MAX MIN SỐ PHỨC CAUCHY - BUNYAKOVSKY MINKOWSKI Giải tập: Bài 1: Trong số phức z thỏa mãn z + − 3i + z − − 5i = 38 Tìm giá trị nhỏ z − − 4i B A C D Cách giải bạn Phạm Minh Tuấn Ta có: z + − 3i + z − − 5i = 38 ⇔ ( x + 4) + ( y − 3) + ( x − 8) + ( y − 5) = 38 Áp dụng bất đẳng thức Bunyakovsky, ta có: 38 ≤ (1 ⇒ 38 ≤ 2 2 + 12 ) ( x + ) + ( y − ) + ( x − ) + ( y − )    ( x − 2) z − − 4i = Suy ra: + ( y − ) + 37 ( x − 2) + ( y − 4) ≥ →Đáp án D Bài – [Tác giả Phạm Minh Tuấn] Cho số phức z thỏa mãn P = z +2 − z−i A z − − 4i = z , tìm để biểu thức đạt giá trị lớn B 10 C D Giải z − − 4i = ⇔ ( x − 3) + ( y − 4)2 =    Ta có: Biểu diễn hình học P: w2 2 X + − X −i 10000 + 100i r ⇒ P = 4x + y + Kết là: 40203 Tiếp theo ta sử dụng bất đẳng thức Bunyakovsky: P = x + y + = 4( x − 3) + 2( y − 4) + 23 ≤ (4 + 22 ) ( x − 3) + ( y − 4)  + 23 P ≤ 33 ⇒ max P = 33  x + y + = 33 x = MaxP = 33 ⇒  ⇔ ⇒ z =5  2 ( x − 3) + ( y − 4) = y =    →Đáp án A Bài – [Tài liệu thầy Trần Đình Cư] z3 + Cho số phức z thỏa mãn ≤2 z z+ Tìm max z Giải Ta có: 1 1    z + ÷ = z + + 3 z + ÷ z z z   (Hằng đẳng thức) Mặt khác, theo bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối, ta có: Do đó: 1 1 1  z+ = z + + 3 z + ÷ ≤ z + + z + ≤ + z + z z z z z z  x= z+ Đặt z , ta được: ⇔ ( x − 2)( x + 1) ≤ ⇔ x ≤ z+ Suy ra: z+ Vậy a+b ≤ a + b ≤2 z =2 z max x3 ≤ + 3x ⇔ x3 − x − ≤ Bài – [Tác giả Phạm Minh Tuấn] Cho số phức z1 , z2 , z3 z1 z2 z3 = thỏa mãn biểu thức: A Pmin = Pmin = B P = z1 + z2 + z3 C + i 2 Tính giá trị nhỏ Pmin = D Pmin = Giải: Áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta có: z1 z2 z3 = Mặt khác: ⇒ P ≥3 P ≥ 3 z1 z2 z3 + i ⇒ z1 z2 z3 = ⇒ z1 z2 z3 = 2 Dấu “=” xảy z1 = z2 = z3 = →Đáp án C.Bài 5: Cho số phức z1 , z2 biểu thức A 5+3 B thỏa mãn z1 + z2 = + 6i z1 − z2 = Tìm giá trị lớn P = z1 + z2 26 C D 34 + Giải:  Công thức: 2 z1 + z2 + z1 − z2 = z1 + z2 2 ( z1 + z2 + z1 − z2 = 104 = z1 + z2 Áp dụng công thức ta có: Áp dụng bất đẳng thức Bunyakovsky, ta có: ( P = z1 + z2 ≤ z1 + z2 ⇒ MaxP = 26 →Đáp án B )= 104 = 26 ) Bài – Câu 48 đề minh họa lần Xét số phức z thỏa mãn z + − i + z − − 7i = giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn A C 13 + 73 B + 73 D z −1+ i Tính Gọi m, M P =m+M + 73 + 73 Giải: Ta có: z + − i + z − − 7i = ⇔ ( x + 2) + ( y − 1) + (4 − x) + (7 − y ) = Áp dụng bất đẳng thức Minkowski cho vế trái đẳng thức phía trên, ta có: VT ≥ ( x + + − x) + ( y − + − y ) = = VP Dấu “=” xảy ( x + 2)(7 − y ) = ( y − 1)(4 − x)  y = x+3 ⇔  x ∈ [ −2;4]  25  z − + i = x + x + 17 =  x + ÷ + ≥ 2 2  Suy ra: Mặt khác, xét f ( x) = x + x + 17, x ∈ [ −2;4] ⇒ Maxf ( x) = f (4) = 73 = M (Tác giả: Phạm Minh Tuấn) ... =2 z max x3 ≤ + 3x ⇔ x3 − x − ≤ Bài – [Tác giả Phạm Minh Tuấn] Cho số phức z1 , z2 , z3 z1 z2 z3 = thỏa mãn biểu thức: A Pmin = Pmin = B P = z1 + z2 + z3 C + i 2 Tính giá trị nhỏ Pmin = D Pmin... theo ta sử dụng bất đẳng thức Bunyakovsky: P = x + y + = 4( x − 3) + 2( y − 4) + 23 ≤ (4 + 22 ) ( x − 3) + ( y − 4)  + 23 P ≤ 33 ⇒ max P = 33  x + y + = 33 x = MaxP = 33 ⇒  ⇔ ⇒ z =5  2 (... Áp dụng cơng thức ta có: Áp dụng bất đẳng thức Bunyakovsky, ta có: ( P = z1 + z2 ≤ z1 + z2 ⇒ MaxP = 26 →Đáp án B )= 104 = 26 ) Bài – Câu 48 đề minh họa lần Xét số phức z thỏa mãn z + − i + z