ĐỀ CƯƠNG ƠN TẬP HỌC KÌ MƠN TỐN LỚP 11 – PHẦN LÍ THUYẾT A ĐẠI SỐ & GIẢI TÍCH CHƯƠNG III: CẤP SỐ CỘNG – CẤP SỐ NHÂN I TÓM TẮT LÝ THUYẾT CẤP SỐ CỘNG đ/n a) Định nghĩa: ( u n ) cấp số cộng ⇔ u = u n + d; ∀n ∈ N* với d số không đổi n +1 u n = u + ( n − 1) d; ∀n ≥ b) Công thức số hạng tổng quát: uk = c) Tính chất số hạng CSC: u k −1 + u k +1 ;k ≥ 2 (trừ số hạng đầu số hạng cuối) d) Tổng n số hạng đầu CSC: Cho (u n ) CSC Khi Sn = u + u + + u = n ) [ ( ] n u + un n 2u + ( n − 1) d 1 = 2 CẤP SỐ NHÂN đ/n a) Định nghĩa: ( u n ) cấp số nhân ⇔ u b) Công thức số hạng tổng quát: c) Tính chất số hạng CSC: hay u k = u n +1 = u n q; ∀n ∈ N* với q số không đổi u n = u q n - 1; ∀n ≥ u =u u ;k ≥ k k −1 k +1 u k − k + (trừ số hạng đầu số hạng cuối) d) Tổng n số hạng đầu CSC: Cho (u n ) CSN Khi 1− qn Sn = u + u + + u n = u ;q ≠ 1 1− q Sn = nu q = 1 II CÁC DẠNG BÀI TẬP THƯỜNG GẶP Dạng Chứng minh dãy số cấp số cộng, cấp số nhân * Phương pháp chứng minh dãy số CSC: Để chứng minh dãy số (u n ) CSC ta xét hiệu H = u n +1 − u n http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP HỌC KÌ MƠN TỐN LỚP 11 – PHẦN LÍ THUYẾT - Nếu H số (u n ) CSC có cơng sai d = H - Nếu H phụ thuộc vào n (u n ) không CSC * Phương pháp chứng minh dãy số CSN: Để chứng minh dãy số (u n ) CSN ta xét thương T = u n +1 , ∀n ≥ un - Nếu T số (u n ) CSN có cơng bội q = T - Nếu T phụ thuộc vào n (u n ) không CSN Dạng Xác định công sai số hạng đầu CSC CSN * Phương pháp xác định công sai số hạng đầu CSC: - Ta thiết lập hệ phương trình mà u1 d phải thỏa Giải hệ ta u1 d * Phương pháp xác định công bội số hạng đầu CSN: - Ta thiết lập hệ phương trình mà u1 q phải thỏa Giải hệ ta u1 q Dạng Dùng công thức u n S n CSC, CSN để chứng minh hay tính tổng * Phương pháp dùng cơng thức u n S n CSC để chứng minh hay tính tổng Ta thường dùng linh hoạt cơng thức: - Nếu (u n ) CSC có cơng sai d d = u n +1 − u n ; Sn = n( u1 + u n ) n[ 2u1 + ( n − 1) d ] = 2 u n = u1 + ( n − 1) d để biến đổi, rút gọn tính toán - Ba số a, b, c theo thứ tự lập thành CSC ⇔ a + c = 2b * Phương pháp dùng công thức u n S n CSN để chứng minh hay tính tổng Ta thường dùng linh hoạt công thức: - Nếu (u n ) CSN có cơng bội q q = u n +1 ,n ≥1 un u n = u1 q n −1 ; n ≥ 1− qn ;q ≠ 1− q S n = nu1 q = S n = u1 để biến đổi, rút gọn tính tốn http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word ĐỀ CƯƠNG ƠN TẬP HỌC KÌ MƠN TỐN LỚP 11 – PHẦN LÍ THUYẾT - Ba số a, b, c theo thứ tự lập thành CSN ⇔ ac = b CHƯƠNG IV: GIỚI HẠN I TÓM TẮT LÝ THUYẾT ĐỊNH LÍ VỀ GIỚI HẠN HỮU HẠN lim [ f ( x) ± g ( x)] = L ± M , x → x0 [ f ( x).g ( x)] = L.M , f ( x) = L, lim g ( x) = M Khi xlim →x a) Giả sử xlim →x x→ x 0 lim x → x0 f ( x) = L L ≥ 0, lim b) Nếu f ( x) ≥ xlim →x x→ x 0 f ( x) L = , ( M ≠ 0) g ( x) M f ( x) = L (dấu f(x) xét khoảng tìm giới hạn, với x ≠ x0 + − Chú ý: Định lý cho trường hợp x → x0 , x → x0 , x → +∞, x → −∞ ĐỊNH LÍ VỀ GIỚI HẠN MỘT BÊN lim f ( x) = L ⇔ lim_ f ( x) = lim+ f ( x ) = L x → x0 x → x0 x → x0 CÁC QUY TẮC TÌM GIỚI HẠN VƠ CỰC CỦA HÀM SỐ f ( x ) = +∞ lim =0 +) Nếu xlim →x