Đang tải... (xem toàn văn)
DAYHOCTOAN VN bài tập TRẮC NGHIỆM TÍCH PHÂN và ỨNG DỤNG lớp 12 (có lời GIẢI CHI TIẾT) DAYHOCTOAN VN bài tập TRẮC NGHIỆM TÍCH PHÂN và ỨNG DỤNG lớp 12 (có lời GIẢI CHI TIẾT) DAYHOCTOAN VN bài tập TRẮC NGHIỆM TÍCH PHÂN và ỨNG DỤNG lớp 12 (có lời GIẢI CHI TIẾT) DAYHOCTOAN VN bài tập TRẮC NGHIỆM TÍCH PHÂN và ỨNG DỤNG lớp 12 (có lời GIẢI CHI TIẾT) DAYHOCTOAN VN bài tập TRẮC NGHIỆM TÍCH PHÂN và ỨNG DỤNG lớp 12 (có lời GIẢI CHI TIẾT)
DAYHOCTOAN.VN CHỦ ĐỀ NGUYÊN HÀM -–TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG Bài 01 NGUYÊN HÀM Định nghĩa Cho hàm số f ( x ) xác định khoảng K Hàm số F ( x ) gọi nguyên hàm hàm số f ( x ) F ' ( x ) = f ( x ) với x ∈ K Nhận xét Nếu F ( x ) nguyên hàm f ( x ) F ( x ) + C , (C ∈ ℝ ) nguyên hàm f ( x ) f ( x ) dx = F ( x ) + C ∫ Ký hiệu: Tính chất (∫ f ( x ) dx ) / = f (x ) ∫ a f ( x ) dx = a.∫ f ( x ) dx (a ∈ ℝ, a ≠ 0) ∫ f ( x ) ± g ( x )dx = ∫ f ( x ) dx ± ∫ g ( x ) dx Bảng nguyên hàm số hàm số thường gặp Bảng nguyên hàm DAYHOCTOAN.VN ∫ kdx = kx + C , x α +1 + C (α ≠ −1) α +1 ∫ x α dx = ∫ dx = ln x + C x ∫e x dx = e x + C ∫a x dx = ax +C ln a k số α +1 (ax + b ) a α +1 α ∫ (ax + b ) dx = +C ∫ ax + b dx = a ln ax + b + C ∫e ax +b ∫a dx = mx + n ax +b e +C a dx = a mx +n +C m ln a ∫ cos xdx = sin x + C ∫ cos (ax + b ) dx = a sin (ax + b ) + C ∫ sin xdx = − cos x + C ∫ sin (ax + b ) dx = − a cos (ax + b ) + C ∫ cos x ∫ sin x 1 dx = tan x + C ∫ cos dx = − cot x + C ∫ sin 2 1 dx = tan (ax + b ) + C a (ax + b ) 1 dx = − cot (ax + b ) + C a (ax + b ) DAYHOCTOAN.VN CÂU HỎI V( B(I TẬP TRẮC NGHIỆM 12 NGUYỄN PHÚ KHÁNH – HUỲNH ĐỨC KHÁNH Đăng ký mua trọn trắc nghiệm 12 FILE WORD Liên hệ tác giả HUỲNH ĐỨC KHÁNH – 0975120189 https://www.facebook.com/duckhanh0205 Khi mua có sẵn File đề riêng; File đáp án riêng để thuận tiện cho việc in ấn dạy học CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM Câu Hàm số f ( x ) có nguyên hàm K nếu: A f ( x ) xác định K B f ( x ) có giá trị lớn K C f ( x ) có giá trị nhỏ K D f ( x ) liên tục K Lời giải Nếu hàm số f ( x ) liên tục K có ngun hàm K Chọn D Câu Mệnh đề sau sai? A Nếu F ( x ) nguyên hàm f ( x ) (a; b ) ∫ f ( x ) dx = F ( x ) + C với C số B Mọi hàm số liên tục khoảng (a; b ) có nguyên hàm khoảng (a; b ) C F ( x ) nguyên hàm f ( x ) (a; b ) ⇔ f / ( x ) = F ( x ), ∀x ∈ (a; b ) D (∫ f ( x ) dx ) / = f (x ) DAYHOCTOAN.VN Lời giải Chọn C Sửa lại cho là: '' F ( x ) nguyên hàm f ( x ) (a; b ) ⇔ F / ( x ) = f ( x ), ∀x ∈ (a; b ) '' Câu Xét hai khẳng