Chun đề Ngun hàm, tích phân ứng dụng Nhóm Đề file word Chuyên đề NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG Vấn đề NGUYÊN HÀM Tính chất nguyên hàm, bảng nguyên hàm gần Giả sử h|m số F  x  l| nguyên h|m h|m số f  x  K Khẳng định n|o Câu sau đ}y A Chỉ có số C cho h|m số y  F( x)  C l| nguyên h|m h|m f K B Với nguyên h|m G f K tồn số C cho G( x)  F( x)  C với x thuộc K C Chỉ có h|m số y  F( x) l| nguyên h|m f K D Với nguyên h|m G f K G( x)  F( x)  C với x thuộc K C Hướng dẫn giải: Chọn B  Trắc nghiệm: Phương {n A Sai Vì C l| Đ{p {n B theo định lý Phương {n C Sai Vì y  F( x)  C l| nguyên h|m với C l| số Phương {n D Sai Vì hai h|m G( x) F( x) sai kh{c số tức C l| Cho h|m số F( x) l| nguyên h|m h|m số f ( x) K C{c mệnh đề sau, Câu mệnh đề n|o sai A  f (x)dx F( x)  C C   f (x)dx   f (x)   f (x)dx   f (x)  D   f ( x)dx   F( x) B Hướng dẫn giải: Chọn C Ta có Câu  f (x)dx F(x)  C  F '  x   f  x  nên phương {n A, B,D C{c mệnh đề sau, mệnh đề n|o sai  kf (x)dx  k  f ( x)dx,( k  ) C   f  x   g  x  dx   f  x  dx   g  x  dx A  f  x  g  x  dx   f  x  dx  g  x  dx D   f  x   g  x  dx   f  x  dx   g  x  dx B Hướng dẫn giải: Chọn B  Trắc nghiệm: C{c khẳng định A, C, D theo tính chất ngun h|m Khơng có tính chất: Nguyên hàm tích tích nguyên hàm Chuyên đề Nguyên hàm, tích phân ứng dụng Nhóm Đề file word | Chuyên đề Nguyên hàm, tích phân ứng dụng Nhóm Đề file word Cho hai h|m số f ( x), g( x) l| h|m số liên tục, có F( x), G( x) l| nguyên h|m Câu f ( x), g( x) Xét c{c mệnh đề sau: (I) F( x)  G( x) l| nguyên h|m f ( x)  g( x) (II) k.F( x) l| nguyên h|m kf ( x) với k   (III) F( x).G( x) l| nguyên h|m f ( x).g( x) C{c mệnh A (I) B (I) (II) C Cả mệnh đề D (II) Hướng dẫn giải: Chọn B  Trắc nghiệm: Mệnh đề (III) sai khơng có tính chất: Ngun hàm tích tích nguyên hàm Câu A Trong c{c khẳng định sau, khẳng định n|o sai   f (x)  g(x)dx   f (x)dx   g(x)dx B Nếu F( x) G( x) l| nguyên h|m h|m số f ( x) F( x)  G( x)  C l| số C F( x)  x l| nguyên h|m f ( x)  x D F( x)  x2 l| nguyên h|m f ( x)  2x Hướng dẫn giải: Chọn C  Trắc nghiệm: Khẳng định C sai vì: F( x) l| nguyên h|m f ( x)  F( x)   f ( x) Mà :  F( x)   Câu  x   1x  x  f ( x) Trong c{c khẳng định sau khẳng định n|o 2    1 1  A   x    dx     x    dx  x x      1  1 B   x    dx    x    dx x x    1  1  1 C   x    dx    x    dx.  x   dx x x x     1 D   x    dx   x dx   dx   dx   xdx   dx   dx x x x  Hướng dẫn giải: Chọn D  Trắc nghiệm: Phương {n A: Sai Vì khơng có tính chất   f ( x)  n dx    f (x)dx  n   f ( x) dx  n f (x)dx Phương {n C: Sai Sai lầm phương {n A   f ( x)  dx    f ( x)dx  Phương {n B: Sai Vì khơng có tính chất: n n n  1 Phương {n D.Đúng Vì  x     x    x   v| sử dụng tính chất x x x  | Nhóm Đề file word– Chun đề Ngun hàm, tích phân ứng dụng Chuyên đề Nguyên hàm, tích phân ứng dụng Nhóm Đề file word   f (x)  g(x)dx   f (x)dx   g(x)dx;   f (x)  g(x)dx   f (x)dx   g(x)dx Cho  f ( x)dx  F( x)  C Khi với a  , ta có  f ( ax  b)dx bằng: Câu F( ax  b)  C 2a C F( ax  b)  C a Hƣớng dẫn giải: Chọn C B F(ax  b)  C A  Tự luận: D a.F(ax  b)  C  f (x)dx  F(x)  C nên ta có F '( x)  f ( x)   1 Phương {n A: sai Vì:  F( ax  b)  C   F '( ax  b)  f (ax  b).(ax  b)'  f (ax  b) 2a  2a  2a Phương {n B: sai Vì:  F(ax  b)  C   F '(ax  b)  f (ax  b).( ax  b)'  f ( ax  b).a 1  1 Phương {n C: Vì:  F( ax  b)  C   F '( ax  b)  f (ax  b).(ax  b)'  f (ax  b) a a  a Phương {n D: sai Vì:  aF( ax  b)  C   aF '( ax  b)  af ( ax  b).( ax  b)'  a2 f ( ax  b) Câu Trong c{c khẳng định sau khẳng định n|o sai A F( x)  2017  cos2 x l| nguyên h|m h|m số f ( x)   sin 2x B Nếu F( x) G( x) l| nguyên h|m h|m số f ( x)  F( x)  g( x)dx có dạng h( x)  Cx  D với C , D l| c{c số, C  C u '( x) 2 u( x) D Nếu dx  u( x)  C  f (t)dt  F(t)  C  f [u(x)]dx  F[u(x)]  C Hướng dẫn giải: Chọn D  Trắc nghiệm:    Phương {n A: Vì:  F( x)   2017  cos2 x  2.cos x.