Chuyên đề 14: KHỐI TRÒN XOAY 1.KIẾN THỨC TRỌNG TÂM Mặt cầu khối hình cầu Cho mặt cầu S(O;R) xác định biết tâm bán kính R biết đường kính AB - Diện tích mặt cầu: S = 4π R - Thể tích khối cầu (hình cầu): V = π R3 Vị trí tương đối mặt cầu mặt phẳng: Cho mặt cầu S(O;R) mp(P) Gọi OH=d khoảng cách từ O đến (P) thì: - Nếu d < R: mp(P) cắt mặt cầu theo đường tròn giao tuyến có tâm H, bán kính r = R − d Đặc biệt d=0 mặt phẳng (P) qua tâm O mặt cầu, mặt phẳng gọi mặt phẳng kính; giao tuyến mặt phẳng kính với mặt cầu đường trịn có bán kính R, gọi đường trịn lớn mặt cầu - Nếu d = R, mp(P) mặt cầu S(O;R) có điểm chung H Khi mặt phẳng (P) tiếp xúc với mặt cầu điểm H mp(P) tiếp diện mặt cầu tiếp điểm H - Nếu d > R: mp(P) khơng có điểm chung với mặt cầu Vị trí tương đối mặt cầu đường thẳng: Cho mặt cầu S(O;R) đường thẳng ∆ Gọi H hình chiếu O ∆ d = OH khoảng cách từ O tới ∆ - Nếu d < R: đường thẳng ∆ cắt mặt cầu hai điểm - Nếu d = R, đường thẳng ∆ mặt cầu S(O;R) có điểm chung H Khi đó, đường thẳng ∆ tiếp xúc với mặt cầu điểm H ∆ tiếp tuyến mặt cầu điểm H Trang http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải - Nếu d > R: Đường thẳng khơng có điểm chung vơi mặt cầu Định lý: Nếu điểm A nằm mặt cầu S(O;R) qua A có vơ số tiếp tuyến với mặt cầu Khi a) Độ dài đoạn thẳng nối A với tiếp điểm b) Tập hợp tiếp điểm đường tròn nằm mặt cầu Phương tích: Cho mặt cầu S(O;R) điểm M Qua điểm M, vẽ cát tuyến cắt mặt cầu A, B C, D uuur uuur uuuu r uuuu r MA.MB = MC.MD = MO − R Mặt cầu ngoại tiếp khối đa diện: Mặt cầu qua đỉnh hình đa diện gọi mặt cầu ngoại tiếp hình đa diện gọi mặt cầu ngoại tiếp hình đa diện hình đa diện gọi nội tiếp mặt cầu - Điều kiện cần đủ để có hình chóp có mặt cầu ngoại tiếp đáy hình chóp có đường trịn ngoại tiếp - Điều kiện cần đủ để có hình lăng trụ có mặt cầu ngoại tiếp lăng trụ đứng đáy hình lăng trụ có đường trịn ngoại tiếp Xác định tâm O mặt cầu ngoại tiếp - Hình chóp S A1 A2 An có đáy đa giác nội tiếp đường tròn (C), gọi ∆ trục đường trịn gọi O giao điểm ∆ với mặt phẳng trung trực cạnh bên, chẳng hạn SA1 OS=O A1 = OA2 = OAn nên O tâm mặt cầu ngoại tiếp - Hình lăng trụ đứng có đáy đa giác nội tiếp đường tròn Gọi I, I’ hai tâm đường trịn ngoại tiếp đáy II’ trục hai dường tròn Gọi O trung điểm II’ O cách đỉnh nên O tâm mặt cầu ngoại tiếp Mặt cầu nội tiếp hình đa diện: Mặt cầu tiếp xúc với mặt hình đa diện gọi mặt cầu nội tiếp hình đa diện hình đa diện gọi ngoại tiếp mặt cầu Xác dịnh tâm I mặt cầu nội tiếp: Trang http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải Tìm điểm I cách tất mặt khối đa diện Với mặt song song I thuộc mặt phẳng song song cách đều, với mặt phẵng cắt I thuộc mặt phân giác (chứa giao tuyến qua đường phân giác góc tạo đường thẳng thuộc mặt phẳng, vuông góc với giao tuyến) Mặt trụ, hình trụ, khối trụ Mặt trụ tập hợp tất điểm M cách đường thẳng A cố định khoảng R không đổi Hình trụ, khối trụ: - Trục OO' Đường sinh MM' = l - Bán kính đáy R chiều cao h h = l =O O', R = OM - Diện tích