§2: ÁP DỤNG MỆNH ĐỀ VÀO SUY LUẬN TOÁN HỌC A: TĨM TẮT LÝ THUYẾT Định lí chứng minh định lí · Trong tốn học định lý mệnh đề Nhiều định lý phát biểu dạng " " x Ỵ X , P ( x) Þ Q ( x) ", P ( x) ,Q ( x) mệnh đề chứa biến · Có hia cách để chứng minh định lí dạng Cách 1: Chứng minh trực tiếp gồm bước sau: - Lấy x Ỵ X mà P ( x) - Chứng minh Q ( x) đúng(bằng suy luận kiến thức toán học biết) Cách 2: Chứng minh phản định lí gồm bước sau: - Giả sử tồn x0 Ỵ X cho P ( x0 ) Q ( x0) sai - Dùng suy luận kiến thức toán học để đến mâu thuẫn Định lí đảo, điều kiện cần, điều kiện đủ, điều kiện cần đủ · Cho định lí dạng " " x Î X , P ( x) Þ Q ( x) " (1) Khi P ( x) điều kiện đủ để có Q ( x) Q ( x) điều kiện cần để có P ( x) · Mệnh " x ẻ X , Q ( x) ị P ( x) gọi định lí đảo định lí dạng (1) Lúc (1) gọi định lý thuận gộp lại thành định lí " x Ỵ X , Q ( x) Û P ( x) , ta gọi " P ( x) điều kiện cần đủ để có Q ( x) " Ngồi nói " P ( x) Q ( x) ", " P ( x) Q ( x) ", B CÁC DẠNG TOÁN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word DẠNG TOÁN 1: PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH BẰNG PHẢN CHỨNG Các ví dụ minh họa Ví dụ 1: Chứng minh với số tự nhiên n n3 chia hết cho n chia hết cho Lời giải: Giả sử n khơng chia hết cho n = 3k + n = 3k+ , k Î Z Với n = 3k+ ta có n3 = ( 3k+ 1) = 27k3 + 27k2 + 9k+ không chia hết cho ba (mâu thuẫn) Với n = 3k+ ta có n3 = ( 3k+ 2) = 27k3 + 54k2 + 36k+ không chia hết cho ba (mâu thuẫn) Vậy n chia hết cho Ví dụ 2: Cho tam thức f ( x) = ax + bx + c, a¹ Chứng minh tồn số thực α cho a f ( α) £ phương trình f ( x) = ln có nghiệm Lời giải: ỉ bư D Ta có f ( x) = aỗ x+ ữ , D = b2 - 4ac ữ ỗ ữ ỗ 2aứ 4a ố Gi s phng trình cho vơ nghiệm, nghĩa ∆ < ỉ bư ∆ Khi ta có: af ( x) = a ỗ x+ ữ ữ ỗ ữ > 0, " x ẻ Ă ỗ ố 2aứ Suy không tồn α để af ( α) £ , trái với giả thiết Vậy điều ta giả sử sai, hay phương trình cho ln có nghiệm Ví dụ 3: Cho a, b, c dương thỏa mãn abc= Chứng minh 1 a+ b+ c > + + có ba số a, b, c lớn a b c Lời giải: Giả sử ngược lại, ta có trường hợp sau: http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word · TH1: Với ba số lớn ba số nhỏ mâu thuẫn với giả thiết abc= · TH2: Với hai ba số lớn 1, không tính tổng qt giả sử a> 1, b> Vì abc= nên c< ( a- 1) ( b- 1) ( c- 1) < Û abc+ a+ b+ c- ab- bc- ca- 1< 1 Û a+ b+ c < ab+ bc+ ca Û a+ b+ c < + + (mâu thuẫn) a b c Vậy có ba số a, b, c lớn Ví dụ 4: Chứng minh tam giác có đường trung tuyến vừa phân giác xuất phát từ đỉnh tam giác cân đỉnh Lời giải: Giả sử tam giác ABC có AH vừa đường trung tuyến vừa đường phân giác không cân A A Khơngmất tính tổng qt xem AC > AB Trên AC lấy D cho AB = AD L Gọi L giao điểm BD AH B H · · Khi AB = AD , BAL AL chung nên D ABL = D ADL = LAD Do AL = LD hay L trung điểm BD Suy LH đường trung bình tam giác CBD Þ LH / / DC điều mâu thuẫn LH , DC cắt A Vậy tam giác ABC cân A Bài tập luyện tập Bài 1.14: Chứng minh phương pháp phản chứng: Nếu phương trình bậc hai ax2 + bx + c = vơ nghiệm a c dấu Bài 1.15: Chứng minh phương pháp phản chứng: Nếu hai số nguyên dương có tổng bình phương chia hết cho hai số phải chia hết cho http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word D C Bài 1.16: Chứng minh : Nếu độ dài cạnh tam giác thỏa mãn bất đẳng thức a2 + b2 > 5c2 c độ dài cạnh nhỏ tam giác Bài 1.17: Cho a, b, c dương nhỏ Chứng minh 1 ba bất đẳng thức sau sai a( 1- b) > , b( 1- c) > , c( 1- a) > 4 Bài 1.18: Nếu a1a2 ³ 2( b1 + b2 ) hai phương trình x2 + a1x + b1 = 0, x2 + a2x + b2 = có nghiệm Bài 1.19: Chứng minh số vơ tỉ ìï a+ b+ c > (1) ïï ï Bài 1.20: Cho số a, b, c thỏa điều kiện : í ab+ bc+ ca> (2) ïï (3) ïïỵ abc> Chứng minh ba số a, b, c dương Bài 1.21: Chứng minh phản chứng định lí sau : “Nếu tam giác ABC có đường phân giác BE, CF nhau, tam giác ABC cân” Bài 1.22: Cho đoạn thẳng có độ dài lớn 10 nhỏ 100 Chứng minh ln tìm đoạn để ghép thành tam giác Lời giải: Bài 1.14: Giả sử phương trình vơ nghiệm a,c trái dấu Với điều kiện a,c trái dấu có a.c Nên phương trình có hai nghiệm phân biệt, điều mâu thuẫn với giả thiết phương trình vơ nghiệm Vậy phương trình vơ nghiệm a,c phải dấu Bài 1.15: Giả sử hai số ngun dương a b có số không chia hết cho , chẳng hạn a khơng chia hết cho Thế a có dạng: a = 3k+1 a = 3k+2 Lúc a2 =3m+1 , nen b chia hết cho b khơng chia hết cho a2 + b2 có dạng: 3n+1 3n+2, tức a2 + b2 không chia hết cho 3, trái giả thiết Vậy a2 + b2 chia hết cho a b a2 + b2 chia hết cho Bài 1.16: Giả sử c cạnh nhỏ tam giác http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word Không tínhư tổng qt, giả sử a£ c Þ a2 £ c2 (1) Theo bất đẳng thức tam giác, ta có b< a+ c Þ b2 < ( a+ c) (2) Do a£ c Þ ( a+ c) £ 4c2 (3) Từ (2) (3) suy b2 £ 4c2 (4) Cộng vế với vế (1) (4) ta có a2 + b2 £ 5c2 mâu thuẫn với giả thiết Vậy c cạnh nhỏ tam giác Bài 1.17 Giả sử ba bất đẳng thức đúng, Khi đó, nhân theo vế bất đẳng thức ta được: ỉư 1÷ (*) a( 1– b) b( 1- c) c( 1– a) > ç ÷ hay a( 1– a) b( 1- b) c( c) > ỗ ỗ ữ 64 ố4ứ æ 1ö Mặt khác a( 1– a) =- a2 + a= - ỗ a- ữ ữÊ ỗ ỗ ữ è 2ø Do < a< 1Þ   0 < a( 1– a) £ Tương tự   0 < b( 1– b) £ 1 , < c( 1– c) £ 4 Nhân theo vế ta a( 1– a) b( 1- b) c( 1– c) £ (**) 64 Bất đẳng thức (**) mâu thuẫn (*), Vậy có bất đẳng thức cho sai (đpcm) Bài 1.18: Giả sử hai phương trình vơ nghiệm Khi D1 = a12 – 4b1 < 0, D1 = a22 – 4b2 < Þ a12 – 4b1 + a22 – 4b2 < Û a12 + a22 < 4( b1 + b2 ) ( 1) Mà ( a1 – a2) ³ Û a12 + a22 ³ 2a1a2 (2) http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word Từ (1) (2) suy 2a1a2 < 4( b1 + b2 ) hay a1a2 < 2( b1 + b2 ) trái giả thiết Vậy phải có hai số ∆1 , ∆2 lớn đo phương trình x2 + a1x + b1 = 0, x2 + a2x + b2 = có nghiệm Bài 1.19: Dễ dàng chứng minh n2 số chẵn n số chẵn Giả sử Từ 2= số hữu tỉ, tức 2= m , m, n ∈ *, ( m, n) = n m Þ m2 = 2n2 Þ m2 số chẵn n ⇒ m số chẵn ⇒ m= 2k, k Ỵ N * Từ m2 = 2n2 Þ 4k2 = 2n2 Þ n2 = 2k2 Þ n2 số chẵn ⇒ n số chẵn Do m chẵn, n chẵn, mâu thuẫn với ( m, n) = Vậy số vô tỉ Bài 1.20: Giả sử ba số a, b, c không đồng thời số dương Vậy có số khơng dương Do a, b, c có vai trò bình đẳng nên ta giả sử : a£ + Nếu a= mâu thuẫn với (3) + Nếu a< từ (3) ⇒ bc< Ta có (2) ⇔ a(b+ c) >- bc ⇒ a(b+ c) > ⇒ b+ c < ⇒ a+ b+ c < mâu thuẫn (1) Vậy ba số a, b, c dương µ >C µ ta dựng hình bình Bài 1.21: • Nếu B A F E 2 hành BEDF hình vẽ Ta có : ¶ >C ả ị D ả >C ả (1) >C µ Þ B B 2 Ngồi ra, BE = CF Þ DF = CE D 1 B http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mi nht C ị ả +D ả =C ¶ +C ¶ (2) D 2 T (1) v (2) suy ả B ả ị à Mõu thun BC chung, BE = CF, BF > CE nên C C>B 1 µ >B µ , chứng minh hồn ton tng t nh trờn Trng hp C =C µ Vậy tam giác ABC cân A Do B Bài 1.22: Trước hết xếp đoạn cho theo thứ tự tăng dần độ dài a1 , a2 , , a7 chứng minh dãy xếp ln tìm đoạn liên tiếp cho tổng đoạn đầu lớn đoạn cuối (vì điều kiện để đoạn ghép thành tam giác tổng đoạn lớn đoạn thứ ba) Giả sử điều cần chứng minh không xảy ra, nghĩa đồng thời xảy bất đẳng thức sau: a1 + a2 £ a3 ; a2 + a3 £ a4 ; ; a5 + a6 £ a7 Từ giả thiết a1 , a2 có giá trị lớn 10, ta nhận a3 > 20 Từ a2 > 10 a3 > 20 ta nhận a3 > 30, a5 > 50, a6 > 80 a7 > 130 Điều a7 > 130 mâu thuẩn với giả thiết độ dài nhỏ 100 Có mâu thuẩn giả sử điểu cần chứng minh không xảy Vậy, tồn đoạn liên tiếp cho tổng đoạn đầu lớn đoạn cuối Hay nói cách khác đoạn ghép thành tam giác DẠNG TOÁN 2: SỬ DỤNG THUẬT NGỮ ĐIỀU KIỆN CẦN, ĐIỀU KIỆN ĐỦ, ĐIỀU KIỆN CẦN VÀ ĐỦ Các ví dụ minh họa Ví dụ 1: Cho định lí : “Cho số tự nhiên n Nếu n chia hết cho n chia hết cho 5” Định lí viết dạng P Þ Q a) Hãy xác định mệnh đề P Q A P : “n chia hết cho 5”.Q : “n số tự nhiên n5 chia hết cho 5” http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word B P : “n5 chia hết cho 5”, Q : “n chia hết cho 5” C P : “n số tự nhiên n5 chia hết cho 5”, Q : “n chia hết cho 5” D P : “n số tự nhiên n5 chia hết cho 5”, Q : “n chia hết cho 5” b) Phát biểu định lí cách dùng thuật ngữ “điều kiện cần” c) Phát biểu định lí cách dùng thuật ngữ “điều kiện đủ” d) Hãy phát biểu định lí đảo (nếu có) định lí dùng thuật ngữ “điều kiện cần đủ” phát biểu gộp hai