(  sin x)   sin x  f ( x) Phương {n B: đúng.Vì: F( x), G( x) l| nguyên h|m h|m số f ( x) F( x)  G( x)  C ,  Cdx  Cx  D Phương {n C: Vì: Phương {n D: sai Vì    u '( x) u( x)  C  u( x)  f [u(x)]u '(x)dx  F[u(x)]  C GV: Liên Lê Câu (Đại Học Vinh lần 3) Khẳng định n|o sau đ}y l| x x A  tan xdx   ln cos x  C B  sin dx  2cos  C 2 x x C  cot xdx   ln sin x  C D  cos dx  2sin  C 2 Chuyên đề Nguyên hàm, tích phân ứng dụng Nhóm Đề file word | Chun đề Ngun hàm, tích phân ứng dụng Nhóm Đề file word Hướng dẫn giải: Chọn A +/ Xét   ln cos x  C  '    cos x  ' sin x  tan x Suy khẳng định A cos x cos x Câu 10 (Chuyên Hƣng Yên lần 3) Nếu  f  x dx   ln x  C h|m số f  x  x 1 A f  x   x  B f  x     2x x x 1 C f  x    ln  x  D f  x     2x x x Hướng dẫn giải: Chọn B Có  1   f  x dx  x  ln x  C  f ( x)   x  ln x  C  '   x Câu 11  Vậy đ{p {n B x Trong c{c khẳng định sau, khẳng định n|o sai A  x e dx  x e1 C e 1 B  cos xdx  sin x  C e x 1 C x 1 Hướng dẫn giải: Chọn C D  dx  ln x  C x C  e x dx  Dễ thấy khẳng định C sai  e x dx  e x  C Vậy đ{p {n C Câu 12 (TPHCM cụm 1)Biết nguyên h|m h|m số y  f  x  F  x   x  x  Khi đó, gi{ trị h|m số y  f  x  x  A f  3  B f  3  10 C f  3  22 D f  3  30 Hướng dẫn giải: Chọn B + Ta có: y  f  x   F '( x)  x  + f (3)  2.3   10 Vậy đ{p {n B Câu 13 (Quảng Xƣơng- Thanh Hóa lần 1)Tìm nguyên h|m F  x  h|m số f  x   ax  A F  x   b  x   , biết F  1  1, F 1  4, f 1  x2 3x   2x B F  x   3x C F  x     4x Hướng dẫn giải: Chọn A +/ F ( x)   f  x  dx   ax  | Nhóm Đề file word– 3x   2x 3x D F  x     2x b a b dx  x   C 2 x x Chuyên đề Nguyên hàm, tích phân ứng dụng Chuyên đề Nguyên hàm, tích phân ứng dụng Nhóm Đề file word a  2  b  C  a  F  1     3x a  Ta có: F 1     b  C   b   Vậy F  x      Đ{p {n A 2x  2  f 1  a  b    c    Câu 14 (I) Xét c{c mệnh đề sau, với C l| số:  tan x dx   ln  cos x   C (II)  e3cos x sin x dx   e3cos x  C cos x  sin x (III)  dx  sin x  cos x  C sin x  cos x Số mệnh đề l|: A B C D Hướng dẫn giải: Chọn D +/Xét (I): Ta có   ln cos x  C  '    cos x  ' cos x  sin x  tan x Do (I) cos x   +/Xét (II):   e3cos x  C  '    3cos x  ' e3cos x  e3cos x sin x Do (II)     +Xét (III): Đặt sin x  cos x  C '   sin x  cos x  ' sin x  cos x  cos x  sin x sin x  cos x Do (III) Vậy đáp án D Câu 15 Cặp h|m số n|o sau đ}y có tính chất: Có h|m số l| ngun h|m h|m số lại? A f  x   sin x g  x   cos2 x C f  x   e x g  x   e x cos x D f  x   sin x g  x   sin x B f  x   tan x g  x   Hướng dẫn giải: Chọn D  Vì sin x  /  2sin x cos x  sin x Chọn D Câu 16 A F  x   C F  x   H|m số n|o sau đ}y l| nguyên h|m h|m số f  x    x  3 ?  x  3  x  x  3  2017 Hướng dẫn giải: Chọn A B F  x   D F  x    x  3  x  3 5  Vì F '  x    x  3   f  x  Chọn A Nguyên hàm hàm số thƣờng gặp GV: Lý Duy Hiển Chuyên đề Nguyên hàm, tích phân ứng dụng Nhóm Đề file word | Chun đề Ngun hàm, tích phân ứng dụng Nhóm Đề file word Câu 17 (THPT Nguyễn Thị Minh Khai Hà Nội lần 1) Tìm nguyên hàm hàm số f (x)  (x  1)2 A F(x)  x  3x  3x  C B F(x)  x3  x  x  C Hướng dẫn giải: Chọn B x3  x  x  C D F(x)  x  x  x  C C F(x)  x3  x2  x  C  Cách : Ta tính đạo h|m đ{p {n A, B, C, D để tìm xem đ}u l| kết đề  Cách : Tìm trực tiếp:  (x 1)2 dx   (x  x 1)dx   Bƣớc 1: Khai triển (x 1)2  x2  2x   Bƣớc 2: Lần lƣợt đạo hàm đáp án A, B, C, D A F’  x   3x2  6x   loại A B F’  x   x2  2x   Vậy B đáp án C F’  x   x2  2x   Loại C D F’  x   3x2  2x   Loại D (Ta cần kiểm tra đến phương {n B l| biết kết nên c{c phương {n lại khơng phải kiểm tra )  Cách : Sử dụng Casio (Sở GDĐT Hải Phòng) Tìm ngun hàm hàm số y  x ? Câu 18 2x  C A  dx  ln x x B  dx   C x x C  dx  