http://dethithpt.com CHƯƠNG V ĐẠO HÀM MỤC LỤC MỤC LỤC CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP 12 http://dethithpt.com http://dethithpt.com http://dethithpt.com CHƯƠNG V ĐẠO HÀM Vấn đề Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số biết hệ số góc tiếp tuyến Phương pháp: • Giải phương trình f '(x) = k giải phương trình ta tìm nghiệm x1 , x2 , , xn • Phương trình tiếp tuyến: y = f '(xi )(x − xi ) + f (xi ) (i = 1,2, ,n) Chú ý: Đới với tốn ta cần lưu ý mợt sớ vấn đề sau: • Số tiếp tuyến của đồ thị chính số nghiệm của phương trình : f '(x) = k • Cho hai đường thẳng d1 : y = k1x + b1 d2 : y = k2x + b2 Khi đo i) tan α = k1 − k2 , đo α = (·d1 ,d2 ) 1+ k1.k2  k1 = k2 ii) d1 / / d2 ⇔  b1 ≠ b2 iii) d1 ⊥ d2 ⇔ k1.k2 = −1 · =± Nếu đường thẳng d cắt trục Ox, Oy A, B tan OAB · đo hệ số goc của d xác định y'( x) = tan OAB OB , OA 2x − co đồ thị (C) x− 1 Giải bất phương trình y' < −4; Ví dụ : Cho hàm số y = Viết phương trình tiếp tuyến với (C) biết tiếp tuyến cắt trục Ox, Oy A, B mà OA = 4OB Lời giải: Ta co y' = −1 (x − 1)2   1 −1 (x − 1) <  x− <  < x< < −4 ⇔  Bất phương trình y' < −4 ⇔ 4⇔  ⇔ 2 (x − 1)2  x ≠  x ≠  x ≠ Cách 1: OB 1 = nên hệ số goc của tiếp tuyến k = k = − OA 4 −1 < 0,∀x ≠ nên hệ số goc của tiếp tuyến k = − Nhưng y' = (x − 1) · = Ta co tan OAB http://dethithpt.com http://dethithpt.com CHƯƠNG V ĐẠO HÀM Hồnh đợ tiếp điểm nghiệm phương trình −1 −1  x = = ⇔ (x − 1)2  x = −1 13 Từ đo ta xác định hai tiếp tuyến thỏa mãn: y = − x + ; y = − x + 4 4 Cách 2:  2x − 1 Phương trình tiếp tuyến với (C) điểm M  x0 ; ÷ (x0 ≠ 1) là: x0 −   y= 2x0 − 2x02 − 2x0 + −1 −x ( x − x ) + y = + hay x0 − (x0 − 1)2 (x0 − 1)2 (x0 − 1)2 Ta xác định tọa độ giao điểm của tiếp tuyến với trục tọa độ:  2x2 − 2x0 + 1 A(2x02 − 2x0 + 1;0), B 0; ÷ (x0 − 1)2 ÷   Từ giả thiết OA = 4OB , ta co: 2x0 − 2x0 + = x = 2x02 − 2x0 + ⇔ (x0 − 1)2 = ⇔  (x0 − 1)  x0 = −1 Cách 3: Giả sử A(a;0), B(0; b) với ab≠ b =± a x y b Đường thẳng qua hai điểm A, B co dạng ∆ : + = hay ∆ : y = − x + b a b a b Đường ∆ : y = − x + b tiếp xúc (C) điểm co hồnh đợ x0 hệ sau a  −1 b  (x − 1)2 = − a (*)  b b co nghiệm x0 :  (I) Từ (*) suy − < ⇒ = x − b a a  = − x0 + b (**)  x0 − a Với giả thiết OA = 4OB ⇒ a = b ⇔ a = ±4b ⇔   x0 =  −1  13   (x − 1)2 = − b =    x = −1 ⇔  ⇒ Hệ (I) trở thành  b =  2x0 − = − x + b b = 2x0 − + x  x0 −   4 x0 −  13 Do co hai tiếp tuyến thỏa mãn: y = − x + ; y = − x + 4 4 Ví dụ Gọi (C) đồ thị của hàm số y = khác − x2 − 2mx + m , m tham số khác x+ m http://dethithpt.com http://dethithpt.com CHƯƠNG V ĐẠO HÀM 1.Chứng minh (C) cắt Ox điểm M co hoành đợ x0 hệ sớ goc của tiếp tuyến của (C) M : k = 2x0 − 2m x0 + m 2.Tìm m để (C) cắt Ox hai điểm hai tiếp tuyến của (C) hai điêm đo vuông goc với Lời giải: 3m + m x+ m Khi m ≠ m ≠ − đa thức tử khơng chia hết cho đa thức mẫu đo đồ thị hàm số không suy biến thành đường thẳng Hệ số goc của tiếp tuyến (d) của (C) M Ta co y = x − 3m+ k = y'(x0 ) = (2x0 − 2m)(x0 + m) − (x02 − 2mx0 + m) (x0 + m)2 Vì M tḥc Ox nên y(x0 ) = ⇒ k= x02 − 2mx0 + m = ⇒ x02 − 2mx0 + m= x0 + m (2x0 − 2m)(x0 + m) 2x0 − 2m = (đpcm) x0 + m (x0 + m)2 2.Phương trình hồnh đợ giao điểm của (C) Ox x2 − 2mx + m  x ≠ −m = 0⇔  x+ m  g(x) = x − 2mx + m= (1) (C) cắt Ox hai điểm phân biệt M,N ⇔ (1) co hai nghiệm x1, x2 khác – m  m< ∨ m > ∆ ' = m2 − m>  m< 0∨ m>  ⇔ ⇔ ⇔ (*) m ≠ −  g(−m) ≠ 3m + m≠  Khi đo hệ số goc của hai tiếp