Đang tải... (xem toàn văn)
1. MỞ ĐẦU 1.1. Lí do chọn đề tài Trong trường THCS bộ môn toán là một trong những bộ môn được coi trọng, và nó là bản lề cho học sinh học tốt các môn khoa học tự nhiên khác. Để thực hiện mục đích giảng dạy hiện nay, nhằm nâng cao chất lượng, hiệu quả của việc dạy và học với hướng đổi mới phương pháp dạy học là tích cực hóa hoạt động học tập của học sinh, khơi dậy và phát triển khả năng tự học, nhằm hình thành cho học sinh tư duy tích cực, độc lập và sáng tạo, nâng cao năng lực, phát hiện và giải quyết vấn đề, rèn luyện kỹ năng vận dụng kiến thức vào thực tiễn, tác động đến tình cảm, đem lại niềm vui, hứng thú học tập cho học sinh. Do đó việc giảng dạy toán ở trường THCS là vấn đề hết sức nặng nề. Để học sinh hiểu thấu đáo các vấn đề về toán, đòi hỏi người giáo viên giảng dạy bộ môn phải hết sức nhạy bén với sự thay đổi của dạng toán từ đó có phương pháp phù hợp với các đối tượng học sinh của mình. Xuyên suốt quá trình học đại số, kỹ năng vận dụng “ bảy hằng dẳng thức đáng nhớ” là công cụ cơ bản, sử dụng nhiều trong biến đổi các biểu thức đại số. Trong quá trình giảng dạy môn đại số lớp 8 bảy hằng đẳng thức đáng nhớ là một phần kiến thức quan trọng trong chương trình Đại số 8. Nó theo suốt quãng đường học tập của các em. Nhờ những hằng đẳng thức đáng nhớ mà các em thực hiện giải toán được nhanh hơn và chính xác. Và cũng nhờ nó mà các em có thể phân tích đa thức thành nhân tử một cách hợp lý. Để vận dụng được một cách nhuần nhuyễn bảy hằng đẳng thức đáng nhớ vào giải toán đòi hỏi các em phải biết nhận dạng, biết tư duy, suy luận hợp lôgíc từ đó mà nó có tác dụng bồi dưỡng các em có óc sáng tạo say mê học tập tìm tòi kiến thức. Quá trình giảng dạy môn toán 8 nhất là bảy hằng đẳng thức đáng nhớ, tôi thấy ở học sinh kỹ năng vận dụng “ bảy hằng đẳng thức đáng nhớ” còn yếu, chưa linh hoạt, dẫn đến vận dụng kỹ năng này trong phân tích đa thức thành nhân tử, rút gọn biểu thức còn chưa thành thạo hoặc sai sót. Do vậy kết quả môn toán lớp 8 qua các kỳ thi thường không cao chủ yếu do học sinh yếu về kỹ năng làm bài. Ngoài ra việc áp dụng vào làm bài tập rất khó bởi vì các em mới tiếp xúc với bảy hằng đẳng thức đáng nhớ cho nên việc vân dụng vào làm các dạng bài tập là không đơn giản một chút nào đối với học sinh .Thông qua quá trình giảng dạy và sự hiểu biết của tôi, để giúp học sinh có cách nhìn nhận 7 hằng đẳng thức đáng nhớ vào các dạng bài tập, tôi xin đưa ra sáng kiến kinh nghiệm : “Vận dụng các hằng đẳng thức đáng nhớ vào giải toán lớp 8 ở trường THCS Nga An”.
MỤC LỤC 1.1 Lí chọn đề tài .2 1.2 Mục đích nghiên cứu 1.4 Phương pháp nghiên cứu 2.1 Cơ sở lý luận sáng kiến kinh nghiệm 2.1.1 Đối với giáo viên .5 2.2 Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến .6 Lớp Sĩ số .6 Giỏi Khá Trung bình .6 Yếu Kém .6 SL % SL % SL % SL % SL 8A 39 .6 18 13 33,3 15 38,5 .6 10,2 .6 8B 40 .6 .6 .6 12.5 19 47,5 .6 22,5 .6 Tổng 79 .6 11,4 18 22,8 34 43 13 16,5 .6 2.3 Các giải pháp sử dụng để giải vấn đề 2.3.1 Cơ sở lý thuyết 2.3.2.Một số dạng toán vận dụng KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ .18 3.1 Kết luận 18 3.2 Kiến nghị đề xuất 18 MỞ ĐẦU 1.1 Lí chọn đề tài Trong trường THCS mơn tốn mơn coi trọng, lề cho học sinh học tốt môn khoa học tự nhiên khác Để thực mục đích giảng dạy nay, nhằm nâng cao chất lượng, hiệu việc dạy học với hướng đổi phương pháp dạy học tích cực hóa hoạt động học tập học sinh, khơi dậy phát triển khả tự học, nhằm hình