BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI II PHẠM THU HIỀN MỘT SỐ VẤN ĐỀ VỀ GĨC TRONG KHƠNG GIAN ĐỊNH CHUẨN Chun ngành: Tốn giải tích Mã số: 60 46 01 02 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: TS NGUYỄN HỮU THỌ HÀ NỘI, 2017 LỜI CẢM ƠN Qua luận văn này, xin gửi lời cảm ơn đến Thầy, Cơ khoa Tốn - Tin trường Đại học Sư phạm Hà Nội II nói chung Thầy, Cơ thuộc Bộ mơn Giải tích nói riêng dạy bảo, dìu dắt tơi suốt thời gian qua Đặc biệt, xin bày tỏ lòng kính trọng biết ơn sâu sắc tới TS Nguyễn Hữu Thọ, thầy tận tình bảo, hướng dẫn giúp đỡ suốt trình làm luận văn Cảm ơn gia đình, bạn bè, đồng nghiệp tất người quan tâm, động viên để tơi hồn thành tốt nhiệm vụ Mặc dù có nhiều cố gắng, song thời gian trình độ hạn chế nên luận văn khó tránh khỏi thiếu sót định Tơi mong nhận ý kiến đóng góp quý độc giả để luận văn hoàn thiện Hà Nội, tháng năm 2017 Học viên Phạm Thu Hiền LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan, hướng dẫn TS Nguyễn Hữu Thọ, luận văn Thạc sỹ chun ngành Tốn Giải tích với đề tài " Một số vấn đề góc khơng gian định chuẩn" tự thực Các kết tài liệu trích dẫn rõ nguồn gốc Trong q trình nghiên cứu thực luận văn, tơi kế thừa thành tựu nhà khoa học với trân trọng biết ơn Hà Nội, tháng năm 2017 Tác giả Phạm Thu Hiền Mục lục Lời cảm ơn Lời cam đoan Phần mở đầu Kiến thức chuẩn bị 1.1 Không gian Euclid 1.2 Không gian định chuẩn 1.3 Kí hiệu khái niệm 11 Góc khơng gian định chuẩn 13 2.1 Hàm góc Các tiên đề góc 13 2.2 Không gian đặc trưng tích vơ hướng 16 2.3 Các dạng góc bảo tồn tính trực giao 20 2.4 Một số độ đo góc 41 2.5 Một số vấn đề liên quan 44 Kết luận 52 Tài liệu tham khảo 53 PHẦN MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Các vấn đề góc, hàm góc cách đo góc khơng gian Euclid chủ đề tốn học nghiên cứu hồn thiện từ lâu Có lẽ đóng góp có hệ thống chủ đề góc tính chất triết gia Hy lạp cổ đại Eudemus (từ 370 trước công nguyên đến 300 trước công nguyên) viết xếp lại chọn lọc phát biểu Thầy giáo ông ta chủ đề này, Aristotle Cùng với nhu cầu từ toán thực tế phát triển khoa học kỹ thuật, vấn đề mở rộng không gian phi Euclid Chẳng hạn không gian Banach thực hữu hạn chiều (không gian Minkowski), chủ đề hàm góc, độ đo góc trở nên thú vị Busemann (xem [5]) thảo luận "tiên đề" cho cách đo góc trường hợp đường cong phẳng thuộc lớp S gọi đường cong mở Jordan, giữ nguyên tính chất cộng tính hai điểm phân biệt nằm đường cong S Ông định nghĩa khái niệm tia r, góc D với cạnh r1 r2 số đo góc |D| tập góc có tính chất sau: |D| ≥ (tính dương) |D| = π D góc đường thẳng (góc bẹt) Nếu D1 D2 hai góc có cạnh chung khơng có tia chung khác |D1 ∪ D2 | = |D1 | + |D2 | (Tính cộng tính) Nếu Dv → D |Dv | → |D| (Tính liên tục) Ông ta cho giả thiết đủ để có mối quan hệ thơng dụng độ đo góc độ cong Lưu ý rằng, Busemann tập hợp tính chất cần thiết số đo góc mà ta cần có cấu trúc mà khái niệm tự nhiên góc tồn Trong vài thập kỷ gần đây, số tác giả khám phá vấn đề thú vị liên quan đến vấn đề tính trực giao Có thể kể đến P Brass (xem [4]), người định nghĩa lại khái niệm số đo góc: Số đo góc độ đo µ vòng tròn đơn vị ∂B với tâm O mở rộng cách dịch chuyển bất biến thơng thường để đo góc, có tính chất sau: µ(∂B) = 2π Với tập Borel S ∈ ∂B, ta có: µ (S) = µ (−S) Với p ∈ ∂B ta có: µ ({p}) = Khái niệm nhiều nhà toán học quan tâm sử dụng nghiên cứu họ Với mong muốn có nhìn tồn diện sâu rộng góc, hướng dẫn Tiến sỹ Nguyễn Hữu Thọ, chọn đề tài cho luận văn "Một số vấn đề góc khơng gian định chuẩn" Mục đích nghiên cứu Nghiên cứu tổng quan góc khơng gian định chuẩn, số dạng góc, số độ đo góc Phương pháp nghiên cứu Nghiên cứu lý thuyết, thu thập tài liệu, đọc phân tích, tổng hợp để nhận nghiên cứu tổng quan góc khơng gian định chuẩn Cấu trúc luận văn Ngoài phần mở đầu, kết luận tài liệu tham khảo, luận văn gồm chương Chương trình bày số kiến thức về: Không gian Euclid, không gian định chuẩn, kí hiệu khái niệm Trong Chương 2, luận văn dành cho việc trình bày Góc khơng gian định chuẩn , cụ thể về: Hàm góc, khơng gian đặc trưng tích vơ hướng, dạng góc bảo tồn tính trực giao, số độ đo góc số vấn đề liên quan Chương Kiến thức chuẩn bị (Kiến thức chương tham khảo chủ yếu từ tài liệu [1] [2]) 1.1 Không gian Euclid Định nghĩa 1.1.1 Cho V không gian véc tơ trường R Một tích vơ hướng V ánh xạ xác định sau: , : V ×V → R, (x, y) → x, y thỏa mãn điều kiện sau: i x, x ≥ 0, với x ∈ V ; x, x = x = ii kx, y = k x, y với x, y ∈ V, ∀k ∈ R iii x + x, , y = x, y + x, , y , ∀x, x, , y ∈ V iv x, y = y, x , ∀x, y ∈ V Định nghĩa 1.1.2 Không gian véc tơ V trường số thực R có trang bị tích vơ hướng , gọi khơng gian véc tơ Euclid Kí hiệu: E = (V, , ) với tích vơ hướng , Ví dụ 1.1.3 Cho V = Rn , (Rn = {x = (x1 , x2 , , xn ) |xi ∈ R}) Với x = (x1 , x2 , , xn ) , y = (y1 , y2 , , yn ) ∈ Rn ta định nghĩa x, y = n xi yi i=1 Đây tích vơ hướng Rn E = (Rn , , ) không gian véc tơ Euclid Định lí 1.1.4 Cho E khơng gian Euclid Khi với ∀x, y ∈ E ta ln có | x, y | ≤ x y Dấu "=" xảy x, y phụ thuộc tuyến tính Định lí 1.1.5 Giả sử E khơng gian véc tơ Euclid Khi đó: ∀x, y ∈ E : x − y ≤ x − y ≤ x + y 1.2 Không gian định chuẩn (Trong luận văn xét không gian định chuẩn thực) Định nghĩa 1.2.1 Cho X không gian véc tơ trường số R ánh xạ : X → R Ta nói chuẩn X thỏa mãn tính chất sau: x ≥ 0, với x ∈ X x = ⇔ x = kx = |k| x , với x ∈ X, k ∈ R x + y ≤ x + y , với x, y ∈ X Nếu chuẩn X, ta nói (X, ) khơng