tuyến của (C) M, N k1 = 2x1 − 2m 2x − 2m , k2 = x1 + m x2 + m Hai tiếp tuyến vuông goc ⇔ k1.k2 = −1  2x − 2m 2x2 − 2m ⇔ ÷ ÷ = −1  x1 + m  x2 + m  ⇔ 4[x1x2 − m(x1 + x2 ) + m2 ] = − x1x2 − m(x1 + x2 ) − m2 (2) Lại co x1 + x2 = 2m , x1.x2 = m Do đo : (2) ⇔ −m2 + 5m= ⇔ m= 0∨ m= So với điều kiện (*) nhận m = http://dethithpt.com http://dethithpt.com CHƯƠNG V ĐẠO HÀM x co đồ thị (C) Tìm tọa đợ điểm M tḥc (C), x− biết tiếp tuyến của (C) M vuông goc với đường thẳng qua điểm M điểm I ( 1;1) Ví dụ : Cho hàm sớ y = Lời giải:  x  Với x0 ≠ 1, tiếp tuyến (d) với (C)  M  x0 ; ÷co phương trình : x0 − 1  y= − x0 x02 1 ( x − x ) + ⇔ x + y − =0 x0 − (x0 − 1)2 (x0 − 1)2 (x0 − 1)2 r   uuur   IM = x − 1; (d) co vec tơ phương u =  −1; ,  ÷ 2÷ x0 − 1 (x0 − 1) ÷    Để (d) vuông goc IM điều kiện : r uuur x = 1 u.IM = ⇔ −1.(x0 − 1) + = 0⇔  (x0 − 1) x0 −  x0 = Với x0 = , ta M ( 0;0) Với x0 = , ta M ( 2;2) Vậy, M ( 0;0) M ( 2;2) tọa đợ cần tìm Ví dụ : Cho hàm sớ y = x3 + 3x2 − 9x + co đồ thị (C) Trong tất tiếp tuyến của đồ thị (C), tìm tiếp tún co hệ sớ goc nhỏ nhất Lời giải: Hàm số cho xác định D = ¡ Ta co: y' = 3x2 + 6x − Gọi M (x0 ; y0 ) ∈ (C) ⇔ y0 = x03 + 3x02 − 9x0 + Tiếp tuyến điểm M co hệ số goc: k = y'(x0 ) = 3x02 + 6x0 − = 3(x0 + 1)2 − 12 ≥ −12 mink = −12, đạt được khi: x0 = −1⇒ y0 = 16 Vậy tất tiếp tuyến của đồ thị hàm số, tiếp tuyến M ( −1;16) co hệ số goc nhỏ nhất co phương trình là: y = −12x +4 Ví dụ Gọi (C) đồ thị của hàm số y = −2x3 + 6x2 − Viết phương trình tiếp tuyến (d) của (C) điểm A tḥc (C) co hồnh đợ x = Tìm giao điểm khác A của (d) (C) Xác định tham số a để tồn ít một tiếp tuyến của (C) co hệ số goc a http://dethithpt.com http://dethithpt.com CHƯƠNG V ĐẠO HÀM Chứng minh co một tiếp tuyến của (C) qua điểm co hồnh đợ thỏa mãn phương trình y'' = của (C) Lời giải: Phương trình tiếp tuyến (d) của (C) điểm A: y = y'(3)(x − 3) + y(3) = −18x + 49 Phương trình hồnh đợ giao điểm của (d) (C): − 2x3 + 6x2 − = −18x + 49 ⇔ 2x3 − 6x2 − 18x + 54 = ⇔ x = ∨ x = −3 Suy giao điểm của (d) (C) khác A B( − 3;103) Tồn ít một tiếp tuyến của (C) co hệ số goc a ⇔ ∃x0 ∈ ¡ , y'(x0 ) = a ⇔ ∃x0 : −6x02 + 12x0 = a Bài tốn quy :Tìm a để phương trình - 6x2 +12x = a (1) co nghiệm (1) ⇔ 6x2 – 12x + a = (1) co nghiệm ⇔ ∆ ' = 36 − 6a ≥ ⇔ a ≤ Vậy a ≤ Từ giả thiết, suy hồnh đợ phương trình y'' = ⇔ x = 1⇒ I ( 1; − 1) Phương trình tiếp tuyến (D) của (C) qua I ( 1; − 1) co dạng : y = k ( x – 1) – −2x03 + 6x02 − = k(x0 − 1) − (1) (D) tiếp xúc (C) điểm co hồnh đợ x0 ⇔  co −6x0 + 12x0 = k (2) nghiệm x0 Thay (2) vào (1) ta − 2x03 + 6x02 − = (−6x02 + 12x0 )(x0 − 1) − ⇔ (x0 − 1)3 = ⇔ x0 = Suy phương trình ( d ) : y = 6x – Ví dụ : Cho hàm số y = − x3 + (m− 1)x2 + (3m− 2)x − co đồ thị (C) Tìm m để 3 ( C ) co hai điểm phân biệt M 1(x1 ; y1), M 2(x2 ; y2 ) thỏa mãn x1.x2 > tiếp tuyến của (C) điểm đo vuông goc với đường thẳng d : x − 3y + = Lời giải: Hàm số cho xác định D = ¡ Ta co: y' = −2x2 + 2(m− 1)x + 3m− Hệ số goc của d : x − 3y + 1= kd = Tiếp tuyến điểm M 1(x1 ; y1), M 2(x2 ; y2 ) vng goc với d phải co: y' = −3 Trong đo x1 , x2 nghiệm của phương trình: −2x2 + 2(m− 1)x + 3m− = −3 (1) ⇔ 2x2 − 2(m− 1)x − 3m− = http://dethithpt.com http://dethithpt.com CHƯƠNG V ĐẠO HÀM u cầu tốn ⇔ phương trình (1) co hai nghiệm x1 , x2 thỏa mãn x1.x2 > ∆ ' = (m− 1)2 + 2(3m+ 1) >  m< −3  ⇔  −3m− ⇔  −1 < m < − >0    Vậy, m< −3 −1< m< − thỏa mãn tốn Ví