http://dethithpt.c om Website chuyên đề thi, tài liệu file word PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ BẬC HAI  DẠNG TỐN 1: PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH CHỨA ẨN TRONG DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI Phương pháp giải Để giải phương trình, bất phương trình chứa ẩn dấu giá trị tuyệt đối(GTTĐ) ta cần khử dấu GTTĐ Sau số cách thường dùng để khử dấu GTTĐ + Sử dụng định nghĩa tính chất GTTĐ để khử dấu GTTĐ + Đặt ẩn phụ biểu thức chứa dấu GTTĐ để khử dấu GTTĐ Các ví dụ minh họa Loại 1: Sử dụng định nghĩa tính chất dấu giá trị tuyệt đối *Lưu ý: Sau số loại tốn phương trình, bất phương trình thức phép biến đổi tương đương ïìï g(x) ³ ï f (x) = g(x) Û ïí éf (x) = g(x) • ïï ê ïïỵ ê ëf (x) =- g(x) éf (x) = g(x) f (x) = g(x) Û ê • êf (x) =- g(x) ë ìï g(x) > f (x) < g(x) ùớ ã ùùợ - g(x) < f (x) < g(x) éïì g(x) < êïí êï f (x)có nghĩa êỵï ê f (x) > g(x) Û êìïï g(x) ³ • êïï êí éf (x) g(x) ëïỵ ë Ví dụ 1: Giải phương trình sau: 2 a) 2x - 3x- =- x + 2x + 2 c) x - 5x + - x + = x + x b) x - 5x + = x - 3x + d) x - 3x + + x- = 12( x- 3) Lời giải: ìï - x2 + 2x + 1³ ïï ï 2x2 - 3x- 1=- x2 + 2x +1 Û a) Ta có phương trình Û í é ïï ê 2 ïï ê ë2x - 3x- 1=- (- x + 2x + 1) ỵê ìï x2 - 2x - 1£ ïï ï é3x2 - 5x- = íê ïï ïï ê ëx - x = ỵê http://dethithpt.com – Website chun đề thi, tài liệu file word có lời giải http://dethithpt.c om Website chuyên đề thi, tài liệu file word ìï 1ïï ïï ïï ï Û ïí ïï ïï ïï ïï ïỵ £ x £ 1+ éx = ê éx = ê ê êx =- ê Û ê êx =3 ê ê ê x = ê ê êx = êx = ê ë êx = ë ìï 1ü ï Vậy nghiệm phương trình x Ỵ ïí 0;1;2;- ùý ùợù 3ùùỵ b) Vi 1Ê x Ê Þ x2 - 5x + 4³ ta có 3 Phương trình Û - ( x - 5x + 4) = x - 3x + Û x + x - 8x + = Áp dụng BĐT cơsi ta có x3 + 4+ ³ 33 8x3 = 6x, x2 + ³ 2x ( ) Suy x + x - 8x + 8³ 6x + 2x- 8x = 2 - x > Do phương trình vơ nghiệm éx > Þ x2 - 5x + 4> ta có Với ê êx < ë Phương trình Û x2 - 5x + = x3 - 3x + Û x3 - x2 + 2x = Û x = (thỏa mãn) Vậy nghiệm phương trình x = c) Bảng xét dấu x - ¥ +¥ x+ - 1 - + + + + - + x - 5x + | + Từ ta có trường hợp sau 2 • Với x£ - 1, ta có phương trình Û ( x - 5x + 4) +( x + 1) = x + x Û x = (loại) http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải http://dethithpt.c om Website chuyên đề thi, tài liệu file word 2 • Với - 1< x £ 1, ta có phương trình Û ( x - 5x + 4) - ( x + 1) = x + x ⇔x = (thỏa mãn) 2 • Với 1< x £ , ta có phương trình - ( x - 5x + 4) - ( x + 1) = x + x Û 2x2 - 3x + 5= phương trình vơ nghiệm • Với x> , ta có phương trình Û x2 - 5x + 4- ( x + 1) = x2 + x Û x = (loại) Vậy phương trình cho có nghiệm x = ìï x³ ï d) Ta có phương trình í ïï x - 3x + + x- = 12( x- 3) ïỵ ìï ìï x³ x³ Û ïí Û ïí ïï x - 3x + 1+ x- 1= 12( x- 3) ïïỵ x - 14x + 36 = ỵ ìï x³ Û ïí Û x = 7± 13 ïï x = ± 13 ỵ Vậy phương trình có nghiệm x= 7± 13 Ví dụ 2: Giải bất phương trình sau 2 a) x - x- ³ x- b) - x + 3x + < x - 3x + 2 2 c) 3x - + 3- 2x £ 6( x - 2) d) 2x - 5x + - x- > x- Lời giải: a) Với x< ta có VT ³ 0, VP < suy bất phương trình nghiệm với x< Với x³ ta có bất phương trình tương đương với http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải http://dethithpt.c om Website chuyên đề thi, tài liệu file word ïìï x³ ïï x - x- 1³ x- 1Û íé ïï ê ïỵï ê ê ëx - x- 1£ 1- x ïìï x³ ïï x - 2x ³ íé ïï ê ïỵï ê ê ëx - £ x³ ïìï ïï x³ ïé Û ïí ê Û ïï ê x£ ê ïï ê ïïỵ ê ë- £ x £ ìï x ³ ïï éx ³ x³ Û ê íï é ê1£ x £ ïï ê ê ë ïï ê x £ ë ỵê Vậy nghiệm bất phương trình xẻ (- Ơ ; 2]ẩ [2;+Ơ ) b) Vi x2 - 3x + 2< Û 1< x < ta có VT ³ 0, VP < suy bất phương trình vơ nghiệm éx ³ 2 Với ta có x - 3x + 2³ Û ê êx £ ë 2 Bất phương trình tương đương với - ( x - 3x + 2) Û 2x2 - 6x > Û ê êx < ë éx ³ éx > ê Đối chiếu với điều kiện ê suy nghiệm bất phương trình êx £ êx < ë ë Vậy bất phương trình có nghim xẻ (- Ơ ;0) ẩ (3;+Ơ ) c) Nếu x2 - < VT ³ 0, VP < suy bất phương trình vơ nghiệm ìï x2 - ³ ï Do bất phương trình Û í ïï 3x - + 2x2 - £ 6( x2 - 2) ïỵ é ïì ì x2 ³ ï ïíï x ³ Û êx ³ Û í Û ïï 3x - 2+ 2x2 - 3£ 6( x2 - 2) ïï x2 ³ ê ê ỵ ëx £ - ùợ Vy nghim ca bt phng trỡnh l xẻ (- ¥ ;- 7]È [ 7;+¥ ) http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải http://dethithpt.c om Website chuyên đề thi, tài liệu file word d) 2x - 5x + - x- > x- Với x< ta có VT ³ 0, VP < suy bất phương trình nghiệm với x< 2 Với x³ ta có 2x - 5x + = ( x- 1) ( 2x- 3) > suy bất phương trình tương đương với 2x2 - 5x + 3- ( x- 1) > x- Û 2x2 - 6x + > x- 2 Û 2x2 - 6x + 4> x- (vì x ³ Þ 2x - 6x + = ( x- 1) (2x- 4) ³ ) éx > ê Û 2x - 7x + 6> Û ê êx < ê ë Đối chiếu với điều kiện x³ ta có nghiệm bất phương trình x> Vậy bất phương trình có nghiệm xỴ ¡ \ { 2} Ví dụ 3: Tìm m để phương trình sau có bốn nghiệm phân biệt - x2 - x + = 4x + m Lời giải: 2 Ta có - x - x + = 