gian véc tơ định chuẩn (còn đọc tắt khơng gian định chuẩn) Ví dụ 1.2.2 Khơng gian R2 với metric: d1 (x, y) = |x1 − y1 | + |x2 − y2 | 2 d2 (x, y) = (x1 − y1 ) + (x2 − y2 ) d∞ (x, y) = max {|x1 − y1 | , |x2 − y2 |} x = (x1 , x2 ) y = (y1 , y2 ), x, y ∈ R2 sinh chuẩn tương ứng sau: x−y x−y x−y = |x1 − y1 | + |x2 − y2 | 2 ∞ = (x1 − y1 ) + (x2 − y2 ) = max {|x1 − y1 | , |x2 − y2 |} Mệnh đề 1.2.3 Cho không gian định chuẩn (X, ) trường số R dãy {xn } , {yn } ⊂ X, {λn } ⊂ R cho lim xn = x, lim yn = n→∞ n→∞ y, lim λn = λ Khi đó: n→∞ lim xn = x n→∞ lim (xn + yn ) = x + y, n→∞ lim (λn xn ) = λx n→∞ Hệ 1.2.4 Các ánh xạ f, g : X → X xác định f (x) = x0 + x, g(x) = λ0 x, (λ0 ∈ R\ {0}) đồng phôi Mệnh đề 1.2.5 Trên không gian hữu hạn chiều, hai chuẩn ln tương đương Trên không gian định chuẩn hữu hạn chiều, tập compact đóng bị chặn Một không gian định chuẩn hữu hạn chiều ln khơng gian đầy đủ Do đó, khơng gian véc tơ hữu hạn chiều không gian định chuẩn tập đóng khơng gian 10 thỏa mãn với x, y ∈ X Đây tổng qt hóa đẳng thức hình bình hành cho khơng gian tích vơ hướng, tất nhiên khơng gian Euclid khơng gian tựa tích vơ hướng Trong khơng gian này, có hai dạng sở g− trực giao Hai véc tơ x, y ∈ X gọi g trực giao đối xứng g (x, y) + g (y, x) = Trong trường hợp viết x g,s y Véc tơ x ∈ X g− trực giao cân với y ∈ X x g (x, y) + y g (y, x) = kí hiệu x g,i y Dễ dàng kiểm tra khơng gian tựa tích vơ hướng tính trực giao cân g trực giao cân tương đương Bằng cách bảo toàn loại g trực giao tương ứng, định nghĩa hàm góc angg,s : X0 × X0 → R, angg,i : X0 X0 → R bởi: angg,s (x, y) = arccos g (x, y) + g (y, x) x y tương ứng angg,i (x, y) = arccos x g (x, y) + y g (y, x) x y x + y Các tính chất góc nghiên cứu tương tự sử dụng góc g 40 2.4 2.4.1 Một số độ đo góc Định nghĩa Brass Brass (xem [4]) định nghĩa độ đo góc khơng gian định chuẩn độ đo Borel µ hình tròn đơn vị S thỏa mãn: i) µ (S) = 2π ii) Với tập Borel A ⊆ S ta có µ (−A) = µ (A), iii) Với v ∈ S ta có µ ({v}) = iv) Bất kì cung khơng suy biến hình tròn đơn vị có số đo dương Ví dụ độ đo góc độ đo độ dài (theo chuẩn) cung tương ứng hình tròn đơn vị, độ đo xác định diện tích hình quạt tương ứng Kí hiệu chúng µl µa Định lí 2.4.1 Trong mặt phẳng Minkowski, µa tỉ lệ thuận với độ đo hình tròn đơn vị cho chiều dài cung phản chuẩn Phản chuẩn (antinorm) V xác định bởi: x a = sup{[x; y] : y = 1}, [.; ] ký hiệu dạng song tuyến tính V Cho độ đo góc µ S đề xuất Brass, định nghĩa hàm góc angµ : X0 × X0 → R hàm mà kết hợp với cặp véc tơ x, y ∈ X0 với độ đo góc vòng cung nhỏ xác định S tia theo hướng x, y Rõ ràng hàm góc tuân theo tiên đề cấu trúc (tính đối xứng), (tính nhất), (tính cộng tính) (tính khơng suy biến) Chúng ta có