xung quanh: S xq = 2π Rl - Thể tích khối trụ: V = π R h - Thiết diện song song với trục hình trụ hình chữ nhật, tạo bới đường sinh song song Đặc biệt, thiết diện qua trục hình trụ hình chữ nhật có kích thước đường kính đáy chiều cao hình trụ Mặt nón, hình nón, khối nón Mặt nón sinh quay đường thẳng l cắt ∆ cố định hợp với ∆ A góc α khơng đổi, quanh ∆ Mặt nón có trục ∆ góc đỉnh 2α Hình nón, khối nón: - Trục SO Đường sinh SM = l Góc đỉnh α - Bán kính đáy R chiều cao h thì: l = h + R - Diện tích xung quanh: - V = π R 2h Thể tích khối nón: - Thiết diện cắt mặt phẳng qua đỉnh hình nón cắt mặt nón theo S xq = π Rl đường sinh SA, SB tạo thành tam giác cân SAB Đặc biệt, thiết diện qua trục hình nón tam giác cân SAB với SA, SB đường sinh AB đường kính đáy Trang http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải Chú ý: Phương pháp đường sinh CÁC BÀI TOÁN Bài tốn 14.1: Tìm tập hợp tâm mặt cầu a) Đi qua ba điểm không thẳng hàng A, B, C cho trước b) Tiếp xúc với ba cạnh tam giác ABC cho trước Hướng dẫn giải a) I tâm mặt cầu qua ba điểm phân biệt A, B, C cho trước IA = IB = IC Vậy tập hợp điểm I trục đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC b) Mặt cầu tâm O tiếp xúc với ba cạnh AB, BC, CA tam giác ABC điểm I, J, K OI ⊥ AB, OJ ⊥ BC, OK ⊥ CA, OI = OJ = OK Gọi O' hình chiếu vng góc điểm O mp(ABC) điều kiện là: O'l ⊥ AB, O'J ⊥ BC, O'K ⊥ CA, OT = O'J = O'K, hay O' tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC Vậy tập hợp tâm O trục đường tròn nội tiếp tam giác ABC Bài tốn 14 2: Tìm tập hợp điểm M cho tổng bình phương khoảng cách từ M tới đỉnh hình hộp cho trước k2 cho trước Hướng dẫn giải Giả sử ba kích thước hình hộp AB = a, BC = b, CC' = c thì: AC '2 + BD '2 + CA '2 + DB '2 = 4(a + b + c ) Gọi O tâm hình hộp, ta có: MO = MO = MO = MO = MA2 + MC '2 AC '2 − 2 MB + MD ' BD '2 − 2 MC + MA ' CA '2 − 2 MD + MB ' DB '2 − Trang http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải Suy ( MA2 + MB + MC + MD2 + MA '2 + MB'2 + MC '2 + MD '2 ) − ( a2 + b2 + c2 ) Do mà MA2 + MB + MC + + MD + MA '2 + MB '2 + MC '2 + MD '2 = k k2 k − 2(a + b2 + c ) ⇔ 4MO = − ( a + b + c ) ⇔ MO = =k' MO = Vậy: Nếu k’ > tập hợp điểm M mặt cầu tâm o bán kính k − 2(a + b + c ) R= Nếu k’ = điểm M trùng với o Nếu k’ 2r h − 2r h ( h − 4r ) V '(h) = π r , V '(h) = ⇔ h = 4r ( h − 2r ) Trang 31 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải Lập BBT maxV = V(4r): chiều cao h = 4r Bài tốn 14 45: Cho hình nón trịn xoay (H) đỉnh S, đáy hình trịn bán kính R, chiều cao h Gọi (H') hình trụ trịn xoay có đáy hình trịn bán kính r (0 < r < R) nội tiếp (H) a) Tính tỉ số thể tích (H') (H) b) Xác định r để (H') tích lớn Hường dẫn giải a) Gọi I I' giao điểm cùa đường cao hình nón (H) hai đáy hình trụ (H’) Khi r SI ' R − r h − SI ' II ' h( R − r ) = = = Do Nên II ' = R h R h h R ( H ') = π r Ta có V( H ) = π R hV Do V( H ') V( H ) h( R − r) R 3r ( R − r ) = R3 b) Thể tích (H’) lớn r ( R − r ) lớn Xét hàm số f (r ) = r ( R − r ) với 0