT SOLVE cách khéo léo Trang 143 Tài liệu lưu hành nội TÓM TẮT KỸ THUẬT SỬ DỤNG CASIO – VINACAL HỔ TRỢ GIẢI ĐỀ THI MƠN TỐN 2017 Khơng tìm b  Đáp án A sai    ➢ Với đáp án B ta có b  A − ln b  − =   Q)(Qzpa1R4$hQ)))paqKR4qr=0.5= thỏa điều kiện  a  1.1  b   Đáp số B xác tốn b=2a = ❖ Bình luận : • Một tốn hay kết hợp lệnh tính tích phân lệnh dò nghiệm SHIFT SOLVE  • cos x  sin x + cos x dx Cách Casio có thêm ưu điểm tránh tích phân khó BÀI TẬP TỰ LUYỆN  Bài 1-[Chuyên Khoa học tự nhiên 2017] Nếu  sin n x cos xdx = A B n : 64 C D Bài 2-[Báo Toán Học Tuổi Trẻ tháng 12 năm 2016] Tích phân  3x x + : A ln Bài 3-[Group Nhóm Tốn 2107] Tích phân e x ln A ln B ln D −3 C −5 B dx : + 2e − x − C ln  a Bài 4-[THPT Nho Quan – Ninh Bình 2017] Cho D ln cos x  + 2sin x dx = ln Tìm giá trị a : A B C D a Bài 5-[Báo THTT tháng 11 năm 2016] Giá trị a để  ( 3x + ) dx = a + ?: C B A D x + ln x dx : Bài 6-[THPT Thuận Thành – Bắc Ninh 2017] Tính tích phân I =  x e A I = e − Trang 172 B I = e2 + C I = e + D I = e2 Tài liệu lưu hành nội TÓM TẮT KỸ THUẬT SỬ DỤNG CASIO – VINACAL HỔ TRỢ GIẢI ĐỀ THI MƠN TỐN 2017  Bài 1-[Chuyên Khoa học tự nhiên 2017] Nếu  sin n x cos xdx = A B n : 64 C D GIẢI  ▪ Với n = tính giá trị tích phân  sin x cos xdx = 1   Đáp án A sai 24 64 yjQ))dOkQ))R0EaqKR6=  ▪ Với n = tính giá trị tích phân  sin x cos xdx =  Đáp án B xác 64 yjQ))^3$OkQ))R0EaqKR6= ▪ Chú ý: Tự luận với dấu hiệu “xuất cụm cos xdx ” ta đặt t = sin x Bài 2-[Báo Toán Học Tuổi Trẻ tháng 12 năm 2016] Tích phân  3x x + 1dx : A D −3 C −5 B GIẢI ▪ Tính tích phân  3x x + =  Đáp số xác B y3Q)sQ)d+1R0Es3= ▪ Chú ý: Tự luận với dấu hiệu “xuất thức” ta đặt thức ẩn phụ Đặt t = x2 +  t = x2 + Vi phân hai vế  2xdx = 2tdt  xdx = tdt x =  t = Đổi biến :  Khi tích phân trở thành  3t.tdt = t = 1 x =  t = ln dx Bài 3-[Group Nhóm Tốn 2107] Tích phân  x : e + 2e − x − ln A ln B ln C ln D ln GIẢI dx 3 = 0.4054 = ln    Đáp số xác C ▪ Tính tích phân  x −x e + 2e − 2 ln ln ya1RQK^Q)$+2QK^pQ)$p3Rh3)Eh5)= Trang 173 Tài liệu lưu hành nội TÓM TẮT KỸ THUẬT SỬ DỤNG CASIO – VINACAL HỔ TRỢ GIẢI ĐỀ THI MƠN TỐN 2017 ▪ Chú ý: Tự luận với dấu hiệu “xuất e x ” ta đặt e x ẩn phụ Đặt t = e x Vi phân hai vế  e x dx = dt ln 5  x = ln  t = e x dx dt 3 = = = ln   Đổi biến :  Khi tích phân trở thành  x x  e − 3e + t − 3t + 2  x = ln  t = ln  a Bài 4-[THPT Nho Quan – Ninh Bình 2017] Cho cos x  + 2sin x dx = ln Tìm giá trị a : A B C D GIẢI  ▪ Thử với a = Tính tích phân cos x  + 2sin x dx = 0.2512  ln  Đáp số A sai qw4yak2Q))R1+2j2Q))R0EaqKR3=  ▪ Thử với a = Tính tích phân cos x  + 2sin x dx = 0.2746 = ln  Đáp số C sai $$E$R$o4= ▪ Chú ý: Tự luận với dấu hiệu “xuất cụm cos 2xdx ” ta đặt sin 2x = t ẩn phụ a Bài 5-[Báo THTT tháng 11 năm 2016] Giá