www.huongdanvn.com PHO PHÒNG GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO THANH CHƯƠNG TRƯỜNG THCS TÔN QUANG PHIỆT =====***===== SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM Đề tài HƯỚNG DẪN HỌC SINH KHÁ, GIỎI SÁNG TẠO CÁC BÀI TOÁN MỚI TỪ BÀI TOÁN GỐC GIÁO VIÊN: LÊ THANH HOÀ THÁNG: 4/2008 Nàm hoüc 2007 - 2008 www.huongdanvn.com PHÒNG GIÁO DỤC THANH CHƯƠNG Trường THCS Tôn Quang Phiệt HƯỚNG DẪN HỌC SINH KHÁ GIỎI TOÁN SÁNG TẠO CÁC BÀI TOÁN MỚI TỪ BÀI TOÁN GỐC Người viết: Lê Thanh Hoà Giáo viên toán trường THCS Tôn Quang Phiệt Năm học: 2007 - 2008 www.huongdanvn.com I ĐẶT VẤN ĐỀ: 1.Lý chọn đề tài Ở trường THCS dạy toán dạy hoạt động toán học cho học sinh, giải toán đặc trưng chủ yếu hoạt động toán học HS Để rèn luyện kỹ giải toán cho HS việc trang bò tốt kiến thức cho HS giáo viên cần hướng dẫn cho HS biết cách khai thác, mở rộng kết toán để HS suy nghó tìm tòi kết sau toán Nhưng thật tiếc thực tế chưa làm điều cách thường xuyên Phần lớn GV chưa có thói quen khai thác toán thành chuỗi toán liên quan, giải toán dừng lại việc tìm kết toán Điều làm cho HS khó tìm mối liên hệ kiến thức học Cho nên bắt đầu giải toán HS phải đâu? cần vận dụng kiến thức nào? toán có liên quan đến toán gặp? Hình học không đơn ""Chỉ vẽ hình ra"".Nó đòi hỏi cần phải có suy luận, phân tích, tưởng tượng đức tính cần có người làm toán Các bạn tự hỏi, nhiều người tự sáng tạo nhiều toán lónh vực đại số, giải tích, số học, hình học lại hay chưa? Nếu xem xét cách nghiêm túc hình học khó tìm sáng tạo mà vấn đề dành cho hình học quan tâm mức Trong trình dạy toán bồi dưỡng HS giỏi toán thấy việc tìm tòi mở rộng toán quen thuộc thành toán mới, tìm cách giải khác cho toán để từ khác sâu kiến thức cho HS phương pháp khoa học hiệu quả.Qúa trình toán đơn giản đến tập khó là bước phù hợp để rèn luyện lực tư cho HS Một điều chắn việc tìm tòi mở rộng toán kích thích hứng thú học tập óc sáng tạo HS Từ giúp HS có sở khoa học phân tích , đònh hướng tìm lời giải cho ác toán khác Hơn củng cố cho HS lòng tin vào khả giải toán Chỉ thôi, nhen nhóm lên em tình yêu toán học, môn học coi khô khan Trong viết xin đưa toán gốcï để giới thiệu cách khai thác kết mở rông toán 2.Mục đích nghiên cứu Đây đề tài rộng ẩn chứa nhiều thú vò bất ngờ thể rõ vẻ đẹp môn hình học, đặc biệt giúp phát triển khả tư sáng tạo học sinh, vấn đề quan tâm thường xuyên dạy học thầy cô giáo chắn đề tài kinh nghiệm bổ ích việc đào tạo bồi dưỡng đội ngũ học sinh giỏi toán Vì thực tế dạy học toán nhiều toán mà giải ta tìm nhiều ý tưởng hay độc từ sáng tạo nên chuỗi tập liên quan với nhau, tổng quát hoá toán khuôn khổ viết xin phép đưa toán mẫu để minh hoạ cho ý tưởng dạy học toán ""Dạy toán dạy cho học sinh biết cách sáng tạo toán"" 3.