www.thuvienhoclieu.com CHUN ĐỀ : SỐ CHÍNH PHƯƠNG I Số phương: A Một số kiến thức: Số phương: số bình phương số khác Ví dụ: = 22; = 32 A = 4n2 + 4n + = (2n + 1)2 = B2 + Số phương khơng tận chữ số: 2, 3, 7, + Số phương chia hết cho chia hết cho 4, chia hết cho chia hết cho 9, chia hết cho chia hết cho 25, chia hết cho 23 chia hết cho 24,… { = a 99 { { + Số 11 = 9a � 9a + = 99 + = 10n n n n B Một số toán: Bài 1: Chứng minh rằng: Một số phương chia cho 3, cho dư Giải Gọi A = n2 (n �N) a) xét n = 3k (k �N) � A = 9k2 nên chia hết cho n = 3k �1 (k �N) � A = 9k2 �6k + 1, chia cho dư Vậy: số phương chia cho dư b) n = 2k (k �N) A = 4k2 chia hết cho n = 2k +1 (k �N) A = 4k2 + 4k + chia cho dư Vậy: số phương chia cho dư Chú ý: + Số phương chẵn chia hết cho + Số phương lẻ chia cho dư 1( Chia củng dư 1) Bài 2: Số số sau số phương a) M = 19922 + 19932 + 19942 b) N = 19922 + 19932 + 19942 + 19952 c) P = + 9100 + 94100 + 1994100 d) Q = 12 + 22 + + 1002 e) R = 13 + 23 + + 1003 Giải www.thuvienhoclieu.com Trang www.thuvienhoclieu.com a) số 19932, 19942 chia cho dư 1, 19922 chia hết cho � M chia cho dư M khơng số phương b) N = 19922 + 19932 + 19942 + 19952 gồm tổng hai số phương chẵn chia hết cho 4, hai số phương lẻ nên chia dư suy N khơng số phương c) P = + 9100 + 94100 + 1994100 chia dư nên khơng số phương d) Q = 12 + 22 + + 1002 Số Q gồm 50 số phương chẵn chia hết cho 4, 50 số phương lẻ, số chia dư nên tổng 50 số lẻ chia dư Q chia dư nên Q khơng số phương e) R = 13 + 23 + + 1003 Gọi Ak = + + + k = k(k + 1) k(k - 1) , Ak – = + + + k = 2 Ta có: Ak2 – Ak -12 = k3 đó: 13 = A12 23 = A22 – A12 n3 = An2 = An - 12 Cộng vế theo vế đẳng thức ta có: 2 n(n + 1) � � 100(100  1) � � + + +n = An = � �   50.101 số phương � � � � � � 3 3 Bài 3: CMR: Với n Ỵ N số sau số phương a) A = (10n +10n-1 + +.10 +1)(10 n+1 + 5) + n 1 )(10 n+1 + 5) +  10  (10n 1  5)  A = ( 11 n 10  Đặt a = 10n+1 A = a-1 a + 4a - + a + 4a + �a + � (a + 5) + =  � � 9 �3 � 14 43 555 14 43 ( cĩ n số n-1 số 5) b) B = 111 n n-1 � � 14 43 555 14 43 10n + 555 14 43 10n + � 14 43 + = 111 14 43 + = 111 111 B = 111 14 43 �+ n n n n n � n � = a 10n = 9a + nên Đặt 11 n { B = a(9a + 1) + 5a + = 9a2 + 6a + = (3a + 1)2 = 33 n-1 www.thuvienhoclieu.com Trang www.thuvienhoclieu.com + 44 14 43 + c) C = 11 2n n Thì C = 11 1 11 1 + 11 1 + = a 10n + a + a + Đặt a = 11 n n n n = a(9a + 1) + 5a + = 9a2 + 6a + = (3a + 1)2 123 00 123 d) D = 99 n n 123 = a � 10n = a + Đặt 99 n 123 10n + + 10n + + = a 100 10n + 80 10n + D = 99 n 123 )2 = 100a(a + 1) + 80(a + 1) + = 100a2 + 180a + 81 = (10a + 9)2 = ( 99 n+1 22 2 22 2 10n + + 11 1 00 + 25 = 11 1 00 + 25 = 11 e) E = 11 n n+1 n n+1 n n 5)2 = [a(9a + 1) + 2a]100 + 25 = 900a2 + 300a + 25 = (30a + 5)2 = ( 33 n số phương 11 1 số phương = 11 f) F = 44 100 100 100 số lẻ nên số phương chia cho phải dư Số 11 100 Thật vậy: (2n + 1)2 = 4n2 + 4n + chia dư 11 1 có hai chữ số tận 11 nên chia cho dư 100 khơng số phương nên F = 44 không số phương 11 100 100 Bài 