Phần GIẢI TÍCH Chƣơng I ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ I KIẾN THỨC VÀ KỸ NĂNG CẦN THIẾT Kiến thức Theo u cầu chuẩn kiến thức mơn Tốn lớp 12 THPT hành, học sinh cần hiểu, nhớ khái niệm kết đƣợc trình bày sách giáo khoa (SGK) Giải tích 12 hành Cụ thể:               Các khái niệm: Định nghĩa hàm số đồng biến, nghịch biến khoảng, đoạn nửa khoảng; Định nghĩa điểm cực trị (điểm cực tiểu, điểm cực đại) hàm số; Định nghĩa giá trị cực trị (còn gọi tắt cực trị) hàm số; Định nghĩa điểm cực trị (điểm cực tiểu, điểm cực đại) đồ thị hàm số; Định nghĩa giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số tập hợp số; Định nghĩa đường tiệm cận ngang (còn gọi tắt tiệm cận ngang), đường tiệm cận đừng (con gọi tắt tiệm cận đứng ) đồ thị hàm số Các kết quả: Định lý mở rộng mối liên hệ tính đơng biến, nghịch biến hàm số khoảng, đoạn hay nửa khoảng dấu đạo hàm hàm số khoảng, đoạn hay nửa khoảng ấy; Quy tắc xét tính đông biến, nghịch biến hàm số khoảng, đoạn hay nửa khoảng; Định lý điều kiện đủ để hàm số có điểm cực trị (hoặc có cực trị); Quy tắc tìm điểm cực trị (hoặc cực trị) hàm số; Quy tắc tìm giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số liên tục đoạn; Sơ đồ khảo sát vẽ đồ thị hàm số;  a  0 ; y  ax4  bx  c  a    Dạng đồ thị hàm số bậc ba y  ax3  bx  cx  d  Dạng đồ thị hàm số trùng phƣơng ax  b  c  0, ad  bc  0 ; cx  d  Kết hoành độ giao điểm đồ thị hàm số y  f ( x) đồthị hàm số y  g ( x)  Dạng đồ thị hàm số phân tuyến tính y  Kỹ Theo yêu cầu Chuẩn kỹ mơn Tốn lớp 12 THPT hành, học sinh cần luyện tập để thành thục kỹ dƣới đây: Trang http://topdoc.vn - Chia sẽ, cung cấp tài liệu, giáo án, đề thi, sách tham khảo, file word           Có khả tái khái niệm, két nêu mục đây, tình cụ thể; Biết dựa vào đạo hàm cấp một hàm số để khảo sát tính đồng biến, nghịch biến hàm số khoảng, đoạn hay nửa khoảng Biết cách tìm điểm cực trị, cac giá trị cực trị hàm số Biết cách tìm giá trị lớn nhât, giá trị nhỏ hàm số liên tục đoạn hay khoảng Biết cách tìm đƣờng tiệm cận (đứng, ngang) đồ thị hàm số (nếu có) Biết cách lập, cach đọc bảng biến thiên hàm số Biết cách vẽ đọc đồ thị hàm số Biết dựa vào dạng đồ thị, nêu mục đây, để xác định dạng hàm số tƣơng ứng Biết dựa vào bảng biến thiên đồ thị hàm số để xác định số giao điểm đồ thị hàm số đƣờng thẳng song song với trục hoảnh Biết cách xác định số điểm chung, tọa độ điểm chung đồ thị hàm số y  f ( x) đồ thị hàm số y  g ( x) Một số ví dụ Các ví dụ dƣới minh họa cho việc vận dụng kiến thức kỹ nêu mục để xử lý, trả lời câu hỏi trắc nghiệm có nội dung thuộc phạm vi nội dung chƣơng Ví dụ (Câu Đề minh họa mơn Tốn kỳ thi THPT quốc gia năm 2017 Bộ GD&ĐT): Đường cong hình bên đồ thị hàm số bốn hàm số liệt kê bốn phương án A, B, C, D Hỏi hàm số hàm số nào? A y   x  x  B y   x3  3x  C y  x  x  D y  x3  3x   Phân tích: Nhận thấy, từ đƣờng cong cho ta thu đƣợc thơng tin hình dạng Vì thế, để trả lời câu hỏi