trị a để  ( 3x + ) dx = a + ?: A B a ▪ Thiết lập phương trình  ( 3x C GIẢI D + ) dx − ( a + ) = Vì đề cho sẵn nghiệm nên ta sử dụng phép thử Với a = vế trái phương trình :  ( 3x + ) dx − (13 + ) =  Đáp án B Wy(3Q)d+2)R0E1$p(1+2)= e Bài 6-[THPT Thuận Thành – Bắc Ninh 2017] Tính tích phân I =  A I = e − Trang 174 B I = e +1 2 C I = e + x + ln x dx : x D I = e2 Tài liệu lưu hành nội TÓM TẮT KỸ THUẬT SỬ DỤNG CASIO – VINACAL HỔ TRỢ GIẢI ĐỀ THI MƠN TỐN 2017 GIẢI x + ln x e +1 ▪ Tính tích phân I =  dx = 4.1945 =  Đáp số xác B x e 2 yaQ)d+2hQ))RQ)R1EQK= e e ▪ Chú ý: Tự luận ta nên tách tích phân thành tích phân để dễ xử lý : I =  xdx + 2 ln x dx x 1 1 Nếu tích phân “xuất cụm dx “ Đặt ln x = t Vi phân hai vế  dx = dt x x e x = 1 t = e +1 Đổi biến :  Khi tích phân trở thành  xdx +  tdt = x = e  t = 1 o Trang 175 Tài liệu lưu hành nội TÓM TẮT KỸ THUẬT SỬ DỤNG CASIO – VINACAL HỔ TRỢ GIẢI ĐỀ THI MƠN TỐN 2017 PHƯƠNG PHÁP CASIO – VINACAL BÀI 20 TÍNH NHANH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG 1) KIẾN THỨC NỀN TẢNG Diện tích hình phẳng giới hạn hai đồ thị hàm số y = f ( x ) , y = g ( x ) hai đường thẳng x = a, x = b tính theo công thức b S =  f ( x ) − g ( x ) dx (1) (Dạng 1) a Quy ước : Trong học ta gọi đường thẳng x = a cận thứ , x = b cận thứ hai Chú ý : Khi đề khơng cho hai cận hai cận có dạng x = x1 , x = x2 với x1 , x2 hai nghiệm phương trình hồnh độ giao điểm Diện tích hình phẳng giới hạn hai đồ thị hàm số x = f ( y ) , x = g ( y ) hai cận y = a, y = b tính theo cơng thức : b S =  f ( y ) − g ( y ) dy (2) (Dạng 2) a Tổng hợp phương pháp (gồm bước) +)Bước 1: Xác định rõ hai hàm y = f ( x ) , y = g ( x ) x = f ( y ) , x = g ( y ) +)Bước 2: Xác định rõ cận x = a, x = b y = a, y = b +)Bước 3: Lắp vào công thức (1) hoăc (2) sử dụng máy tính casio 2) VÍ DỤ MINH HỌA VD1-[Đề minh họa mơn Tốn Bộ GD-ĐT lần 1năm 2017] Tính diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y = x3 − x đồ thị hàm số y = x − x A 37 12 B 81 C 12 D 13 GIẢI ➢ Ta có hai hàm số y = x − x y = x − x x = ➢ Giải phương trình hồnh độ giao điểm x − x = x − x  x + x − x =   x =  x = −2 Ta có cận x = 0; x = 1; x = −2 mà cơng thức có cận ta chia thành khoảng cận −2  x   x  ➢ Diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị y = x3 − x , y = − x hai đường thẳng x = −2; x = S1 =  (x 3 − x ) − ( x − x ) dx −2 Diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị y = x3 − x , y = − x hai đường thẳng ( ) ( ) x = 0; x = S =  x − x − x − x dx 0 ➢ Vậy tổng diện tích S =  (x −2 − x ) − ( x − x ) dx +  ( x − x ) − ( x − x ) dx Sử dụng Casio với lệnh tính tích phân Trang 176 Tài liệu lưu hành nội TÓM TẮT KỸ THUẬT SỬ DỤNG CASIO – VINACAL HỔ TRỢ GIẢI ĐỀ THI MƠN TỐN 2017 