Gia sư Tài Năng Việt https://giasudaykem.com.vn Bài tập toán nâng cao lớp Bài 1: Tí có số bi khơng q 80 viên, số bi đỏ gấp lần số bi xanh Nếu Tí có thêm viên bi xanh số bi đỏ gấp lần số bi xanh Hỏi lúc đầu Tí có viên bi đỏ, viên bi xanh? Bài giải: Bài có nhiều cách giải khác nhau, xin nêu cách giải sau Ta thấy: Số bi xanh lúc đầu 1/5 số bi đỏ Sau Tí có thêm viên bi xanh số bi xanh lúc 1/4 số bi đỏ Do viên bi ứng với số phần số bi đỏ là: Vậy số bi đỏ Tí lúc đầu là: Số bi xanh Tí lúc đầu là: 60 : = 12 (viên) Vậy lúc đầu Tí có 60 viên bi đỏ 12 viên bi xanh Vì 60 + 12 = 72 nên kết thỏa mãn giả thiết số bi Tí khơng có q 80 viên Bài 2: Cho tổng : + + + + + + 49 + 50 Liệu liên tục thay hai số hiệu chúng kết hay không? Bài giải: Ta đặt A = + + + + + + 49 + 50 Dãy số tự nhiên liên tiếp từ đến 50 có 50 số, số số lẻ số số chẵn nên có 50 : = 25 (số lẻ) Vậy A số lẻ Gọi a b hai số A, thay tổng a + b hiệu a - b A giảm đi: (a + b) - (a - b) = × b tức giảm số chẵn Hiệu số lẻ số chẵn số lẻ nên sau lần thay, tổng số lẻ Vì khơng nhận kết Gia sư Tài Năng Việt https://giasudaykem.com.vn Bài 3: Bác Hà có hai kính hình chữ nhật Chiều rộng kính 1/2 chiều dài chiều dài kính nhỏ chiều rộng kính to Bác ghép hai kính sát vào đặt lên bàn có diện tích 90 dm2 vừa khít Hãy tính kích thước kính Bài giải: Theo đầu bài, coi chiều rộng kính nhỏ đoạn chiều dài đoạn chiều rộng kính to đoạn, chiều dài kính to đoạn Nếu bác Hà ghép khít hai kính lại với hình chữ nhật ABCD (hình vẽ), AMND kính nhỏ, MBCN kính to Diện tích ABCD 90 dm2 Chia hình chữ nhật ABCD thành 10 hình vng nhỏ, cạnh chiều rộng kính nhỏ diện tích hình vng nhỏ 90 : 10 = (dm2) Ta có = × 3, cạnh hình vng dm Tấm kính nhỏ có chiều rộng dm, chiều dài × = (dm) Tấm kính to có chiều rộng dm, chiều dài × = 12 (dm) Bài 4: Cho phân số: Thăng chọn hai phân số mà tổng có giá trị lớn Long chọn hai phân số mà tổng có giá trị nhỏ Tính tổng số mà Thăng Long chọn Bài giải: Gia sư Tài Năng Việt https://giasudaykem.com.vn Vậy ta xếp phân số sau: Tổng hai phân số có giá trị lớn là: Tổng hai phân số có giá trị nhỏ là: Do tổng bốn phân số mà Thăng Long chọn là: Bài 5: Tìm chữ số a b thỏa mãn: Bài giải: Vì 1/3 phân số tối giản nên a chia hết cho b chia hết cho Giả sử a chia hết cho 3, 1/a < 1/3 nên a > mà a < 10 a = ; Vậy a = b = Bài 6: Viết liên tiếp số từ trái sang phải theo cách sau : Số 1, số thứ hai 2, số thứ ba chữ số tận tổng số thứ số thứ hai, số Gia sư Tài Năng Việt https://giasudaykem.com.vn thứ tư chữ số tận tổng số thứ hai số thứ ba Cứ tiếp tục ta dãy số sau : 1235831459437 Trong dãy có xuất số 2005 hay không ? Bài giải: Giả sử số tạo cách viết có xuất nhóm chữ 2005 ta có: + số có chữ số tận (vơ lí) Vậy dãy khơng thể xuất số 2005 Bài 7: Có đội tham gia dự thi toán đồng đội Tổng số điểm đội 144 điểm thật thú vị đội đạt ba giải: (30 điểm); nhì (29 điểm); ba (28 điểm) Chứng minh số đội đạt giải ba số đội đạt giải đội Bài giải: Ta thấy trung bình cộng điểm đội giải đội