4x + mÛ - x - x + - 4x = m Xét hàm số f ( x) = - x - x + - 4x - 3;2ù ïìï - x2 - 5x + x Ỵ é ë û f x = Ta có ( ) í ïï x - 3x- x Ỵ ( - Ơ ;- 3) ẩ ( 2;+Ơ ợ Bng biến thiên x - ¥ - - ) 2 +¥ f ( x) +¥ +¥ 99 12 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải http://dethithpt.c om Website chuyên đề thi, tài liệu file word - Từ bảng biến thiên ta có Phương trình ban đầu có bốn nghiệm phân biệt đồ thị hàm số f 99 cắt đường thẳng y = m bốn điểm phân biệt Û 12< m< 99 Vậy 12 < m< giá trị cần tìm Nhận xét: Nghiệm phương trình f ( x) = g( m) hoành độ giao điểm đồ thị hàm số y = f ( x) đường thẳng y = g( m) Từ suy • Phương trình f ( x) = g( m) có nghiệm Û đường thẳng y = g( m) cắt đồ thị hàm số y = f ( x) • Số nghiệm phương trình f ( x) = g( m) Û số giao điểm đường thẳng y = g( m) đồ thị hàm số y = f ( x) Do gặp tốn liên quan đến phương trình f ( x, m) = mà ta lập m ta sử dụng đồ thị(hoặc bảng biến thiên) để giải Ví dụ 4: Tìm m để bất phương trình sau có nghiệm x2 - 3x + ³ 3x2 + 5x + 3m2 + 5m Lời giải: 2 Bất phương trình Û x - 3x + - 3x - 5x ³ 3m + 5m 2 Xét hàm số f ( x) = x - 3x + - 3x - 5x ìï - 2x2 - 8x + x Ỵ (- ∞;1]È [2;+∞) ï Ta có f ( x) = í ïï - 4x2 - 2x- x ẻ ( 1;2) ợ Bng bin thiờn x - ¥ - - http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải http://dethithpt.c om Website chuyên đề thi, tài liệu file word +¥ 10 f ( x) - - 22 - ¥ - ¥ Từ ta có: max f ( x) = f ( - 2) = 10 Do bất phương trình cho có nghiệm Û 10³ 3m2 + 5m Û 3m2 + 5m- 10 £ Û Vậy - 5- 145 £ m£ - 5- 145 £ m£ - 5+ 145 - 5+ 145 giá trị cần tìm Nhận xét Cho hàm số y = f ( x) xác định D f ( x) ³ k ( • Bất phương trình f ( x) ³ k ( f ( x) £ k) có nghiệm D Û max D f ( x) £ k ) với điều kiện tồn max f ( x) ( f ( x) ) D D D f ( x) ³ k ( • Bất phương trình f ( x) ³ k ( f ( x) £ k) nghiệm với ∀x ∈D Û D max f ( x) £ k ) với điều kiện tồn max f ( x) ( f ( x) ) D D D Loại 2: Đặt ẩn phụ Ví dụ 5: Giải phương trình bất phương trình sau a) 3( x - 4x) - x- > 12 (x b) + 1) x £ x+ - x 2 c) x - 2x + 4x- ( 2x + 5) x - + = Lời giải http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải http://dethithpt.c om Website chuyên đề thi, tài liệu file word 2 a) Đặt t = x- ,t ³ Þ t = x - 4x + Bất phương trình trở thành 3( t - 4) - t > 12 ét > ê Û 3t - t - 24> Û ê êt suy éx- 2> éx > x- > Û ê Û ê êx- 2ta có 2 Bảng biến thiên + TH1: Nếu x - ¥ - 