http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word có lời giải – 0982.56.33.65 Chủ đề 11 GIỚI HẠN – LIÊN TỤC Vấn đề GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 11 – HK2 A - GIỚI HẠN HỮU HẠN  Giới hạn hữu hạn un = ⇔ un nhỏ số dương bé tùy ý, kể từ số hạng trở • nlim →+∞ = L ⇔ lim ( − L ) = • Dãy số ( un ) có giới hạn L nếu: nlim →+∞ n →+∞  Lưu ý: Ta viết gọn: lim un = 0, lim un = L  Giới hạn đặc biệt 1) lim =0 n 2) lim =0 n 3) lim =0 n 5) lim C = C , ∀C ∈ ¡ 6) lim q n = q < ) 8) lim q n = +∞ q > 9) lim n k = +∞, k ∈ ¥ * 4) un = ⇒ lim un = 7) lim = 0, k ∈ ¥ * nk  Định lí giới hạn • Nếu hai dãy số ( un ) ( ) có giới hạn ta có: 2) lim ( un ) = lim un lim 1) lim(un ± ) = lim un ± lim 3) lim un lim un = (Nếu lim ≠ ) lim 4) lim ( k un ) = k lim un , (k ∈ ¡ ) 5) lim | un |=| lim un | 6) lim k un = k lim un (nếu un ≥ ) (căn bậc chẵn) 7) lim k +1 un = k +1 lim un (căn bậc lẻ) 8) Nếu un ≤ lim = lim un = - Định lí kẹp giới hạn dãy số: Cho ba dãy số ( un ) , ( ) , ( wn ) L ∈ ¡ Nếu un ≤ ≤ wn , ∀n ∈ ¥ * lim un = lim wn = L ( ) có giới hạn lim = L • Nếu lim un = a lim = ±∞ lim un =0 1) Dãy số tăng bị chặn có giới hạn 2) Dãy số giảm bị chặn có giới hạn n  Chú ý: e = lim  1+ ÷ ≈ 2, 718281828459 , số vô tỉ  n  Tổng cấp số nhân lùi vơ hạn • Một cấp số nhân có cơng bội q với | q |< gọi cấp số nhân lùi vơ hạn u1 Ta có : S = u1 + u1q + u1q +… = (với | q |< ) 1− q B - GIỚI HẠN VÔ CỰC  Định nghĩa un = +∞ ⇔ un lớn số dương lớn tùy ý , kể từ số hạng trở • nlim →+∞ un = −∞ ⇔ un nhỏ số âm nhỏ tùy ý , kể từ số hạng trở • nlim →+∞ un = −∞ ⇔ lim ( −un ) = +∞ • nlim →+∞ n →+∞  Lưu ý: Ta viết gọn: lim un = ±∞  Định lí − Nế u lim un = +∞ lim =0 un http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word có lời giải – 0982.56.33.65 − Nếu lim un = 0, ( un ≠ 0, ∀n ∈ ¥ ) ⇔ lim =∞ un  Một vài qui tắc tìm giới hạn Qui tắc 1: Nếu lim un = ±∞ Qui tắc 2: Nếu lim un = ±∞ Qui tắc 3: Nếu lim un = L , lim = ±∞ , lim = L ≠ , lim = > lim ( un ) là: lim ( un ) là: < kể từ số hạng trở thì: lim un lim v n lim ( un v n ) +∞ +∞ −∞ −∞ lim un +∞ +∞ −∞ −∞ L + + − − +∞ −∞ +∞ −∞ +∞ −∞ −∞ +∞ Dấu lim ( un ) L + − + − +∞ −∞ −∞ +∞ Dấu lim + − + − un +∞ −∞ −∞ +∞ Dạng Dãy có giới hạn A PHƯƠNG PHÁP GIẢI • Dãy (un) có giới hạn số dương nhỏ tùy ý cho trước, số hạng dãy số, kể từ số hạng trở đi, có giá trị tuyệt đối nhỏ số dương Khi ta viết: lim(un ) = lim un = un → lim un = ⇔ ∀ε > 0, ∃n0 ∈ ¥ * : n > n0 ⇒ un < ε • Một số kết quả: (xem phần tóm tắt lý thuyết)  Chú ý: Sử dụng phương pháp quy nạp để chứng minh, đánh giá biểu thức lượng giá, nhân liên hợp thức, … B BÀI TẬP MẪU TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 11 – HK2 VD 1.1 Chứng minh dãy sau có giới hạn 0: a) un = n+3 (−1) n b) un = n+4 c) un = 3n b) un = dương (−1) n 2n c) un = n2 d) un = n c) un = (0,99) , nk k nguyên n d) un = ( −0,97) VD 1.2 Chứng minh dãy sau có giới hạn 0: a) un = n(n + 1) b) = (−1) n cos n n2 + VD 1.3 Tính giới hạn sau: a) un = sin n n+5 b) un = cos 3n n +1 c) un = (−1) n 3n + d) un = − sin 2n (1, 2) n VD 1.4 Tính: a) lim n + 2sin(n + 1) ( −2) n b) c) lim lim n3 n + 23 n 33n + ( ) n + − n d) lim ( n2 + − n ) http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word có lời giải – 0982.56.33.65 VD 1.5 Chứng minh dãy sau có giới hạn 0: a) un = n + − n b) = n3 + − n VD 1.6 Cho dãy số (un) với un = a) Chứng minh n 3n un +1 < với n un b) Chứng minh dãy ( un ) có giới hạn u , un +1 = un2 + n , n ≥ a) Chứng minh < un ≤ với n b) Tính lim un VD 1.7 Cho dãy số (un) với u1 = TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 11 – HK2 Dạng Khử dạng vơ định ∞ ∞ A PHƯƠNG PHÁP GIẢI • Đối với dãy un = a0 n m + a1n m −1 + + am , a0 ≠ 0, b0 ≠ chia tử lẫn mẫu phân thức b0 n k + b1n k −1 + + bk cho lũy thừa lớn n tử n m mẫu n k , việc đặt thừa số chung cho n m mẫu n k rút gọn, khử dạng vô định Kết quả: 0 m < k  a a lim un =  m = k (dấu +∞ −∞ tùy theo dấu ) b0  b0 ±∞ m > k • Đối với biểu thức chứa bậc hai, bậc ba đánh giá bậc tử mẫu để đặt thừa số chung đưa thức, việc chia tử mẫu cho lũy thừa số lớn n tử mẫu • Đối với biểu thức mũ chia tử mẫu cho mũ có số lớn tử mẫu, việc đặt thừa số chung cho tử mẫu số hạng  Biến đổi rút gọn, chia tách, tính tổng, kẹp giới hạn, … sử dụng kết biết B BÀI TẬP MẪU VD 1.8 Tính giới hạn sau: a) lim 2n + 3n + b) lim n − 3n + 3n + c) lim n3 + n − n + 2n + n + d) lim 2n + 3n + n + http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word có lời giải – 0982.56.33.65 VD 1.9 Tính giới hạn sau: 3n − n + n3 + 4n + n5 + n − 3n − d) lim 4n + 6n + a) lim n4 + n5 + (n + 2)(3n + 1) e) lim 4n + n + b) lim −2n3 + 3n − 3n − (2n + 1) (4 − n) f) lim (3n + 5)3 c) lim TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 11 – HK2 VD 1.10 Tính giới hạn sau: a) lim n + 3n − 2n − n + b) lim n − n3 − 5n + n + 12 c) lim 2n − n − 3n d) lim 6n + n + 2n + VD 1.11 Tính giới hạn sau: http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word có lời giải – 0982.56.33.65 a) lim 4n 2.3n + 4n b) lim 3n − 2.5n + 3.5n c) lim 3.2n +1 − 2.3n +1 + 3n d) lim 2 n + 5n + 3n + 5.4n Dạng Khử dạng vô định ∞ -∞ A PHƯƠNG PHÁP GIẢI • Đối với dãy un = am n m + am −1n m −1 + + a0 , am ≠ đặt thừa số chung m cho thừa số lớn n nm Khi đó: lim un = +∞ am > lim un = −∞ am < • Đối với biểu thức chứa thức nhân, chia lượng liên hợp bậc hai, bậc ba để đưa dạng: A+ B3 A− B2 A+ B= A+ B=  A− B A2 − B.3 A + B  A+ B = A− B A− B  A− B= A − B3 A2 + B.3 A + B A+ B A− B2 A+ B =  A+ B A2 − A.B + B A− B A− B A− B = A− B =   3 A+ B A + A.B + B • Đặc biệt, ta thêm, bớt đại lượng đơn giản để xác định giới hạn có dạng vô định, chẳng hạn:  A− B= ) ( = ( n + n − n) + ( n + n3 + − n + = n + n + − n3 ( ) n3 + − n + n − n + ; − n3 ) • Đối với biểu thức khá, biểu thức hỗn hợp xem xét đặt thừa số chung mũ có số lớn nhất, lũy thừa n lớn B BÀI TẬP MẪU VD 1.12 Tính giới hạn sau: TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 11 – HK2 a) lim ( n − 14n − ) 10 b) lim ( −2n + 3n − 19 ) c) lim 2n − n + d) lim −8n3 + n − n + VD 1.13 Tính giới hạn sau: a) lim lim ( ( n2 + n + − n n3 + n − n3 + d) lim ( ) n3 + − n ) ) b) lim ( e) lim ( ) n +1 − n n n3 + n − n + 3n c) ) f) lim n2 + − n2 + n3 + − n3 + n TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 11 – HK2 x < 1 − x  ≤ x ≤ 1) f ( x ) = ax + b  x − x − x >  1.35 Định a để hàm số f liên tục I :  x−4 x ≠  1) f ( x) =  3( x − 2) a x =  2) 3)  x + − 3x + x ≠  f ( x) =  x −1 ax + x =   x −1 x ≠  f ( x) =  x − a x =  1.36 Tìm điểm gián đoạn hàm số sau: x +1 1) f ( x ) = x − 4x 3) f (x) = tan x + cot x  x − 5) f ( x ) =   −2  x2 − 5x +  x − 7) f ( x ) =  −  56 π  x ≤ −2sin x  π π  2) f ( x ) = a sin x + b − < x < 2  π  x ≤ − cos x  I = [ 0; 4] I = [ −3; + ∞ ) I = ( 0; + ∞ ) 2) f ( x) = 4) f ( x ) = x cos x − x x +1  6) f ( x) =   x − x x≠0 x=0 x ≠1 x =1 x ≤ x >  2x −  x − 3x + 8) f ( x ) =  1  x ≠1 x =1 1.37 Xét xem hàm số sau có liên tục x khơng, khơng liên tục điểm gián đoạn: 2x +1 1) f ( x ) = x − x + 3x + 2) f ( x ) = x − 3x +  x − 16 x ≠  x − 5x + f ( x ) = 3) f ( x ) = 4) x −  x2 − 2x 8 x =  Dạng Chứng minh phương trình có nghiệm A PHƯƠNG PHÁP GIẢI • Biến đổi phương trình dạng: f ( x) = • Tìm hai số a, b cho f (a ) f (b) < (Dùng chức TABLE máy tính tìm cho nhanh) • Chứng minh f ( x ) liên tục [ a; b ] từ suy f ( x ) = có nghiệm http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word có lời giải – 0982.56.33.65 57  Chú ý: Nếu f (a ) f (b) ≤ phương trình có nghiệm thuộc [ a; b ] Để chứng minh f ( x) = có n nghiệm [ a; b ] , ta chia đoạn [ a; b ] thành n khoảng nhỏ rời nhau, chứng minh khoảng phương trình có nghiệm B BÀI TẬP MẪU VD 1.41 Chứng minh phương trình sau ln có nghiệm: a) x − x + = c) (1 − m )( x + 1)3 + x − x − = b) x + x − x + x + = d) m(2 cos x − 2) = 2sin x + VD 1.42 Chứng minh phương trình: a) b) c) d) e) x + 12 x − = x5 − x3 + x − = x cos x + x sin x + = x3 + x + = x3 − x + = có nghiệm có nghiệm có nghiệm thuộc (0; π) có nghiệm âm lớn – có ba nghệm phân biệt TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 11 – HK2 58 VD 1.43 Chứng minh phương trình x − x − = có nghiệm x0 thỏa mãn x0 > 12 VD 1.44 Chứng minh phương trình ax + bx + c = ln ln có nghiệm với tham số trường hợp 5a + 4b + 6c = http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word có lời giải – 0982.56.33.65 59 VD 1.45 Chứng minh phương trình ax + bx + c = ln ln có nghiệm với tham số trường hợp 12a + 15b + 20c = C BÀI TẬP TỰ LUYỆN 1.38 Chứng minh phương trình: 1) x + x – = có nghiệm 2) x + x + = có nghiệm âm lớn −1 3) x + x – = có nghiệm 4) x + x – x – = có hai nghiệm phân biệt thuộc (−1; 1) 5) x + x –1 = có ba nghiệm thuộc (−1; 1) 6) x – 3x + = có ba nghiệm phân biệt thuộc (−2; 2) 7) x – x + = có ba nghiệm phân biệt thuộc (−2; 2) 8) x – x + x – = có nghiệm thuộc ( 1; ) 9) 10) 11) 12) 13) 14) x – 3x – = ln có nghiệm x + x – x + x + = ln có nghiệm x – x – = ln có nghiệm x – x + = .có nghiệm thuộc (−1; 3) x – x + x – = có ba nghiệm thuộc (−2; 5) x + x + − = có nghiệm dương  π  15) cos x = 2sin x – .có hai nghiệm thuộc  − ; π ÷   16) x cos x + x sin x + = .có nghiệm thuộc (0; π ) 17) cos x = x ln có nghiệm 1.39 Chứng minh phương trình sau có nghiệm: 1) m ( x –1) ( x + 2) + 2x + = 3) sin x + cos x – m sin x cos x = 5) ( m + m + 1) x + x – = 7) m(2 cos x – ) = 2sin x + 2) cos x + m cos x = 4) x –1 + tan x = 2 6) ( – m ) ( x + 1) + x – x – = 8) TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 11 – HK2 60 a ( x – b) ( x – c) + b ( x – c) ( x – a ) + c ( x – b) ( x – b) = Dạng Xét dấu biểu thức A PHƯƠNG PHÁP GIẢI Ta áp dụng hệ quả: “Nếu y = f ( x) liên tục [ a; b ] f ( x) = 0, ∀x ∈ ( a; b) f ( x ) khơng đổi dấu (a; b) ” để xét dấu biểu thức f ( x ) miền D theo bước sau: Bước 1: Tìm điểm gián đoạn f ( x) D Bước 2: Tìm tất xi ∈ D, (i = 1, n) cho f ( xi ) = Bước 3: Chia miền D thành khoảng nhỏ điểm gián đoạn f ( x ) điểm xi ∈ D, (i = 1, n) vừa tìm bước Bước 4: Trên khoảng nhỏ lấy số m tùy ý, tính f ( m) , dấu f ( x) khoảng dấu f ( m) Từ suy dấu f ( x) miền D B BÀI TẬP MẪU VD 1.46 Xét dấu biểu thức sau: a) f ( x ) = x − x − x + 28 x − 12 b) f ( x ) = x − + − x / C BÀI TẬP TỰ LUYỆN 1.40 Xét dấu biểu thức sau: 1) f ( x ) = x –1 3) f ( x ) = ( x – ) + 12 x − 3x 2) f ( x ) = ( 2sin x –1) (2 + cos x) với x ∈ [0; 2π ] 4) f ( x ) = x –1 – x − x + http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word có lời giải – 0982.56.33.65 61 5) f ( x ) = x − − x 6) f ( x) = x + x + + x − BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM TN1.116 Cho hàm số f ( x ) = x +3 − 3− x với x ≠ Để hàm số f ( x ) liên tục ¡ f ( ) x A TN1.117 Cho hàm số f ( x ) = A TN1.118 Cho hàm số f ( x ) = A B C x − 3x + với x ≠ Để hàm số f ( x ) liên tục ¡ f ( 1) x −1 B C TN1.121 TN1.122 TN1.123 D −1 x với x ≠ Để hàm số f ( x ) liên tục ¡ f ( ) x+4 −2 B C  x3 + x ≠ −2  TN1.119 Cho hàm số f ( x ) =  x + Hàm số f ( x ) liên tục 3 x = −2  A x = −2 B x = C x = TN1.120 D D D x = −3  x2 − x + x ≠  Cho hàm số f ( x ) =  x − Để hàm số f ( x ) liên tục x = a a x =  A B C D −2  x − 5x + x >  Cho hàm số f ( x ) =  x − − x Để hàm số f ( x ) liên tục x = a 1 + ax x ≤  A − B −3 C D 3  − 4x − x x <  Cho hàm số f ( x ) =  − x Để hàm số f ( x ) liên tục ¡ a (a + 4) x x ≥  A B −1 C D  x + + −2 − x x >  Cho hàm số f ( x ) =  Để hàm số f ( x ) liên tục ¡ x −1 a − x x ≤  a A B C D 4 TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 11 – HK2 62  3x + −  TN1.124 Cho hàm số f ( x ) =  x − a  A TN1.125 TN1.126 TN1.127 TN1.128 TN1.129 x ≠ Để hàm số f ( x ) liên tục ¡ a x = B C D  x2 −  x − x < 3, x ≠  x = Cho hàm số f ( x ) =  Hàm số f ( x ) liên tục tại:   x + x ≥  A điểm thuộc B điểm trừ x = C điểm trừ x = D điểm trừ x = x = 1   lim  − ÷ bằng: x → 2−  x − x −4 A Không tồn B +∞ C −∞ D Đáp số khác x −1 bằng: lim ( x + 2) x →+∞ x +x A B C +∞ D Đáp số khác  x , x ∈ [0; 4] Cho hàm số f ( x) =  Định m để f ( x) liên tục [0;6] : x ∈ (4;6] 1 + m, A m = B m = C m = D m = Cho hàm số f ( x) = x − x − xác định ¡ Số nghiệm phương trình f ( x) = ¡ là: A B D C TN1.130 Cho hàm số f liên tục đoạn [−1; 4] cho f ( −1) = −3 , f (4) = Có thể nói số nghiệm phương trình f ( x) = đoạn [−1; 4] : A Vơ nghiệm C Có hai nghiệm B Có nghiệm D Khơng thể kết luận BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM CHƯƠNG TN1.131 Dãy số sau có giới hạn khác 0? 1 A ; B ; n n C n +1 ; n D sin n n TN1.132 Dãy số sau có giới hạn 0? n n 4 A  ÷ ; 3  4 B  − ÷ ;  3 n n  5 C  − ÷ ;  3 1 D  ÷ 3 C ( 1, 01) ; D ( −2, 001) TN1.133 Dãy số sau có giới hạn 0? A ( 0,999 ) ; n B ( −1, 01) ; n n n TN1.134 Dãy sau khơng có giới hạn? A ( 0,99 ) ; n TN1.135 lim ( −1) B ( −1) ; n n n+3 có giá trị bao nhiêu? C ( −0,99 ) ; n D ( −0,89 ) n http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word có lời giải – 0982.56.33.65 63 A − ; B −1 ;  − 4n  TN1.136 lim  ÷ có giá trị bao nhiêu?  5n  3 A ; B − ; 5 TN1.137 lim B ; TN1.138 lim − C ; D − C ; D cos 2n có giá trị bao nhiêu? n A ; B 2; C ; D 3n3 − 2n + có giá trị bao nhiêu? 4n + n + B +∞ ; A ; TN1.140 lim D − 2n + 3n có giá trị bao nhiêu? 3n A ; TN1.139 lim C ; C ; D C ; D C ; D C ; D 3n − 2n + có giá trị bao nhiêu? 