SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THÁI BÌNH ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 12 THPT NĂM HỌC 2017 - 2018 Mơn: TỐN Thời gian làm bài: 180 phút (không kể thời gian giao đề) Câu (4,0 điểm) 2x −1 có đồ thị (C) Tìm tọa độ điểm M thuộc đồ thị (C) cho tổng x +1 khoảng cách từ điểm M đến hai đường tiệm cận đạt giá trị nhỏ 1) Cho hàm số: y = 2) Cho hàm số: y = x3 − ( m + ) x − ( m − 3m ) x + 3m có đồ thị ( Cm ) ( m tham số) Tìm tất giá trị m cho đồ thị ( Cm ) cắt trục hồnh ba điểm phân biệt có hồnh độ x1 ; x2 ; x3 thỏa mãn: ( x1 − 1) + ( x2 − 1) + ( x3 − 1) = 2 Câu (4,0 điểm) 1) Cho (H) đa giác 2n đỉnh nội tiếp đường tròn tâm O ( n ∈ N * ,n ≥ ) Gọi S tập hợp tam giác có ba đỉnh đỉnh đa giác (H) Chọn ngẫu nhiên tam giác thuộc tập S, biết xác suất chọn tam giác vng tập S Tìm n 13 2) Tính tổng tất nghiệm thuộc [ 0;100π ] phương trình: − cos2 x + sin2 x − 5sinx − cosx =0 2cos x +   x2 Câu (2,0 điểm) Tìm tất giá trị m để= hàm số y log 2018  2017 x − x − − m  xác định   với x thuộc [ 0;+∞ ) Câu (6,0 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thoi tâm O cạnh a,  ABC = 600 , SA = SB = SC , SD = 2a Gọi (P) mặt phẳng qua A vng góc với SB K 1) Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SCD) 2) Mặt phẳng (P) chia khối chóp S.ABCD thành hai phần tích V1 ;V2 V1 V thể tích khối đa diện chứa đỉnh S Tính V2 3) Gọi M, N theo thứ tự hình chiếu vng góc K SC SA Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp khối chóp K.ACMN Câu (2,0 điểm) Giải hệ phương trình:  x3 − y − ( x − y + y ) + 15 x − 10 =   x + y − + y − x − y + 13 = Câu (2,0 điểm) Cho a,b,c,d số thực không âm có tổng Tìm giá trị nhỏ biểu thức: P = (1 + a + b + a 2b )(1 + c + d + c d )  HẾT  Họ tên thí sinh: SBD: KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 12 THPT NĂM HỌC 2017 - 2018 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THÁI BÌNH HƯỚNG DẪN CHẤM VÀ BIỂU ĐIỂM MƠN TỐN (Gồm 05 trang) ĐÁP ÁN CÂU Câu (4 điểm) (2 điểm) ĐIỂM 2x −1 có đồ thị (C) Tìm tọa độ điểm M thuộc đồ thị (C) cho x +1 tổng khoảng cách từ điểm M đến hai đường tiệm cận đạt giá trị nhỏ Cho hàm số: y = Ta có:= lim y 2;= lim y nên y=2 đường tiệm cận ngang x →+∞ 0,5 x →−∞ lim y = −∞; lim− y = +∞ nên x=-1 đường tiệm cận đứng x →−1+ x →−1  2x −1  Giả sử điểm M  x0 ;  ∈ ( C ) ; x0 ≠ −1 x0 +   d( M ,TCD= x0 + ; d( M ,TCN ) = ) x0 + Suy ra: d( M ,TCD ) + d( M ,TCN ) = x0 + + 0,5 ≥2 x0 + 0,5  x= − 1( tm ) Dấu xảy  Các điểm M cần tìm:  x0 = − − 1( tm ) (2 điểm) ( ( ) M = − 1; −   M =− − 1; +  ) 0,5 Cho hàm số: y = x3 − ( m + ) x − ( m − 3m ) x + 3m có đồ thị ( Cm ) ( m tham số) Tìm tất giá trị m cho đồ thị ( Cm ) cắt trục hoành ba điểm phân biệt có hồnh độ x1 ; x2 ; x3 thỏa mãn: ( x1 − 1) + ( x2 − 1) + ( x3 − 1) = 2 Xét phương trình hồnh độ giao điểm: x3 − ( m + ) x − ( m − 3m ) x + 3m = (1) ⇔ ( x − 3) ( x − mx − m 2 )=  x =  ⇔ x = m  −m x =  Để đồ thị hàm số cắt Ox ba điểm phân biệt phương trình (1) có m ≠  nghiệm phân biệt ⇔ m ≠ m ≠ −6   m = ( loai ) Khi đó: ( x1 − 1) + ( x2 − 1) + ( x3 − 1) =6 ⇔   m = ( tm )  Vậy m = 2 0,5 0,5 1,0 CÂU Câu (4 điểm) (2 điểm) ĐÁP ÁN ĐIỂM Cho (H) đa giác 2n đỉnh nội tiếp đường tròn tâm O ( n ∈ N ,n ≥ ) Gọi S tập hợp tam giác có ba đỉnh đỉnh đa giác (H) Chọn ngẫu nhiên tam giác thuộc tập S, biết xác suất chọn tam giác vuông tập S Tìm n 13 Số phần tử tập hợp S là: C2n * Số phần tử không gian mẫu: n ( Ω ) = C2n Gọi A biến cố: “ Chọn tam giác vng” Đa giác 2n đỉnh có n đường chéo qua tâm O Mỗi tam giác vuông tạo hai đỉnh nằm đường chéo qua tâm O đỉnh 2n-2 đỉnh lại ⇒ Số tam giác vuông tạo thành: Cn1 C21n − Theo ta có: P ( A ) = (2 điểm) Cn1 C21n − = ⇔ n = 20 C23n 13 0,5 1,0 0,5 Tính tổng tất nghiệm thuộc [ 0;100π ] phương trình: − cos2x+sin2x-5sinx-cosx =0 2cosx+ − 3-cos2x+sin2x-5sinx-cosx=0 0,25 Điều kiện: cosx ≠ ⇔ 2sin x-5sinx+2+2sinx.cosx-cosx = Câu (2 điểm)  2sin x − =0 ⇔ ( 2sin x − 1)( s inx+cosx-2 ) = 0⇔ s inx+cosx-2=0 sin x + cos x − = (phương trình vô nghiệm) π   x = + k 2π 2sin x − = ⇔  (k ∈ Z )  x = 5π + k 2π  π Đối chiếu điều kiện nghiệm phương trình là: x = + k 2π, k ∈ Z π x ∈ [ 0;100π] ⇒ ≤ + k 2π ≤ 100π ⇒ ≤ k ≤ 49, k ∈ Z Tổng tất nghiệm phương trình là: π π  π  π  π π  50 7375 +  + 2π  +  + 4π  + +  + 98π  =  + + 98π  = π 6  6  6  6  Hàm số xác định với x thuộc [0;+∞) x2 x2 2017 x − x − − m > 0, ∀x ∈ [ 0; +∞ ) ⇔ 2017 x − x − > m, ∀x ∈ [ 0; +∞ )(*) 2 0,5 0,25 0,5 0,5 0,5 x2 [ 0; +∞ ) Hàm số liên tục [ 0; +∞ ) = f '( x) 2017 x.ln 2017 − − x liên tục [0;+∞) Xét hàm số: f = ( x) 2017 x − x − = f ''( x) 2017 x ( ln 2017 ) − > 0, ∀x ∈ [ 0; +∞ ) ⇒ f ' ( x ) đồng biến [ 0; +∞ ) ⇒ f ' ( x ) ≥ f= ' ( ) ln 2017 − > 0, ∀x ∈ [ 0; +∞ ) ⇒ f ( x) hàm số đồng biến [ 0; +∞ ) ⇒ f ( x ) = 1,0 Bất phương trình (*) ⇔ f ( x ) > m, ∀x ∈ [ 0; +∞ ) ⇔ f ( x ) > m ⇔ m < 0.5 [0;+∞ ) [0;+∞ ) ĐÁP ÁN CÂU ĐIỂM ABC = 600 , Câu Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thoi tâm O cạnh a,  (6,0 điểm) SA = SB = SC; SD = 2a Gọi (P) mặt phẳng qua A vuông góc với SB K 1) Tính khoảng cách từ A đến (SCD) 2) Mặt phẳng (P) chia khối chóp S.ABCD thành phần tích V1 ;V2 V V1 thể tích khối đa diện chứa đỉnh S Tính V2 3) Gọi M, N theo thứ tự hình chiếu vng góc K SC SA Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp khối chóp K.ACMN S N M E A D K O H C B (2 điểm) Tính khoảng cách từ A đến (SCD) Gọi H trọng tâm ∆ ABC Chứng minh SH ⊥ ( ABCD ) tính SH = 6a 0,25 Lập luận d( A,( SCD )) = d( H ,( SCD )) 2 6a Tính d( H ,( SCD )) = a Suy d( A,( SCD )) = (2 điểm) 1,0 0,5 0,25 Mặt phẳng (P) chia khối chóp S.ABCD thành phần tích V1 ;V2 V1 V thể tích khối đa diện chứa đỉnh S Tính V2 Trong mặt phẳng (SAB), dựng đường thẳng qua A vng góc với SB K Chứng minh ( AKC ) ⊥ SB Suy (P) mặt phẳng (AKC) a SK ⇒ = SB SK 5 = = ⇒ VSAKC = VSABC = VSABCD ⇒ V2 = VSABCD SB 6 12 12 Tính SB = V ⇒ SAKC VSABC = ⇒ V1 3a; BK = V1 11 VSABCD ⇒ = 11 12 V2 1,0 1,0 ĐÁP ÁN CÂU (2 điểm) ĐIỂM Gọi M, N theo thứ tự hình chiếu vng góc K SC SA Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp khối chóp K.ACMN Trong mặt phẳng (AKC) dựng d1 đường trung trực đoạn AK; d đường trung trực đoạn KC, d1 cắt d điểm I Chứng minh I cách đỉnh hình chóp K.ACMN Suy I tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp K.ACMN Do bán kính mặt cầu bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác AKC S N M d1 A K I d2 C 1,0 Tính KA = KC = a 33 a2 6 KA.KC AC 11 6a Bán kính mặt= cầu : R = S KAC 48 Diện tích tam giác KAC: S KAC = 1,0 121πa Diện tích mặt cầu: S mc =4πR = 96 3 Câu  x − y − ( x − y + y ) + 15 x − 10 = (1) (2,0 điểm) Giải hệ phương trình:  ( 2)  x + y − + y − x − y + 13 =  x2 + y − ≥  Điều kiện:  y ≥ 3 x − y + 13 ≥  Biến đổi phương trình (1) ⇔ ( x − ) + ( x − ) = ( y − 1) + ( y − 1) 3 Phương trình có dạng: f ( x − )= f ( y − 1) với f ( t ) =t + 3t , t ∈ R f ' ( t ) = 3t + > 0, t ∈ R nên hàm số f ( t ) đồng biến R Do đó: f ( x − ) = f ( y − 1) ⇔ x − = y − ⇔ y = x − Thay vào phương trình (2) ta được: x + x − + x − − x − x + 19 = ( 3) Điều kiện: x ≥ 0,5 0,25 ĐÁP ÁN CÂU Khi phương trình ( 3) ⇔ x + x − + x −= ĐIỂM x − x + 19 ⇔ x − x + x − = x − x + 17 0,25 ⇔ x − x + x − = ( x + x − 3) − 10 ( x − ) x−2  x−2  ⇔ 10  − =0 +3 x + 2x −  x + 2x −   x−2 =  x + 2x − ⇔  −1 x−2 = ( )   x + 2x −  23 + 341 x= ( tm )  x−2 2  = ⇔ x − 23 x + 47 =0 ⇔ x2 + 2x −  23 − 341 ( tm ) x =    23 + 341 23 − 341 x = x =   2 Suy nghiệm hệ phương trình là:    y = 21 + 341  y = 21 − 341   2 0,5 0,5 Câu Cho a,b,c,d số thực khơng âm có tổng Tìm giá trị nhỏ (2,0 điểm) biểu thức: P= (1 + a + b + a 2b )(1 + c + d + c d ) P= (1 + a )(1 + b2 )(1 + c )(1 + d ) ⇒ ln P = ln (1 + a ) + ln (1 + b ) + ln (1 + c ) + ln (1 + d ) Chứng minh bất đẳng thức: ln (1 + t ) ≥ Áp dụng (*) ta có: 17 t − + ln , ∀t ∈ [ 0;1] (*) 17 17 16 ln (1 + a ) + ln (1 + b ) + ln (1 + c ) + ln (1 + d ) ≥ 17  17  ⇔ ln P ≥ ln ⇔ P ≥   16  16  8 17 ( a + b + c + d ) − + ln 17 17 16 Dấu xảy a= b= c= d=  17  Vậy P =    16  1,0 4 1,0 Lưu ý: - Trên hướng dẫn chấm bao gồm bước giải bản, học sinh phải trình bày đầy đủ, hợp logic cho điểm - Mọi cách giải khác điểm tối đa - Điểm tồn khơng làm tròn - Câu khơng có hình vẽ khơng chấm điểm ...KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 12 THPT NĂM HỌC 2017 - 2018 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THÁI BÌNH HƯỚNG DẪN CHẤM VÀ BIỂU ĐIỂM MƠN... thuộc [0;+∞) x2 x2 2017 x − x − − m > 0, ∀x ∈ [ 0; +∞ ) ⇔ 2017 x − x − > m, ∀x ∈ [ 0; +∞ )(*) 2 0,5 0,25 0,5 0,5 0,5 x2 [ 0; +∞ ) Hàm số liên tục [ 0; +∞ ) = f '( x) 2017 x.ln 2017 − − x liên tục... liên tục [0;+∞) Xét hàm số: f = ( x) 2017 x − x − = f ''( x) 2017 x ( ln 2017 ) − > 0, ∀x ∈ [ 0; +∞ ) ⇒ f ' ( x ) đồng biến [ 0; +∞ ) ⇒ f ' ( x ) ≥ f= ' ( ) ln 2017 − > 0, ∀x ∈ [ 0; +∞ ) ⇒ f ( x)