thành cho học sinh tư tích cực, độc lập sáng tạo, nâng cao lực, phát giải vấn đề, rèn luyện kỹ vận dụng kiến thức vào thực tiễn, tác động đến tình cảm, đem lại niềm vui, hứng thú học tập cho học sinh Do việc giảng dạy toán trường THCS vấn đề nặng nề Để học sinh hiểu thấu đáo vấn đề tốn, đòi hỏi người giáo viên giảng dạy môn phải nhạy bén với thay đổi dạng tốn từ có phương pháp phù hợp với đối tượng học sinh Xuyên suốt trình học đại số, kỹ vận dụng “ bảy dẳng thức đáng nhớ” công cụ bản, sử dụng nhiều biến đổi biểu thức đại số Trong q trình giảng dạy mơn đại số lớp bảy đẳng thức đáng nhớ phần kiến thức quan trọng chương trình Đại số Nó theo suốt quãng đường học tập em Nhờ đẳng thức đáng nhớ mà em thực giải toán nhanh xác Và nhờ mà em phân tích đa thức thành nhân tử cách hợp lý Để vận dụng cách nhuần nhuyễn bảy đẳng thức đáng nhớ vào giải toán đòi hỏi em phải biết nhận dạng, biết tư duy, suy luận hợp lơgíc từ mà có tác dụng bồi dưỡng em có óc sáng tạo say mê học tập tìm tòi kiến thức Q trình giảng dạy mơn tốn bảy đẳng thức đáng nhớ, thấy học sinh kỹ vận dụng “ bảy đẳng thức đáng nhớ” yếu, chưa linh hoạt, dẫn đến vận dụng kỹ phân tích đa thức thành nhân tử, rút gọn biểu thức chưa thành thạo sai sót Do kết mơn tốn lớp qua kỳ thi thường không cao chủ yếu học sinh yếu kỹ làm Ngoài việc áp dụng vào làm tập khó em tiếp xúc với bảy đẳng thức đáng nhớ việc vân dụng vào làm dạng tập không đơn giản chút học sinh Thơng qua q trình giảng dạy hiểu biết tôi, để giúp học sinh có cách nhìn nhận đẳng thức đáng nhớ vào dạng tập, xin đưa sáng kiến kinh nghiệm : “Vận dụng đẳng thức đáng nhớ vào giải toán lớp trường THCS Nga An” 1.2 Mục đích nghiên cứu Giúp học sinh rèn luyện kỹ tư trí tuệ, hình thành phẩm chất tư khoa học, giúp học sinh hứng thú học tập phát huy cao độ tính tư tích cực, độc lập sáng tạo, lực hoạt động tự học học sinh Học sinh nhìn nhận đẳng thức phép tốn hay biểu thức cách rõ ràng, xác Nhằm đánh giá mức độ kết dạy học trình độ phát triển học sinh, tạo niềm tin cho học sinh việc học mơn tốn 1.3 Đối tượng nghiên cứu Học sinh lớp 8A 8B trường THCS Nga An 1.4 Phương pháp nghiên cứu - Phương pháp đọc sách tài liệu - Phương pháp nghiên cứu sản phẩm - Phương pháp tổng kết kinh nghiệm - Phương pháp thực nghiệm - Phương pháp đàm thoại nghiên cứu vấn đề NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 2.1 Cơ sở lý luận sáng kiến kinh nghiệm Trong chương trình đại số lớp chương I “ Phép nhân phép chia đa thức” có bài: “Những đẳng thức đáng nhớ” Với tất tiết lí thuyết tiết luyện tập học sinh phần hiểu nắm rõ kiến thức đẳng thức Nhưng việc nắm hiểu sâu để sau vận dụng vào kiến thức có liên quan như: Phân tích đa thức thành nhân tử, tính giá trị biểu thức, rút gọn biểu thức xa dạng toán như: tìm cực trị, chứng minh chia hết … vận dụng đẳng thức nhiều Do mức độ kiến thức mà em đạt chưa thể nói thỏa mãn yêu cầu người dạy người học toán Bảy đẳng thức đáng nhớ bước chuyển tiếp quan trọng tư để giúp học sinh học tốt chương trình đại số Hệ thống tập đa dạng phong phú thể nhiều hình thức, từ đòi hỏi học sinh phải có phương pháp hợp lí để tìm lời giải cho tốn Vì việc hướng dẫn học sinh tìm phương pháp giải toán quan trọng để khơi dậy hứng thú học tập, giúp học sinh học toán nhẹ nhàng hào hứng, đạt kết tốt 2.1.1 Đối với giáo viên Cơ có tinh thần tự bồi dưỡng thường xuyên, liên tục để nâng cao trình độ chun mơn nghệp vụ Có trách nhiệm học sinh, trường lớp Phương pháp giảng dạy có đổi theo hướng