ln 2.2  C D  x dx  x 2x  C x 1 Hướng dẫn giải: Chọn A  Cách 1: Nhớ công thức  a x dx  ax  C  Chon A ln a  Cách 2: Ta tính đạo h|m đ{p {n A, B, C, D để tìm xem đ}u l| kết đề Câu 19 (Sở GDĐT Hải Phòng) Tìm h|m số F  x  , biết F  x  l| nguyên h|m h|m số f  x   x F 1  A F  x   x x 3  x D F  x   x x  2 B F  x   C F  x   x x Hướng dẫn giải: Chọn A  Cách 1: Tìm nguyên hàm 2x 2  x x C   xdx   x dx  3 | Nhóm Đề file word– Chuyên đề Nguyên hàm, tích phân ứng dụng Nhóm Đề file word Chuyên đề Nguyên hàm, tích phân ứng dụng 2  C   C  1  3  Thay trở lại ta F (x)  x x  3  F (1)    ln 2x  C h|m số f(x) l|: x 1 B f  x     x x 1 D f  x     x 2x (Chuyên Hƣng yên lần 3) Nếu  f  x  dx  Câu 20 A f  x   x  2x  ln  2x  x2 Hướng dẫn giải: Chọn B  Cách 1: F(x)   ln 2x  C l| nguyên h|m f(x) nên F’(x) = f(x) x C f  x   1   C  chọn B x2 x  Cách 2: Tìm nguyên h|m f(x) c{c phương {n A, B, C, D F'(x)   4m  sin x Gi{ trị    tham số để nguyên h|m Fx h|m số fx thỏa mãn điều kiện F(0)  F    4 (THPT Nguyễn Thị Minh Khai Hà Nội lần 1) Cho h|m số f (x)  Câu 21 3 A m   B m  C m   4 Hướng dẫn giải: Chọn C 4m 4m 4m 1  (  sin x)dx   dx   sin xdx  x  x  sin 2x  C    F(0)  C  C      Giải hệ      4m     F( )    sin  m    8     4 4 D m  (Sở Bình Thuận) Cho h|m số f ( x)  cos x Tìm nguyên h|m h|m số y   f ( x)  Câu 22 x C  ydx  x  sin x  C x D  ydx  x  sin x  C A  ydx   sin x  C B  ydx   sin x  C Hướng dẫn giải: Chọn A  f '( x)  (cos x)'   sin x ; y  ( f '( x))2  ( sin x)  sin x    ydx   Câu 23 A   cos x  cos x x dx   sin x  C 2 (KHTN lần 5) Nguyên hàm sin x  sin x  cos x dx 3     cos  3x    cos  x    C    4 B  3     sin  3x    sin  x    C    4 Chun đề Ngun hàm, tích phân ứng dụng Nhóm Đề file word | Chuyên đề Nguyên hàm, tích phân ứng dụng Nhóm Đề file word C  3  sin  3x        sin  x    C   4 D  3  sin  3x        cos  x    C   4 Hướng dẫn giải: Chọn B  Cách 1: sin 4x 2sin 2x cos 2x   4sin x cos x(cosx  sinx)  4sinxcos2 x  4cos x sin x sin x  cos x sin x  cos x sin 4x 2 3  sin x  cos xdx  4 sin x cos xdx  4 cos x sin xdx   (cos x  sin x)  C 3    (c os3x-sin3x)  (cosx  sin x)  C   sin(3 x  )  sin(x  )  C 3 4 2    Cách 2:Đặt t  sin x  cos x  sin  x    t   sin x  sin x  t   4 Suy t.dt  cos xdx Ta có I   2  t  1 tdt = 2  t  1 dt = t  2t  C = t   sin  x     2 sin  x     C  4  4 Áp dụng công thức nhân ba sin 3a  4sin3 a  3sin a  sin a   3sin a  sin 3a  * Vậy I  1  3   3sin  x    sin  3x  4  4        2 sin  x    C   4  3      sin  3x  = sin  x      2 sin  x    C  4    4 = 3     sin  3x    sin  x    C    4  Cách 3: Lấy đạo h|m c{c phương {n A, B, C, D xem đ}u l| kết dx Câu 24 Nguyên hàm  bằng? tan x  x 2x A  ln 2sin  cos x  C B  ln 2sin x  cos x  C 5 5 x x C  ln 2sin x  cos x  C D  ln 2sin x  cos x  C 5 5 Hướng dẫn giải: Chọn A dx cos x 2cos x sin x sin x  Cách :Biến đổi I    dx   dx tan x  2sin x  cos x 2sin x  cos x 2cos x  sin x sin x 1   dx   dx  ln 2sin x  cos x  J 2sin x  cos x  2sin x cos x  2 J * Ta tính J  I   1.dx  x  C , suy J   x  I  C  1 * Thế kết trở lại đề: I  ln 2sin x  cos x   x  I  C  | Nhóm Đề file word– Chuyên đề Nguyên hàm, tích phân ứng dụng Chuyên đề Nguyên hàm, tích phân ứng dụng Nhóm Đề file word I  1  ln 2sin x  cos x  x   C   I  ln 2sin x  cos x  x  C   2  5  Cách 2:Lấy đạo h|m c{c phương {n A, B, C, D xem đ}u l| kết Nguyên hàm hàm số phân thức mà mẩu nhị thức tam thức bậc hai có hai nghiệm GV: Lê Thanh LVH Câu 25 (Thi thử chuyên KHTN –HN lần năm 2017) Tìm nguyên hàm  A C 1 dx  2x   2xdx  ln  2x  C   2xdx  ln  2x  C D   2xdx  ln  2x  C B 1   2xdx  ln  2x  C Hướng dẫn giải: Chọn A  Cách : Tự luận 1 d(1  2x) 1 1   ln|1  2x| C  ln|1  2x|1 C  ln| | C  2x 2  2x   2xdx    Chọn A  Cách : CASIO Câu 26 (Thi thử chuyên LÊ KHIẾT –QUẢNG NGÃI