yqc(Q)^3$pQ))p(Q)pQ)d)Rp2E0$+yqc(Q)^3$pQ))p(Q)pQ)d)R0E1 = 37 ta chọn đáp án xác A 12 ❖ Bình luận : • Thật tuyệt vời phải khơng, tư theo bước kết hợp Casio ta làm liên quan đến tính diện tích hình phẳng VD2-[Đề cương chuyên KHTN Hà Nội năm 2017] Cho miền ( D ) giới hạn đồ thị hàm số y = ln ( x + 1) , y = ln x , x = Diện tích miền phẳng Vậy S = ( D ) : A ln 16 C ln ( ) B − ln 2 + − 3ln + ( ) + + 3ln − 16 + ln + 27 D ln 16 + ln 27 +1 GIẢI ➢ Ta có hai hàm số y = ln ( x + 1) y = ln x ➢ Cận x = ta tìm cận cách giải phương trình hồnh độ giao điểm ln ( x + 1) = ln x  ln ( x + 1) − ln x = Để giải nhanh phương trình ta sử dụng Casio với chức dò nghiệm SHIFT SOLVE hQ)+1)ph2)OsQ)qr2= Ta nghiệm x = Vậy ta tìm hai cận x = 1; x = ➢ Diện tích hình phẳng giới hạn hai hàm số y = ln ( x + 1) , y = ln x hai đường thẳng x = 1; x = S =  ln ( x + 1) − ln x dx Sử dụng Casio với lệnh tính tích phân yqchQ)+1)ph2)OsQ)R1E2= Vậy S = 0, 0646 Tính giá trị xem đáp án có kết 0, 0646 đáp án xac  ta chọn B ❖ Bình luận : • Việc tìm nghiệm phương trình hồnh độ giao điểm hay tung độ giao điểm mà phức tạp ta tính nhanh kỹ thuật dò nghiệm với chức SHIFT SOLVE học trước VD3-[Th thử website Vnmath.com lần năm 2017] Đường thẳng y = c chia hình phẳng giới hạn đường cong y = x đường thẳng y = thành hai phần Tìm c Trang 177 Tài liệu lưu hành nội TÓM TẮT KỸ THUẬT SỬ DỤNG CASIO – VINACAL HỔ TRỢ GIẢI ĐỀ THI MƠN TỐN 2017 A B 16 C 2 D 3 GIẢI ➢ Hai hàm số y = x y = Giải phương trình hồnh độ giao điểm x − =  x = 2 Vậy cận thứ x = −2 cận thứ hai x = ➢ Diện tích hình phẳng giới hạn hai đồ thị hàm số y = x , y = hai đường thẳng 2 x = −2, x = : S =  x − dx −2 Sử dụng Casio với lệnh tính tích phân yqcQ)dp4Rp2E2= 16 32  nửa diện tích 3 ➢ Vì đường thẳng y = c chia hình phẳng S thành phần  Diện tích hình phẳng 16 giới hạn đường cong y = x , đường thẳng y = c có độ lớn 3 ➢ Thử với đáp án A ta có y = 16 Giải phương trình hồnh độ giao điểm Vậy S = x = 16  x =  16  S1 = 16  x − 16 dx − 16 yqcQ)dpqs16Rpq^6$16Eq^6$16= 16 (đúng)  đáp án xác A VD4-[Đề cương chuyên KHTN Hà Nội năm 2017] Tính diện tích hình phẳng giới hạn y = x + trục Oy : Vậy S1 = A C B D 16 GIẢI ➢ Hai hàm số x = y − trục Oy có phương trình x = Giải phương trình tung độ giao điểm y − =  y = 1 Vậy cận thứ y = −1 cận thứ hai y = ➢ Diện tích hình phẳng giới hạn hai đồ thị hàm số x = y − , x = hai đường thẳng y = −1, y = : S =  (y − 1) − dy −1 Sử dụng Casio với lệnh tính tích phân yqcQ)dp1Rp1E1=  đáp số xác C ❖ Bình luận : Vậy S = Trang 178 Tài liệu lưu hành nội TÓM TẮT KỸ THUẬT SỬ DỤNG CASIO – VINACAL HỔ TRỢ GIẢI ĐỀ THI MÔN TỐN 2017 • Bài tốn nên đưa dạng dễ dàng tính tốn Nếu đưa dạng ta phải tính y =  x + lại phải tìm cận khó • Ta hiểu với máy tính X hay