tích cực hóa hoạt động người học, bước áp dụng cơng nghệ thơng tin vào giảng dạy Trong q trình giảng dạy giáo viên trọng đến việc khai thác nhiều phương pháp nhằm giúp học sinh phát triển khả tư lơ gích khả diễn đạt xác ý tưởng mình, nhằm hình thành cho học sinh tư tích cực, độc lập sáng tạo, nâng cao lực, phát giải ván đề, rèn luyện kỹ vào vận dụng thực tiễn, tác động đến tình cảm đem lại niềm vui, hứng thú học tập cho học sinh Tuy nhiên tiết dạy giáo viên dạy nhanh, dàn trải chưa làm bật trọng tâm học, chưa gây hứng thú học tập học sinh Giáo viên chưa tình mà em dễ nhầm lẫn qua góp phần củng cố kỹ cho học sinh 2.1.2 Đối với học sinh Một phận học sinh, khoảng 20% tích cực học tập, rèn luyện, có động học tập đắn nên có kết học tập tốt Một phận lớn học sinh, khoảng 45% có kết học tập trung bình, số có khoảng 25% có phương pháp học phù hợp đạt mức Số lại 35% học yếu, lớp không tiếp thu học, phần lớn em khơng có phương pháp học tốn phù hợp, khơng có kĩ phân tích, tìm lời giải cho tốn Qua tìm hiểu tơi thấy ngun nhân q trình dạy học thầy giáo chưa hướng dẫn học sinh phương pháp học tập đắn, hình thức tổ chức hoạt động dạy học học chưa phong phú nên chưa kích thích học sinh hứng thú học tập 2.2 Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến Hiện trường THCS, việc dạy - học nói chung có chuyển biến theo hướng tích cực, học sinh chủ động hoạt động học tập Tuy nhiên, qua tiết luyện tập trình học làm em cho ta thấy việc nắm bảy đẳng thức đáng nhớ em mơ hồ, lẫn lộn đẳng thức với đẳng thức Trong trình làm tập học sinh chưa biết dự đoán, nhận dạng mà chủ yếu giáo viên phải hướng dẫn em câu hỏi gợi mở dẫn dắt gần làm sẵn Qua kiểm tra cho thấy học sinh vận dụng đẳng thức vào giải toán chậm, chưa linh hoạt có sử dụng nhầm lẫn đẳng thức với Thực tế cho ta thấy việc nắm bảy đẳng thức vận dụng bảy đẳng thức vào giải tập em nhiều lúng túng nên kết làm chưa cao Trước thực trạng tơi ln trăn trở tìm cách khắc phục nhằm nâng cao hiệu dạy học môn Kết thực trạng: Năm học 2016-2017 nhà trường phân cơng giảng dạy mơn tốn lớp 8A 8B từ đầu năm học Sau học xong nội dung “Những đẳng thức đáng nhớ” cho em làm kiểm tra viết, thời gian làm 45 phút với mục tiêu: Kiểm tra mức độ nắm kiến thức kĩ vận dụng đẳng thức vào làm tập Kết thu sau: Giỏi Khá Trung bình Yếu Kém Lớp Sĩ số SL % SL % SL % SL % SL % 8A 39 18 13 33,3 15 38,5 10,2 0 8B 40 5 12.5 19 47,5 22,5 12,5 Tổng 79 11,4 18 22,8 34 43 13 16,5 6,3 Kết khảo sát cho thấy, tỉ lệ học sinh yếu - cao Từ thực trạng để chất lượng mơn tốn đạt hiệu tốt hơn, mạnh dạn cải tiến nội dung, phương pháp sâu vào việc phát huy tính tích cực học sinh thơng qua đề tài 2.3 Các giải pháp sử dụng để giải vấn đề 2.3.1 Cơ sở lý thuyết * Bảy đẳng thức đáng nhớ (A+B)2 = A2 + 2AB + B2 (A– B)2 = A2 – 2AB + B2 A2 – B2 = (A– B) (A+B) (A+B)3 = A3 + 3A2B + 3AB2 + B3 (A– B)3 = A3 – 3A2B + 3AB2 – B3 A3 + B3 = (A+ B) (A2 – AB + B2 ) A3 – B3 = (A– B) (A2 + AB + B2 ) * Một số đẳng thức tổng quát ( Dành cho học sinh giỏi) an – bn = (a- b)(an-1 + an-2b + … + abn-2 + bn-1) an + bn = (a+ b)(an-1 - an-2b + … - abn-2 + bn-1) với n lẻ 2.3.2.Một số dạng toán vận dụng Dạng 1: Vận dụng trực tiếp đẳng thức: từ tổng thành tích, từ tích thành tổng Phương pháp: Biến đổi biểu thức cho để xuất đẳng thức Bài tập: Bài 1: Tính a) (2 + xy)2 b) (5 – 3x)2 c) (5 – x2)(5 + x2) d) (5x – 1)3 e) (2x – y)(4x2 + 2xy + y2) f) (x + 3)(x2 – 3x + 9) Bài giải: a) (2 + xy)2 = 22 + xy + (xy)2 = + 4xy + x2y2 b) (5 – 3x)2= 52 – 3x + (3x)2 = 25 – 30x + 9x2 c) (5 – x2)(5 + x2) = 52 – (x2)2 = 25 – x4 d) (5x – 1)3 = (5x)3 – (5x)2 + 5x 12 – 13 = 125x3 – 75x2 + 15x – e) (2x – y)(4x2 + 2xy + y2) = (2x – y)[(2x)2 + 2x y + y2] = (2x)3 – y3 = 8x3 – y3 f) (x + 3)(x2 – 3x + 9) = (x + 3)(x2 – 3x + 32) = x3 + 33 = x3 + 27 Bài : Viết đa thức sau dạng bình phương tổng hiệu a) 9x2 - 6x + 1; b) x2+ 2x + c) (2x + 3y)2 + 2.