năm 2017)   Tính   x2   x  dx ta kết x   A x3  3ln x  x  C 3 x3  3ln x  x  C 3 Hướng dẫn giải: Chọn B C B x3  3ln x  x  C 3 D x3  3ln x  x  C 3  Cách : Tự luận   x3 23 x3 2 x   x dx  x dx  dx  x dx   3ln x  x  C   3ln x  x  C    x    x 3 3  Chọn B Câu 27 (Đề thử nghiệm BGD ĐT cho 50 trƣờng) Biết F  x  l| nguyên h|m f  x   F    Tính F  3 x 1 A F  3  ln  B F  3  ln  C F  3  D F  3  Hướng dẫn giải: Chọn B  Cách : Tự luận dx  ln x   C F(2)   ln1  C   C  x 1 Vậy F(x)  ln x   Suy F(3)  ln  Chọn B F(x)   f (x)dx   Chuyên đề Nguyên hàm, tích phân ứng dụng Nhóm Đề file word | Chuyên đề Nguyên hàm, tích phân ứng dụng Nhóm Đề file word  Cách : CASIO Câu 28 (THI HỌC KỲ I LỚP 12 CHUYÊN HẠ LONG) Tìm nguyên h|m hàm số f (x)  A  f (x)dx  x3 x4 1 3x  C 2x  B  f (x)dx  ln(x  1)  C D  f (x)dx  ln(x  1)  C C  f (x)dx  x ln(x  1)  C Hướng dẫn giải: Chọn D  Cách : Tự luận Đặt u  x   du  d(x  1)  4x 3dx  dx  du 4x x3 x 3du du 1 dx     ln | u | C  ln | x  1| C  ln(x  1)  C  x4 1  u.x u 4 Chọn D  Cách : CASIO Câu 29 (PT DÂN TỘC NỘI TRÚ TỈNH BÌNH ĐỊNH) dx Kết  bằng:  3x 1 A B  C ln  3x  C  C C 2   3x    3x  D  ln 3x   C Hướng dẫn giải: Chọn D  Cách : Tự luận dx d(2  3x) 1   3x     3x   ln |  3x | C   ln 3x   C Chọn D  Cách : CASIO Câu 30 Nguyên h|m hàm số y  x3  x  ln x  C Hướng dẫn giải: Chọn D A B x3  x  là: x x3 x   ln x  C C x3  x  ln x  C D x3  x  ln x  C  Cách : Tự luận x3  x  1 x  x dx   x dx  dx  x dx   x  ln | x |  C Chọn D  Cách : CASIO x  2x  Câu 31 Một nguyên hàm f  x   : x 1 x2  3x  ln x  Hướng dẫn giải: Chọn D A 10 | Nhóm Đề file word– B x2  3x+6 ln x  C x2 x2  3x-6 ln x  D  3x+6 ln x  2 Chuyên đề Nguyên hàm, tích phân ứng dụng Chuyên đề Nguyên hàm, tích phân ứng dụng Nhóm Đề file word Gọi Parabol có phương trình ( P1 ): y1  ax  bx  c  ax  bx (do (P) qua O) 20  ax  bx  l| phương trình parabol 100 2 2 Ta có (P1 ) qua I v| A  ( P1 ) : y1   x  x  y2   x  x 625 25 625 25 Khi diện tích nhịp cầu S  2S1 với S1 phần giới hạn y1 ; y2 khoảng (0; 25)  y2  ax  bx  0,2 25 2 S  2(  ( x  x)dx   dx)  9,9m2 625 25 0,2 Vì bề dày nhịp cầu khơng đổi nên coi thể tích tích diện tích bề dày V  S.0,  9,9.0,  1,98m3  số lượng bê tông cần cho nhip cầu  2m3 Vậy 10 nhịp cầu bên cần  40m3 bê tông Trắc nghiệm: Câu 391 Hướng dẫn giải: Chọn A Tự luận: Chọn hệ trục tọa độ hình vẽ Khi hình nêm có đ{y l| nửa hình tròn có phương trình : y  225  x , x  15;15 Một mặt phẳng cắt vng góc với trục Ox  điểm có ho|nh độ x , x  15;15    cắt hình nêm theo thiết diện có diện tích S x (xem hình) Dễ thấy NP  y MN  NP tan 450  y  15  x Chuyên đề Nguyên hàm, tích phân ứng dụng Nhóm Đề file word | 103 Chuyên đề Nguyên hàm, tích phân ứng dụng Nhóm Đề file word  1 S x  MN NP  225  x 2   15     15 suy thể tích hình nêm : V   S x dx 15   225  x dx  2250 cm 15 Trắc nghiệm: Câu 392 Hướng dẫn giải: Chọn D Tự luận: Xét hệ trục hình vẽ, dễ thấy parabol qua ba điểm  0;0 ,  4;   y2 Thể tích chng thể tích khối tròn xoay tạo , 4;  2 nên có phương trình x  hình phẳng y  2x, x  0, x  quay quanh trục Ox Do Ta có V   2xdx   x   16 0 Trắc nghiệm: Câu 393 Hướng dẫn giải: Chọn C Tự luận: Gọi thời điểm khí cầu bắt đầu chuyển động t  , thời điểm khinh khí cầu bắt đầu tiếp đất t1 Quãng đường khí cầu từ thời điểm t  đến thời điểm khinh khí cầu bắt đầu tiếp đất t1 t1  10t  t dt  5t 2  t13  162  t  4,93  t  10,93  t  Do v  t     t  10 nên chọn t  Vậy bắt đầu tiếp đất vận tốc v khí cầu v    10.9  92   m/p  Trắc nghiệm: Câu 394 Hướng dẫn giải: Chọn A Tự luận: Ta gọi trục tọa độ Oxyz hình vẽ Khi phần giao  H  vật thể có đ{y l| phần tư hình tròn tâm O bán kính a , thiết diện mặt phẳng vng góc với trục Ox hình vng 2 có diện tích S  x   a  x 104 | Nhóm Đề file word– Chuyên đề Nguyên hàm, tích phân