4n + n + B +∞ ; A ; 2n − 3n có giá trị bao nhiêu? n + 5n + A − ; B ; TN1.141 lim TN1.142 lim 3n − 2n + có giá trị bao nhiêu? 4n + n + B +∞ ; A ; TN1.143 lim ( −3n + 2n − ) có giá trị bao nhiêu? A −3 ; B −6 ; C −∞ ; D +∞ C ; D +∞ C ; D +∞ C 10 ; D TN1.144 lim ( 2n + n − 5n ) có giá trị bao nhiêu? A −∞ ; B ; 4n + − n + có giá trị bao nhiêu? 2n − A ; B ; TN1.145 lim TN1.146 lim ( A +∞ ; TN1.147 lim ) n + 10 − n có giá trị bao nhiêu? B 10 ; − 2n + n có giá trị bao nhiêu? n + 5n − TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 11 – HK2 A ; 64 B ; C ; 4 D − TN1.148 Nếu lim un = L lim un + có giá trị bao nhiêu? A L + ; TN1.149 Nếu lim un = L lim A ; L+ B L + ; un + B C L+9 ; D L +3 ; L +2 D L+8 có giá trị bao nhiêu? ; L+8 n+4 có giá trị bao nhiêu? n +1 A ; B ; C 3 TN1.150 lim TN1.151 lim C ; D +∞ ; D − − n + 2n có giá trị bao nhiêu? 5n + 5n − A ; B ; 104 n có giá trị bao nhiêu? 104 + 2n A +∞ ; B 10000 ; C TN1.152 lim + + + + n có giá trị bao nhiêu? 2n A ; B ; C 5000 ; D TN1.153 lim n3 + n có giá trị bao nhiêu? 6n + 1 A ; B ; TN1.154 lim C ; D +∞ TN1.155 lim n ( A +∞ ; C ; D ) n + − n − có giá trị bao nhiêu? B ; n + sin 2n có giá trị bao nhiêu? n+5 A ; B ; 5 C ; D −1 C ; D C ; D +∞ TN1.156 lim TN1.157 lim ( 3n − 4n ) có giá trị bao nhiêu? A −∞ ; B −4 ; TN1.158 Dãy số sau có giới hạn 0? − 2n n − 2n u = A un = ; B ; n 5n + 5n + n − 2n un = 5n + 5n TN1.159 Dãy số sau có giới hạn +∞ ? A un = 3n − n ; B un = n − 4n ; C un = − 2n ; 5n + C un = 3n − n ; D D un = 3n3 − n http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word có lời giải – 0982.56.33.65 65 TN1.160 Dãy số sau có giới hạn −∞ ? A un = n − 3n ; B un = 3n3 − n ; C un = 3n − n ; D un = − n + 4n ( −1) TN1.161 Tổng cấp số nhân vô hạn ; − ; ; 2n A 1; B ; n +1 ; có giá trị bao nhiêu? C − ; D − ( −1) TN1.162 Tổng cấp số nhân vô hạn − ; ; ; n ; có giá trị bao nhiêu? 1 A ; B − ; C − ; 3 n ( −1) TN1.163 Tổng cấp số nhân vô hạn ; − ; ; 3n 1 A ; B ; D −1 n +1 ; có giá trị bao nhiêu? C ; D 1 ; ; ; n−1 ; có giá trị bao nhiêu? 2.3 3 B ; C ; TN1.164 Tổng cấp số nhân vô hạn A ; ( −1) TN1.165 Tổng cấp số nhân vô hạn ; − ; ; ; có giá trị bao nhiêu? 2.3n −1 A ; B ; C ; D D n +1 ( −1) TN1.166 Tổng cấp số nhân vô hạn 1; − ; ; ; n −1 ; có giá trị bao nhiêu? 2 A − ; B ; C ; 3 n +1 TN1.167 Dãy số sau có giới hạn +∞ ? + 2n n − 2n A un = ; B un = ; 5n + 5n + 5n n2 − un = 5n + 5n3 C un = + n2 ; 5n + D D TN1.168 Dãy số sau có giới hạn +∞ ? 9n + n ; n + n2 C un = 2008m − 2007 n ; A un = 2007 + 2008n ; n +1 D un = n + B un = TN1.169 Trong giới hạn sau đây, giới hạn −1 ? 