Y kí hiệu nên S =  ( y − 1) − dy =  ( x − 1) − dx −1 −1 Nên ta thực phép tính với máy tính casio VD5-[Sách tập Nâng cao Giải tích lớp 12 t.153] Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường cong x = y , đường cong x + y = trục hoành C B A D GIẢI ➢ Hai hàm số x = y x = − y Trục hồnh có phương trình y =  cận thứ y = Để tìm cần thứ hai ta giải phương trình tung độ giao điểm : y = − y Để giải nhanh ta sử dụng chức dò nghiệm SHIFT SOLVE Q)^a2R3$$+Q)^4$p2qr1= cận thứ hai y = ➢ Diện tích hình phẳng giới hạn hai đồ thị hàm số x = y , x = − x hai đường thẳng  2 y = 0, y = : S =   y  − − y dy   Sử dụng Casio với lệnh tính tích phân ( ) yqcQ)^a2R3$$p2+Q)^4R0E1= Vậy S =  đáp số xác A ❖ Bình luận : • Do cài đặt làm tròn máy tính máy nên ta nhanh nhạy việc làm tròn để tìm đáp án VD6-[Thi thử lớp tốn thầy Bình lần năm 2017] y2 =1 Tính diện tích hình phẳng giới hạn Elip có phương trình x + 9 A B  C 3 D 7 GIẢI ➢ Ta có x + x = 1− Trang 179 2 y y y2 y2 =  x2 = −  x =  1−  Hai hàm số x = − − 9 9 y2 Tài liệu lưu hành nội TÓM TẮT KỸ THUẬT SỬ DỤNG CASIO – VINACAL HỔ TRỢ GIẢI ĐỀ THI MƠN TỐN 2017 Để tìm hai cận ta giải phương trình tung độ giao điểm : y2 y2 y2 = 1−  1− =  y =  y = 3 9 cận thứ y = −3 cận thứ hai y = − 1− ➢ Diện tích hình phẳng giới hạn hai đồ thị hàm số x = − − đường thẳng y = −3, y = : S =  −3 1− y2 y2 , x = 1− hai 9 y2  y2  −  − −  dy   Sử dụng Casio với lệnh tính tích phân yqc2s1paQ)dR9Rp3E3= Vậy S = 9.4247 = 3  đáp số xác B ❖ Bình luận : • Trong chương trình lớp 10 sách giáo khoa đề cập đến tính chất hình Elip chưa đề cập đến cơng thức tính diện tích Elip việc sử dụng tích phân để tính diện tích Elip ứng dụng tuyệt vời VD7-[Thi học sinh giỏi tỉnh Phú Thọ năm 2017] Người ta trồng hoa vào phần đất tô màu đen giới hạn cạnh AB, CD đường trung bình MN mảnh đất hình chữ nhật ABCD đường cong hình sin (như hình vẽ) Biết AB = 2 ( m ) , AD = ( m) Tính diện tích đất phần lại (đơn vị tính m ) A 4 − C 4 − B (  − 1) D 4 − GIẢI ➢ Diện tích hình chữ nhật ABCD : S1 = AB.CD = 4 ( m ) ➢ Hình sin có biên độ 1 chu kì 2 nên có phương trình : y = sin x Gắn hinh lên trục tọa độ Oxy với gốc tọa độ O giao điểm đồ thị hình sin với trục hồnh MN  Ta có diện tích hình mầu đen bên phải trục hoành : S =  sin x − dx = qw4yqcjQ))p0R0EqK= ➢ Diện tích cần tìm = S1 − 2S2 = 4 −  đáp số xác B ❖ Bình luận : Nếu đề thay đổi thành AD = biên độ hình sin 2 có phương trình y = 2sin x VD8-[Đề minh họa Bộ GD-ĐT lần năm 2017] Trang 180 Tài liệu lưu hành nội TÓM TẮT KỸ THUẬT SỬ DỤNG CASIO – VINACAL HỔ TRỢ GIẢI ĐỀ THI MƠN TỐN 2017 Cho hình thang cong ( H ) giới hạn đường y = e x , y = 0, x = x = ln Đường thẳng x = k (  k  ln ) chia ( H ) thành hai phần có diện tích S1 , S2 hình vẽ bên Tìm