định lí thuận đảo Lời giải: a) P : “n số tự nhiên n5 chia hết cho 5”, Q : “n chia hết cho 5” b) Với n số tự nhiên, n chia hết cho điều kiện cần để n chia hết cho ; phát biểu cách khác : Với n số tự nhiên, điều kiện cần để n chia hết cho n chia hết cho c) Với n số tự nhiên, n5 chia hết cho điều kiện đủ để n chia hết cho d) Định lí đảo : “Cho số tự nhiên n, n chia hết cho n chia hết cho 5” Thật vậy, n = 5k n5 = 55.k5 : Số chia hết cho Điều kiện cần đủ để n chia hết cho n5 chia hết cho Ví dụ 2: Phát biểu mệnh đề sau với thuật ngữ "Điều kiện cần", "Điều kiện đủ" a) Nếu hai tam giác chúng có diện tích b) Nếu số nguyên dương chia hết cho chia hết cho c) Nếu hình thang có hai đường chéo hình thang cân d) Nếu tam giác ABC vuông A AH đường cao AB2 = BC BH Lời giải: a) Hai tam giác điều kiện đủ để chúng có diện tích Hai tam giác có diện tích điều kiện cần để chúng b) Số nguyên dương chia hết cho điều kiện đủ để chia hết cho http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word Số nguyên dương chia hết cho điều kiện cần để chia hết cho c) Hình thang có hai đường chéo điều kiện đủ để hình thang cân Hình thang cân điều kiện cần để có hai đường chéo d) Tam giác ABC vuông A AH đường cao điều kiện đủ để AB2 = BC BH Tam giác ABC có AB2 = BC BH điều kiện cần để vng A AH đường cao Ví dụ 3: Dùng thuật ngữ điều kiện cần đủ để phát biểu định lí sau a) Tam giác ABC vng AB2 + AC = BC b) Tứ giác hình chữ nhật có ba góc vng c) Tứ giác nội tiếp đường tròn có hai góc đối bù d) Một số chia hết cho có chữ số tận số chẵn Lời giải: a) Tam giác ABC vuông điều kiện cần đủ để AB2 + AC = BC b) Tứ giác hình chữ nhật điều kiện cần đủ để có ba góc vng c) Tứ giác nội tiếp đường tròn điều kiện cần đủ để có hai góc đối bù d) Một số chia hết cho điều kiện cần đủ để có chữ số tận số chẵn Bài tập luyện tập Bài 1.23: Phát biểu định lý sau cách sử dụng khái niệm " Điều kiện cần", " Điều kiện đủ " a) Nếu mặt phẳng, hai đường thẳng vng góc với đường thẳng thứ hai đường thẳng song song với b) Nếu số nguyên dương có chữ tận chia hết cho http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word c) Nếu tứ giác hình thoi đường chéo vng góc với d) Nếu tam giác chúng có góc tương ứng e) Nếu số nguyên dương a chia hết cho 24 chia hết cho Lời giải: Bài 1.23: a) Trong mặt phẳng, hai đường thẳng vuông góc với đường thẳng thứ điều kiện đủ để hai đường thẳng song song với Trong mặt phẳng, hai đường thẳng song song với điều kiện cần để hai đường thẳng vuông góc với đường thẳng thứ b) Số nguyên dương có chữ số tận điều kiện đủ để chia hết cho Số nguyên dương chia hết cho điều kiện cần để có chữ số tận c) Tứ giác hình thoi điều kiện đủ để có đường chéo vng góc với Tứ giác có hai đường chéo vng góc với điều kiện cần để hình thoi d) Hai tam giác điều kiện đủ để chúng có góc tương ứng Hai tam giác có góc tương ứng điều kiện cần để chúng e) Số nguyên dương a chia hết cho 24 điều kiện đủ để chia hết cho Số nguyên dương a chia hết cho điều kiện cần để chia hết cho 24 Bài 1.24 Dùng thuật ngữ điều kiện cần đủ để phát biểu định lí sau a) Một tam giác tam giác cân, có hai góc b) Tứ giác hình bình hành tứ giác có hai đường chéo cắt trung điểm đường c) x ³ y Û x³ y http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word uuur uur d) Tứ giác MNPQ hình bình hành MN = QP Lời giải: Bài 1.24: a) Một tam giác tam giác cân điều kiện cần đủ để có hai góc b) Tứ giác hình bình hành điều kiện cần đủ để tứ giác có hai đường chéo cắt trung điểm đường c) x ³ y điều kiện cần đủ để x³ y uuur uur d) Điều kiện cần đủ để tứ giác MNPQ hình bình hành MN = QP Bài 1.25: Sử dụng thuật ngữ “điều kiện cần”, “điều kiện đủ” để phát biểu định lí sau: a) “Nếu tứ giác hình vng có bốn cạnh nhau” Có định lí đảo định lí khơng , sao? b) “Nếu tứ giác hình thoi có hai đường chéo vng góc” Có định lí đảo định lí khơng , sao? Lời giải: Bài 1.25:a) Một tứ giác hình vng điều kiện đủ để có cạnh Một tứ giác có cạnh điều kiện cần để hình vng Khơng có định lí đảo tứ giác có cạnh hình thoi b) Một tứ giác hình thoi điều kiện đủ để có hai đường chéo vng góc Một tứ giác có hai đường chéo vng góc điều kiện cần để hình thoi Khơng có định lí đảo tứ giác có hai đường chéo vng góc hình vng hoăc đa giác có hai đường chéo vng góc Bài 1.26: Dùng thuật ngữ “điều kiện cần” để phát biểu định lí sau : a) Nếu MA ^ MB M thuộc đường tròn đường kính AB ; http://dethithpt.com – Website chun đề thi, tài liệu file word b) a¹ b¹ điều kiện đủ để a2 + b2 > Lời giải: Bài 1.26: a) M thuộc đường tròn đường kính AB điều kiện cần để MA vng góc MB Hoặc phát biểu : Điều kiện cần để MA ^ MB M thuộc đường tròn đường kính AB b) a2 + b2 > điều kiện cần để a ≠ b ≠ http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word ... qt giả sử a> 1, b> Vì abc= nên c< ( a- 1) ( b- 1) ( c- 1) < Û abc+ a+ b+ c- ab- bc- ca- 1< 1 Û a+ b+ c < ab+ bc+ ca Û a+ b+ c < + + (mâu thuẫn) a b c Vậy có ba số a, b, c lớn Ví dụ 4: Chứng minh... = 3k + n = 3k+ , k Ỵ Z Với n = 3k+ ta có n3 = ( 3k+ 1) = 27k3 + 27k2 + 9k+ không chia hết cho ba (mâu thuẫn) Với n = 3k+ ta có n3 = ( 3k+ 2) = 27k3 + 54k2 + 36k+ không chia hết cho ba (mâu thuẫn)... 1- c) > , c( 1- a) > 4 Bài 1.18: Nếu a1a2 ³ 2( b1 + b2 ) hai phương trình x2 + a1x + b1 = 0, x2 + a2x + b2 = có nghiệm Bài 1.19: Chứng minh số vơ tỉ ìï a+ b+ c > (1) ïï ï Bài 1.20: Cho số a, b,