x→x f ( x ) 0 + Bảng quy tắc TỔNG CỦA CẤP SỐ NHÂN LÙI VÔ HẠN: u S = ,| q |< 1− q CHÚ Ý:Các giới hạn bản: C = C (C = const) xlim →x xlim →x lim f ( x) x→ x lim g ( x ) x→ x Dấu g(x) + + - L>0 L 0) xn http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word ĐỀ CƯƠNG ƠN TẬP HỌC KÌ MƠN TỐN LỚP 11 – PHẦN LÍ THUYẾT HÀM SỐ LIÊN TỤC a) Định nghĩa: Cho hàm số y = f(x) xác định khoảng K x0 ∈ K f ( x) = f ( x0 ) Hàm số y = f(x) gọi liên tục x0 xlim →x b) Một số định lý bản: ĐL 1: - Hàm số đa thức liên tục R - Hàm phân thức hữu tỉ hàm lượng giác liên tục khoảng tập xác định chúng ĐL 2: Tổng, hiệu, tích, thương hai hàm số liên tục x0 hàm số liên tục x0 (trường hợp thương mẫu phải khác x0 ) ĐL 3: Nếu hàm số y = f(x) liên tục [ a; b] f(a).f(b)0) ( U) ′ = U ′ n-1 U′ U (U ≠ 0) (U > 0) ( sin U ) ' = U ' cos U ( cos U ) ' = −U ' sin U ( tan x ) ' = ( n (x ≠ 0) ( sin x ) ' = cos x ( cos x ) ' = − sin x = + tan x cos x ( cot x ) ' = − 12 = − + cot x sin x (U )′ =n.U U' cos U ( cot U ) ' = − U2 ' sin U ( tan U ) ' = ) CÁC QUY TẮC TÍNH ĐẠO HÀM (Ký hiệu U = U(x), V=V(x)) ( U ± V) ′ = U′ ± V ′ ( U.V ) ' = U'.V + V'.U http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word ĐỀ CƯƠNG ƠN TẬP HỌC KÌ MƠN TỐN LỚP 11 – PHẦN LÍ THUYẾT (k.U)′ = k.U′ (k ′ U'.V − V'.U U   = V2 V số) ĐẠO HÀM CỦA HÀM SỐ HỢP: g(x) = f[U(x)] , g ' x = f 'u U x′ ĐẠO HÀM CẤP CAO CỦA HÀM SỐ Đạo hàm cấp 2: f ′′( x) = [ f ′( x)] ′ Đạo hàm cấp n: f ( n ) ( x) = [ f ( n −1) ( x)]′ PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ Phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số y = f(x) điểm M0 có hồnh độ x0 có dạng: y = f’(x0) (x – x0) + f(x0) Lưu ý: f’( x0 ) = hệ số góc tiếp tuyến với đường cong (C): y = f(x) điểm M ( x0 , f ( x0 ) ) II CÁC DẠNG BÀI TẬP CƠ BẢN Dạng 1: Tính đạo hàm, đạo hàm cấp cao hàm số Sử dụng quy tắc bảng đạo hàm để tính Dạng 2: Viết phương trình tiếp tuyến đường cong (C): y = f(x) * Loại 1: Tiếp tuyến điểm M ( x0 , f ( x0 ) ) Phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số y = f(x) điểm M0 có hồnh độ x0 có dạng: y = f’(x0) (x – x0) + f(x0) (*) * Loại 2: Tiếp tuyến với hệ số góc k + Tiếp tuyến song song với đường thẳng d cho trước: Phương pháp: B1: Tiếp tuyến d’ // d nên k d ' = k d B2: Gọi x0 hồnh độ tiếp điểm Khi ta có f’(x0)= k d ′ (3) B3: Giải (3) tìm x0 Từ suy f(x0) B4: Thay kết vừa tìm vào pt dạng (*) ta pt tiếp tuyến cần lập + Tiếp tuyến vng góc với đường thẳng d cho trước Phương pháp: B1: Tiếp tuyến d’ // d nên k d ' = − kd http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word ĐỀ CƯƠNG ƠN TẬP HỌC KÌ MƠN TỐN LỚP 11 – PHẦN LÍ THUYẾT B2: Gọi x0 hồnh độ tiếp điểm Khi ta có f’(x0)= k d ′ (4) B3: Giải (4) tìm x0 Từ suy f(x0) B4: Thay kết vừa tìm vào pt dạng (*) ta pt tiếp tuyến cần lập * Loại 3: Tiếp tuyến qua điểm A cho trước Phương pháp: B1: Gọi d tiếp tuyến cần viết M ( x0 , y ) tiếp điểm Khi d có pt dạng y − y = f ' ( x )( x − x ) B2: Cho d qua A ta y A − y = f ' ( x0 )( x A − x0 ) (5) B3: Giải (5) tìm x0 ⇒ y ? Suy pt tiếp tuyến cần viết B HÌNH HỌC I CÁC DẠNG BÀI TẬP THƯỜNG