TRẠI HÈ HÙNG VƯƠNG LẦN THỨ XIII ĐỀ THI OLYMPIC MƠN TỐN TUN QUANG 2017 LỚP 10 Ngày thi: 29 tháng năm 2017 Thời gian làm bài:180 phút (không kể thời gian giao đề) (Đề thi có 01 trang) ĐỀ CHÍNH THỨC Câu (4,0 điểm) Giải phương trình sau tập số thực: − x2 + x2 + x − + − x = Câu (4,0 điểm) Cho tam giác ABC Gọi (O1 ) đường tròn qua B tiếp xúc với AC A ; (O2 ) đường tròn qua C tiếp xúc với AB A P giao điểm thứ hai (O1 ) (O2 ) ; K , L theo thứ tự giao điểm thứ hai (O1 ), (O2 ) với đoạn thẳng BC Gọi ( S ) đường tròn ngoại tiếp tam giác PKL a) Chứng minh rằng: AK , AL tiếp xúc với ( S ) b) Gọi Q giao điểm thứ hai ( S ) AP ; E giao điểm QK AB ; F giao điểm QL AC Chứng minh điểm A, K , L, S , E , F thuộc đường tròn (Chú ý Ta kí hiệu ( X ) đường tròn có tâm X ) Câu (4,0 điểm) Cho đa thức f ( x) = x + x + mx + nx + p , m, n, p số nguyên đôi phân biệt, khác không, cho f (m) = m + m3 f (n) = n + n Tìm m, n, p Câu (4,0 điểm) Tìm tất cặp số nguyên dương (a, b) thỏa mãn đồng thời hai điều kiện sau: i) a + b lũy thừa số nguyên tố; ii) a + b chia hết cho a + b Câu (4,0 điểm) Cho tập S = {1, 2,3, , 2025} Tìm số nguyên dương nhỏ n cho: Với tập T S gồm n phần tử, tồn hai phần tử phân biệt u , v ∈ T cho u + v = 20 -HẾT Thí sinh khơng sử dụng máy tính cầm tay Cán coi thi khơng giải thích thêm http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word Họ tên thí sinh: Số báo danh: HƯỚNG DẪN CHẤM THI OLYMPIC TRẠI HÈ HÙNG VƯƠNG LẦN THỨ XIII MƠN TỐN 10 (Hướng dẫn có 03 trang) Câu (4,0 điểm) Giải phương trình sau tập số thực: − x2 + x2 + x − + − x = (Dựa đề đề xuất THPT chuyên Thái Nguyên) Hướng dẫn chấm Điều kiện xác định: −1 + ≤ x ≤ (1) u , v, t ≥  Đặt u = − x , v = x + x − 1, t = − x ta u + v + t = (2) u + v + t =  2 Điểm 4,0 0,5 1,0 Từ (2) suy ≤ u, v, t ≤ ⇒ = u + v + t ≤ u + v + t = Do  u = u, v, t ≥    v = t = u + v + t =  v =   (2) ⇔ u = u ⇔   u = t = v = v    t = t = t  u = v = Thay lại biến x ta tập nghiệm phương trình S = {1} 1,5 1,0 Câu (4,0 điểm) Cho tam giác ABC Gọi (O1 ) đường tròn qua B tiếp xúc với AC A ; (O2 ) đường tròn qua C tiếp xúc với AB A P giao điểm thứ hai (O1 ) (O2 ) ; K , L theo thứ tự giao điểm thứ hai (O1 ), (O2 ) với đoạn thẳng BC Gọi ( S ) đường tròn ngoại tiếp tam giác PKL a) Chứng minh rằng: AK , AL tiếp xúc với ( S ) b) Gọi Q giao điểm thứ hai ( S ) AP ; E giao điểm QK AB ; F giao điểm QL AC Chứng minh điểm A, K , L, S , E , F thuộc đường tròn http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word (Bài đề xuất Tổ đề) Điểm Hướng dẫn chấm 4,0 a) Tứ giác ABKP tứ giác nội tiếp nên ∠ABP = ∠AKP AC tiếp tuyến (O1 ) nên ∠ABP = ∠PAC Suy ∠AKP = ∠PAC (1) 1,0 Tứ giác APLC tứ giác nội tiếp nên ∠PAC = ∠PLK (2) Từ (1) (2), suy AK tiếp tuyến đường tròn ( S ) Tương tự, ta chứng minh AL là tiếp tuyến đường tròn ( S ) A 1,0 F O1 P E B O2 K L S C Q b) Cách Dễ thấy AKSL tứ giác nội tiếp Ta chứng minh tứ giác AEKL tứ giác nội tiếp Thật vậy, Ta có ∠BEQ = ∠EAQ + ∠EQA (3) Tứ giác KPLQ tứ giác nội tiếp nên ∠KQP = ∠PLK (4) AB tiếp tuyến với (O2 ) nên ∠EAQ = ∠PLA (5) Từ (3), (4) (5) nên ∠BEQ = ∠ALK (đpcm) Cách Ta có ∠KLQ = ∠KPQ ∠KPQ = ∠ABK nên ∠ABK = ∠KLQ , suy QL P AB Do ∠BEK = ∠KQL Mà ∠KQL = ∠ALK (do AL tiếp tuyến với (S)) nên ∠BEK = ∠ALK 1,0 1,0 1,0 1,0 