 BÀI 02 MẶT TRỤ - HÌNH TRỤ - KHỐI TRỤ I MẶT TRỤ TRÒN XOAY Cho hai đường thẳng l D cho l song song với D d[ l , D ] = R Khi ta quay l quanh trục D góc 3600 l tạo thành mặt trụ tròn xoay ( T ) (hoặc đơn giản mặt trụ) ● D gọi trục mặt trụ ( T ) ● l gọi đường sinh mặt trụ ( T ) ● R gọi bán kính mặt trụ ( T ) R II HÌNH TRỤ VÀ KHỐI TRỤ TRỊN XOAY Định nghĩa hình trụ Cắt mặt trụ ( T ) trục D , bán kính R hai mặt phẳng ( P ) ( P ') vng góc với D , ta giao tuyến hai đường tròn ( C ) ( C ') ●Phần mặt trụ ( T ) nằm ( P ) ( P ') với hai hình tròn xác định ( C ) ( C ') gọi hình trụ ● Hai đường tròn ( C ) ( C ') gọi hai đường tròn đáy hình trụ ● OO ' gọi trục hình trụ ● Độ dài OO ' gọi chiều cao hình trụ ● Phần hai đáy gọi mặt xung quanh hình trụ O' M' ● Với điểm M Ỵ ( C ) , có điểm M ' Ỵ ( C ') cho MM ' POO ' Các đoạn thẳng MM ' gọi đường sinh hình trụ Nhận xét O Các đuờng sinh hình trụ với trục hình trụ M Các thiết diện qua trục hình trụ hình chữ nhật Thiết diện vng góc vơi trục hình trụ hình tròn hình tròn đáy Nếu điểm M di động khơng gian có hình chiếu vng góc M ' lên mặt phẳng ( a ) M ' di động môt đường tròn ( C ) cố định M thuộc mặt trụ cố định ( T ) chứa ( C ) có trục vng góc ( a ) Khối trụ Định nghĩa Hình trụ với phần bên gọi khối trụ III DIỆN TÍCH HÌNH TRỤ VÀ THỂ TÍCH KHỐI TRỤ Diện tích xung quanh hình trụ có bán kính R chiều cao h là: Sxq = 2pRh Diện tích tồn phần hình trụ tổng diện tích xung quanh hình trụ với diện tích hai đáy Thể tích khối trụ có bán kính R chiều cao h là: V = pR 2h CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM Câu 31 Xét mệnh đề (I) Tập hợp đường thẳng d thay đổi luôn song song cách đường thẳng D cố định khoảng không đổi mặt trụ (II) Hai điểm A, B cố định Tập hợp điểm M không gian mà diện tích tam giác MAB khơng đổi mặt trụ Trong mệnh đề trên, mệnh đề đúng? A Chỉ (I) B Chỉ (II) C Cả (I) (II) D Khơng có mệnh đề Câu 32 Mặt phẳng qua trục hình trụ, cắt hình trụ theo thiết diện hình vng cạnh a Thể tích khối trụ bằng: A pa3 B pa3 C pa3 D pa3 Câu 33 Cho hình trụ có bán kính đáy R có chiều cao R Diện tích xung quanh diện tích tồn phần hình có giá trị là: ( ) A +1 pR 3pR ( ) B 3pR +1 pR C 3pR 2pR D 3pR 3pR + R Câu 34 Mặt phẳng qua trục hình trụ, cắt hình trụ theo thiết diện hình vng cạnh có cạnh bằn 2R Diện tích tồn phần khối trụ bằng: A 4pR B 6pR C 8pR D 2pR Câu 35 Một hình trụ có bán kính đáy R = 70cm , chiều cao hình trụ h= 20cm Một hình vng có đỉnh nằm hai đường tròn đáy cho có cạnh khơng song song khơng vng góc với trục hình trụ Khi cạnh hình vng bao nhiêu? A 80cm B 100cm C 100 2cm D 140cm Câu 36 Bán kính đáy hình trụ 4cm , chiều cao 6cm Độ dài đường chéo thiết diện qua trục bằng: A 10cm B 6cm C 5cm D 8cm Câu 37 Cho hình trụ có bán kính đáy R có chiều cao R Hai điểm A, B nằm hai đường tròn đáy cho góc AB trục hình trụ 300 Khoảng cách AB trục hình trụ bằng: R R D Câu 38 Cho hình trụ có đáy hai đường tròn tâm O O ' , bán kính chiều cao a Trên đường tròn tâm O lấy điểm A , đường tròn tâm O ' lấy điểm B cho AB = 2a