đặt ra, cần dựa vào dạng đồ thị hàm số đƣợc đề cập phƣơng án A, B, C D Có hai cách để thực điều này: Trang http://topdoc.vn - Chia sẽ, cung cấp tài liệu, giáo án, đề thi, sách tham khảo, file word  Cách 1: Khảo sát lập bảng biến thiên (hoặc vẽ đồ thị) hàm số cho phƣơng án, dựa vào bảng biên thiên lập đƣợc (hoặc dựa vào hình dạng đồ thị vẽ đƣợc), tìm hàm sơ thỏa mãn u cầu đề  Cách 2: Dựa vào dạng đồ thị loại hàm số đƣợc đề cập bốn phƣơng án , đƣợc tổng kết SGK Giải tích 12, để tìm hàm số thỏa mãn u cầu đề Hiển nhiên làm theo cách nhiều thời gian để giải đƣợc tình đặt Tuy nhiên, cách học sinh khơng nhớ bảng tổng kết dạng đồ thị nêu mục Dƣới hƣớng dẫn giải theo cách  Hướng dẫn giải : Kí hiệu  C  đƣờng cong cho Nhận thấy , hàm số cho phƣơng án thuộc loại hàm số: bậc hai, bậc ba trùng phƣơng Căn dạng đồ thị loại hàm số vừa nêu, ta thấy  C  đồ thị hàm số bậc ba với hệ số a x số dƣơng Từ đó, kết hợp với giả thiết  C  đồ thị hàm số hàm số nêu phƣơng án, suy hàm số cần tìm hàm số phƣơng án D  Nhận xét: Từ hƣớng dẫn giải nêu trên, thấy câu hỏi ví dụ câu hỏi nhằm kiểm tra khả nhận dạng hàm số nhờ đồ thị nó, tình cụ thể Vì thế, câu hỏi câu hỏi cấp độ “nhận biết” Ví dụ (Câu Đề minh họa mơn Tốn kỳ thi THPT quốc gia năm 2017 Bộ GD&ĐT): Cho hàm số y  f ( x) có lim f ( x)  lim f ( x)  1 Khẳng định sau khẳng x  x  định đúng? A Đồ thị hàm số cho khơng có tiệm cận ngang B Đồ thị hàm số cho có tiệm cận ngang C Đồ thị hàm số cho có hai tiệm cận ngang đường thẳng y  y  1 D Đồ thị hàm số cho có hai tiệm cận ngang đường thẳng x  x  1    Phân tích: Vì điều quan tâm phƣơng án A, B, C, D đƣờng tiệm cận ngang đứng đồ thị hàm số nên hiển nhiên cần dựa vào định nghĩa đƣờng tiệm cận để chọn phƣơng án trả lời Hướng dẫn giải: Từ định nghĩa tiệm cận ngang đồ thị hàm số dễ thấy khẳng định đƣợc nêu phƣơng án C khẳng định Nhận xét: Câu hỏi ví dụ câu hỏi nhằm kiểm tra việc hiểu định nghĩa tiệm cận ngang đồ thị hàm số khả tái khái niệm tình cụ thể Vì thế, câu hỏi câu hỏi cấp độ “nhận biết” Trang http://topdoc.vn - Chia sẽ, cung cấp tài liệu, giáo án, đề thi, sách tham khảo, file word Ví dụ (Câu Đề minh họa mơn Tốn kỳ thi THPT quốc gia năm 2017 Bộ GD&ĐT): Cho hàm số y  f ( x) xác định, liên tục có bảng biến thiên: Khẳng định sau khẳng định đúng? A Hàm số có cực trị B Hàm số có giá trị cực tiểu C Hàm số có giá trị lớn giá trị nhỏ 1 D Hàm số đạt cực đại x  đạt cực tiểu x     Phân tích: Vì thơng tin hàm số f ( x) đƣợc cho bảng biến thiên nên suy cần dựa vào quy định việc điền thông tin vào bảng biến thiên để khai thác từ bảng thơng tin cần thiết, làm cho việc tìm phƣơng án trả lời Hướng dẫn giải: Với việc nắm vững thông tin đƣợc thể bảng biến thiên, dễ thấy D khẳng định Nhận xét: Có thể thấy, câu hỏi Ví dụ câu hỏi nhằm kiểm tra khả tái quy trình điền thơng tin vào bảng biến thiên hàm số, tình cụ thể, từ rút kết luận cần thiết tính chất hàm số cho Vì thế, câu hỏi câu hỏi cấp