Đối tượng phạm vi áp dung: Đề tài viết trình dạy học trường THCS Tôn Quang Phiệt trường trọng điểm huyện nên có nhiều học sinh có khả tiếp thu học tập môn toán, học sinh ham học tìm tòi Việc thể đề tài thuận lợi www.huongdanvn.com BÀI TOÁN XUẤT PHÁT 1:( đề thi HSG lớp tỉnh nghệ an năm 2008) Cho đường tròn O đường kính AB dây cung CD( C,D không trùng với A,B) Gọi M giao điểm tiếp tuyến đường tròn C,D ; N giao điểm dây cung AC BD Đường thẳng qua N vuông góc NO cắt AD,BC E,F Chứng minh: a MN vuông góc với AB N' b NE = NF Lời giải : a.Gọi N' giao điểm AD BC, N'N vuông góc AB ta chứng minh M thuộc N'N Lấy M' trung điểm N'N ta dễ chứng minh M'D vuông góc DO M'C vuông góc CO => M' B' M giao điểm tiếp tuyến kẻ từ D,C => M' trùng M => MN vuông C góc AB D b CÁCH 1.(hình 1) F N Gọi B' điểm đối xứng b qua N B'A // NO => B'A vuông góc NE => B'E vuông góc AN => B'E // BF Từ dễ chứng minh B'NE = BNF (g.c.g) => NE = NF E CÁCH 2.(hình 2) A B Kẻ OH vuông góc AD ; OI vuông góc BC O Từ đồng dạng tam giác: DAN CBN Lại có tứ giác ONHE ; ONFI nội tiếp ta suy ra: EOF cân O gócNHO = gócNEO = gócNIO = gócNFO => => NE = NF Hình Nhận xét: Sau giải toán thấy toán xây dựng thành toán khác mức độ khó N' Sau xin nêu số suy nghó đó: HƯỚNG KHAI THÁC THỨ NHẤT (sáng tạo toán với giả thiết rộng ) 1.TÌNH HUỐNG1:Trước đưa toán GV cần đưa câu hỏi gợi mở để HS suy nghó phát vấn đề, ví dụ như: ? Hãy xác đònh xem GT toán giả thiết HẸP, thay GT RỘNG nào? ? với GT kết toán nào? Bài 1.1: Cho đường tròn (O) đường kính AB Các dây cung AC,BD cắt N Qua N vẽ đường thẳng vuông góc NO, đường úthẳng cắt đường thẳng AD,BC E, F Chứng minh NE = NF N' Lời giải: (Hình 3) M C D F N I H E A B O Hình E D K N C B A O Gọi K trực tâm AEN NK = NB(do AK // ON; O trung điểm AB) => EK // BF (vì vuông góc với AC) Từ ta dễ chứng minh: EKN = FBN (g.c.g) => NE = NF F Hình www.huongdanvn.com 2.TÌNH HUỐNG 2: Với thay đổi nhỏ GT ta có toán 1.1 toán mạnh Bây ta để ý đến vò trí điểm N giao điểm dây cung AC ; BD Để sáng tạo toán mới, ta thay GT N giao điểm AC; BD thành GT N giao điểm AD vàØ BC Với GT ta có toán sau: Bài1.2: Cho đường tròn tâm (O) đường kính AB dây cung AD , BC cắt điểm N (O) Qua N kẻ đường vuông góc với NO, đường thẳng cắt đường thẳng BD, AC E, F Chứng minh : NE = NF Lời giải:(Hình 4) Lấy B' đối xứng với B qua N Khi B'A // NO => B'A ⊥ NF B'N vuông góc AF => N trực tâm B'AF => AN vuông góc B'F => BE // B'F (vì vuông góc với AN) E B'NF = BNE (g.c.g) Từ dễ dàng chứng minh được: nên => NE = NF 3.TÌNH HUỐNG 3: Cần ý toán gốc AB đường kính đường tròn xem GT HẸP, GT RỘNG xét AB dây cung ta có toán sau tổng quát toán 1.1 1.2 A Bài 1.3: Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn tâm (O).Các đường chéo AC, BD cắtnhau N Qua N vẽ đường thẳng vuông góc NO , đường thẳng cắt đường thẳng AD, BC E, F Chứng minh NE = NF Lời giải: (Hình 5) kẻ OQ vuông góc AD OR vuông góc BC => Q,R trung điểm AD, BC Chú ý rằng: DNA đồng dạng CNB nên suy DNQ đồng dạng CNR => gócDQN = gócCRN => gócNQO = gócNEO (1) tứ giác EQON, FRNO nội tiếp nên: gócNQO = gócNEO gócNRO = gócNFO (2) EOF cân F => NE = NF Từ (1) (2) => gócNEO = gócNFO => A Bài 1.4: Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O).Các đường thẳng AD, BC cắt N (O) Đường thẳng qua N vuông góc NO cắt đường thẳng AC, BD E,F Chứng minh: NE = NF B' N F D C B O Hình E D Q C N O R B Hình F F N E C D Hình P A Q O B Lời giải: (hình 6) Kẻ OP vuông góc AC ; OQ vuông góc BD tứ giác OQNE; OPNF nội tiếp nên ta coù: goùcNOF = goùcNPF (1) goùcNOE = goùcNQE (2) NCA đồng dạng NDB (g.g) lại có P; Q trung điểm AC; NQD => gócNQD = gócNPC hay BD nên => NPC đồng dạng gócNQE = gócNPF (3) từ (1);(2);(3) => gócNOE = gócNOF kết hợp với NO vuông góc EF ta suy EOF cân O => NE = NF www.huongdanvn.com Bài 1.5: Cho tứ giác ABCD nội tiếp (O) Các đường thẳng AD, BC cắt tai N Đường thẳng qua N vuông góc với NO cắt đường thẳng AB, CD E, F E Chứng minh : NE = NF Lời giải:(Hình 7) Kẻ OP vuông góc AB; OQ vuông góc CD ta có: tứ giác OPEN; OQNF nội tiếp cho nên: gócNOF = gócNQF (1) gócNOE = gócNPE (2) Tứ giác ABCD nội tiếp nên: NCD đồng dạng NBA ( Goùc N chung; goùcNBA = goùcNDC) Do P; Q trung điểm AB, CD nên: NQC đồng dạng NPA ( c.g.c) => gócNQC = gócNPA gócNQF = gócNPE (3) Từ (1) ; (2) ; (3) => gócNOF = gócNOE => EOF cân tai O, kết hợp với ON vuông góc EF => NE = NF Bài 1.6: Cho đường tròn tâm (O) Dây cung AB I trung điểm AB, qua I vẽ dây MN,PQ cho MP cắt AB E, NQ cắt AB F Chứng minh : IE = IF Lời giải:(Hình 8) Kẻ OL vuông góc PM; OK vuông góc QN ta có tứ giác OIEL; OIFK nội tiếp => gócOLI = gócOEI gócOKI = gócOFI (1) IMP đồng dạng IQN L;K trung Từ đồng dạng điểm PM; QN nên => ILM đồng dạng IKQ => gócILM = gócIKQ => gócOLI = gócOKI (2) EOF cân tai O (3) Từ (1) (2) => gócOEI gócOFI => I trung điểm AB nên OI vuông góc EF (4) Từ (3) (4) => IE = IF NHẬN XÉT: Bằng thay đổi GT toán gốc ta sáng tạo thêm toán cung bậc cao hơn, tổng quát Đưa nhận xét muốn nêu lên khẳng đònh toán bắt nguồn từ bản, biển phải bắt nguồn từ dòng sông HƯỚNG KHAI THÁC THỨ 2:( Sáng tạo toán hệ toán gốc) Bài 1.7: Cho đường tròn tâm (O) Dây cung AB I trung điểm AB, qua I vẽ dây MN,PQ cho MP cắt AB E, NQ cắt AB F Chứng minh: EM EP = FN.FQ N F C D Q A O P Hình B N O P K L A I E B F Hình Q M N P O E I F B A M Q Hình 8b Lời giải:(Hình 8b) Từ kết toán 1.6 ta có: IE = IF vaø IA = IB => AE = FB vaø AF = BE (1) Tứ giác AMBP nội tiếp nên EM.EP = EA.EB (2) Tứ giác ANQB nội tiếp nên: FN.FQ = FB.FA (3) Từ (1) => EA.EB = FA.FB (4) Từ (2) ; (3) ;(4) => EM.EP = FN.FQ www.huongdanvn.com Bài 1.8: Cho tam giác ABC có AB + AC = 2BC nội tiếp đường tròn (O) Gọi I tâm đường tròn nội tiếp tam giác, B', C' điểm cung AB không chứa C cung AC không chứa B (O) B'C' cắt AI N, đường thẳng AI cắt BC M Chứng minh: IM = IN Lời giải: Gọi A' giao điểm AI (O) AM phân giác gócA A neân: MC MA + MB BC MB = = = = (1) N AC AB + AC AB + AC AB C' IM MB I = (2) BI tia phân giác ABM => IA AB AI Từ (1) (2) => IM = (3) M B AB'I cân B' B'N phân giác gócAB'I AI nên => NI = NA = (4) Từ (3) (4) => IM = IN B' O C Chú ý A' Hình HƯỚNG KHAI THÁC THỨ (Sáng tạo toán khó , cách giải cần sử dung kết toán gốc ) Bài 1.9: Cho đường tròn (o) đường kính AB, dây cung CD; dây AD cắt BC N, AC cắt BD N' Đường thẳng qua N vuông góc với NO cắt BD, AC E, F đường thẳng qua N' vuông góc với N'O cắt đường thẳng AD, BC E', F', Chứng minh EE' = FF' Lời giải: (Hinh 10) Vẽ OT vuông góc BD OK vuông góc BC => TK // CD => goùcBKT = goùcBCD (1) Ta có gócOTN = gócOEN ( tứ giác OTEN nội tiếp) (2) gócN'Kx = gócOF'N' (vì tứ giác OF'N'K nội tiếp) (3) Vì gócBCD = gócNN'D (2) (Do tứ giác NCN'D nội tiếp) Từ (1) (2) => gócBKT = gócNN'D = gócNN'T => Tứ giác KNN'T nội tiếp =>gócNKN' = gócNTN' (4) Lại có: gócNKN'+ gócN'Kx = 90 O F K T E Hinh 10 N C D F' (5) E' goùcNTN' + goùc OTN = 90 (6) Từ (4) ; (5) ; (6) => gócN'Kx = gócOTN (7) Từ (2); (3) ;(7) =>gócOEN = gócOF'N' (8) Sử dụng kết toán 1.1 1.2 ta có OEF OE'F' tam giác cân O kết hợp với (8) ta có gócEOFù = goùcE'OF' => goùcFOF' = goùcEOE' (9) Do OE = OF; OE' = OF' nên với (9) suy ra: OEE' = OFF' (c.g.c) => EE' = FF' A B N' x www.huongdanvn.com HƯỚNG KHAI THÁC THỨ 4: sáng tạo toán chứng minh đường thẳng đồng qui, chứng minh đường thẳng song song nhờ vận dung kết toán gốc Bài 1.10: Cho đường tròn (o) đường kính AB, dây cung CD AC cắt BD N, AD cắt BC N' Đường thẳng qua N vuông góc với NO cắt AD, BC E, F đường thẳng qua N' vuông góc với N'O cắt đường thẳng BD, AC E', F', Chứng minh đường thẳng AB, EE', FF' đồng qui điểm O A I K B F N E C D F' E' N' Hình 11 Lời giải: cách 1: Gọi K giao điểm EE' FF' Ta chứng minh K; O; B thẳng hàng Từ kết toán 1.9: OEE' = OFF' => gócOE'E = gócOF'F => Tứ giác OKF'E' nội tiếp ý N trực tâm N'AB nên NN' vuông goùc AB => goùcON'N + goùcN'OB = 90 (1) Trong tứ giác OKF'N' có: gócON'F' + gócN'OK +gócOKF' +gócKF'N' = 360 => gócN'OK +gócOKF'+gócKF'N'=270 (vì gócON'F'= 900 ) => goùcN'OK + goùcOKF' + goùcKF'O + goùcOF'N' = 270 =>(goùcOF'K +goùcN'OK) + goùcOKF' + goùcOF'N' =270 (2) gócOKF' + gócOF'N' = gócOKF' + gócOE'F' = 180 (3) (4) Từ (2) ; (3) => gócOF'K +gócN'OK = 90 Chú ý OEF đồng dạng OE'F' (g.g) nên: ON OF = (5) gócNOF = goùcN'OF' (6) => goùcN'ON = goùcF'OF (7) ON' OF' FOF' (c.g.c) Từ (5) (7) => ONN' đồng dạng => gócON'N = gócOF'F = gócOF'K (8) Từ (1); (4); => gócON'N + gócN'OB = gócOF'K +gócN'OK (9) Từ (8) ; (9) => gócN'OK = gócN'OB chứng tỏ K thuộc đường thăng OB EE'; FF' AB đồng qui www.huongdanvn.com b Chứng minh EF'; E'F, CD đồng qui Gọi giao điểm CD EF' I ADC Sử dụng đònh lý Menelauyt cho điểm E; I ;F' thẳng hàng ta có: ID EA F'C = (19) IC ED F'A ED F'C FC E'B Từ (17) => = (20) EA F'A FB E'D Từ (19) (20) ta có: ID FC E'B = (21) IC FB E'D Hệ thức 21 với đònh lý đảo Menelauyt ta suy E'; I; F thẳng hàng từ suy E'F; EF', CD đồng qui I CÁCH (Tương tự cách giải toán 10) a Chứng minh EE'; FF'; AB đồng qui gọi K giao điểm FF' AB Theo đònh lý Menelauyt cho N' E' D E F' I C N F B O K A ABC