k để S1 = 2S2 A k = ln B k = ln C k = ln D k = ln 3 GIẢI ➢ Gọi S diện tích hình ( H ) ta có S = ln  e x − dx = yqcQK^Q)R0Eh4)= k ➢ Vì S1 = 2S2 mà tổng diện tích  S1 =   e x dx = Thử đáp án ta có k = ln yqcQK^Q)R0Eh3)=  Đáp số xác D VD9-[Đề minh họa Bộ GD-ĐT lần năm 2017] Ơng An có mảnh vườn hình Elip có độ dài trục lớn 16m độ dài trục bé 10m Ông muốn trồng hoa dải đất rộng 8m nhận trục bé Elip làm trục đối xứng (như hình vẽ) Biết kinh phí để trồng hoa 100.000 đồng m Hổi ông An cần tiền để trồng hoa dải đất ? (Số tiền làm tròn đến hàng ngàn) A 7.862.000 B 7.653.000 C 7.128.000 D 7.826.000 GIẢI ➢ ➢ Xét hệ tọa độ Oxy đặt vào tâm khu vườn, phương trình Elip viền khu vườn x2 y + =1 64 25 x2 Xét phần đồ thị Elip nằm phía trục hồnh có y = − 64 Diện tích S dải đất lần phần hình phẳng giới hạn đồ thị y = f ( x ) , trục hoành, đường thẳng x = −4 , đường thẳng x = 4  S =  1− −4 x2 − dx = 76.5389182 64 2yqc5s1paQ)dR64Rp4E4= Trang 181 Tài liệu lưu hành nội TÓM TẮT KỸ THUẬT SỬ DỤNG CASIO – VINACAL HỔ TRỢ GIẢI ĐỀ THI MƠN TỐN 2017  Số tiền cần 100.000S O100000=  Đáp số xác B BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 1-[Thi thử chuyên KHTN Hà Nội lần năm 2017] Diện tích hình phẳng giới hạn đường cong y = x , đường thẳng y = − x trục hoành miền x  : A B C 14 15 C 15 D D 15 Bài 2-[Thi thử chuyên Vị Thanh – Hậu Giang năm 2017] Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường y = x + x − y = x + x − A 15 B Bài 3-[Đề cương chuyên KHTN Hà Nội năm 2017] Diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y = x + y = x + : 10 A 20 B A − ln B − ln 40 C D 52 Bài 4-[Thi thử nhóm tốn Đồn Trí Dũng lần năm 2017] Tính diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y = x đồ thị hàm số y = − x trục tung C 5− ln D + Bài 5-[Đoàn Quỳnh -Sách tập trắc nghiệm tốn 12] Biết diện tích S hình phẳng giới hạn đường y = ln x , y = , x =  1 viết dạng S = a 1 −  Tìm khẳng định sai :  e A B C a2 + 3a − = a − 3a + = a −a−2=0 D ln , x = e e a − 3a − = Bài 6-[Đề cương chuyên KHTN Hà Nội năm 2017] Diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số ( P ) : y = x − x + tiếp tuyến với ( P ) qua điểm A ( 2; −2 ) : A B 64 16 C D 40 Bài 7-[Thi thử THPT Lương Thế Vinh – Hà Nội lần năm 2017] Diện tích hình phẳng giới hạn đường cong y = ax ( a  ) , trục hoành đường thẳng x = a ka Tính giá trị tham số k Trang 182 Tài liệu lưu hành nội TÓM TẮT KỸ THUẬT SỬ DỤNG CASIO – VINACAL HỔ TRỢ GIẢI ĐỀ THI MƠN TỐN 2017 A k = B k = C k= 12 D k = LỜI GIẢI BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 1-[Thi thử chuyên KHTN Hà Nội lần năm 2017] Diện tích hình phẳng giới hạn đường cong y = x , đường thẳng y = − x trục hoành miền x  : 10 C B A D GIẢI x = ▪ Phương trình hồnh độ giao điểm x = − x   Tuy nhiên đề yêu cầu tính diện tích  x = −2 miền x   Ta tính diện tích hình phẳng miền 0;1  Cận thứ x = , cận thứ hai x = ▪ Diện tích cần tính : S =  x − ( − x ) dx = yqcQ)dp(2pQ))R0E1= ▪ Chú ý: Nếu đề khơng u cầu tính diện tích hình phẳng miền x  ta tính toàn miền  −2;0 Ta có : S =  x − ( − x ) dx = −2 Nếu đề u cầu tính diện tích hình phẳng miền x  ta tính miền  −2;0 Ta có : 10 −2 Các e học sinh ý điều dễ gây nhầm lẫn Bài 2-[Thi thử chuyên Vị Thanh – Hậu Giang năm 2017] Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường y = x + x − y = x + x − S =  x − ( − x ) dx = A 15 C 15 14 B 15 D 15 GIẢI x = ▪ Phương trình hồnh độ giao điểm x + x − = x + x −  x − x =  x ( x − 1)   x =  x = −1  Ta có cận thứ x = −1 , cận thứ hai , cận thứ ba x = 1 ▪ Diện tích cần tính : S =  ( x + x − 1) − ( x + x − 1) dx +  ( x + x − 1) − ( x + x − 1) dx = −1 15 yqc(Q)d+Q)p1)p(Q)^4$+Q)p1)Rp1E0$+yqc(Q)d+Q)p1)p(Q)^4+Q)p1)R 0E1=  Đáp số xác C ▪ Chú ý: Em hiểu phép biến đổi tính diện tích bấm máy theo công thức Trang 183 Tài liệu lưu hành nội TÓM TẮT KỸ THUẬT SỬ DỤNG CASIO – VINACAL HỔ TRỢ GIẢI ĐỀ THI MƠN TỐN 2017 −1 S =  x2 − x4 dx +  x − x dx rút gọn thao tác bấm máy Bài 3-[Đề cương chun KHTN Hà Nội năm 2017] Diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y = x + y = x + : A 10 B 40 20 C D 52 GIẢI ▪ Phương trình hồnh độ giao điểm x + = x +  x + = x +  x − x − = (1) Với x   (1)  x − x − =  x = (vì x  ) Với x   (1)  x + x − =  x = −2 (vì x  )  Cận thứ x = −2 , cận thứ hai x = 20 ▪ Diện tích cần tính : S =  x + − ( x + 3) dx = −2 yqcQ)d+1pqcQ)$p3Rp2E2=  Đáp số xác B ▪ Chú ý: Phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối x2 − x − = giải Casio thay chia khoảng để phá dấu giá trị tuyệt đối Q)dpqcQ)$p2qrp5= qr5=  Ta tìm hai nghiệm x = −2; x = Bài 4-[Thi thử nhóm tốn Đồn Trí Dũng lần năm 2017] Tính diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y = x đồ thị hàm số y = − x trục tung A − ln B − ln C 5− ln D + ln GIẢI ▪ Đề cho trục tung có phương trình x = nên cận thứ x = Phương trình hồnh độ giao điểm x = − x  x = nghiệm  cận thứ hai x = 1 ▪ Diện tích cần tính : S =  x − ( − x ) dx = 1.0573 = − ln yqc2^Q)$p(3pQ))R0E1=  Đáp số xác A ▪ Chú ý: Để giải phương trình x = − x ta sử dụng máy tính Casio 2^Q)$Qr3pQ)qr1= Trang 184 Tài liệu lưu hành nội TÓM TẮT KỸ THUẬT SỬ DỤNG CASIO – VINACAL HỔ TRỢ GIẢI ĐỀ THI MƠN TỐN 2017 Ta nhận nghiệm x = Tuy nhiên x = lại nghiệm xem lại “Sử dụng Casio tìm nghiệm phương trình mũ.” Bài 5-[Đồn Quỳnh -Sách tập trắc nghiệm tốn 12] Biết diện tích S hình phẳng giới hạn đường y = ln x , y = , x = , x = e e  1 viết dạng S = a 1 −  Tìm khẳng định sai :  e A B C a2 + 3a − = D a − 3a + = a −a−2=0 a − 3a − = GIẢI e ▪ Diện tích hình phẳng giới hạn y = ln x , y = , x = , x = e : S =  ln x − dx = 1.2642 e e yqchQ))Ra1RQKEEQK= ▪ S  1 =2 Vì S = a 1 −   a =  e 1− e P(1pa1RQK$)= Chỉ có phương trình câu C khơng chứa nghiệm  đáp án C đáp án xác ▪ Chú ý: Bài khơng cần dùng đến kiến thức tích phân làm Đề yêu cầu tìm đáp án mà số a không thỏa mãn  a nghiệm chung phương trình Mà nghiệm chung phương trình nên đáp số C khơng thỏa mãn Bài 6-[Đề cương chuyên KHTN Hà Nội năm 2017] Diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số ( P ) : y = x − x + tiếp tuyến với ( P ) qua điểm A ( 2; −2 ) : 16 C 64 B A D 40 GIẢI ▪ Viết phương trình tiếp tuyến qua A ( 2; −2 ) ta thu Tiếp tuyến thứ y = −2 x + với tiếp điểm B ( 0;2 ) Tiếp tuyến thứ hai y = x − 14 với tiếp điểm C ( 4;10 ) Ta hiểu hình phẳng cần tính diện tích phần đường cong có đỉnh A, B, C ta thu ba cận : x = 0; x = 2; x = 4  S =  ( x − x + ) − ( −2 x + ) dx +  ( x − x + ) − ( x − 14 ) dx = Trang 185 16 Tài liệu lưu hành nội TÓM TẮT KỸ THUẬT SỬ DỤNG CASIO – VINACAL HỔ TRỢ GIẢI ĐỀ THI MƠN TỐN 2017 yqc(Q)dp2Q)+2)p(p2Q)+2)R0E2$+yqc(Q)dp2Q)+2)p(6Q)p14)R2E4=  Đáp số xác C ▪ Chú ý: Để biết tiếp tuyến lại y = −2 x + 2; y = x − 14 xem lại Casio tìm tiếp tuyến đồ thị hàm số Giải thích cơng thức (1) : Trên miền x  0;2 ta thấy hai cận hình thành hai đường cong y = x − x + 2; y = −2 x + nên diện tích phải tính theo cơng thức  (x − x + ) − ( −2 x + ) dx Bài 7-[Thi thử THPT Lương Thế Vinh – Hà Nội lần năm 2017] Diện tích hình phẳng giới hạn đường cong y = ax ( a  ) , trục hoành đường thẳng x = a ka Tính giá trị tham số k B k = A k = C k= 12 D k = GIẢI ▪ Xét phương trình hồnh độ giao điểm đường cong trục hoành : ax =  x = Ta cận thứ x = cận thứ hai x = a Khi diện tích hình phẳng : a S =  ax − dx a a ▪ Thiết lập quan hệ 2 ax − dx = ka  k = 2 a = k = ax − dx a2 Chọn giá trị dương a ví dụ a 3x − dx = 1.33 ( 3) =  90 a1R9$Oy2s3Q)R0E3= Ra kết khác đáp án A sai  Đáp số xác B ▪ Chú ý: Dù ta chọn giá trị dương a đáp số k Khi k = 1.1252 1.125  1.125 x − dx = 1.33 ( 3) = ví dụ ta chọn a = 1.125 a1R1.125d$y2s1.125Q)R0E1.125= Trang 186 Tài liệu lưu hành nội ... liệu lưu hành nội TÓM TẮT KỸ THUẬT SỬ DỤNG CASIO – VINACAL HỔ TRỢ GIẢI ĐỀ THI MÔN TOÁN 2017 ln x + − ln x − + C C 3 D − ln x + + ln x − + C LỜI GIẢI BÀI TẬP TỰ LUYỆN sin x Bài 1-[ THPT Phạm Văn Đồng... Tài liệu lưu hành nội TÓM TẮT KỸ THUẬT SỬ DỤNG CASIO – VINACAL HỔ TRỢ GIẢI ĐỀ THI MÔN TOÁN 2017 GIẢI ❖ Cách : CASIO ➢ Đặt log x − − log ( x + 1) = f ( x ) m = f ( x ) (1) Bài toán tìm tham số m... Bài 4-[ Thi HK1 THPT Ngơ Thì Nhậm - HN năm 2017] Phương trình log3 x − log3 ( x − ) = log m vô nghiệm : Trang 147 Tài liệu lưu hành nội TÓM TẮT KỸ THUẬT SỬ DỤNG CASIO – VINACAL HỔ TRỢ GIẢI ĐỀ THI