ứng dụng Chuyên đề Nguyên hàm, tích phân ứng dụng Nhóm Đề file word Thể tích khối  H  a a 0 2  S  x  dx    a  x dx  2a Trắc nghiệm: Câu 395 Hướng dẫn giải: Chọn A cm Tự luận:  P  Vì I  0;0  nên A Chọn gốc tọa độ O trùng với đỉnh I parabol parabol  P qua c{c điểm A  2;6 , B  2;6 parabol  P  có phương trình y  B O x cm 2 V   y 0 Ta có y  x  x  y Khi thể tích vật thể cho l| I Trắc nghiệm: Câu 396 Hướng dẫn giải: Chọn D Tự luận: M C B Cách 1: P Gọi Q l| giao điểm NC BA , P l| trung điểm AB Gọi V1 V2 là thể tích xoay QBC 512 V1   QB.BC  3 thể tích xoay QPF quanh quanh AB AB F E suy suy A D N Q 216 V2   QP.PF  3 8 V3 thể tích xoay BPE quanh AB suy V3   BP.PE  3 Thể tích cần tìm V  V1  V2  V3  96 Cách 2: y Chọn hệ trục tọa độ Oxy cho điểm A trùng với gốc tọa độ cạnh AB nằm tia Oy Chuyên đề Nguyên hàm, tích phân ứng dụng B M C Nhóm Đề file word | 105 E F Chun đề Ngun hàm, tích phân ứng dụng Nhóm Đề file word Khi tọa độ c{c điểm A  0;0 ; B  0;4  ; E  2;2  ; F  6;2  ; C 8;4  Ptđt EB : x   y Ptđt FC : x   y Bài tốn trở thành :Tính thể tích vật thể tròn xoay quay hình phẳng giới hạn  x   y; x   y quanh Oy Khi thể tích cần tìm   y  2; y  4 2 V      y     y  dy  96   Trắc nghiệm: Câu 397 Hướng dẫn giải: Chọn D Tự luận: Quãng đường m{y bay bay từ gi}y thứ đến gi}y thứ 10 l| : S  10   3t   dt  966m Trắc nghiệm: Câu 398 Hướng dẫn giải: Chọn B Tự luận: Cường độ dòng điện thời điểm t i  i0 sin wt T Q1   i0 sin tdt  i0 2  i0  2Q1 , T  2w  Trắc nghiệm: Câu 399 Hướng dẫn giải: Chọn D Tự luận: Thời gian bơm nước gi}y 6 Mức nước cần tìm l| : h   h '  t  dt   13 t  8dt  2,66(cm) Trắc nghiệm: Câu 400 Hướng dẫn giải: Chọn D Tự luận: Gọi T l| khoảng thời gian từ lúc đạp phanh tơ dừng Ta có v T    T  0, Trong khoảng thời gian 0,5 gi}y đó, tơ di chuyển quang đường L  0,5   40t  20 dt   m Trắc nghiệm: Câu 401 106 | Nhóm Đề file word– Chuyên đề Nguyên hàm, tích phân ứng dụng Chuyên đề Nguyên hàm, tích phân ứng dụng Nhóm Đề file word Hướng dẫn giải: Chọn B Tự luận: Giả sử Parabol (P) có dạng y  ax2  bx  c(a  0) (P) qua (-2; 0) , (2; 0) v| có đỉnh (0; 4)  y   x2 Vậy S     x dx  2 32 Trắc nghiệm: Câu 402 Hướng dẫn giải: Chọn A Tự luận: Không tính tổng qu{t ta xem t}m đường tròn chứa cung tròn có b{n kính l| t}m O gốc tọa độ, với trục Ox phương với đường cao thùng ta có phương trình l| x  y  81 Khi thể tích bình l| hình tròn xoay tạo hình phẳng (H) (giới hạn đường tròn x  y  81 ; Ox; đt: x  8; x  8) V   8  81  x    dx    81  x2 dx= 8 2864  Trắc nghiệm: Câu 403 Hướng dẫn giải: Chọn A Tự luận: Chọn hệ trục tọa độ Oxy với gốc tọa độ trùng điểm O b|i to{n, trục Oy trùng OI, trục Ox trùng đường thẳng d Khi I(0;30), suy phương trình đường tròn (C) l| x   y  30  2  y  f  x   30  25  x  25    y  g  x   30  25  x  Ta tích c{i phao l| V  5  f (x)  g (x) dx   30  25  x2 5    30  25  x2  dx   120 25  x2 dx  1500 5 Trắc nghiệm: Câu 404 Hướng dẫn giải: Chọn B Tự luận: 5 0 + Quảng đường 5s đầu S1   v1  t  dt   7tdt  87, 5m Vận tốc chuyển động sau 5s là: v1 (5)  7.5  35  m / s  Vật chuyển động chậm dần với gia tốc a  70( m / s2 ) : Suy vận tốc chuyển động chậm dần v2 (t)   a  t  dt  70t  C (*) Tại thời điểm bắt đầu chuyển động chậm dần vận tốc v2 (0)  v1    35(m / s) Thay vào (*), ta có: 70.0  C  35  C  35 Chuyên đề Nguyên hàm, tích phân ứng dụng Nhóm Đề file word | 107 Chun đề Ngun hàm, tích phân ứng dụng Nhóm Đề file word Vậy vận tốc chuyển động chậm dần là: v2 (t)  70t  35 + Quảng đường ô tô từ lúc bắt đầu chuyển b{nh dừng hẳn l| S2  0,5  v2  t  dt  0,5 35   35  70t  dt   m + Vậy S  S1  S2  96,25m Câu 405 Hướng dẫn giải: Chọn C Tự luận: Đổi: 40 phút  2400 s Trong khoảng thời gian từ 0s đến 2400s, lượng nước tho{t l| : 2400  v(t )dt  2400  10t  500 