2m- http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải 10 http://dethithpt.c om Website chuyên đề thi, tài liệu file word Do x2 + 1- x > x2 - x = x - x ³ Þ (*) Û x2 + £ Û x2 £ Û - 2 £ x £ 2 Vậy - 2 £ x £ 2 nghiệm bất phương trình cho Bài 4.122: Giải bpt sau : a) 2x- £ 8- x b) 2x2 - 6x + 1- x + 2> c) - x2 + 6x- > 8- 2x d) x + ³ e) x + - x +1< x f) 2x- + 7- x 2x2 ( 3- ) 9+ 2x ’ < x + 21 Lời giải: ïìï 8- x ³ ï Û Bài 4.122: a) bpt Û ïí 2x- 1³ ïï ïỵï 2x- 1£ (8- x) ïìï x £ ïï ï x³ Û £ x£ í ïï 2 ïï ïỵ x - 18x + 65³ ïì x- < 2x2 - 6x + > x- Û ïí ïï 2x - 6x + 1³ ỵ ïìï x < ïï ìï x- ³ ïï é 3- ï x£ ïí ê ê Û í 2 ïï ( 2x2 - 6x + 1) > ( x- 2) ïï ê ïỵ ïï ê 3+ ïï ê êx ³ ỵï ë c) ĐS: 3< x £ b) bpt Û ìï x ³ ïí Û ïï x2 - 2x- 3> ỵ é x> ê ê 3- êx £ ê ë ìï x + 3³ ïï d) ĐKXĐ: ïí 2x- ³ Û £ x £ ïï ïïỵ 7- x ³ http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải 41 http://dethithpt.c om Website chuyên đề thi, tài liệu file word bpt Û x + 3³ Û 2³ ( ) 2x- + 7- x Û 3³ - 1+ ( 2x- 8) ( 7- x) ( 2x- 8) ( 7- x) Û ³ - 2x2 + 22x- 56 éx £ Û x2 - 11x + 30³ Û ê êx ³ ë é4 £ x £ Đối chiếu điều kiện ta nghiệm bpt ê ê6 £ x £ ë ìï x + ³ ïï e) ĐKXĐ : ïí x + 1³ Û x ³ ïï ïïỵ x ³ bpt Û x + < x + 1+ x Û x + 2< 2x + 1+ (x + 1)x ìï 1- x ³ ìï 1- x < ï ï Û 1- x < (x + 1)x Û í í ïïỵ x ³ ïï ( 1- x) < 4x(x + 1) ïỵ é êx ỵ Suy nghiệm bất phương trình < x£ Với - 1£ x < 0: bpt Đối chiếu điều kiện ta nghiệm bpt é- 1£ x < ê ê9 ê < x£ ê ë7 ìï x2 - 3x + ³ ïï éx ³ ï b) ĐKXĐ: í x - 4x + 3³ Û ê êx £ ïï ïï x - 5x + ³ ë ỵ bpt Û ( x- 1) ( x- 2) + ( x- 1) ( x- 3) ³ ( x- 1) ( x- 4) http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải 43 http://dethithpt.c om Website chuyên đề thi, tài liệu file word Dễ thấy x= nghiệm bpt + Với x< 1: Bpt Û Û ( 1- x) ( 2- x) + ( 1- x) ( 3- x) ³ ( 1- x) ( 4- x) 2- x + 3- x ³ 4- x Ta có : 2- x + 3- x < 4- x + 4- x = 4- x Suy x< bpt vô nghiệm +) Với x³ 4: bpt Û Ta có : x - + x- ³ x - x- + x- ³ x- + x- = x- 4, " x, x ³ Suy : x³ bất pt éx = Vậy nghiệm bpt : ê êx ³ ë c) ĐS: x £ - 5, x = 3, 5£ x £ 17 ïì 1+ x ³ Û - 1£ x £ 1: d) ĐKXĐ: ïí ïïỵ 1- x ³ Khi : bpt Û 1+ x + 1- x + 1- x2 £ 4- x2 + ( ) Û 1- x2 - 1- x2 + + Û ( ) 1- x2 - + x4 16 x4 ³ 16 x4 ³ (luôn đúng) 16 Vậy nghiệm bpt : - 1£ x £ Bài 4.124: Giải bất phương trình sau: a) 4(x + 1)2 ³ (2x + 10)(1- 3+ 2x)2 b) 1+ x - 1- x ³ x http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải 44 http://dethithpt.c om Website chuyên đề thi, tài liệu file word 2x 25- x2 + x2 + 7x > e) - 3x2 + x + + 4x2 - 18x + 18 h) 9x2 + 16 ( d) < 2x + 1- c) 2x + f) x+ 1 + x- > x x x ) 2x + - 2- x >12x- Lời giải: ù 2é Bài 4.124: a) bpt Û 4(x + 1) ê1+ 3+ 2x - 2x + 10ú³ ê ú ë û ( ) ĐS: x =- 1, x ³ b) £ x £ e) - 1£ x < 0, h) bpt Û c) £ x £ < x£ d) < x < f) x > 9x2 + 16( 3x- 2) > 2( 3x- 2) 45 g) x> ( 17 ) 2x + + 2- x) Chia hai trường hợp giải ta - £ x < , < x£ 3 Bài 4.125: Giải bất phương trình sau: a) 3x2 + 6x + < 2- 2x- x2 b) 2x2 + 4x + 3- 2x- x2 > c) 3x2 + 5x + - d) x + x- + x- x- > e) x + x 3x2 + 5x + ³ < 2x + +4 2x f) x x +1 x 35 - > g) x + > x +1 x x2 - 12 Lời giải: http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải 45 http://dethithpt.c om Website chuyên đề thi, tài liệu file word Bài 4.125: a) Đặt : t = 3x2 + 6x + 4,t ³ Þ x2 + 2x = Bất phương trình trở thành t < 2- t2 - t2 - Û t2 + 3t - 10 < Û £ t < 2(t ³ 0) Ta có 3x2 + 6x + < Û 3x2 + 6x + < Û 3x2 + 6x < Û - 2< x < Vậy nghiệm bpt - < x < b) ĐKXĐ: - 3£ x £ Đặt : t = 3- 2x- x2 ,t ³ Þ t2 = 3- 2x- x2 Þ 2x + x2 = 3- t2 Bất phương trình trở thành 2( 3- t ) + 3t > Û 2t2 - 3t - 5< Û £ t < (dot ³ 0) Ta có 3- 2x- x < Û 2 ïìï - 3£ x £ ï Û - 3£ x £ í ïï 3- 2x- x2 < 25 ỵï Vậy nghiệm bpt - 3£ x £ - < x < é êx ³ c) ĐKXĐ: ê ê ê ëx £ - Đặt t = 3x2 + 5x + 2,t ³ Þ 3x2 + 5x = t2 - Bất phương trình trở thành Û t2 + 5- t ³ t2 + ³ t + 1Û t2 + 5³ ( t + 1) Û t £ http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải 46 http://dethithpt.c om Website chuyên đề thi, tài liệu file word Ta có ìï 3x2 + 5x + ³ 3x + 5x + £ Û ïí ïï 3x + 5x + £ ỵ ïìï é x³ ïï ê ê ïï ê Û íê Û x £ ïï ë ïï ïï - £ x £ ïỵ é- £ x £ - ê ê- ê £ x£ ê ë3 d) ĐKXĐ: x³ bpt Û Û ( ) x - 1+ + ( ) x- 1- > x- 1+ + x- 1- > 3 Đặt t = x- 1,t ³ Bất phương trình trở thành t + 1+ t - > +) Với t ³ ta có (*) Û 2t > 3 Û t> Suy nghiệm bpt(*) t ³ +) Với £ t < ta có (*) Û 2> Do £ (*) x- ³ Û x ³ t ìï x ³ x- £ 1Û ïí ïïỵ x £ Vậy nghiệm bpt x³ e) ĐKXĐ : x> ổ ữ ữ bpt 5ỗ x+ ç ÷< 2x + 2x + ç ÷ è xø http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải 47 http://dethithpt.c om Website chuyên đề thi, tài liệu file word Đặt t = x + x ³ x x = 2,t ³ Þ x+ = t2 - 4x é êt < Bất phương trình trở thành 5t < 2( t - 1) + Û 2t - 5t + 2> Û ê ê ê ët > 2 Vì t ³ Þ t > ta có x+ x > Û 2x- x + 1> é é