GV TRẦN QUỐC NGHĨA Phần CÔNG THỨC LƯNG GIÁC sin I Giá trị lượng giác góc (cung) lượng giác Định nghĩa giá trị lượng giác Cho  OA, OM    Giả sử M  x; y   cos   x  OH  sin   y  OK B K tang Tóm tắt lí thuyết T S M cotang sin  �  �  AT �  �  k � cos � � cosin  co s  co t    BS  � k     H A O sin  Nhận xét:  a, –1 �cos �1 ;  –1 �sin �1   tan  xác định  �  k , k ��  cot  xác định  �k , k �� 2 Dấu giá trị lượng giác “Nhất cả, nhị sin, tam tan, tứ cos” sin Góc (I) (II) (III) (IV) HSLG (II) (I) sin + + – –  tan   cos tan cot Một số lưu ý: + + + – – – – + + + – – (III) (IV) cos  180 � � (rad ) 1( rad )  � � ① Quan hệ độ rađian:1� 180 � � � 45� ② Với  �3,14 1��0,0175  rad  ,  rad  �57 17� ③ Độ dài l cung tròn có số đo  (rad), bán kính R l  R � ④ Số đo cung lượng giác có điểm đầu A , điểm cuối B : sđ AB    k 2, k �� ⑤ Mỗi cung lượng giác CD ứng với góc lượng giác  OC , OD  ngược lại II Cung liên kết “Cos đối, sin bù, phụ chéo, khác  tan”  Cung đối nhau:    Cung k 2  Cung bù:  –  sin(– )  – sin  sin(  k 2 )  sin  sin(   )  sin  cos(– )  cos  cos(  k 2 )  cos  cos(   )   cos  tan(– )  – tan  tan(  k 2 )  tan  tan(   )   tan  cot(– )  – cot  cot(  k 2 )  cot  cot(   )   cot     Cung khác  :      Cung :  Cung phụ    : 2 � � � � sin(   )  – sin  sin �   � cos  sin �   � cos  �2 � �2 �  � � � � cos(   )  – cos  cos �   �  sin  cos �   � sin  2 � � � � � � � � tan(   )  tan  tan �   �  cot  tan �   � cot  �2 � �2 � � � � � cot(   )  cot  cot �   �  tan  cot �   � tan  �2 � �2 � III Các giá trị lượng giác số góc (cung) đặc biệt � Độ 0� 30� 45� 60� 90� 120� 135� 150� 180� Chuyên đề LƯỢNG GIÁC Rad sin cos tan cot ||  3  2 2  3 2  2 3  3 2  ||  –1 3  3 –1 5  3   –1 ||  IV.Công thức lượng giác:  Hệ thức bản: 1) 3) tan x  sin x cos x 2) tan x.cot x  sin x  cos x  cos x sin x  Công thức cộng: 5)  tan x  cos x 6)  cot x  sin x 4) cot x  7) sin  a  b   sin a.cos b  cos a.sin b 8) sin  a – b   sin a.cos b – cos a.sin b 9) cos  a  b   cos a.cos b – sin a.sin b 10) cos  a – b   cos a.cos b  sin a.sin b 11) tan(a  b)  tan a  tan b  tan a.tan b 12) tan(a  b)  tan a  tan b  tan a.tan b  Công thức nhân hai: 15) tan 2a  13) sin 2a  2sin a.cos a tan a  tan a 16) cot 2a  cot a  2cot a 14) cos 2a  cos a – sin a  2cos a –  – 2sin a  cos a – sin a   cos x  sin x   cos x sin x   Công thức nhân ba: (chứng minh trước dùng) 17) sin 3a  3sin a – 4sin a 19) tan 3a  3tan a  tan a  3tan a 18) cos3a  4cos3 x – 3cos a 20) cot 3a  3cot a  cot a  3cot a  Công thức hạ bậc: 21) sin a   cos 2a 22) cos a   cos 2a 23) tan a   cos 2a  cos 2a 24) co t a   cos 2a  cos 2a GV TRẦN QUỐC NGHĨA  Cơng thức biến đổi tích thành tổng: 1 25) sin a.cos b   sin(a  b)  sin( a  b)  26) cos a.sin b   sin(a  b)  sin( a  b)  2 1 27) cos a.cos b   cos(a  b)  cos( a  b)  28) sin a.sin b    cos(a  b)  cos( a  b)  2  Công thức biến đổi tổng thành tích: (Các cơng thức 33–36 