dụ Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị ( C ) : y = x3 − 6x2 + 9x − điểm M , biết M điểm cực trị của ( C ) tạo thành tam giác co diện tích Lời giải: Hàm số cho co điểm cực trị A ( 1;2) , B( 3; −2) đường thẳng qua cực trị AB : 2x + y − = Gọi M ( x0 ; y0 ) tọa độ tiếp điểm của đồ thị ( C ) của hàm số tiếp tuyến ( d) cần tìm Khi đo y0 = x03 − 6x02 + 9x0 − Ta co: AB = , d( M ; AB) = 2x0 + y0 − Giả thiết SMAB = ⇔ AB.d( M ; AB) = ⇔ 2x0 + y0 − = ⇔ 2x0 + y0 = 10 2x0 + y0 = −2  2x0 + y0 = −2 TH1: Tọa độ M thỏa mãn hệ:   y0 = x0 − 6x0 + 9x0 −  y0 = −2 − 2x0  y = −2 ⇔ ⇔ hay M ( 0; −2) x x − x + 11 = x = 0 0   Tiếp tuyến M là: y = 9x − ( )  2x0 + y0 = 10 TH2: Tọa độ M thỏa mãn hệ:   y0 = x0 − 6x0 + 9x0 −  y0 = 10− 2x0  y0 = ⇔ ⇔ hay M ( 4;2)  ( x0 − 4) x0 − 6x0 + 11 =  x0 = Tiếp tuyến M là: y = 9x − 34 ( ) Vậy, co tiếp tuyến thỏa đề bài: y = 9x − y = 9x − 34 http://dethithpt.com http://dethithpt.com CHƯƠNG V ĐẠO HÀM x− co đồ thị (C) Tìm điểm M (C) 2(x + 1) cho tiếp tuyến với (C) M tạo với hai trục tọa độ một tam giác co trọng tâm nằm đường thẳng 4x + y = Ví dụ : Cho hàm sớ y = Lời giải: Hàm số cho xác định D = ¡ \ { −1} Gọi M( x0 ; x0 − ) ∈ (C) điểm cần tìm 2(x0 + 1) Gọi ∆ tiếp tuyến với (C) M ta co phương trình ∆ : y = f ' (x0 )(x − x0 ) + x −1 x0 − ⇒ y= (x − x0 ) + 2(x0 + 1) 2(x0 + 1) ( x0 + 1)  x02 − 2x0 −   x02 − 2x0 − 1 B = ∆ ∩ Oy ⇒ B 0; ;0÷ Gọi A = ∆ ∩ Ox ⇒ A  − ÷,  2(x + 1)2 ÷ ÷      x02 − 2x0 − x02 − 2x0 − 1 ; ∆ OAB co trọng tâm là: G(  − ÷ 6(x0 + 1)2 ÷   Do G tḥc đường thẳng: 4x + y = ⇒ −4 ⇔ 4= (x + 1) x02 − 2x0 − x02 − 2x0 − + =0 6(x0 + 1)2    x0 + =  x0 = − ⇔ (vì A, B ≠ O nên x02 − 2x0 − ≠ ) ⇔   x + 1= −  x = −   Với x0 = −  3 ⇒ M  − ;− ÷  2 Với x0 = −  5 ⇒ M  − ; ÷  2 Ví dụ : Tìm mđể tiếp tuyến của đồ thị y = x3 − 3x2 + m điểm co hồnh đợ cắt trục Ox , Oy A B cho diện tích tam giác OAB co diện tích 1,5 2 Tìm giá trị dương của m để ( Cm ) : y = x − 3( m+ 1) x + 3m+ cắt trục hoành điểm phân biệt tiếp tuyến điểm co hồnh đợ lớn với trục tọa độ tạo thành tam giác co diện tích 24 Lời giải: x = 1⇒ y ( 1) = m− suy M ( 1; m− 2) Tiếp tuyến M d : y = −3x + m+ http://dethithpt.com http://dethithpt.com CHƯƠNG V ĐẠO HÀM  m+  ;0÷ d cắt Ox A nên A ( xA ;0) A ∈ d suy A    d cắt Oy B nên B( 0; yB ) B ∈ d suy B( 0; m+ 2) Diện tích tam giác OAB co diện tích 1,5 OA OB = hay 2 m+ 2 m+ = hay ( m+ 2) = phương trình co nghiệm m= −5 m= Vậy, m= −5 m= giá trị cần tìm OA OB = ⇔ Phương trình hồnh đợ giao điểm ( Cm ) trục hoành : ( ) x4 − 3( m+ 1) x2 + 3m+ = ⇔ x2 −  x2 − ( 3m+ 2)  = ( ∗) Với m> ( Cm ) cắt trục hoành giao điểm phân biệt x = 3m+ hồnh đợ lớn Gỉa sử A ( ) 3m+ 2;0 giao điểm co hồnh đợ lớn tiếp tuyến d A co phương trình: y = 2( 3m+ 1) 3m+ 2.x − 2( 3m+ 1) ( 3m+ 2) ( Gọi B giao điểm của d Oy suy B 0; −2( 3m+ 1) ( 3m+ 2) ) Theo giả thiết, tam giác OAB vuông O SOAB = 24 ⇔ OA.OB = 48 hay ( ) 3m+ 18m2 + 22m+ = 48 ( ∗) ( ) Xét f ( m) = 3m+ 18m + 22m+ − 48, m>  2 Ta co: f '( m) > với m> , suy f ( m) đồng biến với m> f  ÷ =  3 , đo phương trình ( ∗) co nghiệm m= Vậy, m= thỏa mãn đề Ví dụ 10 Tìm m∈ ¡ , để tiếp tuyến của đồ thị hàm số : y = x3 − mx + m− điểm co hồnh đợ cắt đường tròn ( x − 2) + ( y − 3) = dài nhỏ theo 1dây cung co độ Lời giải: y' = 3x2 − m⇒ y'( 1) = 3− m Với x = 1⇒ y ( 1) = ⇒ M ( 1;0) Phương trình tiếp tuyến M : y = y'( 1) ( x − 1) ⇔ ( 3− m) x − y − 3+ m= 0( d) http://dethithpt.com 10 http://dethithpt.com