ê0 < x < 2- ê0 < x < 3- 2 ê Û ê ê Û ê ê ê ê x > 2+ êx > 3+ 2 ê ê 2 ë ë Vậy nghiệm bpt < x < 3- 2 3+ 2 x > 2 f) ĐKXĐ: x Đặt: t = x+1 x ,t > Þ = x x +1 t Ta : - 2t > Û 2t3 + 3t2 - 1< Û ( t + 1) ( 2t2 + t - 1) < t2 Û 0< t < (vì t > ) Ta có < x +1 < Û - < x x - x2 - 144 x4 x2 1225 + >0 x - x2 - 144 Đặt : t = Û t2 + 2t - x2 x2 - ,t > 0, bất phương trình trở thành 1225 25 > Û t > (dot > 0) 144 12 Do ta có x2 x2 - > 25 Û 144x4 > 625x2 - 625 12 é 25 ê0 £ x2 < ê 16 Û Û 144x4 - 625x2 + 625> Û ê ê 25 êx > ê ë é ê1< x < ê (dox > 1) ê ê êx > ê ë Bài 4.126: Giải phương trình sau: a) x + 7- x = x- 1+ - x2 + 8x- + b) (2x- 1)2 2x + 1+ 3- 2x = c) 10x + 1+ 3x- = 9x + + 2x- d) x- 1- (x- 1)2 = 8- x3 Lời giải: Bài 4.26: a) ĐKXĐ: 1£ x £ ( 7- x) ( x- 1) = Ta có: PT Û x- 1+ 7- x - x- 1Û ( x- ) x- 1- - 7- x ( ) x- 1- = http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải 49 http://dethithpt.c om Website chuyên đề thi, tài liệu file word Û ( )( x- 1- x- 1- é x- = Û ê Û ê x = x ê ë b) ĐKXĐ: ) 7- x = éx = ê êx = ë - £ x£ 2 Phương trình cho Û Û 4+ - 4x2 + 4x + = ( (4x2 - 4x + 1)2 2x + 1+ 3- 2x = ) (4x2 - 4x + 1)2 Đặt t = - 4x2 + 4x + 3= 4- (2x- 1)2 Þ 0£ t £ Ta có phương trình : 16+ 8t = (4- t2 )2 Û t4 - 8t2 - 8t = Û t(t3 - 8t - 8) = ét = (n) Û t(t + 2)(t2 - 2t - 4) = Û ê êt = 1+ (l) ê ë t = 0Û é êx =ê - 4x2 + 4x + = Û 4x2 - 4x- = Û ê ê êx = ê ë Vậy x =- ; x = nghiệm phương trình cho 2 c) ĐKXĐ: x³ Phương trình Û Û 10x + 1- x- 10x + 1+ 9x + + 9x + + 3x- 5x- 3x- + 2x- 2x- = =0 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải 50 http://dethithpt.c om Website chuyên đề thi, tài liệu file word ỉ 1 ÷ ÷ Û (x- 3)ỗ + = x = (tha iu kin) ỗ ữ ỗ ữ ỗ ố 10x + 1+ 9x + 3x- + 2x- 2ø Vây x = nghiệm phương trình cho d) PT Û x- 1+ x3 - x2 + 2x- = x- Û x- 1+ + (x- 2)(x2 + x + 4) = ổ ữ (x- 2)ỗ + x2 + x + 4ữ ỗ ữ= x = ç ÷ è x- 1+ ø Bài 4.127: Giải phương trình sau a) x2 - 2x + 3= 2x2 - x + 1+ 3x- 3x2 b) 14- x3 = x2 - 2x- 1+ 2- x =5 c) 1+ 3x - x + x Lời giải: Bài 4.127: a) Theo cơsi ta có: 2x2 - x + 2+ 3x- 3x2 2 ; 1+ 3x- 3x £ 2x - x £ 2 Suy Mà 2x2 - x + 1+ 3x- 3x2 £ - x2 + 2x + - x2 + 2x + £ 2 Dấu xảy x=1 Thử lại thấy thỏa mãn Vậy pt cho có nghiệm x=1 b) ĐKXĐ: x2 - 2x- 1³ Do x2 - 2x- ³ nên 14- x3 ³ 2- x http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải 51 http://dethithpt.c om Website chuyên đề thi, tài liệu file