tiên đề (tính liên tục) hệ bổ đề sau 41 Bổ đề 2.4.2 Cho λ (S) độ dài, theo chuẩn, vòng tròn đơn vị S λ (S) xét tham số độ dài cung p : 0, → S cung từ x0 đến −x0 với x0 ∈ S véc tơ cố định Khi đó, ánh xạ t → angµ (x0 , p (t)) liên tục Dễ dàng thấy hàm góc định nghĩa độ đo góc thỏa mãn tất tính chất Chúng ta tiếp tục xét số tính chất hình học độ đo góc Bổ đề 2.4.3 Cố định độ đo góc µ S, tổng góc tam giác V π Chứng minh Xét ∆abc tam giác (V, ) Hợp cung nhỏ tương ứng từ c−a b−a tới , b−a c−a từ c−a c−b tới , c−a c−b từ b−c b−a tới b−c b−a nửa đường tròn Như vậy, tính cộng tính số đo mang lại mong muốn 2.4.2 Số đo I Phần dành cho việc trình bày độ đo góc tam giác cân có góc đáy Chúng ta gọi độ đo góc số đo I chứng minh độ đo mặt phẳng Euclid Bổ đề 2.4.4 Đối với độ đo góc µ S, tính chất sau tương đương: 42 i) Độ đo góc vw(−v) ii) Chúng ta có: angµ (x, y) = π v, w ∈ S độc lập tuyến tính π x, y ∈ X0 x I y Chứng minh Giả sử có (i) lấy x, y véc tơ khác mà trực giao cân Đặt v = x − y w = x + y Từ v = w , suy v w hai điểm vòng tròn với tâm gốc tọa độ, điều suy π độ đo góc vw (−v) Nói cách khác π angµ (v − w, −v − w) = Bây π = angµ (v − w, −v − w) = angµ (−2y, −2x) = angµ (x, y) Ngược lại, giả sử có (ii) cố định véc tơ độc lập tuyến tính v, w ∈ S Rõ ràng, (v + w) I (w − v) angµ (w + v, w − v) = π Điều cho ta điều cần chứng minh angµ (w + v, w − v) độ đo góc vw (−v) Dễ dàng thấy độ đo I µ thỏa mãn (i) (ii) Tiếp theo, có tính trực giao Birkhoff độ đo I Bổ đề 2.4.5 Cho x, y ∈ X0 véc tơ trực giao Birkhoff µ độ đo góc I S Khi angµ (x, y) = π Chứng minh Cho x ∈ S điểm tùy ý giả thiết x + y ∈ X\ {x} điểm S x (ví dụ x B y) Cho xn ∈ S dãy véc tơ đơn vị mà xn → x Do có: angµ (xn − x, −x) → angµ (x, y) 43 Mặt khác, angµ (x, xn ) = µ độ đo I, ta có angµ (x + xn , x − xn ) = Từ suy angµ (−x, y) = π π , ta nhận điều phải chứng minh Định lí 2.4.6 Cho (X, ) khơng gian định chuẩn µ độ đo I Khi chuẩn Euclid µ độ đo góc Euclid Chứng minh Giả sử x, y ∈ X0 cho x angµ (x, y) = Lấy z ∈ X0 cho z = x x I π B angµ (x, z) = y Ta có z, ta có π Do µ khơng suy biến nên y = z y = −z Do vậy, tính trực giao cân suy tính trực giao Birkhoff Đây đặc trưng mặt phẳng Euclid Bây giờ, phải chứng minh µ độ đo góc Euclid Để có điều để ý µ bảo tồn độ đo cho bội số 2−k góc thẳng sử dụng σ- cộng tính độ đo 2.5 2.5.1 Một số vấn đề liên quan Các góc Wilson Wilson (xem [14]) mở rộng khái niệm góc khơng gian metric, có số tác giả nghiên cứu khái niệm khơng 44 gian định chuẩn thực, đạt đặc trưng không gian tích vơ hướng tính chất địa phương Phần dành để trình bày chứng minh đơn giản kết đó, góc Wilson định nghĩa không gian định chuẩn với chuẩn xác định từ tích vơ hướng Cho không gian