2n − 2n − 2n − A lim ; B ; C ; lim lim −2n3 − −2n − −2 n + n TN1.170 Trong giới hạn sau đây, giới hạn 0? D lim 2n3 − −2n − TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 11 – HK2 A lim 2n − ; −2 n − B lim 2n − 3n3 ; −2 n − 66 C lim 2n − 3n ; −2n3 + 2n TN1.171 Trong giới hạn sau đây, giới hạn +∞ ? 2n + 2n − 3n3 2n − 3n A lim ; B lim ; C ; lim n +4 2n − −2n3 + 2n ? − 2n B un = ; 5n + D lim + 2n3 2n − D lim − 2n3 2n − TN1.172 Dãy số sau có giới hạn n − 2n ; 5n + n − 2n un = 5n + 5n A un = C un = − 2n ; 5n + D lim ( 3) có giá trị bao nhiêu? TN1.173 x→− A −2 ; B −1 ; C 0; D C 4; D C 3; D +∞ ( x − x + 3) có giá trị bao nhiêu? TN1.174 xlim →−1 A 0; B 2; ( x − 3x − 5) có giá trị bao nhiêu? TN1.175 lim x →2 A −15 ; B −7 ; 3x − x + có giá trị bao nhiêu? x →+∞ x + x + A 0; B ; TN1.176 lim 3x − x5 có giá trị bao nhiêu? x →+∞ x + x + 2 A − ; B ; 5 C ; D +∞ TN1.177 lim C −∞ ; D +∞ 3x − x có giá trị bao nhiêu? x →+∞ x + x + A +∞ ; B 3; C −1 ; D −∞ 3x − x5 có giá trị bao nhiêu? x →+∞ x + x + A −∞ ; B ; C − ; D 3x − x5 có giá trị bao nhiêu? x →1 x + x + 1 A ; B ; C − ; D − TN1.178 lim TN1.179 lim TN1.180 lim 3x − x5 có giá trị bao nhiêu? x →−1 x − x + 1 A ; B ; TN1.181 lim C ; D http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word có lời giải – 0982.56.33.65 67 x − x5 có giá trị bao nhiêu? x →−1 x + x + 4 A ; B ; TN1.182 lim 3x − x có giá trị bao nhiêu? x →−2 x − x + 13 A − ; B ; C ; D C 11 ; D 13 C ; D +∞ TN1.183 lim x − x3 có giá trị bao nhiêu? x →−2 x − x + 12 A − ; B ; TN1.184 lim x − x5 có giá trị bao nhiêu? x →1 x + x + 1 A − ; B − ; 12 TN1.185 lim x + x3 có giá trị bao nhiêu? x →−2 x − x + 10 10 A − ; B − ; C − ; D TN1.186 lim C ; D −∞ x − x − có giá trị bao nhiêu? TN1.187 xlim →−1 B 5; A 9; D −5 C 1; 3x + x5 + có giá trị bao nhiêu? x5 + x + TN1.188 lim x →+∞ B A 0; ; C ; D C 35 ; D +∞ x4 − 4x2 + có giá trị bao nhiêu? x2 + 9x − TN1.189 lim x →−2 ; 15 A B ; x − x + 3x có giá trị bao nhiêu? x + 16 x − TN1.190 lim x →−1 ; A B ; C ; D +∞ − x3 TN1.191 lim− có giá trị bao nhiêu? x →1 3x + x A 0; TN1.192 lim− x →1 B 1; x+2 có giá trị bao nhiêu? x −1 C ; D TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 11 – HK2 A − ; ; C −∞ ; D +∞ 10 − x có giá trị bao nhiêu? 3x + x TN1.193 lim x →−1 A B 68 ; TN1.194 xlim →+∞ 11 ; B ( ; C 11 D ) x + − x − có giá trị bao nhiêu? 