độ “thông hiểu” Ví dụ (Câu Đề minh họa mơn Tốn kỳ thi THPT quốc gia năm 2017 Bộ GD&ĐT): Tìm giá trị nhỏ hàm số y  A y   2;4 C y  3 2;4  x2  đoạn  2; 4 x 1 B y  2 2;4 D y  2;4 19 Phân tích: Có thể thấy, câu hỏi này, đáp án A, B, C, D không cho ta gợi ý việc định hƣớng tìm cách giải yêu cầu đặt Vì thế, chúng đóng Trang http://topdoc.vn - Chia sẽ, cung cấp tài liệu, giáo án, đề thi, sách tham khảo, file word vai trò liệu đối chiếu Do đó, cách để trả lời câu hỏi đặt tìm giá trị nhỏ hàm số cho đoạn  2; 4 , đối chiếu với đáp án A, B, C, D để   tìm đáp án Hướng dẫn giải: Sử dụng quy tắc đƣợc học, tìm giá trị nhỏ hàm số cho đoạn  2; 4 Đáp án A đáp án Nhận xét: câu hỏi Ví dụ câu hỏi nhằm kiểm tra khả áp dụng “thô” quy tắc đƣợc học vào việc giải tập đơn giản Vì thế, câu hỏi câu hỏi cấp độ “thơng hiểu” Ví dụ (Câu Đề minh họa mơn Tốn kỳ thi THPT quốc gia năm 2017 Bộ GD&ĐT): Tìm tất giá trị thực tham số m cho đồ thị hàm số y  x  2mx  cos ba điểm cực trị tạo thành tam giác vuông cân A m   B m  C m  1 D m   Phân tích: Có hai cách hiển nhiên để xử lý tình đặt  Cách 1: Giải tập đặt cách độc lập (nhƣ tự luận), tồi đối chiếu kết thu đƣợc với đáp án để tìm đáp án  Cách 2: Lần lƣợt thay giá trị m đáp án vào hàm cho, tìm điểm cực trị đồ thị hàm nhận đƣợc kiểm tra điểm có hay khơng thỏa mãn u cầu đề Từ tìm đáp án Có thể thấy , dù thực théo cách hay cách 2, thời gian cần thiết để tìm đáp án khơng Vì vậy, cần tìm cách xử lý “khơng hiển nhiên” tình đặt ra, nhằm tiết kiệm thời gian mức tối đa có thể, đảm bảo phù hợp với hoàn cảnh trắc nghiệm Hƣớng dẫn giải dƣới thể cách nhƣ  Hướng dẫn giải:  Bƣớc 1: Xử lý theo cách 1, để thu đƣợc thông tin tối thiểu m Để thoả mãn yêu cầu đề bài, đồ thị hàm số cho, trƣớc hêt, cần có điểm cực trị Vì hàm cho hàm trùng phƣơng nên điều vừa nêu có đƣợc phƣơng trình y ' ( x)  có nghiệm phân biệt Ta có : y ' ( x)  x  x  m  Do đó: phƣơng trình y ' ( x)  có nghiệm phân biệt m0 Từ kết thu đƣợc trên, suy C D đáp án sai  Bƣớc 2: Với đáp án lại xử lý theo cách Cụ thể, chọn giá trị m đáp án A B, thay giá trị vào hàm số cho, tìm điểm cực trị đồ thị hàm Trang http://topdoc.vn - Chia sẽ, cung cấp tài liệu, giáo án, đề thi, sách tham khảo, file word số thu đƣợc kiểm tra điểm cực trị theo tiêu chí đề Nếu chúng thỏa mãn yêu cầu đề giá trị m chọn giá trị cần tìm; trƣờng hợp ngƣợc lại, gí trị m khơng đƣợc chọn giá trị cần tìm (vì sao?) Hiển nhiên, trƣờng hợp cụ thể này, giá trị m nên chọn để kiểm tra m  1 Thay m  1 vào hàm số cho vào y ' ( x) , ta đƣợc y  x  x  y ' ( x)  x  x  1 Suy đồ thị hàm số thu đƣợc co điểm cực trị M1  1;0  , M  0;1 M 1;0  Dễ thấy tam giác M1M M vuông cân M Vậy B đáp án  Nhận xét: câu hỏi ví dụ câu hỏi nhằm kiểm tra việc nhớ, hiểu rõ, hiểu sâu (ở mức định) quy tắc tìm điểm cực trị hàm số, số tính chất đơn giản hàm trùng phƣơng; kiểm tra khả tạo liên kết logic kiến thức với để giải tình Tốn học khơng đơn giản, gần giống tình cho