dt   5t  500t  2400    3.107 m3 Trắc nghiệm: Câu 406 Hướng dẫn giải: Chọn B Tự luận: Đặt hệ trục tọa độ hình vẽ Khi phương trình nửa 2   x đường tròn l|: y  R2  x2   20  x2 Phương trình Parabol ( P) có đỉnh l| gốc O có dạng y  ax Mặt kh{c qua điểm ( P) M  2;  nên  a  2   a  Gọi S1 l| phần diện tích hình phẳng hạn ( P) l| nửa đường tròn ( phần tơ m|u) Ta có cơng thức: S1    20  x2  x dx 2 Vậy phần diện tích trồng cỏ Nhật Bản l|:    S2  Shình troøn  S1  2  2  20  x2  x2 dx  49, 476 2 Vậy số tiền cần có l|: T  S2 100 000  1.948.000 (đồng) Trắc nghiệm: Câu 407 Hướng dẫn giải: Chọn C Tự luận: + Nếu chọn hệ trục tạo độ có gốc tọa độ O trùng với trung điểm MN , trục ho|nh trùng với đường thẳng MN parabol có phương trình l|: y  ax2  b 108 | Nhóm Đề file word– Chuyên đề Nguyên hàm, tích phân ứng dụng Chuyên đề Ngun hàm, tích phân ứng dụng Nhóm Đề file word + Do parabol có đỉnh I  0;  v| qua C  6;  nên ta  a.0  b  b   có hệ   b  a.6  b   1 + Suy phương trình parabol l|: y   x  6 + Khi diện tích khung tranh l| :  1 208 S     x2   dx  m 6 2  + Suy số tiền l| : T  208 900.000  20.800.000 đồng Trắc nghiệm: Câu 408 (Sở Bắc Giang) Có vật thể l| hình tròn xoay có dạng giống c{i ly hình vẽ đ}y Người ta đo đường kính miệng ly l| 4cm v| chiều cao l| 6cm Biết  diện thiết diện ly cắt mặt phẳng đối xứng l| parabol Tính thể tích V cm3  vật thể cho A V  12 C V  B V  12 72  D V  72 Hướng dẫn giải: Chọn A Tự luận: Chọn hệ trục tọa độ hình vẽ cho gốc tọa độ O trùng với đỉnh I parabol Phương trình parabol có dạng: y  ax Vì parabol qua c{c điểm A  2;  , B  2; 6 I  0;  nên  a  2   a  2 x , từ suy x  y Coi vật thể cho l| khối tròn xoay tạo thành quay hình phẳng giới hạn parabol ( P) , trục Vậy parabol có phương trình: y  tung, hai đường thẳng y  0, y  quay xung quanh trục Oy  Vậy thể tích vật thể cho l|: V    y  12 cm3 Chuyên đề Nguyên hàm, tích phân ứng dụng  Nhóm Đề file word | 109 Chuyên đề Nguyên hàm, tích phân ứng dụng Nhóm Đề file word Câu 409 Một khối cầu có b{n kính 5dm , người ta cắt bỏ hai đầu hai mặt phẳng vng góc với đường kính khối cầu v| c{ch t}m khối cầu khoảng 3dm đề l|m lu đựng nước Thể tích c{i lu bằng:   A V  132 dm3   B V  41 dm3 C V  100 dm3     D V  43 dm3 Hướng dẫn giải: Chọn A Tự luận: Đặt hệ trục tọa độ gốc tọa độ l| t}m O mặt cầu, đường thẳng đứng l| trục Ox , đường thẳng ngang l| Oy , đường tròn lớn có phương trình l|: x2  y  25 Thể tích m| lu chứa l| thể tích khối tròn xoay tạo th|nh quay hình phẳng giới hạn Ox , đường cong y  25  x2 , x  3, x  quay xung quanh trục Ox Thể tích m| lu chứa l|: V    25  x  dx  132  cm  3 Câu 410 (THPT Chuyên Quang Trung - Bình Phƣớc lần 3) Trong chương trình nơng thơn mới, xã X có x}y c}y cầu bê tơng hình vẽ Tính thể tích khối bê tơng để đổ đủ c}y cầu (Đường cong hình vẽ l| c{c đường Parabol) y O A 19m3 B 21m3 C 18m3 x D 40m3 Hướng dẫn giải: Chọn D Tự luận: Chọn hệ trục Oxy hình vẽ 110 | Nhóm Đề file word– Chuyên đề Nguyên hàm, tích phân ứng dụng Chuyên đề Ngun hàm, tích phân ứng dụng Nhóm Đề file word y x O Ta có  19  Gọi  P1  : y  ax  c l| Parabol qua hai điểm A  ;  , B  0;       19  0  a    a   Nên ta có hệ phương trình sau:   x 2 361   P1  : y     361 2  b b     5 Gọi  P2  : y  ax  c l| Parabol qua hai điểm C  10;  , D  0;   2   a   40 0  a  10   Nên ta có hệ phương trình sau:     P2  : y   x  40 5  b b    19  10      Ta tích bê tơng l|: V  5.2     x  dx     x  dx   40m3 0 2  361     40 Câu 411 Một vật chuyển động với vận tốc 10m/s tăng tốc với gia tốc tính theo thời gian t a  t   3t  t  m / s2  Tính quảng đường vật khoảng 10s kể từ bắt đầu tăng tốc 130 A km Hướng dẫn giải: Chọn D B 130km C 3400 km 3 D 4300 km 3 Tự luận: Gọi v  t  vận tốc vật Ta có v  t   t  t  C Xem thời