(2x + 3y) +1 d) 9x2 + y2 + 6xy Bài giải: a) 9x2 – 6x + = (3x)2 – 3x + 12 = (3x – 1)2 b) (2x + 3y)2 + 2.(2x + 3y) +1= (2x + 3y)2 + (2x + 3y) + 12 = (2x + 3y + 1)2 c) x2 + 2x + = x2 + x + 12 = (x + 1)2 d) 9x2 + y2+ 6xy = (3x)2 + x y + y2 = (3x + y)2 Bài 3: Tính a) (a + b + c)2 b) (a + b – c)2 c) (a – b – c)2 Bài giải: a) (a + b + c)2 = [(a + b) + c]2 = (a + b)2 + 2(a + b)c + c2 = a2+ 2ab + b2 + 2ac + 2bc + c2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2bc + 2ac b) (a + b – c)2 = [(a + b) – c]2 = (a + b)2 - 2(a + b)c + c2 = a2 + 2ab + b2 - 2ac - 2bc + c2 = a2 + b2 + c2 + 2ab - 2bc - 2ac c) (a – b –c)2 = [(a – b) – c]2 = (a – b)2 – 2(a – b)c + c2 = a2 – 2ab + b2 – 2ac + 2bc + c2 Dạng 2: Tính nhanh Phương pháp: - Biến đổi thêm, bớt vào biểu thức cho để xuất đẳng thức - Thực đẳng thức phép tính ta có kết Bài tập: Bài 1: Tính nhanh: a) 1012; b) 1992; c) 47.53 Bài giải: a) 1012 = (100 + 1)2 = 1002 + 100 + = 10201 b) 1992= (200 – 1)2 = 2002 – 200 + = 39601 c) 47.53 = (50 – 3)(50 + 3) = 502 – 32 = 2500 – = 2491 Bài 2: Tính nhanh: a) 342 + 662 + 68 66; b) 742 + 242 – 48 74 Bài giải: a) 342 + 662 + 68 66 = 342 + 34 66 + 662 = (34 + 66)2 = 1002 = 10000 b) 742 + 242 – 48 74 = 742 - 74 24 + 242 = (74 - 24)2 = 502 = 2500 Bài 3: Tính nhanh: a) 732 – 272; b) 372 - 132 c) 20022 – 22 Bài giải: a) 732 – 272 = (73 + 27)(73 – 27) = 100 46 = 4600 b) 372 - 132 = (37 + 13)(37 – 13) = 50 25 = 100 12 = 1200 c) 20022 – 22 = (2002 + 2)(2002 – 2) = 2004 2000 = 400800 Dạng : Tính giá trị biểu thức Phương pháp: - Dựa vào đẳng thức thu gọn biểu thức - Thay giá trị biến vào biểu thức thu gọn - Thực phép tính số ta có kết Bài tập: Bài 1: Tính giá trị biểu thức 49x2 – 70x + 25 trường hợp sau: a) x = 5; b) x = Bài giải: 49x2 – 70x + 25 = (7x)2 – 7x + 52 = (7x – 5)2 a) Với x = thay vào biểu thức ta (7 – 5)2 = (35 – 5)2 = 302 = 900 b) Với x = thay vào biểu thức ta (7 – 5)2 = (1 – 5)2 = (-4)2 = 16 Bài 2: Tính giá trị biểu thức: a) x3 + 12x2 + 48x + 64 x = 6; b) x – 6x + 12x- x = 22 Bài giải: a) x3 + 12x2 + 48x + 64 = x3 + x2 + x 42 + 43 = (x + 4)3 Với x = thay vào biểu thức ta (6 + 4)3 = 103 = 1000 b) x3 – 6x2 + 12x- = x3 – 3.x2.2 + 3.x.22 - = (x – 2)3 Với x = 22 thay vào biểu thức ta (22 – 2)3 = 203 = 8000 Bài 3: Tính giá trị biểu thức: a) x2 + 4x + x = 98; b) x3 + 3x2 + 3x + x = 99 Bài giải: a) x2 + 4x + = x2 + x + 22 = (x+ 2)2 Với x = 98 thay vào biểu thức ta (98+ 2)2 =1002 = 10000 b) x3 + 3x2 + 3x + = x3 + x2 + x 12+ 13 = (x + 1)3 Với x = 99 thay vào biểu thức ta (99+ 1)3 = 1003 = 1000000 Bài 4: Tính giá trị biểu thức: a) x2 - y2 x = 87 y = 13 b) x3 - 3x2 + 3x - x = 101 Dạng 4: Rút gọn biểu thức Phương pháp: - Biến đổi biểu thức cho để xuất dạng đẳng thức - Thực đẳng thức hợp lý ta kết Bài tập: Bài 1: Rút gọn biểu thực sau: a) (a + b)2 – (a – b)2; b) (a + b)3 – (a – b)3 – 2b3 c) (x + y + z)2 – 2(x + y + z)(x + y) + (x + y)2 Bài giải: a) (a + b)2 – (a – b)2 = (a + b + a - b)( a + b – a + b) = 2a.2b = 4ab 3 b) (a + b) – (a – b) – 2b3 = (a3 + 3a2b + 3ab2 + b3) – (a3 – 3a2b + 3ab2 – b3) –2b3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 – a3 + 3a2b - 3ab2 + b3 – 2b3 = 6a2b c) (x + y + z)2 – 2(x + y + z)(x + y) + (x + y)2 = ( x + y + z ) −( x + y ) = z2 Bài 2: Rút gọn biểu thức: a (x+y)2 + (x−y)2 b 2(x−y)(x+y) + (x+y)2 + (x−y)2 c (x−y+z)2+(z−y)2+2(x−y+z)(y−z) Giải: a (x+y)2+(x−y)2 = x2+2xy+y2+x2−2xy+y2 = 2x2+2y2 b 2(x−y)(x+y) + (x+y)2 + (x−y)2 = [(x+y) + (x−y)]2 = (2x)2 = 4x2 c (x−y+z)2 + (z−y)2 + 2(x−y+z)(y−z) = (x−y+z)2 + 2(x−y+z)(y−z) + (y−z)2 = [(x−y+x) + (y−z)]2 = x2 Dạng 5: Chứng minh đẳng thức Phương pháp : Dựa vào đẳng thức biến đổi để biểu thức cần chứng minh Bài tập: Bài 1: Chứng minh rằng: (a + b)2 = (a – b)2 + 4ab; (a – b)2 = (a + b)2 – 4ab Áp dụng: a) Tính (a – b)2 , biết a + b = a b = 12 b) Tính (a + b)2 , biết a - b = 20 a b = Bài giải: a) (a + b)2 = (a – b)2 + 4ab - Biến đổi vế trái: (a + b)2 = a2 +2ab + b2 = a2 – 2ab + b2 + 4ab = (a – b)2 + 4ab Vậy (a + b)2 = (a – b)2 + 4ab b) (a – b)2 = (a + b)2 – 4ab Biến đổi vế phải: (a + b)2 – 4ab = a2 +2ab + b2 – 4ab = a2 – 2ab + b2 = (a – b)2 Vậy (a – b)2 = (a + b)2 – 4ab Áp dụng: Tính: a) (a – b)2 = (a + b)2 – 4ab = 72 – 12 = 49 – 48 = b) (a + b)2 = (a – b)2 + 4ab = 202 + = 400 + 12 = 412 Bài 2: Chứng minh rằng: a) a3 + b3 = (a + b)3 – 3ab(a + b) b) a3 – b3 = (a – b)3 + 3ab(a – b) Áp dụng: Tính a3 + b3 , biết a b = a + b = -5 Bài giải: a) a3 + b3 = (a + b)3 – 3ab(a + b) Thực vế phải: (a + b)3 – 3ab(a + b) = a3 + 3a2b+ 3ab2 + b3 – 3a2b – 3ab2 = a3 + b3 Vậy a3 + b3 = (a + b)3 – 3ab(a + b) b) a3 – b3 = (a – b)3 + 3ab(a – b) Thực vế phải: (a – b)3 + 3ab(a – b) = a3 - 3a2b+ 3ab2 - b3 + 3a2b – 3ab2 = a3 – b3 Vậy a3 – b3 = (a – b)3 + 3ab(a – b) Áp dụng: Với ab = 6, a + b = -5, ta được: a3 + b3 = (a + b)3 – 3ab(a + b) = (-5)3 - (-5) = -53 + = -125 + 90 = -35 Dạng 6: Phân tích đa thức thành nhân tử Phương pháp: Dựa vào đẳng thức để phân tích đa thức thành nhân tử Bài tập: 10 Bài 1: Phân tích đa thức sau thành nhân tử: a) x2 + 6x + 9; b) 10x – 25 – x2 c) x3 - 8; d) 125x2 – 64y2 Bài giải: a) x2 + 6x + = x2 + x + 32 = (x + 3)2 b) 10x – 25 – x2 = -(-10x + 25 +x2) = -(25 – 10x + x2) = -(52 – x – x2) = -(5 – x)2 c) x3 - = x3 – (2)3 = (x - )(x2 + x + 4) d) 125x2 – 64y2 = (15x)2 - (8y)2 = (15x + 8y)(15x - 8y) Bài 2: Phân tích đa thức sau thành nhân tử: a) x3 + 27 b) (a + b)3 – (a – b)3 c) 8x3 + 12x2y + 6xy2 + y3 d) - x3 + 9x2 – 27x + 27 Bài giải: a) x3 + 27 = x3 + (3)3 = (x + 3)(x2 – 3x + 9) b) (a + b)3 – (a - b)3 = [(a + b) – (a – b)][(a + b)2 + (a + b) (a – b) + (a – b)2] = (a + b – a + b)(a2 + 2ab + b2 + a2 – b2 + a2 – 2ab + b2) = 2b (3a3 + b2) c) 8x3 + 12x2y + 6xy2 + y3 = (2x)3 + (2x)2 y +3 2x y + y3 = (2x + y)3 d) - x3 + 9x2 – 27x + 27 = 27 – 27x + 9x2 – x3 = 33 – 32 x + x2 – x3 = (3 – x)3 Bài 3: Phân tích đa thức thành nhân tử a) 16 – (x–y)2 b) x3 - x c) 2x - 2y - x2 + 2xy - y2 d) (x + y)2 - 9x2 Bài giải: a) 16–(x–y)2 = 42–(x–y)2 = (4–x+y)(4+x–y) b) x3 - x = x( x2 - 1) = x(x - 1) (x + 1) c) 2x - 2y -x2 + 2xy –y = (2x -2y)-(x2 - 2xy +y2) = 2(x - y) -(x - y)2 = (x - y) (2 - x + y) 2 d) (x + y) - 9x = (x + y -3x)(x + y +3x) = (-2x + y)(4x + y) Dạng 7: Tìm x Phương pháp: - Dựa vào đẳng thức dể phân tích đa thức thành nhân tử - Thu gọn thừa số, nhận xét giải tìm x Bài tập: Bài 1: Tìm x, biết : a) x2 – 2x + = 25 b) x3 – 3x2 = -3x +1 Bài giải: a) x2 – 2x + = 25 ⇔ (x - 1)2 - 52 = ⇔ (x - + 5)( x - - 5) = 11 ⇔ (x + 4)(x - 6) = ⇒ x + = x - = ⇔ x = - x = Vậy x = - ; x = b) x3 – 3x2 = -3x +1 ⇔ x3 – 3x2 + 3x – = ⇔ (x - 1)3 = ⇔ x – =0 ⇔ x=1 Vậy x = Bài 2: Tìm x a) x2 - 2x +1 - = b) x2- = c) x2 - 10x = -25 Bài giải: a) x2 - 2x +1 - = ⇔ (x – 1)2 - 22 = ⇔ (x -1 + 2)( x – - 2) = ⇔ ( x + 1)( x - ) = ⇒ x + = x –3 = ⇒ x = -1 x = Vậy x = x = -1 c) x2 - 10x = -25 ⇔ x2 -10x + 25 = ⇔ (x-5)2 = ⇒ x=5 Vậy x = Dạng 8: Chứng minh tính chia hết Phương pháp: - Phân tích đa thức cho thành nhân tử Trong có thừa số chia hết cho số - Phân tích đa thức cho thành tổng Trong số hạng phải chia hết cho số Bài tập: Bài 1: Chứng minh 55n+1 – 55n chia hết cho 54 Bài giải: Ta có 55n + – 55n = 55n 55 - 55n = 55n (55 - 1) = 55n 54 Vì 54 chia hết cho 54 nên 55n 54 chia hết cho 54 với n số tự nhiên Vậy 55n + – 55n chia hết cho 54 Bài 2: Chứng minh (2n +5)2 – 25 chia hết cho với số nguyên n Bài giải: Ta có (2n +5)2 – 25 = (2n +5)2 – 52 = ( 2n + - 5)(2n + + 5) = 2n (2n + 10) = 4n(n + 5) Nên (2n +5) – 25 chia hết cho với số nguyên n 12 Bài 3: Chứng minh (5n +2)2 – chia hết cho với số nguyên n Bài giải: Ta có (5n +2)2 – = (5n +2)2 – 22 = ( 5n + - 2)(5n +2 +2) = 5n (5n + 4) Vì 5n chia hết 5n(5n + 4) chia hết cho Nên (5n +2)2 – chia hết cho với số nguyên n Bài 4: Chứng minh n3 - n hết cho với số nguyên n Bài giải: Ta có n3 – n = n(n2 – 1) = n(n - 1) (n + 1) Vì n(n - 1) (n + 1) tích ba số ngun liên tiếp ln chia hết cho Vậy n3 – n chia hết cho với số nguyên n Dạng : Chứng minh biểu thức không phụ thuộc vào biến Phương pháp: Dựa vào đẳng thức thu gọn biểu thức kết không chứa biến Bài tập: Bài 1: Chứng minh biểu thức sau không phụ thuộc vào biến a) (x + 3)(x2 - 3x + 9) - (54 +x3) b)( x - 1)2 + (x + 1)(3 – x) c) (x + y)(x2 – xy + y2) +(x - y)( x2 + xy + y2) – 2x3 Bài giải: a) Ta có (x + 3)(x2 - 3x + 9) - (54 +x3) = x3 + 33 – 54 – x3 = 27 – 54 = -27 Vậy biểu thức không phụ thuộc vào biến với x b) ( x - 1)2 + (x + 1)(3 – x) = x2 – 2x +1 +3x – x2 – x + = Vậy biểu thức không phụ thuộc vào biến với x c) (x + y)(x2 – xy + y2) +(x - y)( x2 + xy + y2) – 2x3 = (x3 + y3) + (x3 - y3) - 2x3 = Vậy biểu thức không phụ thuộc vào biến với x, y Bài 2: Chứng minh biểu thức sau không phụ thuộc vào biến (2x + )(4x2 – 6x + 9) – 2(4x3 - 1) Bài giải: (2x + )(4x2 – 6x + 9) – 2(4x3 - 1) = (2x)3 + 33 – 8x3 + = 8x3 + 27– 8x3 + = 29 Vậy biểu thức không phụ thuộc vào biến với x Bài 3: Chứng minh biểu thức sau không phụ thuộc vào biến a) (x - 5)(2x + 3) – 2x(x – 3) + x + b) (x2 + 2x + 3)(3x2 – 2x + 1) – 3x2(x2 + 2) – 4x(x2 - 1) c) (x + 3)3 – (x + 9)(x2 + 27) Dạng 10: Chứng minh giá trị biểu thức dương, âm Phương pháp: Đưa biểu thức dạng f(x) > với ∀ x f(x,y) > với ∀ x, y f(x) < với ∀ x f(x,y) < với ∀ x, y 13 Bài 1: Chứng minh giá trị biểu thức sau dương với giá trị biến a) A = 4x2 + 4x + b) B = 2x2 - 2x + Bài giải: a) A = 4x2 + 4x + = (2x)2 + 2.2x.1 +1 +1 = (2x + 1)2 + Vì (2x + 1)2 ≥ với ∀ x ⇒ (2x + 1)2 + ≥ với ∀ x ⇒ (2x + 1)2 + 1> với ∀ x Vậy giá trị biểu thức A dương với giá trị biến 1 1 ) = 2(x2 - x + - + ) 2 4 1 1 = 2[(x- )2 + ] = 2(x - )2 + 2 1 1 Vì 2(x - )2 ≥ với ∀ x ⇒ 2(x - )2 + ≥ với ∀ x 2 2 1 ⇒ 2(x - )2 + > với ∀ x 2 b) B = 2x2 - 2x + = 2(x2 - x + Vậy giá trị biểu thức B dương với giá trị biến Bài 2: Chứng minh giá trị biểu thức sau âm với giá trị biến C = -15 –x2 + 6x Bài giải: C = -15 –x2 + 6x = –x2 + 6x - – = - (x2 - 6x + 9) – = - (x -3)2 - Vì (x - 3)2 ≥ với ∀ x ⇒ - (x - 3)2 ≤ với ∀ x ⇒ - - (x - 3)2 ≤ - với ∀ x => - - (x - 3)2 < với ∀ x Vậy giá trị biểu thức C âm với giá trị biến Bài 3: Chứng minh : a) A = x(x -6) + 10 > với ∀ x b) B = x2 - 2x + 9y2 - 6y + > với ∀ x; y c) C = - x2 + 2x -7 < với ∀ x Dạng 11: Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn đa thức Phương pháp: - Nhỏ nhất: Min f(x) = m + Dựa vào đẳng thức chứng minh: f(x) ≥ m (m số) ∃ x0 : f(x0) = m - Lớn nhất: Max f(x) = M + Dựa vào đẳng thức chứng minh: f(x) ≤ M (M số) ∃ x0: f(x0) = M Bài 1: Tìm giá trị nhỏ hay giá trị lớn biểu thức sau: a) A = x2 – 4x + b) B = x2 + 8x b) C = - 2x2 + 8x – 15 d) D = x2 + y2 – x – 6y + 10 Bài giải: a) A = x2 – 4x + = x2 – 4x + + = ( x - 2)2 + ≥ Dấu “ =” xảy ⇔ x – = ⇔ x = 14 Vậy giá trị nhỏ biểu thức A x = c) C = - 2x2 + 8x – 15 = – 2(x2 – 4x + 4) – = – 2( x - 2)2 – ≤ - Dấu “ =” xảy ⇔ x – = ⇔ x = Vậy giá trị lớn biểu thức A - x = d) D = x2 + y2 – x – 6y + 10 = (x2 – x + 1) + ( y2 – 6y + 9) 1 + + ) + (y – 3)2 4 3 =(x - ) + + (y – 3)2 ≥ 4 Dấu “ =” xảy ⇔ x - = y – = ⇔ x = y = 3 Vậy giá trị lớn biểu thức D x = y = = (x2 – x Bài 2: a) Tìm giá trị nhỏ đa thức: P= x2 - 2x + b) Tìm giá trị lớn đa thức : Q= 4x - x2 + Bài giải: a) P = x2 - 2x + + = (x2-2x+1)+4 = (x-1)2 +4 ≥ với x Vậy P = x-1 = x=1 b) Q = -x + 4x – + = -(x2 - 4x + 4) + = -(x - 2)2 + ≤ với x Vậy max Q = x - = x = Bài 3: Tìm giá trị nhỏ hay giá trị lớn biểu thức sau: a) A = 4x2 + 4x + b) B = 2x - 2x + c) C = x2 - x + d) D = x – x2 e) E = x2 + y2 – x – 6y + 10 g) F = 6x − − x2 Dạng 12: Làm tính chia đa thức cho đa thức Phương pháp: - Xem đa thức bị chia đa thức chia dạng đẳng thức - Biến đổi đa thức dạng tích rút gọn ta có kết Bài 1: Làm tính chia: a) (x3 + 8y3) : (x + 2y) b) ( x2 – y2 + 6x + 9) : ( x + y + 3) Bài Giải : a) (x3 + 8y3) : (x + 2y) = (x + 2y)(x2 – 2xy +y2) : (x+ 2y) = x2 – 2xy +y2 b) ( x2 – y2 + 6x + 9) : ( x + y + 3) = [(x2 + 6x + 9) – y2]: ( x + y + 3) = ( x + y + 3)( x - y + 3): ( x + y + 3) = x-y+3 Bài 2: Làm tính chia: a) (x3 – 3x2y + 3xy2 – y3) : (x2 – 2xy +y2) b) (x2 – 2xy +y2) : (y – x) c) (4x2 – 9y2) : (2x – 3y) d) (27x3 – 1) : (3x – 1) 15 Bài giải: a) (x3 – 3x2y + 3xy2 – y3) : (x2 – 2xy +y2) = (x – y)3 : (x - y)2 = ( x - y) 2 b) (x – 2xy +y ) : (y – x) = (y - x) :(y - x) = y – x c) (4x2 – 9y2) : (2x – 3y) = (2x – 3y)(2x + 3y) : (2x – 3y) = 2x +3y d) (27x – 1) : (3x – 1) = [(3x)3 – 1] : (3x – 1) = (3x – 1) (9x2 + 3x + 1) : ( 3x – 1) = 9x2 + 3x + Dạng 13: Một số tốn nâng cao Bài Tính : a) A = 12 – 22 + 32 – 42 + … – 20042 + 20052 b) B = (2 + 1)(22 +1)(24 + 1)(28 + 1)(216 + 1)(232 + 1) – 264 Bài giải: a) A = 12 – 22 + 32 – 42 + … – 20042 + 20052 A = + (32 – 22) + (52 – 42)+ …+ ( 20052 – 20042) A = + (3 + 2)(3 – 2) + (5 + )(5 – 4) + … + (2005 + 2004)(2005 – 2004) A = + + + + + … + 2004 + 2005 A = ( + 2005 ) 2005 : = 2011015 Bài Chứng minh rằng: a) 7.52n + 12.6n M19 ( n ∈ N) b) 11n+2 + 122n+1 M133 ( n∈ N) Bài giải: a) 7.52n + 12.6n = 7.(25n – 6n) + 19.6n M19 Vì (25n – 6n) M(25 – 6) nên (25n – 6n) M19 19.6n M19 Vậy 7.52n + 12.6n M19 (n∈ N) b) 11n+2 + 122n+1 M133 = 112 11n + 12.122n = 12.(144n – 11n) + 133.11n M133 Vì (144n – 11n) M(144 – 11) nên (144n – 11n) M133 Bài Tìm x, y, z biết rằng: 2x2 + 2y2 + z2 + 2xy + 2xz + 2yz + 10x + 6y + 34 = Bài giải: 2x2 + 2y2 + z2 + 2xy + 2xz + 2yz + 10x + 6y + 34 = ⇔ (x2 + y2 + z2 + 2xy + 2xz + 2yz) + (x2 + 10x + 25) + (y2+ 6y + 9) = ⇔ (x + y + z)2 + (x + 5)2 + (y + 3)2 = ⇔ (x + y + z)2 = ; (x + 5)2 = ; (y + 3)2 = ⇒ x = - ; y = -3; z = 11 15 Bài 4: Cho x = n chữsố1 11 19 ; y = 123 n chữ số1 Chứng minh xy + số phương Bài giải: 11 19 11 15 Ta có : y = = + = x + n chữsố1 n chữ số1 16 Do đó: xy+4 = x(x+4)+4 = x2 + 4x + = ( x + )2 11 17 4 