metric (M, d), định nghĩa Wilson nêu hàm: w : x, y, z ∈ M : x, y, z khác → R xác định bởi: w (x, y, z) = arccos d(x, y)2 + d(y, z)2 − d(x, z)2 2d (x, y) d (y, z) Bằng cách sử dụng "góc ba điểm" ta định nghĩa góc hai tia metric Thật vậy, r, s ⊆ M hai tia metric với gốc y định nghĩa góc angw chúng là: angw (r, s) = lim x,z→y w (x, y, z) , x → y qua tia r z → y qua s Giới hạn khơng tồn từ với không gian định chuẩn (X, ) tính chất mà tồn cho cặp tia có với điểm ban đầu Để đơn giản giới thiệu tính chất tính chất Wilson Trong trường hợp dễ dàng thấy góc tia phép tịnh tiến bất biến tia thay véc tơ khác Chúng ta định nghĩa hàm angw : X0 × X0 → R sau: angw (x, y) = lim p,q→0 w (p, o, q) = lim arccos p p,q→0 + q 2− p−q p q , đây, p nằm khoảng [0, x q ∈ [0, y Dễ dàng thấy hàm góc angw định nghĩa theo cách Bổ đề 2.5.1 Trong không gian định chuẩn với tính chất Wilson, ta có: angw (x, y) = angp (x, y) , với x, y ∈ X0 45 Chứng minh Rõ ràng, viết: tx angw (x, y) = lim arc cos t→0 = arc cos x + ty − tx − ty tx ty + y 2− x−y x y 2 = angp (x, y) , nơi ta xét gần với t > Hệ 2.5.2 Một khơng gian chuẩn có tính chất Wilson khơng gian tích vơ hướng Chứng minh Vì angw angw = angp , nhận kết từ Mệnh đề 2.3.5 2.5.2 Góc Diminnie- Andalafte- Freese Trong [8] tác giả đưa định nghĩa hàm góc ang : X0 × X0 → R xác định bởi: ang (x, y) = arccos − y x − x y Để đơn giản, gọi góc D-A-F Nó dựa định luật cosin Euclid cho tam giác cân có cạnh đơn vị Tất nhiên, góc khơng gian Euclid thu theo cách Về tiên đề cấu trúc, rõ ràng hàm góc thỏa mãn tiên đề (tính liên tục), tiên đề (tính đối xứng), tiên đề (tính nhất) tiên đề (tính khơng suy biến) Tính chất thứ (tính phản bất biến) thỏa mãn Các tiên đề tính chất sử dụng tồn tiểu mục Ta có mệnh đề sau 46 Mệnh đề 2.5.3 Cho x, y ∈ X0 véc tơ đơn vị độc lập Khi đó, ta có: a) lim ang (y, x + ty) = π t→−∞ b) lim ang (y, x + ty) = t→+∞ c) Với k ∈ (0, π), ∃α ∈ R cho ang (y, x + αy) = k Nói cách khác, ánh xạ t → ang (y, x + ty) toàn ánh không tăng từ R vào (0, π) Hơn (X, ) lồi chặt ánh xạ phép đồng phôi giảm Chứng minh Dễ thấy x + ty =y x + ty lim t→+∞ lim t→−∞ x + ty = −y, x + ty điều cho (a) (b) Khẳng định (c) suy từ định lí giá trị trung bình Để chứng minh t → ang (y, x + ty) không tăng (hoặc giảm trường hợp lồi chặt), ta ý t→ x + ty x + ty tham số hóa nửa vòng tròn (mở) từ −y đến y bao hàm x, sử dụng tính Bổ đề đơn điệu Như mối quan hệ tính chất góc D-A-F cấu trúc không gian định chuẩn, có bổ đề sau đây: Bổ đề 2.5.4 Góc D-A-F không gian định chuẩn (X, ) có tính chất vị trí (tính phương) không gian lồi chặt 47 Chứng minh Chúng ta có ang (x, y) = π x y − x y =2 ta có điều phải chứng minh từ bất đẳng thức tam giác Định nghĩa 2.5.5 Xét ∼ kí hiệu dấu ≤, = ≥ i) Một hàm góc có tính chất bù yếu nếu: ang (x, y) + ang (−x, y) ∼ π với x, y ∈ X0 ii) Ta nói hàm góc cộng tính yếu nếu: ang (x, αx + βy) + ang (αx + βy) ∼ ang (x, y) , với x, y độc lập thuộc X0 α, β > iii) Một góc ang cho có tính chất tổng góc khi: ang (x, y) + ang (y, y − x) + ang (x, x − y) ∼ π, với x, y độc lập thuộc X0 iv) Một hàm góc có tính chất góc ngồi khi: ang (y, y − x) + ang (x, x − y) ∼ ang (−x, y) , với x, y độc lập thuộc X0 Chúng ta có định lý sau Định lí 2.5.6 Cho (X, ) không gian định chuẩn cho ang : X0 × X0 → R biểu thị hàm góc D-A-F Khi đó, tính chất sau tương đương: a) ang (., ) có tính chất bù yếu, 48 b) ang (., ) cộng tính yếu, c) ang (., ) có tính chất tổng góc, d) ang (., ) có tính chất góc ngồi, e) (X, ) khơng gian tích vơ hướng Chứng minh Rõ ràng (e) suy tất khẳng định khác Do đó, phải chứng minh điều ngược lại cho ý Chúng ta bắt đầu với (a) ⇒ (e) Cho x, y ∈ X0 véc tơ đơn vị cho ang (x, y) + ang (−x, y) ≤ π Như vậy, cos(ang (−x, y)) ≥ cos(π − ang (x, y)) = − cos(ang (x, y)) Mặt khác, có đẳng thức: x−y = − cos (ang (x, y)) , x+y = − cos (ang (−x, y)) Từ suy x−y + x+y ≤ Sử dụng phương pháp tương tự cho trường hợp khác, (a) suy x−y + x+y ∼ cho véc tơ đơn vị x, y ∈ X0 Đây đặc trưng khơng gian tích vơ hướng Bây giờ, chứng minh (b) suy (a) (và suy (e)) Nếu có tính cộng tính yếu, với x, y ∈ X0 độc lập α, β > 0, có ang (x, y) + ang (y, βy − αx) ∼ ang (x, βy − αx) Từ tính liên tục nhất, cho β → ta có: ang (y, βy − αx) → ang (y, −x) , 49 ang (x, βy − αx) → π, ang (x, y) + ang (−x, y) ∼ π Bây giờ, giả sử (c) với t > ta có: ang (x, y) + ang (y, y − tx) + ang (x, tx − y) ∼ π Do lim t→+∞ x y − tx =− y − tx x (xem chứng minh Mệnh đề 2.5.3), ta có: −1 lim ang (y, y − tx) = lim cos t→+∞ t→+∞ 1− y y − tx − y y − tx = ang (−x, y) Từ Mệnh đề 2.5.3(b) ta có: lim ang (x, tx − y) = ang (x, x) = t→+∞ ang (x, y) + ang (−x, y) ∼ π Như (a) (e) Để hoàn thành chứng minh, cần (d) ang (., ) cộng tính yếu Giả sử ang (., ) có tính chất góc ngồi, có x, y ∈ X0 độc lập α, β > ang (x, αx + βy) + ang (αx + βy, y) = ang (αx, αx + βy) + ang (−βy, −βy − αx) ∼ ang (αx, βy) = ang (x, y) , đây, ta sử dụng tính tính bất biến ngược Điều khẳng định cộng tính yếu 50 Góc D-A-F có mối quan hệ trực giao sau Định nghĩa 2.5.7 Cho hai véc tơ x, y ∈ X, nói x trực giao với y (kí hiệu đơn giản x √ x y = − x y y) x y = Dạng trực giao rõ ràng đối xứng (dương) Ngoài ra, hệ Mệnh đề 2.5.3(c) thấy với x, y ∈ X ln tồn α ∈ R mà x (αx + y) 51 Kết luận Một số vấn đề góc khơng gian định chuẩn nghiên cứu tiếp cận nhiều góc độ khác Có nhiều kết phong phú đặc sắc công bố giới thập kỷ qua Riêng khuôn khổ luận văn này, tơi trình bày cách có hệ thống