CHƯƠNG V ĐẠO HÀM Câu Cho hàm số y = x3 + 1− m(x + 1) co đồ thị (Cm) Co giá trị m để tiếp tuyến của (Cm) giao điểm của no với trục tung tạo với hai trục tọa độ một tam giác co diện tích A B.2 C.3 D Lời giải: Ta co M (0;1− m) giao điểm của (Cm) với trục tung y' = 3x2 − m⇒ y'(0) = − m Phương trình tiếp tuyến với (Cm) điểm m y = −mx + 1− m Gọi A , B giao điểm của tiếp tuyến với trục hoanh trục tung,  1− m  ;0÷ B(0;1− m) ta co tọa đợ A   m  Nếu m= tiếp tuyến song song với Ox nên loại khả Nếu m≠ ta co ( 1− m) = 16 ⇔  m= 9± 1 1− m SOAB = ⇔ OA.OB = ⇔ 1− m = ⇔ 2 m m  m= −7 ± Vậy co giá trị cần tìm Bài 9: x+ Tìm giá trị nhỏ của m cho tồn ít 2x − một điểm M ∈ (C) mà tiếp tuyến của (C) M tạo với hai trục toạ độ một tam giác co trọng tâm nằm đường thẳng d : y = 2m− Câu Cho hàm số y = A B 3 C D Lời giải: Gọi M (x0 ; y0 ) ∈ (C) Phương trình tiếp tuyến M : y = −3 (x − x0 ) + y0 (2x0 − 1)2 Gọi A, B giao điểm của tiếp tuyến với trục hoành trục tung ⇒yB = 2x02 + 4x0 − (2x0 − 1)2 Từ đo trọng tâm G của ∆OAB co: yG = 2x02 + 4x0 − 3(2x0 − 1)2 2x02 + 4x0 − = 2m− Vì G ∈d nên 3(2x0 − 1)2 http://dethithpt.com 23 http://dethithpt.com CHƯƠNG V ĐẠO HÀM 2x02 + 4x0 − 6x02 − (2x0 − 1)2 6x02 = = − 1≥ −1 Mặt khác: (2x0 − 1)2 (2x0 − 1)2 (2x0 − 1)2 Do đo để tồn ít mợt điểm M thoả tốn 2m− 1≥ − Vậy GTNN của m 1 ⇔ m≥ 3 2mx + Gọi I giao điểm của hai tiệm cận của (C) Tìm x− m m để tiếp tuyến mợt diểm của (C) cắt hai tiệm cận A B cho ∆IAB co diện tích S = 22 A m= ±5 B m= ±6 C m= ±7 D m= ±4 Lời giải: (C) co tiệm cận đứng x = m, tiệm cận ngang y = 2m Câu Cho hàm số y =  2mx0 +  Giao điểm tiệm cận I (m;2m) M  x0 ; ÷∈ (C) x0 − m   Phương trình tiếp tuyến ∆ của (C) M: y = 2mx0 + 2m2 + (x − x0 ) + x0 − m (x0 − m)  2mx0 + 2m2 +  ∆ cắt TCĐ A  m; ÷, cắt TCN B(2x0 − m;2m) x0 − m   Ta co: IA = 4m2 + ; IB = x0 − m ⇒SIAB = IA.IB = 4m2 + = 22 ⇔m= ±4 x0 + m 2x − M cắt đường tiệm x− cận hai điểm phân biệt A , B Tìm tọa đợ điểm M cho đường tròn ngoại tiếp tam giác IAB co diện tích nhỏ , với I giao điểm hai tiệm cận Câu Gọi ( d) tiếp tuyến của đồ thị ( C ) : y =  5  5  5 A M ( 1;1) M  −1; ÷B M  4; ÷ M ( 3;3) C M ( 1;1) M  4; ÷ D M ( 1;1) M ( 3;3) 3   3  3 Lời giải: Gọi M ( x0 ; y0 ) ∈ ( C ) ⇒ y0 = 2x0 − y'0 = − x0 − ( x0 − 2) Phương trình tiếp tuyến ( d) của ( C ) M : y = (x −1 − 2) ( x− x ) + 2x0 − x0 − http://dethithpt.com 24 http://dethithpt.com CHƯƠNG V ĐẠO HÀM ( d)  2x −  cắt hai đường tiệm cận hai điểm phân biệt A  2; ÷, B( 2x0 − 2;2)  x0 −  Dễ thấy M trung điểm AB I ( 2;2) giao điểm hai đường tiệm cận Tam giác IAB vuông I nên đường tròn ngoại tiếp tam giác IAB co diện tích    2x0 −   2  S = πIM = π ( x0 − 2) +  − 2÷  = π ( x0 − 2) + ≥ 2π x0 −     x −   ( )     Dấu đẳng thức xảy ( x0 − 2) = (x − 2)  x = 1⇒ y0 = ⇔  x0 = ⇒ y0 = Vậy M ( 1;1) M ( 3;3) thỏa mãn tốn Bài tốn mở rộng : Tìm điểm ( C ) co hồnh độ x > 2sao cho tiếp tuyến đo tạo với hai đường tiệm cận một tam giác co chu vi nhỏ  2x −  HD: theo ta co : A  2; ÷, B( 2x0 − 2;2) ⇒ IA , IB Chu vi tam giác AIB  x0 −  P = IA + IB + AB = IA + IB + IA + IB2 ≥ IA IB + 2.IA IB Đẳng thức xảy IA = IB Nếu trường hợp tam giác AIB khơng vng P = IA + IB + AB , để tính AB ta 2 · cần đến định lý hàm số cosin AB = IA + IB − 2IA.IB cos IA , IB ) ( ( ) · , IB P = IA + IB + AB2 ≥ IA.IB + IA + IB2 − 2IA.IB cos IA ( ) · , IB Đẳng thức xảy P ≥ IA.IB + 2IA.IB − 2IA.IB cos IA IA = IB 2x , co đồ thị ( C ) Co