điểm tăng tốc có mốc thời gian Ta có v  0  10  C  10 3 Suy v  t   t  t  10 1 0 10   Vậy quảng đường S    t  t  10  dt  4300 Trắc nghiệm:  y  x  4x Câu 412 Tính diện tích miền phẳng bị giới hạn c{c đường thẳng:   y  2x 50 51 52 53 A S  B S  C S  D S  3 3 Chuyên đề Nguyên hàm, tích phân ứng dụng Nhóm Đề file word | 111 Chuyên đề Nguyên hàm, tích phân ứng dụng Nhóm Đề file word Hướng dẫn giải: Chọn C Tự luận: Phương trình ho|nh độ giao điểm: x  x  x    2 x  4x  2x    x  4x  2x    x  6x    x     x   x  4x   2x    x  2x  Suy diện tích cần tính: S   x  4x  2x dx   x  4x  2x dx 2 Tính I   x  4x  2x dx Ta có: x  0; 2 ; x  4x   x  4x  x  4x  I   (x  4x  2x)dx  4 Tính K   x  4x  2x dx 2  x   2; 4 , x  4x  Ta có:   K   (4x  x  2x)dx   (x  4x  2x)dx  16 2  x   4;6 , x  4x  52 Vậy S   16  3 Trắc nghiệm: Cho h|m số f ( x) liên tục  a; b Khi cho hình thang cong giới hạn đồ thị Câu 413 h|m số y  f ( x), trục Ox v| hai đường thẳng x  a, x  b quay quanh trục Ox tạo th|nh khối tròn xoay Viết cơng thức tính thể tích V khối tròn xoay b A V    f ( x)dx b B V   f ( x) dx a a b C V    f ( x)dx a D V   f ( x)dx b a Hướng dẫn giải: Chọn A Tự luận: Trắc nghiệm: Câu 414 Cho vật thể không gian tọa độ Oxyz, gọi B l| phần vật thể giới hạn  hai mặt phẳng x  x  Tính thể V B Biết thiết diện vật thể bị cắt mặt phẳng vng góc với trục Ox điểm có ho|nh độ x (với  x   ) l| nửa hình tròn có b{n kính sin x  A V   B V  C V  2 D V  2 Hướng dẫn giải: Chọn D Tự luận: 112 | Nhóm Đề file word– Chuyên đề Nguyên hàm, tích phân ứng dụng Chuyên đề Nguyên hàm, tích phân ứng dụng Nhóm Đề file word 1 Diện tích thiết diện S  x    sin x   1  cos x   2 Khi thể tích vật thể l|: S    1  cos x  dx  Trắc nghiệm: Câu 415 Một chất điểm  xuất phát từ vị trí , chuyển động thẳng nhanh dần đều; giây sau đạt vận tốc 6m/s Từ thời điểm chuyển động thẳng Một chất điểm  xuất phát từ vị trí  chậm 12 gi}y so với  chuyển động thẳng nhanh dần Biết  đuổi kịp  sau giây (kể từ lúc  xuất phát) Tìm vận tốc  thời điểm đuổi kịp A 12m/s B 48m/s C 24m/s D 36m/s Hướng dẫn giải: Chọn C Tự luận: Thời điểm A B gặp l| 20 gi}y kể từ lúc A xuất ph{t Đồ thị vận tốc A l| đường gấp khúc OMN Quãng đường A l| diện tích hình thang OMNQ Diện tích l| :  20  12   96 , lúc gặp B, A 96(m) Đồ thị vận tốc B l| đường thẳng HP Vì B xuất ph{t vị trí với A nên quãng đường B l| 96(m) Mặt kh{c, quãng đường B diện tích hình tam gi{c HPQ với HQ  PQ 8PQ vận tốc B thời điểm đuổi kịp A Suy 96   PQ nên PQ  24 Vậy vận tốc B thời điểm đuổi kịp A 24 (m/s) Trắc nghiệm: Câu 416 (Sở Thanh Hóa) Một công ty quảng c{o X muốn l|m tranh trang trí hình MNEIF tường hình chữ nhật ABCD có chiều cao BC  6m , chiều dài CD 12m (hình vẽ bên) Cho biết MNEF hình chữ nhật có MN  ; cung EIF có hình dạng phần cung parabol có đỉnh I l| trung điểm cạnh AB v| qua hai điểm C, D Kinh phí làm tranh 900.000 đồng/ m2 Hỏi công ty X cần tiền để làm tranh ? A.20.400.000 đồng B 20.600.000 đồng C 20.800.000 đồng D 21.200.000 đồng Hướng dẫn giải: Chọn C Chuyên đề Nguyên hàm, tích phân ứng dụng Nhóm Đề file word | 113 Chuyên đề Nguyên hàm, tích phân ứng dụng Nhóm Đề file word Tự luận: Nếu chọn hệ trục tọa độ có gốc l| trung điểm O MN , trục ho|nh trùng với đường thẳng MN pt parabol l| : y   x  6 208   Khi diện tích khung tranh l|: S     x   dx  m  2  208  900.000  20.800.000 đồng Trắc nghiệm: Số tiền l|: Câu 417 (Sở H| Tĩnh)Ta vẽ hai nửa đường tròn hình vẽ bên, C đường kính nửa đường tròn lớn gấp đơi (H) đường kính nửa đường tròn nhỏ Biết nửa hình   300 Tính tròn đường kính AB có diện tích 8 BAC B A thể tích vật thể tròn xoay tạo thành quay hình (H) (phần tô đậm) xung quanh đường thẳng AB A 220  B 98  C 224 D 42 Hướng dẫn giải: Chọn B Tự luận: Chon hệ trục