số vấn đề sau: 1) Khơng gian Euclid, khơng gian định chuẩn, kí hiệu khái niệm 2) Trình bày hàm góc, khơng gian tích vơ hướng đặc trưng, dạng góc bảo tồn tính trực giao, số độ đo góc Tuy nhiều hạn chế song hi vọng kết đạt luận văn tài liệu tham khảo tốt cho nghiên cứu mở rộng góc khơng gian định chuẩn Rất cảm ơn độc giả theo dõi luận văn mong quý độc giả đóng góp ý kiến để luận văn thêm hoàn thiện 52 Tài liệu tham khảo [A] Tài liệu tiếng Việt [1] Nguyễn Xuân Liêm (1995), Giải tích hàm, NXB Giáo dục [2] Hồng Tụy(2005), Hàm thực Giải tích hàm, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội [B] Tài liệu tiếng Anh [3] Bliss, G.A (1905), A generalization of the notion of angle, Trans Amer Math Soc 7(2), pp 184-196 [4] Brass, P (1996), Erdos distance problems in normed spaces, Comp Geom 6, pp 195-214 [5] Busemann, H (1949), Angular measure and integral curvature, Canad J Math 1, pp 279-296 [6] Dekster, B.V (2004), An angle in Minskowski Spaces, J Geom 80(2), pp 31-47 [7] Diminnie, C., Andalafte, E.Z., Raymond, W.F (1998), Generalized angles and a characterization of inner product spaces, Houston J Math 14(4), 475-480 [8] Diminnie, C.R, Andalafte, E.Z., Freese, R.W (1986), Angles in normed linear spaces and a characterization of real inner product spaces, Math Nachr 129, 197-204 53 [9] Gunawan, H., Lindiarni, J., Neswan, O (2008), P-, I-, g-, and Dangles in normed spaces, J Math Fund Sci 40(1), 24-32 [10] James, R.C (1945), Orthogonality and normed linear spaces, Duke Math J 12(2), 291-302 [11] Milicic, P.M (2011), The Thy-angle and g-angle in a quasi-inner product spaces, Math Morav 15(2), 41-46 [12] Thurey, V (2009), Angles and polar coordinates in real normed spaces, Available at http://arxiv.org/pdf/0902.2731v2.phf [13] Vitor Balestro, Akos G Horvath, Horst Martini and Ralph Teixeira (2016), Angles in normed spaces, Arxiv: 1607 06938v1 [14] Wilson, W.A (1932), A relation between metric and Euclidean spaces, Amer J Math 54(3), pp 505-517 [15] Zhi-Zhi, C., Wei, L., Lu-lin, L., You-qing, J (2011), Projections, Birkhoff orthogonality and angles in normed spaces, Comm Math Res 27(4) 54 ... rộng góc, hướng dẫn Tiến sỹ Nguyễn Hữu Thọ, chọn đề tài cho luận văn "Một số vấn đề góc khơng gian định chuẩn" Mục đích nghiên cứu Nghiên cứu tổng quan góc khơng gian định chuẩn, số dạng góc, số. .. trình bày số kiến thức về: Không gian Euclid, không gian định chuẩn, kí hiệu khái niệm Trong Chương 2, luận văn dành cho việc trình bày Góc khơng gian định chuẩn , cụ thể về: Hàm góc, khơng gian đặc... thức chuẩn bị 1.1 Không gian Euclid 1.2 Không gian định chuẩn 1.3 Kí hiệu khái niệm 11 Góc khơng gian định chuẩn 13 2.1 Hàm góc Các tiên đề góc