điểm M thuộc ( C ) x+ cho tiếp tuyến M của ( C ) cắt Ox, Oy A , B cho diện tích tam Bài 10: Cho hàm số y = giác OAB A 1 , O gốc tọa độ B.2 C.3 Lời giải: D 2x0 Gọi M ( x0 ; y0 ) ∈ ( C ) ⇒ y0 = x + ⇒ y'0 = ( x0 + 1) Phương trình tiếp tuyến ( t ) của ( C ) M : y0 = (x + 1) x+ 2x02 (x + 1) http://dethithpt.com 25 http://dethithpt.com CHƯƠNG V ĐẠO HÀM ( ) Tiếp tuyến ( t ) cắt hai trục tọa độ Ox,Oy hai điểm phân biệt A − x0 ;0 ,  2x02 ÷ B 0; cho diện tích tam giác AOB co diện tích đo  ( x + 1) ÷   2x02 1 1 OA.OB = ⇔ OA.OB = ⇔ x02 = ⇔ 4x02 − ( x0 + 1) = 2 ( x + 1)     2x02 + x0 + =  x0 = − ⇒ M  − ; −2÷ ⇔     2x0 − x0 − =  x = 1⇒ M 1;1 ( )  2x + co đồ thị (C) x− Câu Viết phương trình tiếp tuyến của (C), biết tiếp tuyến song song với đường thẳng d : y = −4x + Bài 12: Cho hàm số y = A ∆ : y = −4x + ; ∆ : y = −4x + B ∆ : y = −4x + ; ∆ : y = −4x + C ∆ : y = −4x + 6; ∆ : y = −4x + 14 D ∆ : y = −4x + ; ∆ : y = −4x + 14 Lời giải: Hàm số xác định với x ≠ Ta co: y' = −4 (x − 1)2 Tiệm cận đứng: x = 1; tiệm cận ngang: y = ; tâm đối xứng I (1;2) Gọi M (x0 ; y0 ) tiếp điểm, suy phương trình tiếp tuyến của (C): ∆ :y= 2x0 + −4 ( x − x ) + x0 − (x0 − 1)2 Vì tiếp tuyến song với đường thẳng d : y = −4x + nên ta co: −4 y'(x0 ) = −4 ⇔ = −4 ⇔ x0 = 0, x0 = (x0 − 1)2 * x0 = ⇒ y0 = ⇒ ∆ : y = −4x + * x0 = ⇒ y0 = ⇒ ∆ : y = −4x + 14 Câu Viết phương trình tiếp tuyến của (C), biết tiếp tuyến tạo với hai trục tọa độ một tam giác vuông cân A ∆ : y = − x + ; ∆ : y = − x − B ∆ : y = −2x + ; ∆ : y = − x − 11 C ∆ : y = − x + 78; ∆ : y = − x − 11 D ∆ : y = − x + 9; ∆ : y = − x − Lời giải: http://dethithpt.com 26 http://dethithpt.com CHƯƠNG V ĐẠO HÀM Hàm số xác định với x ≠ Ta co: y' = −4 (x − 1)2 Tiệm cận đứng: x = 1; tiệm cận ngang: y = ; tâm đối xứng I (1;2) Gọi M (x0 ; y0 ) tiếp điểm, suy phương trình tiếp tuyến của (C): ∆ :y= 2x0 + −4 ( x − x ) + x0 − (x0 − 1)2 Vì tiếp tuyến tạo với hai trục tọa độ một tam giác vuông cân nên hệ số goc của tiếp tuyến ±1 −4 = ±1 ⇔ x0 = −1, x0 = (x0 − 1)2 * x0 = −1⇒ y0 = ⇒ ∆ : y = − x − * x0 = ⇒ y0 = ⇒ ∆ : y = − x + Câu Viết phương trình tiếp tuyến của (C), biết tiếp tuyến tạo với hai tiệm cận một tam giác co chu vi nhỏ A ∆ : y = − x − 21 ∆ : y = − x + B ∆ : y = − x − ∆ : y = − x + C ∆ : y = − x − ∆ : y = − x + 17 D ∆ : y = − x − ∆ : y = − x + Lời giải: Hàm số xác định với x ≠ Ta co: y' = −4 (x − 1)2 Tiệm cận đứng: x = 1; tiệm cận ngang: y = ; tâm đối xứng I (1;2) Gọi M (x0 ; y0 ) tiếp điểm, suy phương trình tiếp tuyến của (C): ∆ :y= 2x + −4 (x − x0 ) + x0 − (x0 − 1) Tiếp tuyến cắt tiệm cận đứng x =  2x +   A : 2x0 + ⇒ A  1; −4 ÷  x0 −   y = (x − 1)2 (1− x0 ) + x − 0  Tiếp tuyến cắt tiệm ngang y =  B: 2x0 + ⇒ B(2x0 − 1;2) −4  = (x − 1)2 (x − x0 ) + x − 0  Suy ra: IA = ; IB = x0 − ⇒ IA.IB = 16 x0 − http://dethithpt.com 27 http://dethithpt.com CHƯƠNG V ĐẠO HÀM Chu vi tam giác IAB : P = IA + IB + AB = IA + IB + IA + IB2 Mà IA + IB ≥ IA.IB = 8; IA + IB2 ≥ 2IA IB = 32 Nên P ≥ + 32 = + Đẳng thức xảy ⇔ IA = IB ⇔ (x0 − 1)2 = ⇔ x0 = 3, x0 = −1 Vậy ta co hai tiếp tuyến thỏa yêu cầu toán: ∆ : y = − x − ∆ : y = − x + 2x co đồ thị (C) x+ Câu Trên đồ thị (C) tồn điểm mà tiếp tuyến của (C) đo song song với đường thẳng y = 4x + Bài 13 Cho hàm số y = A B.2 C.3 Lời giải: D Hàm số xác định với x ≠ −2 Ta co: y' = (x + 2)2 Gọi M (x0 ; y0 ) ∈ (C) Tiếp tuyến ∆ của (C) M co phương trình y= 2x0 2x02 4 ( x − x ) + = x + x0 + (x0 + 2)2 (x0 + 2)2 (x0 + 2)2 Tiếp tuyến ∆ song song với đường thẳng y = 4x +   (x + 2)2 =  ⇔ x0 = −1; x0 = −3   2x0 ≠  (x0 + 2)2  Vậy (C) co hai điểm thỏa yêu cầu tốn Câu Viết phương trình tiếp tuyến của (C), biết tiếp tuyến tạo với hai trục tọa độ một tam giác co diện tích 18 9 31 A ∆ : y = x + ; ∆ : y = x + B ∆ : y = x + ; ∆ : y = x + 9 9 4 C ∆ : y = x + ; ∆ : y = x + D ∆ : y = x + ; ∆ : y = x + 9 9 Lời giải: Hàm số xác định với x ≠ −2 Ta co: y' = (x + 2)2 http://dethithpt.com 28 http://dethithpt.com CHƯƠNG V ĐẠO HÀM Gọi M (x0 ; y0 ) ∈ (C) Tiếp tuyến ∆ của (C) M co phương trình y= 2x0 2x02 4 ( x − x ) + = x + x0 + (x0 + 2)2 (x0 + 2)2 (x0 + 2)2 Gọi A, B giao điểm của tiếp tuyến ∆ với Ox, Oy y =    2x02 Suy A :   x = − x0 ⇒ A(− x0 ;0) 2  (x + 2)2 x + (x + 2)2 = ⇔  0   y = x =  2x02   B: 2x0 ⇒ B 0; 2÷ ÷  (x0 + 2)   y = (x + 2)2  Vì A , B ≠ O ⇒ x0 ≠ 1 x04 Tam giác AOB vuông O nên S∆AOB = OA.OB = 2 (x0 + 2)2 Suy S∆AOB = x04 ⇔ = ⇔ 9x04 = (x0 + 2)2 18 (x0 + 2)  3x02 + x0 + = (vn)  x0 = ⇔ ⇔ x = −  3x0 − x0 − = 0  4 , y'(x0 ) = Phương trình ∆ : y = x + 9 9 * x0 = − ⇒ y0 = −1, y'(x0 ) = 9 Phương trình ∆ : y = (x + ) − = x + 4 * x0 = 1⇒ y0 = Câu Giả sử tồn phương trình tiếp tuyến của (C), biết khoảng cách từ tâm đối xứng đến tiếp tuyến lớn nhất., hồnh đợ tiếp điểm lúc là: A x0 = 0, x0 = −4 B x0 = 0, x0 = −3 C x0 = 1, x0 = −4 D x0 = 1, x0 = −3 Lời giải: Hàm số xác định với x ≠ −2 Ta co: y' = (x + 2)2 Gọi M (x0 ; y0 ) ∈ (C) Tiếp tuyến ∆ của (C) M co phương trình http://dethithpt.com 29 http://dethithpt.com CHƯƠNG V ĐẠO HÀM y= 2x0 2x02 4 ( x − x ) + = x + x0 + (x0 + 2)2 (x0 + 2)2 (x0 + 2)2 Ta co tâm đối xứng I (−2;2) Khoảng cách từ I đến tiếp tuyến ∆ : d= Do x0 + (x0 + 2)4 + 16 =8 2x02 x − y + = 0: (x0 + 2)2 (x0 + 2)2 t , với t = (x0 + 2)2 ≥ t + 16 t t ≤ = ⇒ d≤ 2 16 t + 16 16t Đẳng thức xảy t2 = 16 ⇔ t = ⇔ (x0 + 2)2 = ⇔ x0 = 0, x0 = −4 Bài 14: Cho hàm số y = x3 + ax2 + bx + c, c< co đồ thị (C) cắt Oy A co hai điểm chung với trục Ox M N Tiếp tuyển với đồ thị M qua A Tìm a; b;c để SAMN = A a = 4,b = 5,c = −2 B a = 4,b = 5, c = C a = −4, b = 6, c = −2 a = −4,b = 5,c = −2 D Lời giải: Giả sử (C) cắt Ox M (m;0) N (n;0) cắt Oy A(0; c) Tiếp tuyến M co phương trình: y = (3m2 + 2am+ b)(x − m) Tiếp tuyến qua A nên ta co: 3m3 + 2am2 + bm+ c = a (do m3 + am2 + bm+ c = ) Mà (C) cắt Ox hai điểm nên (C) tiếp xúc với Ox Nếu M tiếp điểm suy Ox qua A vơ lí nên ta co (C) tiếp xúc ⇔ 2m3 + am2 = ⇔ m= − với Ox N Do đo: y = x3 + ax2 + bx + c = (x − n)2(x − m)  a a m= − ,n = −  m+ 2n = −a   Suy  2mn + n = b ⇔ a = 32c (1)  mn2 = −c 5a2 = 16b    Mặt khác S∆AMN = ⇔ −c n − m = ⇔ −c a =  a3 = 32c  • a> ta co:  ac = −8 vô nghiệm  5a2 = 16b  http://dethithpt.com 30 http://dethithpt.com CHƯƠNG V ĐẠO HÀM  a3 = 32c  • a< ta co:  ac = ⇔ a = −4,b = 5, c = −2  5a2 = 16b  2x − co đồ thị (C) x− Câu Viết phương trình tiếp tuyến của (C), biết tiếp tuyến co hệ số goc − 3 A : y = − x + y = − x + B : y = − x + y = − x + 4 4 4 1 13 C : y = − x + y = − x + D : y = − x + y = − x + 4 4 4 4 Lời giải: Bài 15: Cho hàm số y = : Gọi M (x0 ; y0 ) tiếp điểm Phương trình tiếp tuyến ∆ M y= 2x − −1 (x − x0 ) + x0 − (x0 − 1) Hệ số goc của tiếp tuyến − − nên suy 1 = − ⇔ x0 = 3, x0 = −1 (x0 − 1) 13 Từ đo ta tìm tiếp tuyến là: y = − x + y = − x + 4 4 Câu Viết phương trình tiếp tuyến của (C), biết tiếp tuyến tạo với hai tiệm cận một tam giác co chu vi nhỏ A