điểm E' ; E; K thẳng hàng ta coù : Hinh 16 FB F'C KA = (22) FC F'A KB Tiếp tục sử dụng đònh lý Menelauyt cho tam giác: FC EN' NA = (23) * CAN' điểm F; N; E ta coù: FN' EA NC ED FN' NB *Với DBN' F; N; E ta có: = (24) EN' FB ND N'D E'N F'A = (25) Với AND điểm F'; E'; N' ta coù: N'A E'D F'N N'C F'N E'B *Với BNC điểm F'; E'; N' ta có: = (26) N'B F'C E'N nhân vế (22);(23);(24);(25);(26) ta có: FB F'C KA FC EN' NA ED FN' NB N'D E'N F'A N'C F'N E'B =1 FC F'A KB FN' EA NC EN' FB ND N'A E'D F'N N'B F'C E'N NA NB N'D N'C ED E'B KA =>( ).( ) = (27) NC ND N'A N'B EA E'D KB BN N'D AC *Với AND điểm N'; B; C ta có: = (28) BD N'A NC AN N'C DB *Với BNC điểm D; A; N' ta có: = (29) AC N'B DN BN N'D AC NA N'C DB NB N'D NA N'C Nhân vế (28) (29) ta có: = => = (30) BD N'A DN AC N'B DN ND N'A NC N'B ED E'B KA = (31) EA E'D KB Hệ thức (31) với đònh lý đảo Menelauyt => điểm E'; E; K thẳng hàng từ suy đường thẳng EE';FF' AB đồng qui K b.Chứng minh E'F; EF'; CD đồng qui: Chứng minh tương tự cách TừØ (27) (30) ta có: www.huongdanvn.com Cách 2: 1.10 Gọi K giao điểm AB FF' để chứng minh EE'; FF' AB đồng qui ta cân chứng minh K; E;E' thẳng hàng ABC với điểm K; Sử dụng đònh lý Menelauyt cho A F; F' thẳng hàng ta có: FB F'C KA = (1) FC F'A KB *Với CAN' điểm F; N; E ta có: FC EN' NA = (2) FN' EA NC * Với DBN' điểm F; N; E ta coù: ED FN' NB E' = (3) EN' FB ND * Với ADN điểm F'; E'; N' ta coù: N'D E'N F'A = (4) N'A E'D F'N O I K B F N E C D F' N' Hình 11 N'B F'N E'B = (5) N'C F'C E'N Nhân vế đẳng thức ta có: FB F'C KA FC EN' NA ED FN' NB N'D E'N F'A N'B F'N E'B =1 FC F'A KB FN' EA NC EN' FB ND N'A E'D F'N N'C F'C E'N NA NB N'D N'C ED E'B KA => ( ).( ) = (6) NC ND N'A N'B EA E'D KB BN N'D CA *Với AND điểm N'; B; C ta coù: = (7) BD N'A CN AN N'C DB *Với BNC điểm D; A; N' ta coù: = (8) AC N'B DN BN N'D CA AN N'C DB Nhaân vế (7) (8) ta có: =1 BD N'A CN AC N'B DN NB N'D NA N'C ED E'B KA => = (9) ; Từ (6) (9) => = (10) ND N'A NC N'B EA E'D KB Hệ thức (10) với đònh lý đảo Menelauyt ta suy điểm K; E; E' thẳng hàng từ suy EE' ; FF' AB đồng qui K *Với BNC điểm F'; N'; E' ta coù: Tải tài liệu đầy đủ tại: https://goo.gl/FPyxOu Tải tài liệu đầy đủ tại: https://goo.gl/FPyxOu Tải tài liệu đầy đủ tại: https://goo.gl/FPyxOu Tổng Hợp Đề Tài Sáng Kiến Kinh Nghiệm Sư Phạm>> https://goo.gl/GEBWuN ... Trường THCS Tôn Quang Phiệt HƯỚNG DẪN HỌC SINH KHÁ GIỎI TOÁN SÁNG TẠO CÁC BÀI TOÁN MỚI TỪ BÀI TOÁN GỐC Người viết: Lê Thanh Hoà Giáo viên toán trường THCS Tôn Quang Phiệt Năm học: 2007 - 2008 www.huongdanvn.com... độc từ sáng tạo nên chuỗi tập liên quan với nhau, tổng quát hoá toán khuôn khổ viết xin phép đưa toán mẫu để minh hoạ cho ý tưởng dạy học toán ""Dạy toán dạy cho học sinh biết cách sáng tạo toán" "... GT toán gốc ta sáng tạo thêm toán cung bậc cao hơn, tổng quát Đưa nhận xét muốn nêu lên khẳng đònh toán bắt nguồn từ bản, biển phải bắt nguồn từ dòng sông HƯỚNG KHAI THÁC THỨ 2:( Sáng tạo toán