3+ 5; B A 0; x + x3 − x − có giá trị bao nhiêu? x →+∞ x − x4 A – 2; B – 1; C −∞ ; D +∞ C 1; D TN1.195 lim A ) ( x + − x có giá trị bao nhiêu? ; B ( x + − x có giá trị bao nhiêu? x TN1.196 xlim →+∞ x TN1.197 xlim →+∞ A +∞ ; ; C 5; D +∞ C ; D ) B 0; y4 −1 có giá trị bao nhiêu? y →1 y − A +∞ ; B 4; TN1.198 lim TN1.199 lim y →a y →1 D −∞ C 4a ; D 4a y4 − a4 có giá trị bao nhiêu? y−a A +∞ ; TN1.200 lim C 2; B 2a ; y4 −1 có giá trị bao nhiêu? y3 −1 A +∞ ; B 0; x2 + − x + có giá trị bao nhiêu? x →+∞ 2x − A 0; B 1; C ; D TN1.201 lim TN1.202 lim x→0 A 0; C 2; D +∞ C − ; D −∞ x + − x2 + x + có giá trị bao nhiêu? x B – 1; x − 3x + có giá trị bao nhiêu? x →2 2x − A +∞ ; B ; TN1.203 lim C ; D − http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word có lời giải – 0982.56.33.65 69 x − 12 x + 35 có giá trị bao nhiêu? x →2 x−5 A +∞ ; B 5; TN1.204 lim x − 12 x + 35 có giá trị bao nhiêu? x →5 x − 25 A +∞ ; B ; C – 5; D – 14 C ; D − C ; D +∞ TN1.205 lim x + x − 15 có giá trị bao nhiêu? x →−5 x + 10 TN1.206 lim B – 4; A – 8; x − x − 15 có giá trị bao nhiêu? x →5 x − 10 A – 4; B – 1; C 4; D +∞ x − x − 20 có giá trị bao nhiêu? x →5 x + 10 A − ; B – 2; C − ; D +∞ C −∞ ; D +∞ C 0; D C 1; D +∞ C 0; D C 0; D −∞ C 6; D +∞ TN1.207 lim TN1.208 lim 3x − x5 có giá trị bao nhiêu? x →−∞ x + x + 2 A − ; B ; 5 TN1.209 lim x3 + có giá trị bao nhiêu? x →−1 x + x A – 3; B – 1; TN1.210 lim TN1.211 lim ( x + ) x →+∞ A −∞ ; x có giá trị bao nhiêu? x −1 B 0; x − 3x + có giá trị bao nhiêu? x →1 x3 − 1 A − ; B ; 3 TN1.212 lim TN1.213 xlim →+∞ ( A +∞ ; ) x + − x − có giá trị bao nhiêu? B 4; 3x − x có giá trị bao nhiêu? x →3 2x + 3 A ; B 2; TN1.214 lim x3 − x + x có giá trị bao nhiêu? x →−1 x−2 TN1.215 lim TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 11 – HK2 A − ; B – 2; x2 + TN1.216 lim+ có giá trị bao nhiêu? x →1 x − A +∞ ; B 2; 70 C − ; D C 1; D −∞ x+2 − 2− x với x ≠ Phải bổ sung thêm giá trị f ( ) x hàm số liên tục ¡ 1 A 0; B 1; C ; D 2 TN1.217 Cho f ( x ) = TN1.218 Cho f ( x ) = x với x ≠ Phải bổ sung thêm giá trị f ( ) hàm số x +1 −1 liên tục ¡ A 0; TN1.219 Cho f ( x ) = B 1; C 2; D x2 − 5x với x ≠ Phải bổ sung thêm giá trị f ( ) hàm số liên 3x tục ¡ A ; B  x2   x TN1.220 Cho hàm số f ( x) = 0   x  A điểm thuộc ¡ ; C điểm trừ x = 1; ; D − C 0; vớ i x < 1, x ≠ vớ i x= ( ) Hàm số f x liên tục tại: vớ i x≥1 B điểm trừ x = 0; D điểm trừ x = x = ... 0982.56.33.65 21 TN1.62 lim 4 n + n +1 : 3n + n+ A TN1.63 Tính giới hạn: lim A 1 n +1 − B C D +∞ n +1 + n B C 1 D + + + + (2n + 1) 3n + A B C 3 1  1 + + TN1.65 Tính giới hạn: lim  + n( 2n + 1) ... 2n + 1)  1. 3 3.5 D D TN1.64 Tính giới hạn: lim A B C 1 1  + + TN1.66 Tính giới hạn: lim  + n(n + 2)  1. 3 2.4 A B C   1   TN1.67 Tính giới hạn: lim  1 −  1 −  1 −   ... + K + bn 16 ) lim 2n − 3n 17 ) lim 2n − 3n + 4.5n + 19 ) lim n +1 n+ n +1 +3 +5 1. 7 Tính tổng vô hạn: 1 1) S = + + + +K S= + + + K 27 4) S= 2) +1 1 + + +K 1 − 2 1 (vớ i a < 1; b < 1) 1 S = − +