y = − x + y = − x + 4 4 13 C y = − x + y = − x + 4 1 B y = − x + y = − x + 4 13 D y = − x + y = − x + 4 4 Lời giải: Gọi M (x0 ; y0 ) tiếp điểm Phương trình tiếp tuyến ∆ M y= 2x − −1 (x − x0 ) + x0 − (x0 − 1) Tiếp tuyến ∆ cắt tiệm cận đứng A(1; 2x0 ), cắt đường tiệm cận ngang x0 − B(2x0 − 1;2) Tâm đối xứng I (1;2) http://dethithpt.com 31 http://dethithpt.com CHƯƠNG V ĐẠO HÀM Suy IA = , IB = x0 − ⇒ IA.IB = x0 − Chu vi tam giác IAB : p = AB + IA + IB = IA + IB2 + IA + IB Mặt khác: IA + IB2 ≥ 2IA.IB = 8; IA + IB ≥ IA.IB = Nên p≥ 2 + Đẳng thức xảy ⇔ IA = IB ⇔ (x0 − 1)2 = ⇔ x0 = 3, x0 = −1 13 Từ đo ta tìm tiếp tuyến là: y = − x + y = − x + 4 4 Câu Viết phương trình tiếp tuyến của (C), biết khoảng cách từ tâm đối xứng I đến tiếp tuyến tạo lớn A y = − x + y = − x + 4 4 13 C y = − x + y = − x + 4 4 1 B y = − x + y = − x + 4 13 D y = − x + y = − x + 4 4 Lời giải: Gọi M (x0 ; y0 ) tiếp điểm Phương trình tiếp tuyến ∆ M y= 2x − −1 (x − x0 ) + x0 − (x0 − 1) Gọi H hình chiếu của I lên ∆ Ta co d(I , ∆) = IH Trong tam giác vuông IAB ta co: 1 = 2+ 2≥ = IA.IB IH IA IB Suy IH ≤ Đẳng thức xảy ⇔ IA = IB 13 Từ đo ta tìm tiếp tuyến là: y = − x + y = − x + 4 4 Câu Tìm điểm M tḥc (C) cho tiếp tuyến của (C) M vuông goc với IM A y = − x + 1, y = − x + B y = − x + 3, y = − x + C y = − x + 1, y = − x + D y = − x + 1, y = − x + Lời giải: Gọi M (x0 ; y0 ) tiếp điểm Phương trình tiếp tuyến ∆ M y= 2x − −1 (x − x0 ) + x0 − (x0 − 1) r  −1  uuur IM = (x0 − 1; ) Đường thẳng ∆ co VTCP u =  1; , 2÷ ÷ x − ( x − 1) 0   http://dethithpt.com 32 http://dethithpt.com CHƯƠNG V ĐẠO HÀM IM ⊥ ∆ ⇔ x0 − 1− = ⇔ x0 = 0, x0 = (x0 − 1)3 Từ đo ta tìm tiếp tuyến: y = − x + 1, y = − x + Bài 16: Câu Gọi (C) đồ thị của hàm số y = x4 − (d) một tiếp tuyến của (C) , (d) cắt hai trục tọa đợ A B Viết phương trình tiếp tuyến (d) tam giác OAB co diện tích nhỏ ( O gốc tọa độ ) A y = ± 4 15 x− B y = ± 4 12 x− C y = ± 4 x− D y = ± 4 125 x− Lời giải: Phương trình tiếp tuyến (d) co dạng : y = 4x03(x − x0 ) + x04 − = 4x03x − 3x04 − đo x0 hồnh đợ tiếp điểm của (d) với (C)  3x04 +  ⇒ A ;0÷ A giao điểm của (d) với trục Ox  ÷ x   B giao điểm của (C) với trục Oy ⇒ B(0; −3x0 − 1) Diện tích của tam giác vuông OAB: 1 (3x04 + 1)2 (3x04 + 1)2 S = OA.OB = xA yB = = 2 x 4x03 Xét trường hợp x0 > ,khi đo (3x + 1) S = x03 (3x04 + 1)2 , x0 ∈ (0; +∞) Xét hàm số f (x0 ) = x03 f '(x0 ) = 2(3x04 + 1)12x03.x03 − (3x04 + 1)2.3x02 3(3x04 + 1)(5x04 − 1) = x06 x04 f '(x0 ) = ⇔ x04 = 1 ⇔ x0 = (do x0 > 0) 5 Bảng biến thiên của f (x0 ) x0 f'(x0) +∞ - + f(x0) http://dethithpt.com 33 http://dethithpt.com CHƯƠNG V ĐẠO HÀM Từ bảng biến thiên suy f (x0 ) = Suy minS = 5 ⇔ x0 = 64 54 đạt x0 = Khi đo phương trình của (d) y = x− 125 Vì trục Oy trục đới xứng của (C) nên trường hợp x0 < 0, phương trình x− của (d) y = − 125 Vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm y = ± 4 125 x− Câu Gọi (Cm) đồ thị của hàm số y = x − 3( m + 1) x + 3m + , m tham sớ Tìm giá trị dương của tham sớ m để (Cm) cắt trục hồnh bớn điểm phân biệt tiếp tuyến của (Cm) giao điểm co hồnh đợ lớn hợp với hai trục toạ độ một tam giác co diện tích 24 B m = A m = 1 C m = D m = Lời giải: Phương trình hồnh đợ giao điểm của (Cm) trục hồnh x4 − 3( m + 1) x2 + 3m + = (1) Đặt t = x2 ,t ≥ Phương trình (1) trở thành : t − 3( m + 1) t + 3m + = (2) (Cm) cắt trục Ox bốn điểm phân biệt ⇔ Phương trình (1) co nghiệm phân biệt ⇔ Phương