hay xy + = số phương n chữsố1 2.4 Hiệu SKKN Năm học 2017-2018 nhà trường phân công giảng dạy bơ mơn tốn 8, lớp 8A lớp 8B Rút kinh nghiệm năm trước chất lượng học sinh thấp nên bắt đầu vào dạy từ đẳng thức mạnh dạn vận dụng đề tài vào giảng dạy kết thu sau: + Các em nắm bắt kiến thức nhanh áp dụng thành thạo vào giải tập + Đa phần em có hứng thú với mơn tốn, chăm học hơn, việc bỏ tiết hạn chế rõ rệt, học sinh mạnh dạn học hỏi từ bạn, từ thầy, cô giáo Đa phần em thường xuyên phát biểu, trả lời câu hỏi thắc mắc giáo viên kiến thức học + Đa phần lý thuyết học sinh thuộc lớp, áp dụng tập sách giáo khoa Chất lượng em tiến ngày rõ rệt + Thông qua kỳ thi học sinh giỏi cấp huyện vừa qua thân có ba học sinh tham gia dự thi ba em đạt giải, có giải nhì hai giải ba + Chất lượng giảng dạy năm học qua thân thể bảng sau: Giỏi Khá Trung bình Yếu Kém Lớp Sĩ số SL % SL % SL % SL % SL % 8A 39 10 25,6 12 30,8 15 38,5 5,1 0 8B 40 10 22,5 22 55 12,5 0 Tổng 79 14 17,7 21 26,6 37 46,8 8,9 0 17 KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 3.1 Kết luận Sáng kiến kinh nghiệm: “Vận dụng đẳng thức đáng nhớ vào giải toán lớp trường THCS Nga An”.cũng chuyên đề mà thực trường học sinh đại trà Thông qua chuyên đề, qua thực tế đề cập triển khai nội dung thấy học sinh hứng thú việc củng cố kiến thức, tìm phương pháp để giải tốn, hứng thú với mơn tốn Qua thấy giáo viên biết gợi cho học sinh tìm tòi, xây dựng phương pháp giải từ vấn đề mà giáo viên đặt giải học sinh có hứng thú học tập 3.2 Kiến nghị đề xuất - Đối với học sinh đại trà đặc biệt học sinh yếu, cần dành thêm tiết luyện tập, buổi học phụ đạo để em nâng dần kỹ làm - Nhà trường cần tổ chức nhiều chuyên đề dạng tập, phương pháp, cách trình bày bài, rèn kỹ - Xây dựng thêm cho học sinh môi trường riêng để trao đổi thơng tin lẫn nhau, học nhóm, hay hoạt động ngoại khố cho học sinh Gia đình kết hợp với nhà trường giáo dục ý thức cho em cách lành mạnh, không bạo lực Các dạng tốn mà tơi trình bày chưa thật điển hình, kiến thức chưa khai thác hết dạng tập trình bày có sơ xuất mong nhận góp ý chân thành bạn đồng nghiệp Xin chân thành cảm ơn ! XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ Nga Sơn, ngày tháng năm 2018 Tôi xin cam đoan SKKN viết, khơng chép nội dung người khác Phạm Thị Hường 18 DANH MỤC CÁC ĐỀ TÀI SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐÃ ĐƯỢC HỘI ĐỒNG ĐÁNH GIÁ XẾP LOẠI CẤP PHÒNG GD&ĐT, CẤP SỞ GD&ĐT VÀ CÁC CẤP CAO HƠN XẾP LOẠI TỪ C TRỞ LÊN Họ tên tác giả: Phạm Thị Hường Chức vụ đơn vị công tác: Giáo viên Trường THCS Nga An TT Tên đề tài SKKN Một số phương pháp chứng minh Cấp đánh giá xếp loại (Phòng, Sở, Tỉnh ) Phòng GD ĐT huyện hai đường thẳng song song cho học Nga Sơn sinh lớp trường THCS Nga An Kết đánh giá xếp loại (A, B, C) B Năm học đánh giá xếp loại 2016 - 2017 19 ... 16 Do đó: xy+4 = x(x+4)+4 = x2 + 4x + = ( x + )2 11 17 4 hay xy + = số phương n chữsố1 2.4 Hiệu SKKN Năm học 2017-2018 nhà trường phân cơng giảng dạy bơ mơn tốn 8, lớp 8A lớp 8B Rút kinh nghiệm... chân thành cảm ơn ! XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ Nga Sơn, ngày tháng năm 2018 Tôi xin cam đoan SKKN viết, khơng chép nội dung người khác Phạm Thị Hường 18 DANH MỤC CÁC ĐỀ TÀI SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM... tên tác giả: Phạm Thị Hường Chức vụ đơn vị công tác: Giáo viên Trường THCS Nga An TT Tên đề tài SKKN Một số phương pháp chứng minh Cấp đánh giá xếp loại (Phòng, Sở, Tỉnh ) Phòng GD ĐT huyện hai