Câu (4,0 điểm) Cho đa thức f ( x) = x + x + mx + nx + p , m, n, p số ngun đơi phân biệt, khác không, cho f (m) = m + m3 f (n) = n + n Tìm m, n, p (Bài đề xuất Tổ đề) Hướng dẫn chấm Xét đa thức g ( x ) = f ( x ) − x − x = mx + nx + p Theo giả thiết g ( m) = g (n) = Do g ( x) http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word Điểm 4,0 1,0 đa thức bậc nên g ( x ) = a ( x − m)( x − n) Từ ta có: mx + nx + p = a( x − m)( x − n) Đồng hệ số cho ta p = amn , n = −a (m + n) m = a Từ ta n = −m(m + n) hay (m + 1)n = −m Từ ta m + 1∣1 hay m + = ±1 suy m = −2 Từ n = p = 16 Vậy m = −2, n = 4, p = 16 1,0 1,5 0,5 Chú ý Học sinh thay trực tiếp m, n giải hệ phương trình nghiệm nguyên để tìm m, n, p Câu (4 điểm) Tìm tất cặp số nguyên dương (a, b) thỏa mãn đồng thời hai điều kiện sau: i) a + b lũy thừa số nguyên tố; ii) a + b chia hết cho a + b (Bài đề xuất Tổ đề) Điểm Hướng dẫn chấm 4,0 a +b b +b Đặt a + b = p m , p nguyên tố m nguyên dương Ta viết , suy = a − b2 + a+b a + b2 1,0 p m ∣(b + b) = b(b3 + 1) Từ (b, b3 + 1) = 1, b < + b ≤ a + b = p m nên ta suy p m ∣b3 + Ta có b3 + = (b + 1)(b − b + 1) (b + 1, b − b + 1)∣3 + Nếu (b + 1, b − b + 1) = p m ∣b + p m ∣b − b + Từ p m = b + a > b − b + nên ta 1,5 có p m | b + suy ta p m = a + b = b + Do a = b = + Nếu (b + 1, b − b + 1) = suy p = Xét m = 1, khơng có (a, b) Xét m = 2, (a, b) = (5, 2) Xét m ≥ 3, 3∣b + 3∣b − b + 3m−1 ước phần tử lại Từ b + < b + a + < 3m −1 , 3m−1 ∣b − b + Do b − b + ≡ (mod 9), mâu thuẫn 0,5 1,0 Vậy (a, b) ∈{(1,1);(5, 2)} Câu (4 điểm) Cho tập S = {1, 2,3, , 2025} Tìm số nguyên dương nhỏ n cho: Với tập T S gồm n phần tử, tồn hai phần tử phân biệt u , v ∈ T cho u + v = 20 (Dựa đề đề xuất THPT Chuyên Bắc Giang) Hướng dẫn chấm Giả sử n số nguyên dương nhỏ thỏa mãn đề Xét tập http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word Điểm 4,0 1,0 T = {1, 2, ,10} ∪ {20,21, , 2025} Ta thấy, với u , v ∈ T phân biệt thì: Nếu u , v ∈{20, 21, , 2025} u + v ≥ 41 > 20 Vậy khơng có u, v thỏa mãn u + v = 20 Nếu u , v ∈ {1, 2,3, ,10} u + v ≤ 19 < 20 Vậy khơng có u, v thỏa mãn u + v = 20 Nếu u ∈{1, 2,3, ,10}, v ∈{20, 21, , 2025} u + v ≥ 21 > 20 Vậy khơng có u, v thỏa mãn u + v = 20 Vì | T |= 2016 nên n ≥ 2017 Mặt khác, với tập T ⊂ S ,| T |= 2017 , xét cặp số sau (1;19), (2;18), , (9;11) 1,0 Nếu cặp thuộc T cặp (u; v) thỏa mãn u + v = 20 Nếu khơng có cặp thuộc T | T |≤ 2025 − = 2016 , vơ lí Vậy với tập T ⊂ S ,| T |= 2017 tồn u , v ∈ T thỏa mãn u + v = 20 Kết luận: Giá trị nhỏ n 2017 -Hết Ghi chú: Thí sinh làm theo nhiều cách khác Nếu giải cho điểm tối đa http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word 2,0 ... HƯỚNG DẪN CHẤM THI OLYMPIC TRẠI HÈ HÙNG VƯƠNG LẦN THỨ XIII MƠN TỐN 10 (Hướng dẫn có 03 trang) Câu (4,0 điểm) Giải phương trình sau tập số thực: − x2 + x2 + x − + − x = (Dựa đề đề xuất THPT chuyên... (Dựa đề đề xuất THPT Chuyên Bắc Giang) Hướng dẫn chấm Giả sử n số nguyên dương nhỏ thỏa mãn đề Xét tập http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word Điểm 4,0 1,0 T = {1, 2, ,10} ... + p Theo giả thi t g ( m) = g (n) = Do g ( x) http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word Điểm 4,0 1,0 đa thức bậc nên g ( x ) = a ( x − m)( x − n) Từ ta có: mx + nx +