định sau: 1) Mọi hàm số f ( x ) liên tục đoạn [ a; b ] có đạo hàm đoạn 2) Mọi hàm số f ( x ) liên tục đoạn [ a; b ] có nguyên hàm đoạn Trong hai khẳng định trên: A Chỉ có 1) `B Chỉ có 2) C Cả hai D Cả hai sai Lời giải Hàm số có đạo hàm x liên tục x Ngược lại hàm số liên tục x chưa có đạo hàm x Chẳng hạn xét hàm số f ( x ) = x điểm x = Chọn B Câu Trong khẳng định sau nói nguyên hàm hàm số f ( x ) xác định khoảng D , khẳng định sai? 1) F ( x ) nguyên hàm f ( x ) D F ' ( x ) = f ( x ), ∀x ∈ D 2) Nếu f ( x ) liên tục D f ( x ) có nguyên hàm D 3) Hai nguyên hàm D hàm số sai khác số A Khẳng định 1) sai B Khẳng định 2) sai C Khẳng định 3) sai D Khơng có khẳng định sai Lời giải Chọn D Câu Giả sử F ( x ) nguyên hàm hàm số f ( x ) khoảng (a; b ) Giả sử G ( x ) nguyên hàm f ( x ) khoảng (a; b ) Mệnh đề sau đúng? DAYHOCTOAN.VN A F ( x ) = G ( x ) khoảng (a; b ) B G ( x ) = F ( x ) − C khoảng (a; b ) , với C số C F ( x ) = G ( x ) + C với x thuộc giao hai miền xác định F ( x ) G ( x ) , C số D Cả ba câu sai Lời giải Vì hai nguyên hàm D hàm số sai khác số Do B Chọn B Câu Xét hai khẳng định sau: 1) ∫ f ( x ) + g ( x ) dx = ∫ f ( x ) dx + ∫ g ( x ) dx = F ( x ) + G ( x ) + C , F ( x ) G ( x ) tương ứng nguyên hàm f ( x ), g ( x ) 2) Mỗi nguyên hàm a f ( x ) (a ≠ 0) tích a với nguyên hàm f ( x ) Trong hai khẳng định trên: A Chỉ có 1) B Chỉ có 2) C Cả hai Lời giải Chọn C Câu Khẳng định sau sai? A Nếu B ∫ f ( x ) dx = F ( x ) + C ∫ kf ( x ) dx = k ∫ ∫ D Cả hai sai f (u ) du = F (u ) + C f ( x ) dx ( k số k ≠ ) C Nếu F ( x ) G ( x ) nguyên hàm hàm số f ( x ) F ( x ) = G ( x ) D ∫ f ( x ) + f ( x ) dx = ∫ f ( x ) dx + ∫ f ( x ) dx DAYHOCTOAN.VN Lời giải Các nguyên hàm sai khác số nên C đáp án sai Chọn C Câu Trong khẳng định sau, khẳng định sai? A ∫ 0dx = C ( C số) B ∫ dx = ln x + C ( C số) x α +1 x C ∫ x α dx = + C ( C số) D ∫ dx = x + C ( C số) α +1 Lời giải Chọn C Vì kết không với trường hợp α = −1 Câu Hàm số f ( x ) = có nguyên hàm khoảng với khoảng cho cos x sau đây? π π π π A (0; π ) B − ; C (π;2π ) D − ; 2 2 π π Lời giải Hàm số f ( x ) = xác định liên tục − ; nên có nguyên hàm 2 cos x khoảng Chọn B Câu 10 Kí hiệu F ( y ) nguyên hàm hàm số f ( y ) , biết F ( y ) = x + xy + C Hỏi hàm số f ( y ) hàm số hàm số sau? A f ( y ) = x B f ( y ) = x + y C f ( y ) = y D f ( y ) = x + y Lời giải Để tìm f ( y ) ta lấy đạo hàm F ( y ) theo biến y (tức x đóng vai trò tham số) Ta có F ' ( y ) = x Chọn A Câu 11 Kí hiệu F ( x ) nguyên hàm hàm số f ( x ) F (sin x ) xác