trình (2) co hai nghiệm dương phân biệt Vì (2) ln co hai nghiệm t = 1, t = 3m + với m m > (giả thiết) nên ta co 1< 3m + ,suy với tham số m > , (Cm) cắt Ox diểm phân biệt gọi A giao điểm co hồnh đợ lớn hồnh đợ A xA = 3m+ Gọi f(x) = x − 3( m + 1) x + 3m + , phương trình tiếp tuyến d của (Cm) A y = f '(xA )(x − xA ) + f (xA ) = [4xA3 − 6(m+ 1)xA ](x − xA ) ( f (xA ) = ) = [4(3m+ 2) 3m+ − 6(m+ 1) 3m+ 2](x − 3m+ 2) ( ) = ( 6m + 2) 3m+ x − 3m+ 2) http://dethithpt.com 34 http://dethithpt.com CHƯƠNG V ĐẠO HÀM ( ) Gọi B giao điểm của tiếp tuyến d với trục Oy B ;( 6m + 2) ( 3m + 2) Tam giác mà tiếp tuyến d tạo với hai trục toạ độ tam giác vuông OAB ( vuông tạiO) ,theo giả thiết ta co : SOAB = 24 ⇔ OA.OB = 48 ⇔ xA yB = 48 ⇔ 3m+ 2(6m+ 2)(3m+ 2) = 48 (3) Gọi f ( m) = 3m+ 2(6m+ 2)(3m+ 2) = 3m+ 2(18m + 22m+ 4) f '(m) = 3m+ (18m2 + 22m+ 4) + (36m+ 22) 3m+ > với m >0  2 Suy hàm số f(m) đồng biến (0;+ ∞) f  ÷ = 24 , đo phương trình  3 (3) co một nghiệm m = (0;+ ∞) Bài 18: 2x co đồ thị ( C ) Viết phương trình tiếp tuyến của x+ đồ thị ( C ) , để khoảng cách từ tâm đối xứng của đồ thị ( C ) đến tiếp tuyến lớn A y = 2x y = x + B y = x y = x + C y = 3x y = x+ D y = x y = x + Câu Cho hàm số y = Lời giải: Tiếp tuyến ( d) của đồ thị ( C ) điểm M co hồnh đợ a≠ −2 tḥc ( C ) co phương trình: y = 2a (x − a) + ⇔ 4x − (a+ 2)2 y + 2a2 = a+ (a+ 2) Tâm đối xứng của ( C ) I ( −2;2) d(I ,d) = a+ 16 + (a+ 2)4 ≤ a+ 2.4.(a+ 2)2 = a+ 2 a+ =2 d(I ,d) lớn (a+ 2)2 = ⇔ a = −4 a= Từ đo suy co hai tiếp tuyến y = x y = x + 2x − co đồ thị ( C ) Tìm ( C ) điểm M x− cho tiếp tuyến M của ( C ) cắt hai tiệm cận của ( C ) A,B cho AB ngắn Câu Cho hàm số y = A M (3;3) M (−1; ) B M (−1; ) M (1;1) http://dethithpt.com 35 http://dethithpt.com CHƯƠNG V ĐẠO HÀM 5 C M (4; ) M (−1; ) D M (3;3) M (1;1) Lời giải:   ∈ ( C ) Ta co: y′ (m) = − Lấy điểm M  m; + ÷ (m− 2)2 m−   Tiếp tuyến ( d) M co phương trình: y = − 1 (x − m) + 2+ m− (m− 2)   Giao điểm của ( d) với tiệm cận đứng là: A  2;2 + m− ÷   Giao điểm của ( d) với tiệm cận ngang là: B(2m– 2;2)   2 Ta co: AB = 4(m− 2) +  ≥ Đẳng thức xảy m= m= (m− 2)2   Vậy, điểm M cần tìm co tọa độ là: M (3;3) M (1;1) Bài 19 : Tìm m để tiếp tuyến của đồ thị y = x3 − mx + m− điểm M co hồnh đợ x = −1 cắt đường trịn (C) co phương trình (x − 2)2 + (y − 3)2 = theo một dây cung co độ dài nhỏ A m= B m= C m= D m= Lời giải: Ta co: y′ = 3x2 − m ⇒y′(−1) = 3− m; y(−1) = 2m− (C) co tâm I (2;3) , R = Phương trình đường thẳng d M (−1;2m− 2) : y = (3− m)x + m+ ⇔(3− m)x − y + m+ 1= d(I ,d) = 4− m (3− m)2 + = 1+ (3− m) (3− m)2 + ≤ (3− m)2 + (3− m)2 + = 2< R Dấu "=" xảy ⇔m= Do đo d(I ,d) đạt lớn ⇔m= Tiếp tuyến d cắt (C) điểm A, B cho AB ngắn ⇔d(I ,d) đạt lớn ⇔ m= 2, suy d: y = x + http://dethithpt.com 36 ... phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số biết hệ số góc tiếp tuyến Phương pháp: • Giải phương trình f ''(x) = k giải phương trình ta tìm nghiệm x1 , x2 , , xn • Phương trình tiếp tuyến: y = f ''(xi )(x... = −2 tiếp tuyến cần tìm Bài Cho hàm số y = x3 − 3x2 − 9x + 1co đồ thị (C) http://dethithpt.com 19 http://dethithpt.com CHƯƠNG V ĐẠO HÀM Viết phương trình tiếp tuyến của (C), biết tiếp tuyến. .. ± Khi đo phương trình tiếp tuyến (d): Y = −X + 2,Y = − X − 2 Suy phương trình (d) đới với hệ trục Oxy y = − x + 2± 2 CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP 2x − co đồ thị ( C ) Lập phương trình tiếp tuyến