giải ba số điểm đội giải nhì Nếu số đội đạt giải số đội đạt giải ba tổng số điểm đội : 29 × = 145 (điểm) > 144 điểm, không thỏa mãn Nếu số đội giải nhiều số đội giải ba tổng điểm đội lớn 145, khơng thỏa mãn Do số đội giải phải số đội giải ba Khi ta xếp đội giải đội giải ba làm thành cặp cặp có tổng số điểm hai đội giải nhì Số đội giải ba thừa (không xếp cặp với đội giải nhất) số điểm mà tổng điểm đội nhỏ 145 Vì số đội giải ba nhiều số đội giải tổng điểm đội nhỏ 145 nhiêu Vì tổng số điểm đội 144 điểm nên số đội giải ba nhiều số đội giải 145 - 144 = Gia sư Tài Năng Việt https://giasudaykem.com.vn Bài 8: Viết liên tiếp số từ trái sang phải theo cách sau: Số 1, số thứ hai 2, số thứ ba chữ số tận tổng số thứ số thứ hai, số thứ tư chữ số tận tổng số thứ hai số thứ ba Cứ tiếp tục ta dãy số sau: 1235831459437 Trong dãy có xuất số 2005 hay khơng? Bài giải: Giả sử số tạo cách viết có xuất nhóm chữ 2005 ta có: + số có chữ số tận (vơ lí) Vậy dãy khơng thể xuất số 2005 Bài 9: Có đội tham gia dự thi toán đồng đội Tổng số điểm đội 144 điểm thật thú vị đội đạt ba giải: (30 điểm); nhì (29 điểm); ba (28 điểm) Chứng minh số đội đạt giải ba số đội đạt giải đội Bài giải: Ta thấy trung bình cộng điểm đội giải đội giải ba số điểm đội giải nhì Nếu số đội đạt giải số đội đạt giải ba tổng số điểm đội là: 29 ×5 = 145 (điểm) > 144 điểm, không thỏa mãn Nếu số đội giải nhiều số đội giải ba tổng điểm đội lớn 145, khơng thỏa mãn Do số đội giải phải số đội giải ba Khi ta xếp đội giải đội giải ba làm thành cặp cặp có tổng số điểm hai đội giải nhì Số đội giải ba thừa (không xếp cặp với đội giải nhất) số điểm mà tổng điểm đội nhỏ 145 Vì số đội giải ba nhiều số đội giải tổng điểm đội nhỏ 145 nhiêu Gia sư Tài Năng Việt https://giasudaykem.com.vn Vì tổng số điểm đội 144 điểm nên số đội giải ba nhiều số đội giải 145 - 144 = Bài 10: Cho (1), (2), (3), (4) hình thang vng có kích thước Biết PQ = cm Tính diện tích hình chữ nhật ABCD Bài giải: Vì hình thang vng PQMA, QMBC, QPNC, PNDA nên: MQ = NP = QP = cm CN = AD Mặt khác AD = NP + QM = + = (cm) Do đó: CN = AD = cm Diện tích hình thang vng PQCN là: (CN + PQ) × NP: = (8 + 4) × 4: = 24 (cm2) Suy ra: Diện tích hình chữ nhật ABCD là: 24 × = 96 (cm2) Bài 11: Tích sau có tận chữ số nào? Bài giải: Tích bốn thừa số × × × = 16 2003: = 500 (dư 3) nên ta viết tích 2003 thừa số dạng tích 500 nhóm (mỗi nhóm tích bốn thừa số 2) tích ba thừa số lại Vì tích thừa số có tận là số có tận nên tích 500 nhóm có tận Gia sư Tài Năng Việt https://giasudaykem.com.vn Do × × = nên nhân số có tận với ta số có tận (vì × = 48) Vậy tích 2003 thừa số số có tận Bài 12: Một người mang cam đổi lấy táo lê Cứ cam đổi táo lê, táo đổi lê Nếu người đổi hết số cam mang 17 táo 13 lê Hỏi người mang cam? Bài giải: cam đổi táo lê nên 18 cam đổi táo lê Vì táo đổi lê nên 18 cam đổi được: + = (quả táo) Do cam đổi táo Cứ táo đổi lê nên 10 cam đổi lê Vậy cam đổi lê Số cam người mang để đổi 17 táo 13 lê là: × 17 + × 13 = 99 (quả) Bài 13: Tìm số tự nhiên cho lấy 1/3 số chia cho 1/17 số có dư 100 Bài giải: Vì 17 × = 51 nên để dễ lí luận, ta giả sử số tự nhiên cần tìm chia thành 51 phần Khi 1/3 số 51: = 17 (phần); 1/17 số 51: 17 = (phần) Vì 17: = (dư 2) nên phần số có giá trị 100 suy số là: 100: × 51 = 2550 Bài 14: Tuổi 1/2 hiệu tuổi bố tuổi Bốn năm trước, tuổi 1/3 hiệu tuổi bố tuổi Hỏi tuổi 1/4 hiệu tuổi bố tuổi tuổi người bao nhiêu? Bài giải: Hiệu số tuổi bố không đổi Trước năm tuổi 1/3 hiệu này, năm là: 1/2 - 1/3 = 1/6 (hiệu số tuổi bố con) Gia sư Tài Năng Việt https://giasudaykem.com.vn Số tuổi bố là: 4: 1/6 = 24 (tuổi) Khi tuổi 1/4 hiệu số tuổi bố tuổi là: 24 × 1/4 = (tuổi) Lúc tuổi bố là: + 24 = 30 (tuổi) Bài 15: Hoa có sợi dây dài 16 mét Bây Hoa cần cắt đoạn dây để có đoạn dây dài 10 mét mà tay Hoa có kéo Các bạn có biết Hoa cắt không? Bài giải: Xin nêu cách cắt sau: Cách 1: Gập đôi sợi dây liên tiếp lần, sợi dây chia thành phần Độ dài phần chia là: 16: = (m) Cắt phần lại phần Khi độ dài đoạn dây lại là: × = 10 (m) Cách 2: Gập đôi sợi dây liên tiếp lần, sợi dây chia thành phần Độ dài phần chia là: 16: = (m) Đánh dấu phần chia đầu dây, phần đoạn dây lại gập đơi lại, cắt phần đầu bên độ dài đoạn dây cắt là: (16 - 4): = (m) Do độ dài đoạn dây lại là: 16 - = 10 (m) Bài 16: Một ruộng hình chữ nhật chia thành mảnh, mảnh nhỏ trồng rau mảnh lại trồng ngơ (hình vẽ) Diện tích mảnh trồng ngơ gấp lần diện tích mảnh trồng rau Chu vi mảnh trồng ngô gấp lần chu vi mảnh trồng rau Tính diện tích ruộng ban đầu, biết chiều rộng mét Gia sư Tài Năng Việt https://giasudaykem.com.vn Bài giải: Diện tích mảnh trồng ngơ gấp lần diện tích mảnh trồng rau mà hai mảnh có chung cạnh nên cạnh lại mảnh trồng ngơ gấp lần cạnh lại mảnh trồng rau Gọi cạnh lại mảnh trồng rau a cạnh lại mảnh trồng ngơ a × Vì chu vi mảnh trồng ngô (P1) gấp lần chu vi mảnh trồng rau (P2) nên nửa chu vi mảnh trồng ngô gấp lần nửa chu vi mảnh trồng rau Nửa chu vi mảnh trồng ngô nửa chu vi mảnh trồng rau là: a × + - (a + 5) = × a Ta có sơ đồ: Độ dài cạnh lại mảnh trồng rau là: × 3: (5 × a - × a) = 7,5 (m) Độ dài cạnh lại mảnh trồng ngơ là: 7,5 × = 45 (m) Diện tích ruộng ban đầu là: (7,5 + 4,5) × = 262,5 (m2) Bài 17: Tôi từ trường nhà với vận tốc km/giờ Về đến nhà đạp xe đến bưu điện với vận tốc 15 km/giờ Biết quãng đường từ nhà tới trường ngắn quãng đường từ nhà đến bưu điện km Tổng thời gian từ trường nhà từ nhà đến bưu điện 32 phút Bạn tính qng đường từ nhà tơi đến trường Bài giải: Thời gian để km xe đạp là: 3: 15 = 0,2 (giờ) Gia sư Tài Năng Việt https://giasudaykem.com.vn Đổi: 0,2 = 12 phút Nếu bớt km quãng đường từ nhà đến bưu điện thời gian hai quãng đường từ nhà đến trường từ nhà đến bưu điện (đã bớt km) là: 32 phút - 12 phút = 20 phút = 80 phút Vận tốc xe đạp gấp vận tốc là: 15: = (lần) Khi quãng đường không đổi, vận tốc tỉ lệ nghịch với thời gian nên thời gian từ nhà đến trường gấp lần thời gian từ nhà đến thư viện (khi bớt km) Vậy: Thời gian