định F (sin x ) nguyên hàm hàm số hàm số sau? DAYHOCTOAN.VN A f (sin x ) B f (cos x ) Lời giải Theo định nghĩa, ta có ∫ C sin xf (sin x ) D sin xf (sin x ) f ( x ) dx =F ( x ) + C ← → F ′ ( x ) = f ( x ) / Áp dụng: F (sin x ) ′ = (sin x ) F / (sin x ) = sin x f (sin x ) Chọn D Câu 12 Xác định A C f ( x ) dx biết f ( x ) = x + ∫ ∫ (2 x + 1) dx = ∫ (2 x + 1) dx = x + x B ∫ (2 x + 1) dx = C D ∫ (2 x + 1) dx = x + x + C Lời giải Chọn D Câu 13 Hàm số sau nguyên hàm hàm số f ( x ) = ( x − 3) ? ( x − 3) A F ( x ) = ( x − 3) B F ( x ) = + 2017 D F ( x ) = C F ( x ) = ( x − 3) +x ( x − 3) 5 −1 Lời giải Xét đáp án A, ta có F ' ( x ) = ( x − 3) + ≠ f ( x ) Chọn A Cách trắc nghiệm Ta thấy hàm số F ( x ) đáp án B, C, D sai khác số nên dung phương pháp loại suy, ta chọn được đáp án A Câu 14 Kí hiệu F ( x ) nguyên hàm hàm số f ( x ) = ( x + 1) F (1) = Khẳng định sau đúng? x 2x A F ( x ) = + + x 28 ⋅ 15 x 2x + + x +C x 2x C F ( x ) = x ( x + 1) D F ( x ) = + + x + x 2x Lời giải Ta có ∫ ( x + 1) dx = ∫ ( x + x + 1) dx = + + x +C 28 28 → + +1+C = → C = Chọn A Theo giả thiết F (1) = 15 15 B F ( x ) = DAYHOCTOAN.VN Câu 15 Tìm hàm số F ( x ) biết F ' ( x ) = x + x + đồ thị hàm số y = F ( x ) cắt trục tung điểm có tung độ e A F ( x ) = x + x + e B F ( x ) = cos x + e −1 C F ( x ) = x + x + x + D F ( x ) = x + x + x + e Lời giải Ta có F ( x ) = ∫ (3 x + x + 1) dx = x + x + x + C Đồ thị y = F ( x ) cắt trục tung điểm có tung độ e nên ta có F (0 ) = e ⇔ C = e Vậy F ( x ) = x + x + x + e Chọn D Câu 16 Kí hiệu F ( x ) nguyên hàm hàm số f ( x ) = x − Đồ thị hàm số y = F ( x ) đồ thị hàm số y = f ( x ) cắt điểm thuộc trục tung Tọa độ điểm chung hai đồ thị hàm số là: 5 5 A (0; −1) B ;9 C (0; −1) ;9 5 D (0; −1) ;8 Lời giải Ta có F ( x ) = ∫ ( x −1) dx = x − x + C Giả sử M (0; m ) ∈ Oy giao điểm đồ thị hai hàm số F ( x ) f ( x ) DAYHOCTOAN.VN M ∈ f ( x ) 4.0 −1 = m m = −1 Ta có hệ phương trình ⇔ ⇔ ⇒ F ( x ) = x − x −1 M ∈ F ( x ) 2.0 − + C = m C = −1 Hoành độ giao điểm đồ thị hai hàm số F ( x ) f ( x ) nghiệm phương trình: x = ⇒ y = −1 x − x −1 = x −1 ⇔ x (2 x − 5) = ⇔ x = ⇒ y = 5 Vậy tọa độ điểm cần tìm (0; −1) ;9 Chọn C Câu 17 Biết F ( x ) = ax + (a + b ) x + (2a − b + c ) x + nguyên hàm f ( x ) = x + x + Tính tổng S = a + b + c A S = Lời giải Ta có B S = ∫ (3x C S = D S = + x + ) dx = x + x + x + C Suy F ( x ) = x + x + x + a = a = b = a b Đồng ta + = ⇔ → a + b + c = Chọn A 2a − b + c = c = Câu 18 (ĐỀ THỬ NGHIỆM 2016 – 2017) Biết F ( x ) nguyên hàm hàm số f ( x ) = F (2) = Tính F (3) x −1 A F (3) = ln −1 B F (3) = ln + 1 C F (3) = ⋅ D F (3) = ⋅ DAYHOCTOAN.VN dx = ln x −1 + C x −1 Theo giả thiết F (2) = → ln −1 + C = ⇔ C = Lời giải Ta có ∫ Suy F ( x ) = ln x −1 + → F (3) = ln + Chọn B Câu 19 Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm f ' ( x ) = A f (5) = ln B f (5) = ln Lời giải Ta có f ( x ) = ∫ f ' ( x ) dx = ∫ f (1) = Tính f (5) x −1 C f (5) = ln + D f (5) = ln + dx = ln x −1 + C x −1 Theo giả thiết f (1) = → ln 2.1 −1 + C = ⇔ C = 1 Suy f ( x ) = ln x −1 + → f (5) = ln 2.5 −1 + = ln + = ln + Chọn D 2 2x + Câu 20 Tìm hàm số f ( x ) thỏa mãn đồng thời f ′ ( x ) = f (0) = x +1 A f ( x ) = x + ln x + B f ( x ) = x + ln x + −1 C f ( x ) = x + ln x + + D f ( x ) = x + ln x + + Lời giải Ta có ∫ 2x + dx = ∫ 2 + dx = x + ln x + + C x +1 x + 1 Theo giả thiết f (0) = → 2.0 + ln + + C = ⇔ C = Suy f ( x ) = x + ln x + + Chọn C DAYHOCTOAN.VN ( x + 1) Câu 21 Gọi F ( x ) nguyên hàm hàm số f ( x ) = F (−1) = ⋅ Tính F (2) A F (2) = + ln ( x + 1) = x +2 thỏa mãn B F (2) = (1 − ln 2) C F (2) = (1 + ln 2) Lời giải Ta có x +2 D F (2) = x + x + x ( x + 2) + 1 = =x+ x +2 x +2 x +2 ( x + 1) →∫ x2 dx = ∫ x + dx = + ln x + + C x +2 x + 2 (1) 1 → + ln −1 + + C = ⇔ C = 2 2 Theo giả thiết F (−1) = x2 + ln x + → F (2) = + ln = (1 + ln 2) Chọn C Suy F ( x ) = ( x −1) Câu 22 Hàm số sau nguyên hàm hàm số f ( x ) = ? A F ( x ) = x 3x − + ln x + 2 2x B F ( x ) = C F ( x ) = x 3x 1 − − 2− x 2x D F ( x ) = ( x −1) ( x −1) 2x 4x3 3( x −1) 4x x − x + 3x −1 dx 2x 2x x 3 x 3x = ∫ − + − − + ln x + +C dx = 2 x x 2 2x Lời giải Ta có ∫ dx = ∫ DAYHOCTOAN.VN Chọn C = → F (x ) = x 3x − + ln x + Chọn A 2 2x Câu 23 Biết F ( x ) nguyên hàm hàm số f ( x ) = x − + x thỏa mãn x2 F (1) + F (2) = 43 Tính F (2) 45 86 D F (2) = Lời giải Ta có F ( x ) = ∫ x − + x dx = x + + x + C x x 7 45 Theo giả thiết F (1) + F (2) = 43 → + C + + C = 43 ⇔ C = 2 1 Suy F ( x ) = x + + x + → F (2 ) = + + 2 + = 23 Chọn B x 2 2 Câu 24 Hàm số sau nguyên hàm hàm số f ( x ) = ⋅ x −x A F (2) = 151 B F (2) = 23 C F (2) = A F ( x ) = − ln x − ln x −1 B F ( x ) = ln x − ln x −1 C F ( x ) = − ln x + ln x −1 D F ( x ) = ln x + ln x −1 Lời giải Ta có 1 1 = =− + x − x x ( x −1) x x −1 1 → ∫ dx = ∫ − + dx = − ln x + ln x −1 + C Chọn C x − x x x −1 DAYHOCTOAN.VN Câu 25 Gọi F ( x ) nguyên hàm hàm số f ( x ) = thỏa mãn x − 3x + 3 F = Tính F (3) A F (3) = ln Lời giải Ta có B F (3) = ln C F (3) = −2 ln D F (3) = − ln 1 1 = =− + x − x + ( x −1)( x − 2) x −1 x − 2 1 dx = ∫ − dx = − ln x −1 + ln x − + C → ∫ + x − 3x + x −1 x − 3 3 Theo giả thiết F = →− ln −1 + ln − + C = ⇔ C = 2 Suy F ( x ) = − ln x −1 + ln x − → F (3) = − ln Chọn D Câu 26 Xác định A C ∫ ∫ ∫ f ( x ) dx biết f ( x ) = x +3 ⋅ x + 3x + f ( x ) dx = ln x + − ln x + + C B f ( x ) dx = ln x + + ln x + + C D Lời giải Ta có ∫ ∫ f ( x ) dx = ln x + − ln x + + C f ( x ) dx = ln x + + ln x + + C x +3 x +3 = = − x + x + ( x + 1)( x + 2) x + x + x +3 dx = ∫ − dx = ln x + − ln x + + C Chọn B x + x + x + 3x + 2 1 thỏa f (2 ) = − ⋅ Câu 27 Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm f ′ ( x ) = − 2 (2 x −1) ( x −1) →∫ Biết phương trình f ( x ) = −1 có nghiệm x = x Tính T = 2017 x DAYHOCTOAN.VN A T = 2017 B T = C T = 2017 D T = 2017 1 Lời giải Ta có ∫ f ' ( x ) dx = ∫ − dx = − +C 2 x − x −1 (2 x −1) ( x −1) 1 1 Theo giả thiết f (2) = − → − + C = − ⇔ C = −1 3 x Suy f ( x ) = −1 ( x −1)(2 x −1) Suy f ( x ) = −1 ⇔ x −1 = −1 ⇔ x = = x →T = 2017 = Chọn B x − ( )(2 x −1) Câu 28 Tìm nguyên hàm F ( x ) hàm số f ( x ) g ( x ) , biết x2 + C F (2) = x2 x2 A F ( x ) = + B F ( x ) = + 4 ∫ f ( x ) dx = x + C , ∫ g ( x ) dx = Lời giải Ta có ∫ C F ( x ) = f ( x ) dx = x + C → f ( x ) = 1 x dx = x + C Theo giả thiết F (2 ) = → 2 + C = ⇔ C = 4 x2 Suy F ( x ) = + Chọn A Khi ∫ f ( x ) g ( x ) dx = ∫ ∫ x3 + x3 + x2 g ( x ) dx = + C → g ( x ) = x D F ( x ) = DAYHOCTOAN.VN Câu 29 Cho I = ∫ A I = x +C ( Lời giải Ta có x x ln x dx Mệnh đề sau sai? B I = +C x +1 ( C I = 2 +C ) = (2 ) = ( x ) / x / / x ln = x x ) ( + + C D I = 2 x ln ≠ x ln x x ) −1 + C Chọn A Cách trắc nghiệm Ta thấy đáp án B, C, D sai khác nên số nên dễ dàng nhận đáp án A khơng thỏa mãn Câu 30 Tìm giá trị tham số a, b, c để hàm số F ( x ) = (ax + bx + c ) x − với x> 20 x − 30 x + nguyên hàm hàm số f ( x ) = 2x −3 A a = 4, b = 2, c = B a = 4, b = −2, c = −1 C a = 4, b = −2, c = D a = 4, b = 2, c = −1 Lời giải Theo ta có F ' ( x ) = f ( x ) Ta có F ' ( x ) = (2ax + b ) x − + (ax (*) + bx + c ) = 5ax + (3b − 6a ) x − 3b + c 2x − 2x −3 5a = 20 a = Để (*) xảy ⇔ 3b − 6a = −30 ⇔ b = −2 Chọn C c − 3b = c = 1 Câu 31 Nếu ∫ f ( x ) dx = + ln x + C f ( x ) hàm số hàm số sau? x A f ( x ) = x + ln x + C B f ( x ) = − x + + C x x −1 C f ( x ) = − + ln x + C D f ( x ) = x x DAYHOCTOAN.VN Lời giải Theo định nghĩa ∫ f ( x ) dx = F ( x ) → F / ( x ) = f ( x ) 1 1 x −1 Do hàm số cần tìm f ( x ) = + ln x + C = − + = Chọn D x x x x / Câu 32 Cho F ( x ) nguyên hàm hàm số f ( x ) = e x thỏa mãn F (0) = Mệnh đề sau đúng? 1 A F ( x ) = e