GẶP Dạng 1: Chứng minh hai đường thẳng a b vng góc Phương pháp 1: Chứng minh góc hai đường thẳng a b 900 rr r r Phương pháp 2: a ⊥ b ⇔ u v = ( u , v vectơ phương a b) Phương pháp 3: Chứng minh a ⊥ (α ) ⊃ b b ⊥ ( β ) ⊃ a Phương pháp 4: Áp dụng định lí đường vng góc ( a ⊥ b ⇔ a ⊥ b ' với b’ hình chiếu đt b lên mp chứa đt a) * LƯU Ý: Trong phương pháp phương pháp thông dụng Dạng 2: Chứng minh đường thẳng d vng góc với mp (P) Phương pháp 1: Chứng minh: d ⊥ a d ⊥ b với a ∩ b = M; a,b ⊂ (P) Phương pháp 2: Chứng minh d // a, a ⊥ (P) Phương pháp 3: Chứng minh: d ⊂ (Q) ⊥ (P), d ⊥ a = (P) ∩ (Q) Phương pháp 4: Chứng minh: d = (Q) ∩ (R) (Q) ⊥(P), (R) ⊥ (P) Dạng 3: Chứng minh hai mp (P) (Q) vng góc Phương pháp 1: Chứng minh (P) ⊃ a ⊥ (Q) Phương pháp 2: Chứng minh (P) // (R) ⊥ (Q) Phương pháp 3: Chứng minh (P) // a ⊥ (Q) Dạng 4: Tính góc đt a b http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP HỌC KÌ MƠN TỐN LỚP 11 – PHẦN LÍ THUYẾT Phương pháp: - Xác định đt a’// a, b’// b ( a’ ∩ b’ = O) - Khi đó: (a, b) = (a’, b’) Dạng 5: Tính góc đt d mp(P) Phương pháp: Gọi góc đt d mp(P) ϕ +) Nếu d ⊥ (P) ϕ = 900 +) Nếu d khơng vng góc với (P): - Xác định hình chiếu d’ d lên mp(P) - Khi đó: ϕ = (d,d’) Dạng 6: Tính góc ϕ hai mp (P) (Q) Phương pháp 1: Xác định a ⊥ (P), b ⊥ (Q) Tính góc ϕ = (a,b) Phương pháp 2: Nếu (P) ∩ (Q) = d Tìm (R) ⊥ d Xác định a = (R) ∩ (P) Xác định b = (R) ∩ (Q) Tính góc ϕ = (a,b) Dạng 7: Tính khoảng cách Tính khoảng từ điểm M đến đt a: Phương pháp: d ( M , a ) = MH (với H hình chiếu vng góc M a) Tính khoảng từ điểm A đến mp (P): Phương pháp: - Tìm hình chiếu H A lên (P) - d(M, (P)) = AH Tính khoảng đt ∆ mp (P) song song với nó: d(∆, (P)) = d(M, (P)) (M điểm thuộc ∆) Xác định đoạn vng góc chung tính khoảng đt chéo a b: +) Phương pháp 1: Nếu a ⊥ b : Dựng (P) ⊃ a (P) ⊥ b Xác định A = (P) ∩ b Dựng hình chiếu H A lên b http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word ĐỀ CƯƠNG ƠN TẬP HỌC KÌ MƠN TỐN LỚP 11 – PHẦN LÍ THUYẾT AH đoạn vng góc chung a b +) Phương pháp 2: Dựng (P) ⊃ a (P) // b Dựng hình chiếu b’ b lên (P) b’ // b, b’ ∩ a = H Dựng đt vng góc với (P) H cắt đt b A AH đoạn vuông góc chung a b +) Phương pháp 3: Dựng mp (P) ⊥ a I cắt b O Xác định hình chiếu b’ b (P) (b’ qua O) Kẻ IK ⊥ b’ K Dựng đt vng góc với (P) K, cắt b H Kẻ đt qua H song song với IK, cắt đt a A AH đoạn vng góc chung a b http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word ... Website chuyên đề thi – tài liệu file word ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP HỌC KÌ MƠN TỐN LỚP 11 – PHẦN LÍ THUYẾT a − b 3 a − b * Dạng a+ b a + a b + b a + b a + b a− b a − a b + b2 ∞ : ∞ - Chia tử mẫu cho xk với... http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word ĐỀ CƯƠNG ƠN TẬP HỌC KÌ MƠN TỐN LỚP 11 – PHẦN LÍ THUYẾT (k.U)′ = k.U′ (k ′ U'.V − V'.U U   = V2 V số) ĐẠO HÀM CỦA HÀM SỐ HỢP:... nên k d ' = − kd http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word ĐỀ CƯƠNG ƠN TẬP HỌC KÌ MƠN TỐN LỚP 11 – PHẦN LÍ THUYẾT B2: Gọi x0 hồnh độ tiếp điểm Khi ta có f’(x0)= k d ′ (4)