(Đề thi HSG lớp 10, trại hè Hùng Vương lần IX, năm học 2013 – 2014) Thời gian làm bài: 180 phút Câu (5 điểm) � �y  3x y  28 Giải phương trình sau: � 2 �x  xy  y  x  10 y Câu (5 điểm) Cho tia Ax điểm B cố định cho góc Bax nhọn, điểm C chạy tia Ax Đường tròn nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc với BC va fAC theo thứ tự M N Chứng minh rằng, đường thẳng MN qua điểm cố định Câu (4 điểm) Cho x, y, z ϵ (0;1) Chứng minh rằng:  x  x   y  y   z  z  � x  yz   y  xz   z  yx  2 Câu (4 điểm) Tìm tất cawpk số nguyên dương (m; n) cho m  n  p số nguyên tố m3  n3  chi hết cho p Câu (2 điểm) Trên mạng lưới ô vuông vô hạn người ta điền vào ô vuông sở số thực cho số trung bình cộng với số hình vng sở có cạnh kề với a) Chứng minh rằng: số điện vào ô vuông sở số nguyên dương số phải b) Nếu số điện số hữu tỉ số điền vào vng sở cạnh kề với nó, có thiết phải khơng? Giải thích? http://dethithpt.com – Website chun đề thi – tài liệu file word Đáp Án � �y  3x y  28 Câu Ta có: � 2 �x  xy  y  x  10 y Nhận xét y  y x  yx  x3    y  y y  yx  x   y  x    y  x   y  3x y   2   y  x �y  x � �y  x � y  3x  28 � � � � � 7 �2 � �2 � yx yx yx yx yx yx x  ,y  Đặt a  ,b  2 2 2 3 � �a  b  7 Biến đổi hệ ban đầu hệ: � 2 �a  a   b  2b  � � a  b  7 a  b  7 � � � �3 �� 3 a  3a  3a     b3  6b  12b    a  1    b   � �  y  x y  28 � 3 3 a  1, b  2 � b2  b   � �� �� a  2, b  a  b  � � x  3, y  1 � Tìm � x  3, y  1 � Câu Gọi O tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC, P tiếp điểm đường tròn (O) với AB, giao điểm MN với AO I Do AO tia phân giác góc BAx nên hai điểm P N đối xứng qua AO http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word Suy (PI; PO) = (NI; NO) = (MI;MO)(modπ) (do tam giác MIN cân) Từ suy điểm P, I, O, M, thuộc đường tròn (1) �  OBM �  900 suy tứ giác AMBP nội tiếp Mặt khác (O) tiếp xúc với cạnh AB, BC P M nên OPB đường tròn đường kính BO (2) �  BPO �  900 Từ (1) (2) suy điểm B, M, I, O P thuộc đường tròn bán kính BO Do BIO dẫn đến I hình chiếu P AO góc BAx cố định B cố định đường thẳng AO cố định suy điểm I cố định Vậy đường thẳng MN qua điểm I cố định Câu �x  zy �0 Không tổng quát, giả sử x �y �z � � x, y , z �(0;1) y  zx � � +) Nếu z – xy < VT ≤0≤ VP, bất đẳn thức +) Nếu z – xy ≥ 0, ta chứng minh bất đẳng thức sau: với a, b, c thuộc (0;1) ta có: bc   a  �  b  ac   c  ab  Thật vậy: bc   a  �  b  ac   c  ab  � bc   a  � b  ac   c  ab  � bc   2a  a  �bc  ab  ac  a 2bc � a  b  c  �0 Áp dụng bất đẳng thức cho x, y, z thuộc (0;1) ta yz   x  �  y  xz   z  xy  zx   y  �  z  xy   x  yz  xy   z  �  x  yz   y  xz  Nhân vế với vế ba bất đẳng thức ta thu được: xyz   x    y    z  � x  yz   y  xz   z  xy  (điều phải chứng minh) Câu 4.Ta có: m3  n3  �0  mod p  �  mn  m  n   �0  mod p  � 3mn  m  n   12 �0  mod p  3 Kết hợp m  n  �0  mod p  suy  m  n   �0  mod p   m  n    m  n  2mn  2m  2n   �0  mod p  Do p số nguyên tố nên có hai khả xảy ra: Trường hợp 1: m �2 � 2 Nếu m  n  2Mm  n �m  n  � m  m  1  n  n  1 �2 � � n �2 � Thử lại thấy (m; n) = (1; 2),(2; 1),(1; 1) thỏa mãn Trường hợp 2: m  n  2mn  2m  2n  4Mm  n , viết lại: m  n2  2mn  2m  2n   �  m  1  n  1  1� � � 2 2 � m  1   n  1   � � �m  n  m  1  1�  n  1  1� � �� � Dấu xảy m = n = Vậy trường hợp ta tìm số thỏa mãn (1; 2),(2; 1),(1; 1) Câu http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word a)Vì số thực điền vào ô vuông số nguyên dương nên tồn số a nhỏ số điền Giả sử tồn ô vng sở có chứa a mà vng sở có cạnh liền kề có ô vuông có chứa số b a gọi c d e ba số ba ô vuông sở có cạnh liền kề lại ba � � (b  x  d  e)  a trái với giả Khi � c, d , e �a � thiết Như có vng có chứa số a vng có cạnh liền kề với chứa số a Do tất ô vuông chứa số a b) Nếu số điền số hữu tỉ số vng có cạnh liền kề với ô vuông sở không thiết phải Ta xây dựng hệ trục tọa độ vng góc có trục tọa độ song song trùng với cạnh lưới vng có đơn vị trục độ dài cạnh ô vuông sở Ở hình vuông sở ta điền số trung bình cộng hai tọa độ tâm hình vng Khi tọa độ tâm hình vng sở số hữu tỉ nên số đặt vào số hữu tỉ.Và số đặt vào ô vuông sở có cạnh kề với khơng Ta chứng minh số điền vào ô vuông sở trung bình cộng số vng có cạnh liền kề với sau: Khơng tổng qt giả sử có hình vẽ bên có tâm hình vng sở A B C D đỉnh hình vng nhận tâm I hình vng sở làm tâm, nên dẫn đến tọa độ điểm I trung bình cộng độ điểm A B C D đặt hình vng tâm I số hữu tỉ trung bình cộng số hữu tỉ đặt hình vng tâm A B C D http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word ... với AO I Do AO tia phân giác góc BAx nên hai điểm P N đối xứng qua AO http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word Suy (PI; PO) = (NI; NO) = (MI;MO)(modπ) (do tam giác MIN... xảy m = n = Vậy trường hợp ta tìm số thỏa mãn (1; 2),(2; 1),(1; 1) Câu http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word a)Vì số thực điền vào vng số nguyên dương nên tồn số a nhỏ... vuông tâm I số hữu tỉ trung bình cộng số hữu tỉ đặt hình vng tâm A B C D http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word