x + B F ( x ) = e x 3 3x C F ( x ) = e + ⋅ D F ( x ) = − e x + ⋅ 3 3 Lời giải Ta có ∫ e x dx = e x + C Theo giả thiết F (0) = → +C = ⇔ C = 3 3x Suy F ( x ) = e + ⋅ Chọn C 3 e Câu 33 Biết F ( x ) nguyên hàm hàm số f ( x ) = e x +1 thỏa F (0) = ⋅ Tính ln 3 F (1) A ln 3 F (1) = 64 B ln 3 F (1) = −8 C ln 3 F (1) = 81 D ln 3 F (1) = 27 Lời giải Ta có ∫ e x +1dx = e x +1 + C DAYHOCTOAN.VN e e e → + C = ⇔ C = 3 → ln 3 F (1) = ln 3 e = 64 Chọn A Theo giả thiết F (0) = Suy F ( x ) = e x +1 Câu 34 Tìm nguyên hàm hàm số f ( x ) = e x e x +1 x +1 e +C A ∫e x e x +1dx = e x e x +1 + C B ∫e x e x +1dx = C ∫e x e x +1dx = 2e x +1 + C D ∫e x e x +1dx = e x +1 + e x + C Lời giải Ta có ∫e x e x +1dx = ∫ e x +1dx = x +1 e + C Chọn B Câu 35 Tìm nguyên hàm F ( x ) hàm f ( x ) = 2 x A F ( x ) = +C ln B F ( x ) = x C F ( x ) = x ln + C Lời giải Ta có ∫ 4x +C ln D F ( x ) = x + C 2 x dx = ∫ x dx = 4x + C Chọn B ln Câu 36 Hàm số F ( x ) = e x + 2018 nguyên hàm hàm số hàm số sau đây? 3 ex D f ( x ) = x e x −1 3x Lời giải Hàm số F ( x ) nguyên hàm hàm số f ( x )← → F '(x ) = f (x ) A f ( x ) = e x B f ( x ) = x e x C f ( x ) = DAYHOCTOAN.VN ( ) ( ) = ( x ) e / Suy hàm số cần tìm f ( x ) = e x + 2018 = e x Câu 37 Hàm số F ( x ) = 3 / / x3 = x e x Chọn B x3 + e x nguyên hàm hàm số hàm số sau đây? A f ( x ) = x4 x4 +ex + e x B f ( x ) = x + e x C f ( x ) = 12 D f ( x ) = x + e x Lời giải Hàm số F ( x ) nguyên hàm hàm số f ( x )← → F '(x ) = f (x ) x3 Suy hàm số cần tìm f ( x ) = + e x = x + e x Chọn D 3 / Câu 38 Biết F ( x ) nguyên hàm hàm số f ( x ) = (2 + e x ) thỏa F (0) = ⋅ 1 Tính F ⋅ e + 8e + A F = ⋅ e + 6e + B F = ⋅ e − 6e + C F = ⋅ e − 8e + D F = ⋅ Lời giải Ta có ∫ ( + e ) dx = ∫ ( + e Theo giả thiết F (0 ) = 3x 3x + e x )dx = → + + C = ⇔ C = 6x 3x e + e + 4x +C DAYHOCTOAN.VN Suy F ( x ) = 1 1 x 3x 4 e + 8e + e + e + x → F = e + e + = Chọn A 6 3 Câu 39 Tìm nguyên hàm F ( x ) hàm số f ( x ) = e −x (2e x + 1) , biết F (0 ) = A F ( x ) = x + e − x B F ( x ) = x − e −x + C F ( x ) = + e −x D F ( x ) = x − e − x + Lời giải Ta có ∫ e (2 e −x x + 1)dx = ∫ (2 + e −x )dx = x − e − x + C Theo giả thiết F (0) = →−1 + C = ⇔ C = Suy F ( x ) = x − e −x + Chọn B Câu 40 Giả sử F ( x ) = (ax + bx + c ) e x nguyên hàm hàm số f ( x ) = x e x Tính tích P = abc A P = B P = −4 C P = −5 D P = −3 Lời giải Ta có F / ( x ) = (ax + bx + c ) e x + (ax + bx + c ).