Thể tích khối tứ diện OO ' AB bằng: A R A 3a3 12 B R B 3a3 C C 3a3 D 3a3 Câu 39 Cho hình trụ có hai đáy hai hình tròn ( O) ( O ') , thiết diện qua trục hình trụ hình vng Gọi A, B hai điểm nằm hai đường tròn ( O) ( O ') Biết AB = 2a khoảng cách hai đường thẳng a Bán kính đáy bằng: AB OO ' a 14 a 14 a 14 a 14 B C D Câu 40 (ĐỀ MINH HỌA QUỐC GIA NĂM 2017) Trong khơng gian, cho hình chữ nhật ABCD có AB = AD = Gọi M , N trung điểm AD BC Quay hình chữ nhật xung quanh trục MN , ta hình trụ Diện tích tồn phần hình trụ bằng: A 2p B 3p C 4p D 8p a a Câu 41 Một nhơm hình chữ nhật có hai kích thước 2a ( độ dài có sẵn) Người ta nhơm thành hình trụ Nếu hình trụ tạo thành có chu vi đáy 2a thể tích bằng: A a3 a3 B pa3 C D 2pa3 p 2p Câu 42 Một nhơm hình chữ nhật có hai kích thước a 2a ( a độ dài có sẵn) Người ta nhơm thành hình trụ Nếu hình trụ tạo thành có chiều dài đường sinh 2a bán kính đáy bằng: A a a a B C D 2pa p 2p Câu 43 (ĐỀ MINH HỌA QUỐC GIA NĂM 2017) Từ tơn hình chữ nhật kích thước 50cm´ 240cm , người ta làm thùng đựng nước hình trụ có chiều cao 50cm, theo hai cách sau (xem hình minh họa sau đây): A ● Cách 1: Gò tôn ban đầu thành mặt xung quanh thùng ● Cách Cắt tôn ban đầu thành hai tơn nhau, gò thành mặt xung quanh thùng Kí hiệu V1 thể tích thùng gò theo cách V2 thể tích thùng gò theo cách Khi tỉ số V1 bằng: V2 B C D Câu 44 Một hộp sữa hình trụ tích V (khơng đổi) làm từ tơn có diện tích đủ lớn Nếu hộp sữa kín đáy để tốn vật liệu nhất, hệ thức bán kính đáy R đường cao h bằng: A A h = R B h = 2R C h = 3R D h = 2R Câu 45 Cho hình trụ có hai đáy hai hình tròn ( O) ( O ') , chiều cao 2R bán kính đáy R Một mặt phẳng ( a ) qua trung điểm OO ' tọa với OO ' góc 30° Hỏi ( a ) cắt đường tròn đáy theo dây cung có độ dài bao nhiêu? A 2R B 4R 3 C 2R D 2R HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT Câu 31 Hiển nhiên (I) Diện tích tam giác MAB không đổi khoảng cách từ M đến đường thẳng AB không đổi (giả sử R ) Vậy tập hợp điểm M mặt trụ bán kính R trục AB Vì Mệnh đề (II) Chọn C Câu 32 Do thiết diện qua trục hình trụ nên ta có h = a a pa3 Bán kính đáy R = Do thể tích khối trụ V = R 2p.h = (đvtt) Chọn D Câu 33 Diện tích xung quanh hình trụ: Sxq = 2pR.R = 3pR (đvdt) Diện tích tồn phần hình trụ: ( ) Stp = Sxq + 2.Sday = 3pR + 2( pR ) = +1 pR (đvdt) Chọn B Câu 34 Do thiết diện qua trục hình trụ nên ta có h = 2R Diện tích tồn phần là: Stp = 2pR ( R + h) = 6pR (đvdt) Chọn B Câu 35 Xét hình vng ABCD có AD khơng song song khơng vng góc với trục OO ' hình trụ Dựng đường sinh AA ' , ta có ìïï CD ^ AA ' Þ CD ^ ( AA ' D ) Þ CD ^ A ' D í ïïỵ CD ^ AD B O A Suy A 'C đường kính đáy nên A 'C = 2R = 140cm Xét tam giác vuông AA 'C , ta có C O' AC = AA '2 + A 'C = 100 2cm A' Suy cạnh hình vng 100cm Chọn B D Câu 36 Thiết diện qua trục hình trụ hình chữ nhật có hai cạnh đường kính đáy chiều cao hình trụ Vậy hai cạnh hình chữ nhật 8cm 6cm Do độ đài đường chéo: 82 + 62 = 10cm Chọn A Câu 37 Từ hình vẽ kết hợp với giả thiết, ta có OA = O ' B = R Gọi AA ' đường sinh hình trụ · O ' A ' = R, AA ' = R BAA ' = 300 A O Vì OO ' P( ABA ') nên ù é ù é ù dé ëOO ',( AB) û= d ëOO ',( ABA ') û= d ëO ',( ABA ') û Gọi H trung điểm A ' B , suy O ' H ^ A ' Bïü ïý Þ O ' H ^ ( ABA ') nên d éO ',( ABA ') ù= O ' H ë ỷ O ' H ^ AA 'ùùỵ A' O' H Tam giác ABA ' vuông A ' nên BA ' = AA 'tan300 = R B R Suy tam giác A ' BO ' có cạnh R nên O ' H = Chọn C Câu 38 Kẻ đường sinh AA ' , gọi D điểm đối xứng với A ' qua tâm O ' H hình chiếu B A ' D O' H D A' Ta có BH ^ ( AOO ' A ') nên VOO ' AB = SD AOO '.BH B Trong tam giác vng A ' AB có A ' B = AB2 - AA '2 = 3a Trong tam giác vng A ' BD có BD = A ' D - A ' B2 = a 3a Do suy tam giác BO ' D nên BH = 1ỉ 2ư a 3a3 Vy VOO ' AB = ỗ (vtt) Chn A aữ = ữ ỗ ữ ố2 ứ 3ỗ 12 A Câu 39 Dựng đường sinh BB ' , gọi I trung điểm AB ' , ta có ìïï OI ^ AB ' Þ OI ^ ( ABB ') í ïïỵ OI ^ BB ' O a Suy d[ AB,OO '] = d éOO ',( ABB ') ù= d éO,( ABB ') ù= OI = ë û ë û Gọi bán kính đáy hình trụ R Vì thiết diện qua trục hình trụ hình vng nên OO ' = BB ' = 2R Trong tam giác vuông AB ' B , ta có AB '2 = AB2 - BB2 = 4a2 - 4R Trong tam giác vng OIB ' , ta có 2 ỉ a 3ử AB 'ử ữ +ổ ữ ỗ ữ ỗ OB ' = OI + IB ' R = ỗ ữ ỗ ữ ỗ ữ ữ ỗ ố ứ ç ø è 2 B O' B' O I Suy AB '2 = 4R - 3a2 Từ ta có 4a2 - 4R = 4R - 3a2 Þ R = A a 14 Chọn A Câu 40 Theo giả thiết ta hình trụ có chiều cao h = AB = , bán kính đáy AD R= =1 D M A Do diện tích tồn phần: Stp = 2pRh+ 2pR = 4p Chọn C Câu 41 Gọi bán kính đáy R B C N Hình trụ có chu vi đáy 2a nên ta có 2pR = 2a Û R = a p Suy hình trụ có đường cao h = a ỉ a3 ÷ Vậy thê tích khối trụ V = pR 2h = pỗ (vtt) Chn A a = ữ ỗ ữ ỗ ốp ứ p Cõu 42 Gọi bán kính đáy R Từ giả thiết suy h = 2a chu vi đáy a a Chọn C 2p Câu 43 Công thức thể tích khối trụ V = pR 2h Do 2pR = a Û R = ● Ở cách 1, suy h= 50cm 2pR1 = 240 Û R1 = ỉ 120 120ư ÷ Do ú V1 = p.ỗ ữ ỗ ữ.50 ỗ ốp ứ p (đvtt) ● Ở cách 2, suy thùng có h= 50cm 2pR2 = 120 Û R2 = ộ ổ ự 60ử ỳ ữ ỗ V = ´ p 50 ÷ Do ỗ ữ ỳ (vtt) ỗ ốp ứ ỳ ë û 60 p Suy V1 = Chọn C V2 V pR Hộp sữa kín đáy nên diện tích tơn cần dùng là: 2V Stp = Sxq + Sday = 2pRh+ pR = + pR R 2V f ( R ) đạt R = h Xét hàm f ( R ) = + pR ( 0;+¥ ) , ta (min 0;+¥ ) R Chọn A Câu 45 Hình vẽ, kết hợp với giả thiết ta có: O' · OA = OB = R , OO ' = 2R IMO = 300 Câu 44 Công thức tính thể tích V = pR 2h , suy h = Trong tam giác vuông MOI , ta có OI = MO.tan30 = R Trong tam giác vng AIO , ta có ỉR R ữ ỗ IA = OA - OI = R - ỗ ữ ữ= ữ ỗ ố 3ứ Suy AB = 2IA = M 2R Chọn C B I A O ...3 Khối trụ Định nghĩa Hình trụ với phần bên gọi khối trụ III DIỆN TÍCH HÌNH TRỤ VÀ THỂ TÍCH KHỐI TRỤ Diện tích xung quanh hình trụ có bán kính R chi u cao h là: Sxq = 2pRh Diện tích tồn phần hình. .. mệnh đề Câu 32 Mặt phẳng qua trục hình trụ, cắt hình trụ theo thiết diện hình vng cạnh a Thể tích khối trụ bằng: A pa3 B pa3 C pa3 D pa3 Câu 33 Cho hình trụ có bán kính đáy R có chi u cao R... Câu 37 Cho hình trụ có bán kính đáy R có chi u cao R Hai điểm A, B nằm hai đường tròn đáy cho góc AB trục hình trụ 300 Khoảng cách AB trục hình trụ bằng: R R D Câu 38 Cho hình trụ có đáy hai