tọa độ Oxy cho O  A , đường ox trùng với đường AB v| đơn vị trục đơn vị dài đường tròn Ta thấy đường tròn lớn có bán kính 4; đường tròn nhỏ có bán kính Phương trình c{c đường tròn ( x  2)2  y  4; ( x  4)2  y  16 Phương trình đường thẳng AC y x Ta có M(3; 3); N(6;2 3) 1  40 5 98 2 V   (2 3)   16  ( x  4) dx    ( 3)    ( x  2) dx   24   (3  )     3 3 3     Có thể tính riêng phần nhỏ nhân (3  ).7  Câu 418  98  Hướng dẫn giải: Chọn A Tự luận: Ta có h  t    (3at  bt )dt  at  114 | Nhóm Đề file word– bt Chuyên đề Nguyên hàm, tích phân ứng dụng Chuyên đề Nguyên hàm, tích phân ứng dụng Nhóm Đề file word  5 a  b.5  150 a  Khi đo ta có hệ:   b  103.a  b.102  1100  Khi h  t   t  t Vậy thể tích nước bể sau bơm 20 giây h  20   8400m3 Trắc nghiệm: Câu 419 Hướng dẫn giải: Chọn B Tự luận: Đặt hệ trục tọa độ 4349582 hình vẽ Phương trình đường tròn miếng đất x  y  25 Diện tích cần tính lần diện tích phần tơ đậm phía Phần tơ đậm giới hạn đường cong có phương trình l| y  25  x , trục Ox; x  5; x  (trong gi{ trị có dựa vào bán kính v| độ dài dây cung 6) Vậy diện tích cần tính S   25  x dx  74, 45228 Do đó, đ{p {n l| c}u B 5 Trắc nghiệm: Câu 420 Hướng dẫn giải: Chọn C  Tự luận: Quả bi sắt chịu tác dụng trọng lực hướng xuống nên có gia tốc trọng trường a  10 m / s Ta có biểu thức v theo thời gian t có gia tốc a là: v   adt   10dt  10t  C Với: t  0, v  20 m / s  C  20 Vậy ta biểu diễn biểu thức vận tốc có dạng: v  10t  20 Lấy nguyên hàm biểu thức vận tốc, ta biểu thức quảng đường: S   vdt   10t  20dt  5t  20t  C Theo đề b|i, ta t   S   C  t   s   K  Vậy biểu thức tọa độ quảng đường là: S  5t  20t Khi t  5s , ta S  225m Chuyên đề Nguyên hàm, tích phân ứng dụng Nhóm Đề file word | 115 Chuyên đề Nguyên hàm, tích phân ứng dụng Nhóm Đề file word Vậy bi cách mặt đất S  262  225  37m  Trắc nghiệm: Câu 421 Hướng dẫn giải: Chọn C  Tự luận: Chọn t}m đường tròn làm gốc Diện tích thiết diện S  2 2 2 AB  3(4  x ) V   S ( x)dx   (4  x )dx  32 3  Trắc nghiệm: Câu 422 Hướng dẫn giải: Chọn C  Tự luận: Xe dừng lại nên v   t  50 Phương trình quảng đường S  t   v  t  dt  2500t  100t  2   Quảng đường xe S  2500.   100  1Km  10 m 50  50   Trắc nghiệm: Câu 423 Hướng dẫn giải: Chọn A  Tự luận: Ta có 2000   x dx 2000.ln  x  5000 ( Do ban đầu khối lượng vi khuẩn 5000) Với x  12 số lượng vi khuẩn  10130  Trắc nghiệm: Câu 424 Hướng dẫn giải: Chọn A  Tự luận:  Hàm vận tốc v  t    a  t  dt    3t  t  dt  3t t  C  Lấy mốc thời gian lúc tăng tốc  v    10  C  10 Ta được: v  t   3t t   10 10  3t t   t3 t4  4300  Sau 10 gi}y, quãng đường vật là: s      10  dt     10t   m 12     0 10  Trắc nghiệm: Câu 425 Hướng dẫn giải: Chọn A  Tự luận: 116 | Nhóm Đề file word– Chun đề Ngun hàm, tích phân ứng dụng Chuyên đề Nguyên hàm, tích phân ứng dụng Nhóm Đề file word Chọn chiều dương từ mặt đất hướng lên trên, mốc thời gian t  vật chuyển động Ta có vận tốc viên đạn theo thời gian t v  t   v0  gt  24,5  9,8t  m / s  Khi vật vị trí cao có vận tốc tương ứng thời điềm t  Quãng đường viên đạn từ mặt đất đến vị trí cao 5 0 S  t    v  t  dt   24,5  9,8t dt  245 Vậy quãng đường viên đạn từ lúc bắn lên rơi xuống đất l| 245  61,25  m  - Hết Chuyên đề Nguyên hàm, tích phân ứng dụng Nhóm Đề file word | 117 ... sin x  cos x  C  tan x 2   x  F     C   F  x    ln sin x  cos x  4 2 Vậy       Vậy F      2 4   dx MTCT báolỗi x  tan x khôngx{cđịnh  tan x 10  Ta thaycậntrên...  2 Xe dừng hẳn quãng đường 10  m  kể từ lúc đạp phanh Trắc nghiệm: Khi vật dừng lại v   5t  10   t   s  Quãng đường vật thời gian :  5t  s  t    v  t  dt    5t  10... x        1    tan x sin x  cos x  sin x  cos x sin x  cos x   sin x  cos x  1  cos x  sin x  x cos x  sin x Suyra  dx   1  dx dx     tan x  sin x  cos x  2