(e x ) = ax + (2a + b ) x + b + c e x Vì F ( x ) nguyên hàm f ( x ) nên ta có F / ( x ) = f ( x ), ∀x / / Do ax + (2 a + b ) x + b + c e x = x e x ⇔ ax + (2a + b ) x + b + c = x a = a = Đồng hệ số hai vế, ta 2a + b = ⇔ → P = abc = −4 Chọn B b = −2 b + c = c = Câu 41 Giả sử hàm số f ( x ) = (ax + bx + c ).e −x nguyên hàm hàm số g ( x ) = x (1 − x ) e − x Tính tổng S = a + b + c A S = −2 B S = C S = D S = = −ax + (2a − b ) x + (b − c ) e − x DAYHOCTOAN.VN Lời giải Ta có f ( x ) = (2ax + b ) e / −x − (ax + bx + c ) e −x Vì f ( x ) nguyên hàm g ( x ) nên ta có f / ( x ) = g ( x ), ∀x Do −ax + (2 a − b ) x + (b − c ) e − x = x (1 − x ) e − x ⇔ −ax + (2 a − b ) x + (b − c ) = −x + x −a = −1 Đồng hệ số hai vế, ta 2a − b = ⇔ a = b = c = → S = a + b + c = Chọn D b − c = Câu 42 (ĐỀ THỬ NGHIỆM 2016 – 2017) Tìm nguyên hàm hàm số f ( x ) = cos x A ∫ f ( x ) dx = sin x + C B ∫ f ( x ) dx = − sin x + C C ∫ f ( x ) dx = sin x + C D ∫ f ( x ) dx = −2 sin x + C sin x + C Chọn A Câu 43 Biết F ( x ) nguyên hàm hàm số f ( x ) = sin (1 − x ) thỏa Lời giải Ta có ∫ f ( x ) dx = ∫ cos x dx = 1 mãn F = Mệnh đề sau đúng? A F ( x ) = cos (1 − x ) + B F ( x ) = cos (1 − x ) C F ( x ) = − cos (1 − x ) + ⋅ 2 D F ( x ) = Lời giải Ta có ∫ sin (1− x ) dx = cos (1 − x ) + C 1 cos (1 − x ) + ⋅ 2 DAYHOCTOAN.VN y Câu 25 (ĐỀ THỬ NGHIỆM 2016 – 2017) Cho hình thang cong ( H ) giới hạn đường y = e x , y = 0, x = 0, x = ln Đường thẳng x =k (0 < k < ln ) chia ( H ) thành hai phần có diện tích S1 S2 hình vẽ bên Tìm k để S1 = 2S ln C k = ln A k = B k = ln S2 D k = ln S1 x O k k Lời giải Ta có S1 = ∫ e x dx = e x 0 ln = e k −1 S2 = ∫ e x dx = e x k ln k ln = −ek k Theo giả thiết S1 = 2S2 ⇔ e k −1 = ( − e k ) ⇔ k = ln Chọn D Câu 26 Kí hiệu ( H ) hình phẳng giới hạn đường y = e x , y = , x = x = Đường thẳng x = k (0 < k < 1) chia ( H ) thành hai phần có diện tích tương ứng S1 , S hình vẽ bên, biết S1 > S Mệnh đề sau đúng? e +3 e +2 A e k > B e k > 2 e +1 e −1 C e k > D e k > 2 DAYHOCTOAN.VN k k Lời giải Ta có S1 = ∫ e x dx = e x 0 = e k −1 S2 = ∫ e x dx = e x k = e −ek k e +1 Chọn C Câu 27 Cho hình phẳng ( H ) giới hạn Theo giả thiết S1 > S2 ⇔ e k −1 > e − e k ⇔ e k > đường y = x , y = 0, x = 0, x = Đường thẳng y = k (0 < k < 16) chia hình ( H ) thành hai phần có diện tích S1 , S (hình vẽ) Tìm k để S1 = S2 A k = B k = C k = D k = Lời giải Phương trình hồnh độ giao điểm: x = k → x = k Ta có: ● S1 + S2 = ∫ x dx = x3 = 64 x3 ● S1 = ∫ ( x − k ) dx = − kx 3 k 4 = −4 k + k k k 64 + 3 k k 64 32 Theo giả thiết S1 = S → S1 = (S1 + S2 ) ⇔ −4 k + + = 3 ( ) ⇔ k k − 12 k + 32 = → 2t − 12t + 32 = → t = → k = Chọn B t = k