4: 43 ; B = 11 .11 14 43 ; C = 66 66 14 43 a) Cho số A = 11 11 2m m+1 m CMR: A + B + C + số phương 102 m  10m1  10m  Ta có: A ;B= ; C = Nên: 9 102 m  10m1  10m  102 m   10m 1   6(10m  1)  72 A+B+C+8 = + + +8= 9 9 10 m   16.10m  64 � 102 m   10.10m   6.10m   72  10m  � = = � � 9 � � 2 b) CMR: Với x,y Ỵ Z A = (x+y)(x+2y)(x+3y)(x+4y) + y4 số phương A = (x2 + 5xy + 4y2) (x2 + 5xy + 6y2) + y4 = (x2 + 5xy + 4y2) [(x2 + 5xy + 4y2) + 2y2) + y4 www.thuvienhoclieu.com Trang www.thuvienhoclieu.com = (x2 + 5xy + 4y2)2 + 2(x2 + 5xy + 4y2).y2 + y4 = [(x2 + 5xy + 4y2) + y2)2 = (x2 + 5xy + 5y2)2 Bài 5: Tìm số nguyên dương n để biểu thức sau số phương a) n2 – n + b) n5 – n + Giải a) Với n = n2 – n + = khơng số phương Với n = n2 – n + = số phương Với n > n2 – n + khơng số phương Vì (n – 1)2 = n2 – (2n – 1) < n2 – (n - 2) < n2 b) Ta có n5 – n chia hết cho Vì n5 – n = (n2 – 1).n.(n2 + 1) Với n = 5k n chia hết cho Với n = 5k �1 n2 – chia hết cho Với n = 5k �2 n2 + chia hết cho Nên n5 – n + chia cho dư nên n5 – n + có chữ số tận nên n5 – n + khơng số phương Vậy : Khơng có giá trị n thỗ mãn toán Bài : a)Chứng minh : Mọi số lẻ viết dạng hiệu hai số phương b) Một số phương có chữ số tận chữ số hàng chục chữ số chẵn Giải Mọi số lẻ có dạng a = 4k + a = 4k + Với a = 4k + a = 4k2 + 4k + – 4k2 = (2k + 1)2 – (2k)2 Với a = 4k + a = (4k2 + 8k + 4) – (4k2 + 4k + 1) = (2k + 2)2 – (2k + 1)2 b)A số phương có chữ số tận nên A = (10k �3)2 =100k2 �60k + = 10.(10k2 �6) + Số chục A 10k2 �6 số chẵn (đpcm) Bài 7: Một số phương có chữ số hàng chục chữ số lẻ Tìm chữ số hàng đơn vị Giải Gọi n2 = (10a + b)2 = 10.(10a2 + 2ab) + b2 nên chữ số hàng đơn vị cần tìm chữ số tận b2 Theo đề , chữ số hàng chục n2 chữ số lẻ nên chữ số hàng chục b2 phải lẻ www.thuvienhoclieu.com Trang www.thuvienhoclieu.com Xét giá trị b từ đến có b2 = 16, b2 = 36 có chữ số hàng chục chữ số lẻ, chúng tận Vậy : n2 có chữ số hàng đơn vị Bài tập nhà: Bài 1: Các số sau đây, số số phương 123 a) A = 22 14 43 88 { d) D = 44 n 123 25 00 c) C = 99 b) B = 11115556 50 n-1 n 14 43 – 22 123 e) M = 11 2n n n f) N = 12 + 22 + + 562 Bài 2: Tìm số tự nhiên n để biểu thức sau số phương a) n3 – n + b) n4 – n + Bài 3: Chứng minh a)Tổng hai số phương lẻ khơng số phương b) Một số phương có chữ số tận chữ số hàng chục chữ số lẻ Bài 4: Một số phương có chữ số hàng chục Tìm chữ số hàng đơn vị www.thuvienhoclieu.com Trang ... Bài 2: Tìm số tự nhiên n để biểu thức sau số phương a) n3 – n + b) n4 – n + Bài 3: Chứng minh a)Tổng hai số phương lẻ khơng số phương b) Một số phương có chữ số tận chữ số hàng chục chữ số lẻ Bài... chữ số tận nên n5 – n + khơng số phương Vậy : Khơng có giá trị n thỗ mãn tốn Bài : a)Chứng minh : Mọi số lẻ viết dạng hiệu hai số phương b) Một số phương có chữ số tận chữ số hàng chục chữ số. .. N không số phương c) P = + 9100 + 94100 + 1994100 chia dư nên không số phương d) Q = 12 + 22 + + 1002 Số Q gồm 50 số phương chẵn chia hết cho 4, 50 số phương lẻ, số chia dư nên tổng 50 số lẻ chia