phải chứng minh) ab a b ab a b cos sin 29) sin a  sin b  2sin 30) sin a  sin b  2cos 2 2 ab a b ab a b cos sin 31) cos a  cos b  2cos 32) cos a  cos b  2sin 2 2 sin(a  b) sin(a  b) tan a  tan b  33) tan a  tan b  34) cos a.cos b cos a.cos b sin(b  a ) sin(b  a ) 35) cot a  cot b  36) cot a  cot b  sin a.sin b sin a.sin b  Một số hệ quả: 1 37) sin a cos a  sin 2a 38) sin a cos a  sin 2a ka ka 39)  cos ka  2cos 40)  cos ka  2sin 2 2 ka � � ka 41)  sin ka  � sin  cos � � � ka � � ka 42)  sin ka  � sin  cos � � � � � 43) sin x  cos x  sin �x  � � 4� � � 44) sin x  cosx  sin �x  � � 4� � � 45) cos x  sin x  cos �x  � � 4� � � 46) cos x  sin x  cos �x  � � 4� 47) sin x  cos4 x   2sin x cos2 x   sin 2 x   cos x 4 48) sin x  cos x   3sin x cos x   sin 2 x   cos x 8 Phương pháp giải tốn Vấn đề GĨC VÀ CUNG LƯỢNG GIÁC Dạng Mối liên hệ độ rad  A PHƯƠNG PHÁP GIẢI  Dùng công thức a  Trong : 180.  a    180 a : số đo độ góc cung  : số đo rad góc cung  Có thể dùng máy tính bỏ túi để đổi đơn vị đo nhanh B CÁC VÍ DỤ Chuyên đề LƯỢNG GIÁC VD 1.1 0 0 0 45� Đổi số đo cung sau sang radian: 54�, 30� , 30 , 45 ,  60 , 90 ,  120 ,  210 VD 1.2 Đổi số đo cung sau sang độ:  3 2 5 4 5  4 ; ; ; ; ; ; ; 5,34 ; 2,34 4 18 C BÀI TẬP ÁP DỤNG 1.1 Đổi số đo góc sau radian: 30� a) 15� b) 12� 1.2 Đổi số đo cung sau độ, phút, giây: 5 3 a) b) c) 16 Dạng 30� c) 22� 52� d) 71� d) Các tốn liên quan đến góc (cung) lượng giác  A PHƯƠNG PHÁP GIẢI  Số đo tổng quát cung lượng giác có dạng:   k 2 , ( k ��)  Cho góc có số đo  tùy ý ta ln đưa dạng   k 2 , (k ��) Trong    � Khi  gọi số đo hình học góc  Nếu cho góc (cung) có số đo  , muốn xem có phải số đo góc (cung) có số đo tổng qt hay khơng, ta giải phương trình     k 2 tìm k tập �  Nếu hai góc (cung) lượng giác x1  1  m2 x2    n 2 biểu diễn đường tròn lượng giác có điểm cuối trùng x1  x2  k 2 có nghiệm với m, n, k �� B CÁC VÍ DỤ VD 1.3 Tìm số đo hình học góc: a) x  10 b) y  23450 GV TRẦN QUỐC NGHĨA Trên đường tròn lượng giác với điểm A  1;  gốc, xác định vị trí tia OM góc lượng 7 8 0 ,  giác    OA, OM  trường hợp sau:   750 ,   120 ,   VD 1.4 VD 1.5 Cho điểm B đường tròn lượng giác với gốc điểm A  1;  cho  OA, OB   60� Tìm thêm góc lượng giác  OA, OB  có giá trị dương góc lượng giác  OA, OB  có giá trị âm VD 1.6 Trên đường tròn lượng giác có điểm gốc A cung lượng giác có số đo 37 m , có điểm cuối trùng hay không ? VD 1.7 Cho x   7  k (k ��) Tìm góc (cung) x thỏa  x   12 C BÀI TẬP ÁP DỤNG 1.3 1.4 1.5   kp  (k ��) 63 a) Tính k để sđ  Ox, Oy    65 b) Giá trị  có phải số đo  Ox, Oy  không ? Tại ? Cho sđ  Ox, Oy   20�  k 360� với k �� Cho sđ  Ox, Oy   33� 20�và –686� 40� a) Định k để sđ  Ox, Oy  1113� b) Giá trị 946 40’ có phải sđ (Ox, Oy) không ? Tại ?   