word Û 14- x3 ³ 8- 12x + 6x2 - x3 Û x2 - 2x- 1£ Suy phương trình có nghiệm x2 - 2x- 1= Û x = 1± Thử lại ta thấy phương trình cso nghiệm x= 1- c) ĐK: x> Áp dụng BĐT Bunhiacopxky ta có: ( 1+ 3x) ( 1+ 3) ³ ( 1+ x) Suy 1+ 3x - x+ Þ 1+ 3x ³ 1+ x x ³ x+ x + 1³ Đẳng thức xảy x= nghiệm phương trình Bài 4.128: Giải phương trình 2x + + x + = x2 - 11x + 33 + 3x- Lời giải: ïìï 2x + 3³ ïï ï x + 1³ Û x³ Bài 4.128: ĐKXĐ: í ïï x - 11x + 33³ ïï ïïỵ 3x- 5³ Phương trình tương đương với ( 2x + 3) ( x + 1) = x2 - 11x + 24+ ( x2 - 11x + 33) ( 3x- 5) ( ( 2x + 3) ( x +1) - ( x2 - Û - 3x3 + 40x- 149x + 168 Û ( 2x + 3) ( x +1) + ( x ( 3x- 7) ( - Û - 11x + 33) ( 3x- 5) x2 + 11x- 24) ( 2x + 3) ( x +1) + ( x ) 11x + 33) ( 3x- 5) = x2 - 11x + 24 - 11x + 33) ( 3x- 5) = x2 - 11x + 24 = x2 - 11x + 24 ổ ữ ỗ 2( 3x- 7) ữ ỗ ç Û ( x - 11x + 24) ç + 1ữ =0 ữ ữ ỗ ữ ỗ ữ x + x + + x 11 x + 33 x ( ) ( ) ( ) ( ) ữ ỗ ố ứ http://dethithpt.com Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải 52 http://dethithpt.c om Website chuyên đề thi, tài liệu file word éx = Û x2 - 11x + 24 = Û ê êx = (thỏa mãn điều kiện) ë Vậy phương trình có nghiệm x= x= Bài 4.129: Cho phương trình: 2x2 - 2( m+ 1) x + m2 + m = x- 1( 1) a) Tìm m để phương trình (1) có nghiệm b) Tìm m để phương trình (1) có nghiệm phân biệt c) Tìm m để phương trình (1) có nghiệm Lời giải: ïìï x- 1³ Bài 4.129: Phương trình (1) Û í ïï x - 2( m+ 1) x + m2 + m= ( x- 1) ( 2) ïỵ Đặt t = x- 1, x- 1³ nên ta có điều kiện t ³ , thay vào phương trình (2) ta 2 phương trình: t - 2( m- 1) t + m - m= 0( 3) a) Để phương trình (1) có nghiệm phương trình (3) có nghiệm t ³ TH1: Phương trình (3) có nghiệm t1 £ £ t2 Û P £ Û m2 - m£ Û 0£ m£ ïìï D ' ³ ï TH2: Phương trình (3) có nghiệm £ t1 £ t2 Û ïí P ³ Û ïï ïïỵ S ³ ïìï 1- m³ ïíï m2 - m³ Û m= ïï ïïỵ m- 1³ ù Kết luận: Với mỴ é ë0;1û phương trình (1) có nghiệm b) Để phương trình (1) có nghiệm phân biệt phương trình (3) có nghiệm ïìï D > ï £ t1 < t2 Û ïí P ³ Û ïï ïïỵ S > ïìï 1- m> ïíï m2 - m³ (vơ nghiệm) ïï ïïỵ m- 1> Kết luận: Không tồn m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải 53 http://dethithpt.c om Website chuyên đề thi, tài liệu file word c) Để phương trình (1) có nghiệm phương trình (3) có nghiệm t ³ TH1: Phương trình (3) có nghiệm t1 < < t2 Û P < Û m2 - m< Û 0< m< ïìï D > ï TH2: Phương trình (3) có nghiệm t1 < = t2 Û ïí P = Û ïï ïïỵ S < ïìï 1- m> ïíï m2 - m= Û m= ïï ïïỵ m- 1< ïì D = Û TH3: Phương trình (3) có nghiệm £ t1 = t2 Û ïí ïỵï S ³ ïìï 1- m= Û m= í ïỵï m- 1³ ù Kết luận: Với mỴ é ë0;1û phương trình (1) có nghiệm Bài 4.130: Cho phương trình x2 - m x2 + 1+ 3m+ = 0( 1) a) Tìm m để phương trình (1) có nghiệm b) Tìm m để phương trình (1) có nghiệm phân biệt c) Tìm m để phương trình (1) có nghiệm Lời giải: Bài 4.130 ĐK x Ỵ R Đặt t = x2 + 1- ( t ³ 0) suy x2 = ( t + 1) - 1, thay vào phương trình (1) ta phương trình: t - ( m- 2) t + 3m+ = ( 2) a) Để phương trình (1) có nghiệm phương trình (2) có nghiệm t ³ TH1: Phương trình (2) có nghiệm t1 £ £ t2 Û P £ Û 3m+ £ Û m£ - http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải 54 http://dethithpt.c om Website chuyên đề thi, tài liệu file word TH2: Phương trình (2) có nghiệm ïìï D ³ ï £ t1 £ t2 Û ïí P ³ Û ïï ïïỵ S ³ ïìï m2 - 16m- ³ ïíï 3m+ ³ Û m³ 8+ 68 ïï ïïỵ m- ³ ỉ - 2ù - ¥ ; úÈ é Kt lun: vi mẻ ỗ ỗ ờ8+ 68;+Ơ ỗ 3ỳ è û ë phân biệt ) phương trình (1) có hai nghiệm b) Để phương trình (1) có nghiệm phân biệt phương trình (2) có nghiệm thỏa: ìï D > ïï < t1 < t2 Û ïí P > Û ïï ïïỵ S > ( ìï m2 - 16m- 4> ï ïíï 3m+ 2> Û m> 8+ 68 ïï ïïỵ m- 2> Kt lun: Vi mẻ 8+ 68;+Ơ ) phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt c) Để pt (1) có nghiệm ta xét trường hợp sau: TH1: Phương trình (2) có nghiệm ìï D > ïï t1 < = t2 Û ïí P = Û ïï ïïỵ S < ïìï m2 - 16m- 4> - ïíï 3m+ = Û m= ïï ïïỵ m- 2< ìï D = Û TH2: Phương trình (2) có nghiệm = t1 = t2 Û ïí ïỵï S = nghiệm) Kết luận: với m= ì ïíï m - 16m- = (vơ ïï m- = ỵ - pt (1) có nghiệm http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải 55 ... liệu file word PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ BẬC HAI  DẠNG TỐN 1: PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH CHỨA ẨN TRONG DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI Phương pháp giải Để giải phương trình, bất phương. .. nghiệm bất phương trình +) Với x> 3: ta có Bất phương trình Û x2 - £ x + Û x2 - £ ( x + 3) Û x ³ - 13 Kết hợp với điều kiện x> ta có tập nghiệm bất phương trình S = ( 3;+¥ ) +) Với x< Bất phương trình. .. PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN Phương pháp giải Để giải phương trình, bất phương trình chứa ẩn dấu mục đích phải khử thức Sau số phương pháp thường dùng + Biến đổi tương đương( Bình phương