SGK Vì thế, câu hỏi câu hỏi cấp độ “vận dùng (thấp)” Ví dụ (Câu Đề minh họa mơn Tốn kỳ thi THPT quốc gia năm 2017 Bộ GD&ĐT): Tìm tất giá trị thực tham số m cho đồ thị hàm số y  x 1 mx  có hai tiệm cận ngang A Khơng có giá trị thực m thỏa mãn yêu cầu đề B m  C m  D m    Phân tích: Từ định nghĩa tiệm cận ngang đồ thị hàm số suy giá trị m cần tìm giá trị cho tồn giới hạn hữu hạn hàm số cho x tiến  x tiến  , đồng thời hai giới hạn phải khác Hướng dẫn giải: Ta có x 1 mx   x 1 x m x2 lim x  x 1 x 1  lim  1 x  x x x 1 x 1  lim 1 x  x  x x lim Trang http://topdoc.vn - Chia sẽ, cung cấp tài liệu, giáo án, đề thi, sách tham khảo, file word Từ đó, suy giới hạn lim x  x 1 mx  ; lim x  x 1 mx  tồn hữu hạn 1 , lim m  tồn tại, hữu hạn khác không Do lim  x  x  x x x x nên giới hạn vừa nêu tồn tại, hữu hạn khác m  giới hạn lim m  Vậy, D đáp án  Nhận xét: Câu hỏi Ví dụ câu hỏi nhằm kiểm tra việc nhớ, hiểu rõ, hiểu sâu (ở mức định) định nghĩa tiệm cận ngang hàm số, định nghĩa tính chất giới hạn hàm số; kiểm tra khả tạo liên kết logic kiến thức với để giải tình Tốn học khơng đơn giản, gần giống tình cho SGK Vì thế, câu hỏi câu hỏi cấp độ “vận dùng (thấp)” Ví dụ (Câu 11 Đề minh họa mơn Tốn kỳ thi THPT quốc gia năm 2017 Bộ GD&ĐT): Tìm tất giá trị thực tham số m cho hàm số y  tan x  đồng biến khoảng tan x  m    0;   4 A m   m  B m  C  m  D m   Phân tích: Cần lƣu ý hàm số đồng biến hay nghịch biến khoảng  a, b  hàm số xác định khoảng vừa nêu Do đó, để tìm đƣợc đáp án ddugf, cần   vào điều kiện để hàm số cho xác định khoảng  0;  việc xét dấu đạo  4 hàmcủa khoảng    Hướng dẫn giải: Vì khoảng  0;  , tan x nhận tất giá trị thuộc khoảng  0;1  4   nên hàm số cho xác định khoảng  0;  m   0;1 Với điều kiện  4 2m     đó, khoảng  0;  , ta có y '  Suy x   0;  : y '  2  4  4 cos x  tan x  m  m    không tồn  ,     0;  cho y '  0x   ,      4 1  m  Từ đó, A đáp án Trang http://topdoc.vn - Chia sẽ, cung cấp tài liệu, giáo án, đề thi, sách tham khảo, file word  Nhận xét: Câu hỏi Ví dụ câu hỏi nhằm kiểm tra việc nhớ, hiểu rõ, hiểu sâu (ở mức định) định nghĩa điều kiện để hà số đồng biến khoảng, định nghĩa đạo hàm hàm số y  tan x , quy tắc tính đạo hàm hàm thƣơng, kiểm tra khả vận dụng tổng hợp kiến thức vừa nêu để giải tình Tốn học khơng đơn giản Do đó, câu hỏi câu hỏi cấp độ “vận dung (cao)” II MỘT SỐ CÂU HỎI LUYỆN TẬP Nhằm mục đích tạo điều kiện thuân lợi cho việc sử dụng sách trình giảng dạy học tập, câu hỏi (ngoại trừ câu cuối cùng) xếp theo tiết (xoắn) Chương, câu hỏi tương ứng với tiết (xoắn) xếp theo cấp độ nhận thức tăng dần Câu cuối (câu 36) coi câu tổng kết chương Cho hàm số f ( x) có tính chất: f ' ( x)  0x   0;3 f ' ( x)  0x  1;2  Hỏi khẳng định sau khẳng định sai? A Hàm số f  x  đồng biến khoảng  0;3 B Hàm số f  x  đồng biến khoảng  0;1 C Hàm số f  x  đồng biến khoảng  2;3 D Hàm số f  x  hàm (tƣc không đổi) khoảng 1;  Cho hàm số f ( x) có f '  x   0x  f '  x   