từ nhà đến trường là: 80: (1 + 3) × = 60 (phút); 60 phút = Quãng đường từ nhà đến trường là: × = (km) Bài 18: Cho phân số: a) Có thể xóa tử số mẫu số số mà giá trị phân số không thay đổi không? b) Nếu ta thêm số 2004 vào mẫu số phải thêm số tự nhiên vào tử số để phân số không đổi? Bài giải: = 45 / 270 = 1/6 a) Để giá trị phân số không đổi ta phải xóa số mẫu mà tổng gấp lần tổng số xóa tử Khi tổng số lại mẫu gấp lần tổng số lại tử Vì đổi vai trò số bị xóa với số lại tử mẫu ta có thêm phương án xóa Có nhiều cách xóa, xin giới thiệu số cách (số số bị xóa mẫu tăng dần tổng chia hết cho 6): Gia sư Tài Năng Việt https://giasudaykem.com.vn mẫu xóa 12 tử xóa 2; mẫu xóa 18 tử xóa xóa 1, 2; mẫu xóa 24 xóa 11, 13 tử xóa xóa 1, 3; mẫu xóa 12, 18 13, 17 14, 16 tử xóa 2, 1, 4; mẫu xóa 12, 24 11, 25 13, 23 14, 22 15, 21 16, 20 17, 19 tử xóa 1, 2, 1, 2, 3; mẫu xóa 18, 24 17, 25 19, 23 20, 22 11, 13, 18 12, 13, 17 11, 14, 17 11, 15, 16 12, 14, 16 13, 14, 15 tử xóa 1, 2, 3, 1, 2, 4; Các bạn kể tiếp thử ×em cách nữa? b) Để giá trị phân số khơng đổi, ta thêm số vào tử 1/6 số thêm vào mẫu Vậy thêm 2004 vào mẫu số phải thêm vào tử là: 2004: = 334 Bài 19: Người ta lấy tích số tự nhiên liên tiếp từ đến 30 để chia cho 1000000 Bạn cho biết: 1) Phép chia có dư khơng? 2) Thương số tự nhiên có chữ số tận bao nhiêu? Bài giải: Xét tích A = × × × × 29 × 30, thừa số chia hết cho 5, 10, 15, 20, 25, 30; mà 25 = × coi có thừa số chia hết cho Mỗi thừa số nhân với số chẵn cho ta số có tận số Trong tích A có thừa số số chẵn không chia hết cho là: 2, 4, 6, 8, 12, , 26, 28 (có 12 số) Như vật tích A có cặp số có tích tận 0, tích A có tận chữ số Số 000 000 có tận chữ số nên A chia hết cho 000 000 thương số tự nhiên có tận chữ số Bài 20: Ba bạn Toán, Tuổi Thơ có số Nếu lấy 40% số Toán chia cho Tuổi Thơ số ba bạn Nhưng Tốn bớt số Tốn tổng số Tuổi Thơ Hỏi bạn có vở? Gia sư Tài Năng Việt https://giasudaykem.com.vn Bài giải: Đổi 40% = 2/5 Nếu lấy 2/5 số Toán chia cho Tuổi Thơ bạn Tuổi hay Thơ thêm 2/5: = 1/5 (số Toán) Số lại Tốn sau cho là: - 2/5 = 3/5 (số Tốn) Do lúc đầu Tuổi hay Thơ có số là: 3/5 - 1/5 = 2/5 (số Toán) Tổng số Tuổi Thơ lúc đầu là: 2/5 × = 4/5 (số Toán) Mặt khác theo đề Tốn bớt số Toán tổng số Tuổi Thơ, ứng với: - 4/5 = 1/5 (số Toán) Số Toán là: 5: 1/5 = 25 (quyển) Số Tuổi hay Thơ là: 25 × 2/5 = 10 (quyển) ... 40% = 2 /5 Nếu lấy 2 /5 số Toán chia cho Tuổi Thơ bạn Tuổi hay Thơ thêm 2 /5: = 1 /5 (số Tốn) Số lại Tốn sau cho là: - 2 /5 = 3 /5 (số Toán) Do lúc đầu Tuổi hay Thơ có số là: 3 /5 - 1 /5 = 2 /5 (số Toán) ... Thơ lúc đầu là: 2 /5 × = 4 /5 (số Tốn) Mặt khác theo đề Toán bớt số Tốn tổng số Tuổi Thơ, ứng với: - 4 /5 = 1 /5 (số Toán) Số Toán là: 5: 1 /5 = 25 (quyển) Số Tuổi hay Thơ là: 25 × 2 /5 = 10 (quyển) ... (a + 5) = × a Ta có sơ đồ: Độ dài cạnh lại mảnh trồng rau là: × 3: (5 × a - × a) = 7 ,5 (m) Độ dài cạnh lại mảnh trồng ngơ là: 7 ,5 × = 45 (m) Diện tích ruộng ban đầu là: (7 ,5 + 4 ,5) × = 262 ,5 (m2)