TUYỂN TẬP 100 ĐỀ LUYỆN THI HỌC SINH GIỎI MƠN TỐN LỚP (Tài liệu lưu hành nội bộ) BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI MƠN TỐN LỚP TOANIQ.COM ĐỀ SỐ Bài 1: Tìm số tự nhiên có chữ số abc , biết rằng: b ac abc  cba 495 1978.1979  1980.21  1958 Bài 2: a)Tính nhanh: 1980.1979  1978.1979 52.611.162  62.126.152 b)Rút gọn: 2.612.10  812.9603 Bài 3: Tìm số tự nhiên n để phân số 6n  99 3n  a)Có giá trị số tù nhiên b)Là phân số tối giản n 11 Bài 4: Cho A      n 1   12 với n  N Chứng minh A  5 5 16 Bài 5: Trên đường thẳng xx’ lấy điểm O Trên nửa mặt phẳng bờ đường thẳng xx’ vẽ tia Oy, Ot, Oz cho: Góc x’Oy = 400; xOt = 970; xOz = 540 a) Chứng minh tia Ot nằm hai tia Oy Oz b) Chứng minh tia Ot tia phân giác góc zOy HƯỚNG DẪN Bài 1: Ta có: abc  cba 100a  10b  c   100c  10b  a  100a  10b  c  100c  10b  a 99a  99c 99 a  c  495  a  c 495 : 99 5 Vì b ac ≤ b ≤ mà a - c = Nên ta có: Với a = Mc = b2 = 9.4 = 36 Mb = (Nhận) Với a = Mc = b2 = 8.3 = 24 Mkhơng có giá trị b Với a = Mc = b2 = 7.2 = 14 Mkhơng có giá trị b Với a = Mc = b2 = 6.1 = Mkhơng có giá trị b Bài 2: a) 1978.1979  1980.21  1958 1978.1979  1979.21  21  1958  1980.1979  1978.1979 1979.1980  1978 1979.1978  21  21  1958 1979.1978  21  1   1979.2 1979.2 1979.2000  1000 1979.2 b) TOANIQ.COM        52.611.162  62.126.152 52. 2.3   2.3 2.3  3.5  12 2.612.104  812.960 2. 2.3  2.5  34 26.3.5 11  2  52.219.311  214.310.53 52.310.214 25.3  25.3   17 12 11 18  17 11   5  5.3   23.5.3.12 32.3  96  101    8.15.12 120.12 1440 Bài 3: Đặt A = 6n  99 6n   91 2 3n    91 2 3n   91 91     2  3n  3n  3n  3n  3n  3n  a) Để A số tù nhiên 91⋮ 3n + ⋮ 3n + ước 91 hay 3n + thuộc {1; 7; 13; 91} Với 3n + = n = -1 Loại n số tù nhiên Với 3n + = n = Nhận A = + 13 = 15 Với 3n + = 13 n = Nhận A = + = Với 3n + = 91 n = 29 Nhận A = + = b) Để A phân số tối giản 91 khơng chia hết 3n + hay 3n + không ước 91 Suy 3n + không chia hết cho ước nguyên tố 91 Từ suy ra: 3n + không chia hết cho suy n ≠ 7k +1 3n + không chia hết cho 13 suy n ≠ 13m + 3 n 11 Bài 4: Xét A      n   11 Suy ra: 5 5 n 11 � �1 n 11 � �1 A  A  A  �     n   11 � �     n 1   12 � 5 � �5 5 5 � �5 5 1 1 11 A      n   11  12 5 5 5 11 A  B  12 Với biểu thức: TOANIQ.COM 1 1     n   11 5 5 1 1 � B       n 1   10 5 5 1 �� 1 1 � � � 4B  5B  B  �      10 �  �     n   11 � 5 �� 5 5 � � 5 11 11 1 1 � B   11  �B 11 5 4.511 B  4A  511  11 512   44 512  49  49     A     1  12   11 12 12 12 16 16   16 4.5 4.5 Bài 5: Hình vẽ t y z 970 x' 540 400 x O a)Theo đề ta có góc x’Ox = 180 mà góc x’Oy góc yOx kề bù Mà góc x’Oy = 40 ⇒ góc yOx = 1800 - 400 = 1400 Suy ra: góc xOt < góc xOy hay tia Ot nằm hai tia Ox Oy Lại có: góc xOz < góc xOt hay tia Oz nằm hai tia Ot Ox Vậy tia Ot nằm hai tia Oz Oy b)Theo câu a ta có tia Ot nằm hai tia Oz Oy ⇒ Góc zOt + góc tOy = góc zOy Vì tia Ot nằm hai tia Ox Oy ⇒ Góc xOt + góc tOy = góc xOy hay góc tOy = 43 ( góc xOt = 970 góc xOy = 1400) Vì tia Oz nằm hai tia Ox Ot ⇒ Góc xOz + góc zOt = góc xOt hay góc zOt = 43 ( góc xOt = 970 góc xOy = 540) Suy góc tOy = góc zOt = 430 Vậy tia Ot tia phân giác góc zOy TOANIQ.COM ĐỀ SỐ Thời gian làm 120 phút Câu1: a Tìm số tự nhiên x, y cho (2x+1)(y-5)=12 b.Tìm số tự nhiên cho 4n-5 chia hết cho 2n-1 c Tìm tất số B= 62xy427, biết số B chia hết cho 99 12 n  Câu a chứng tỏ phân số tối giản 30n  1 1 b Chứng minh : + + + + 2x+1 =1 2x+1=3 (0,25đ)  2x+1=1 => x=0; y-5=12 => y=17 2x+1=3=> x=1; y-5=4=>y=9 (0,25đ) (x,y) = (0,17); (1,9) (0,25đ) b.(1đ) Ta có 4n-5 = 2( 2n-1)-3 (0,25đ) để 4n-5 chia hết cho2n-1 => chia hết cho2n-1 (0,25đ) =>* 2n-1=1 => n=1 *2n-1=3=>n=2 (0,25đ) n=1;2 (0,25đ) c (1đ) Ta có 99=11.9 B chia hết cho 99 => B chia hết cho 11và B chia hết cho 99 (0,25đ) *B chia hết cho => ( 6+2+4+2+7+x+y) chia hết cho  (x+y+3) chia hết cho 9=> x+y=6 x+y =15  B chia hết cho 11=> (7+4+x+6-2-2-y) chia hết cho11=> (13+x-y)chia hết cho 11 x-y=9 (loại) y-x=2 (0,25đ) y-x=2 x+y=6 => y=4; x=2 (0,25đ) y-x=2 x+y=15 (loại) B=6224427 (0,25đ) Câu2: a Gọi dlà ước chung 12n+1và 30n+2 ta có 5(12n+1)-2(30n+2)=1 chia hết cho d (0,5đ) d=1 nên 12n+1 30n+2 nguyên tố 12n  phân số tối giản (0,5đ) 30n  1 1 b Ta có < = 2.1 2 1 1 = < 2.3 3 TOANIQ.COM 1 1 = < 100 99.100 99 100 Vậy (0,5đ) 1 1 1 1 + - + + + + + < 99 100 100 2 1 99 = 32x = 34 => 2x = => x = c) 52x-3 – 2.52 = 52.3 52x: 53 = 52.3 + 2.52 52x: 53 = 52.5 52x = 52.5.53  52x = 56 => 2x = => x=3 Bài Vì a số tự nhiên với a �Z nên từ a < ta => a = {0,1,2,3,4} Nghĩa a ={0,1,-1,2,-2,3,-3,4,-4} Biểu diễn trục số cácc số lớn -5 nhỏ -5