số hữu hạn điểm thuộc Hỏi khẳng định sau khẳng định đúng? A Với x1 , x2  x1  x2 ta có f  x1   f  x2  0 x1  x2 B Với x1 , x2  x1  x2 ta có f  x1   f  x2  0 x1  x2 C Với x1 , x2 , x3  x1  x2  x3 ta có f  x1   f  x2  0 f  x2   f  x3  D Với x1 , x2 , x3  x1  x2  x3 ta có f  x1   f  x2  0 f  x2   f  x3  Cho hàm số y  x5  5x Hỏi khẳng định dƣới khẳng định ? A Hàm số cho nghịch biến nửa khoảng (;1] đồng biến nửa khoảng [1; ) Trang http://topdoc.vn - Chia sẽ, cung cấp tài liệu, giáo án, đề thi, sách tham khảo, file word B Hàm số cho đồng biến nửa khoảng (;1] nghịch biến nửa khoảng [1; ) C Hàm số cho nghịch biến nửa khoảng (;1] , [1; ) đồng biến đoạn  1;1 D Hàm số cho đồng biến nửa khoảng (;1] , [1; ) nghịch biến đoạn  1;1 Tìm tất khoảng nghịch biến hàm số y   x5  x3  A  ;     B  ;      3 C   ;  5      3 D  ;  ;     5    Tìm tất khoảng đồng biến hàm số y  x  x  A  0;   1 B  0;   4 1  C  ;   4  D  4;   Tìm tất giá trị thực tham số m cho hàm số y  cos x  mx đồng biến A m  B m  C m  Tìm tất giá trị thực tham số m cho hàm số y  D m  tan x  đồng biến m tan x    khoảng  0;   4 A m  1 B 1  m  C  m  D  m  Tìm giá trị cực tiểu yCT hàm số y  x3  12 x  20 A yCT  B yCT  C yCT  20 D yCT  36 Tìm giá trị cực đại yC § (nếu có) hàm số y  3x  x  A yC §  6 B yC §  C yC §  D Hàm số khơng có giá trị cực đại Trang http://topdoc.vn - Chia sẽ, cung cấp tài liệu, giáo án, đề thi, sách tham khảo, file word 10 Tìm tất giá trị thực tham số m cho hàm số y   x  m x  có cực trị C m  B m  A m  D m  11 Tìm tất giá trị thực tham số m cho hàm số y  x   m   x   m  3 x  có ba điểm cực trị 13 A m   11 B m  C m   13 D m  5 5  m   11 12 Hỏi hàm số y  x  3x  có tất điểm cực trị ? A Khơng có điểm cực trị B Có điểm cực trị C Có hai điểm cực trị D Có ba điểm cực trị 13 Hỏi hàm số y  x  x  có tất điểm cực trị ? A Khơng có điểm cực trị B Có điểm cực trị C Có hai điểm cực trị D Có ba điểm cực trị x2  14 Tìm giá trị lớn hàm số y  đoạn  2;4  x 1 A max y  2;4 C max y  11 2;4 2;4 15 Tìm giá trị nhỏ hàm số y  x  A y  C y  2;3 2;3 B max y  15 19 D max y  19 D y  28 2;4 đoạn  2;3 x B y  2;3 2;3 16 Tìm giá trị lớn (nếu có) hàm số y   x  x  x  x  A Hàm số khơng có giá trị lớn C max y  47 30 B max y  D max y  67 30 17 30 Trang http://topdoc.vn - Chia sẽ, cung cấp tài liệu, giáo án, đề thi, sách tham 10 khảo, file word ... để giải tình Tốn học khơng đơn giản Do đó, câu hỏi câu hỏi cấp độ “vận dung (cao)” II MỘT SỐ CÂU HỎI LUYỆN TẬP Nhằm mục đích tạo điều kiện thuân lợi cho việc sử dụng sách trình giảng dạy học tập, ... lũy thừa, mũ logarit Các phƣơng pháp giải phƣơng trình, bất phƣơng trình mũ logarit Kỹ Theo yêu cầu Chuẩn kỹ môn Toán lớp 12 THPT hành, học sinh cần luyện tập để thành thục kỹ dƣới đây:   ... tổng hợp kiến thức Toán học biết hiểu biết thục tiễn để giải mọt tình Tốn học mới, có nội dung thực tiễn Do đó, coi câu hỏi câu hỏi cấp độ “vận dùng (cao)” II MỘT SỐ CÂU HỎI LUYỆN TẬP Nhằm mục đích