k 2 (k ��) Tìm góc (cung) x thỏa điều kiện sau:    a)  �x � b) �x �4 c) 2  x  Cho x  Chuyên đề LƯỢNG GIÁC Dạng Dựng cung lượng giác đường tròn LG  A PHƯƠNG PHÁP GIẢI  Biểu diễn cung lượng giác � đường tròn lượng giác, tức xác định điểm AM cuối M0, M1, M2, … cung đường tròn lượng giác Ta lập bảng: k … –3 –2 –1 … M– M– M– � … M0 M1 M2 M3 M4 … AM �  Chú ý: Cung AM    k 2 biểu diễn n điểm n B CÁC VÍ DỤ � VD 1.8 Trên đường tròn lượng giác có gốc A Hãy xác định điểm M biết cung lượng giác AM có số đo: k ; VD 1.9 k k  2 ( k ��) ; ; k 3 Biểu diễn cung lượng giác có số đo đường tròn lượng giác, từ tìm cơng thức số đo chung cung đó:     k ; l ;  m ( k , l , m ��) VD 1.10 Tìm cơng thức tính số đo cung lượng giác, biết số đo chúng thỏa mãn điều   �  �  x k �x   k � (k , m ��) b) 3 (k , m ��) kiện sau, với: a) � � � x �m �x �m � GV TRẦN QUỐC NGHĨA C BÀI TẬP ÁP DỤNG 1.6 Trên đường tròn lượng giác gốc A , dựng điểm cuối cung lượng giác có số đo (k ��) :  2 k �   d) AM   k � � b) AM    k a) AM  1.7  � c) AM  60� k120� � � f) AM  e) AM  –150� k 90� Trên đường tròn lượng giác, biểu diễn cung có số đo:   k 3 5 11 ; –60�; –315�;  ; 4 Tìm cung trùng nhau, ? �  2 Trên đường tròn định hướng, cho ba điểm A , M , N cho sđ AM  , sđ AN  � 1.8 � Gọi P điểm thuộc đường tròn để tam giác MNP tam giác cân P Hãy tìm sđ AP 1.9 Tìm cơng thức tính số đo cung lượng giác, biết số đo chúng thỏa mãn điều kiện sau, với (k , m ��) : x  k � � b)  � xm � x  k � � a)  � x   m � Dạng �x  k � c) �  xm � � Độ dài cung tròn  A PHƯƠNG PHÁP GIẢI  Dùng cơng thức l  R. R Trong : R: bán kính đường tròn l  α: số đo rad cung l: độ dài cung  Chú ý: Áp dụng vào tốn có liên qua đến thực tế B CÁC VÍ DỤ VD 1.11 Trên đường tròn có bán kính 20cm , tìm độ dài cung có số đo sau: 15�; 25� ; 3 ; 2, 45 (tính xác đến hàng phần ngàn) VD 1.12 Hai người số kinh tuyến, 25�vĩ nam 10�vĩ nam Tính khoảng cách theo đường chim bay hai người Biết bán kính Trái Đất 6378 km Chuyên đề LƯỢNG GIÁC C BÀI TẬP ÁP DỤNG 1.10 Bánh xe người xe đạp quay 11 vòng giây a) Tính góc (độ rad) mà bánh xe quay giây b) Tính độ dài quãng đường mà người xe phút, biết đường kính bánh xe đạp 680mm 1.11 Một xe ơtơ biết bánh xe có đường kính 120 cm Nếu xe chạy 100 km bánh xe quay vòng ? 1.12 Một đòng hồ có kim dài 2,1m ; kim phút dài 2,5m a) Hỏi sau 45 phút mũi kim giờ, mũi kim phút vạch nên cung tròn có độ dài mét? b) Giả sử hai kim xuất phát vị trí tia Ox số 12 Hỏi sau hai kim trùng lần 1? trùng lần ? Dạng Tính giá trị lượng giác cung biết giá trị lượng giác  A PHƯƠNG PHÁP GIẢI  Sử dụng hệ thức nêu phần tóm tắt lí thuyết  Chú ý sử dụng bảng dấu hàm số lượng giác để loại giá trị khơng hợp lí B CÁC VÍ DỤ � �    VD 1.13 Cho sin    , � 3 � � Tính cos  , tan  cot  � VD 1.14 Cho tan   2 Tính: a) A  2sin   3cos  3sin   cos  b) B  sin   sin  cos   cos   4sin  GV TRẦN QUỐC NGHĨA VD 1.15 Cho sin   cos   m      Tính: a) A  sin   cos  b) B  sin   cos  C BÀI TẬP ÁP DỤNG Tính giá trị lượng giác cung  biết: 1.13 a) sin       e) sin   0,8  a     g) cos       –