HƯỚNG DẪN ÔN TẬP CHƯƠNG I ĐẠI SỐ 11 (2012 – 2013) I CÁC HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC: Tập xác định hàm số lượng giác: π a) Hàm số y = tan u Điều kiện: cosu ≠ ⇔ u ≠ + kπ , k ∈ ¢ b) Hàm số y = cot u Điều kiện: sinu ≠ ⇔ u ≠ kπ , k ∈ ¢ g(x) c) Hàm số y = Điều kiện: sinu ≠ ⇔ u ≠ kπ , k ∈ ¢ sin u h(x) π d) Hàm số y = Điều kiện: cosu ≠ ⇔ u ≠ + kπ , k ∈ ¢ cos u * Các trường hợp đặc biệt: a) cosu ≠ ⇔ u ≠ k2π , k ∈ ¢ b) cosu ≠ -1 ⇔ u ≠ π + k2π , k ∈ ¢ π π c) sinu ≠ ⇔ u ≠ + k2π , k ∈ ¢ d) sinu ≠ -1 ⇔ u ≠ − + k2π , k ∈ ¢ 2 Ghi nhớ: a) −1 ≤ sin u ≤ b) −1 ≤ cos u ≤ c) ≤ sin u ≤ d) ≤ cos u ≤ e) ≤ sinu ≤ f) ≤ cosu ≤ g) ≤ sinu ≤ h) ≤ cosu ≤ II CÁC PT LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN PT sinx = a a) Nếu a > ⇔ a < −1 t > 1: PT sinx = a: Vô nghiệm b) Nếu a ≤ ⇔ −1 ≤ a ≤  x = arcsin a + k2π  a cung không đặc biệt: sinx = a ⇔  (k∈¢ )  x = π − arcsin a + k2π  a cung đặc biệt như: ± ; ± ;± 2  x = α + k2π * sinx = a ⇔ sinx = sin α ⇔  ( α đơn vị rađian) x = π − α + k2 π   x = α + k3600 ⇔ α ⇔ * sinx = a sinx = sin ( α đơn vị độ)  0 x = 180 − α + k360  π π Đặc biệt: a) sinx = ⇔ x = + k2π b) sinx = –1 ⇔ x = − + k2π c) sinx = ⇔ x = kπ 2 PT cosx = a a) Nếu a > ⇔ a < −1 t > 1: PT cosx = a: Vô nghiệm b) Nếu a ≤ ⇔ −1 ≤ a ≤  a cung không đặc biệt: cosx = a ⇔ x = ± arc cos a + k2π  a cung đặc biệt như: ± ; ± ;± 2 * cosx = a ⇔ cosx = cos α ⇔ x = ± α + k2π ( α đơn vị rađian) * cosx = a ⇔ cosx = cos α ⇔ x = ± α + k3600 ( α đơn vị độ) π Đặc biệt: a) cosx = ⇔ x = k2 π b) cosx = –1 ⇔ x = π + k2π c) cosx = ⇔ x = + kπ π PT tanx = a Điều kiện: cosx ≠ ⇔ x ≠ + kπ , k∈ ¢  a cung không đặc biệt: tanx = a ⇔ x = arctana + kπ  a cung đặc biệt như: ± ; ± ; ±1 ; * tanx = a ⇔ tanx = tan α ⇔ x = α + kπ ( α đơn vị rađian) * tanx = a ⇔ tanx = tan α ⇔ x = α + k1800 ( α đơn vị độ) π π Đặc biệt: a) tanx = ⇔ x = kπ b) tanx = ⇔ x = + kπ c) tanx = -1 ⇔ x = − + kπ 4 ⇔ ≠ ≠ PT cotx = a Điều kiện: sinx x kπ , k∈ ¢  a cung khơng đặc biệt: cotx = a ⇔ x = arccota + kπ  a cung đặc biệt như: ± ; ± ; ±1 * cotx = a ⇔ cotx = cot α ⇔ x = α + kπ ( α đơn vị rađian) * cotx = a ⇔ cotx = cot α ⇔ x = α + k1800 ( α đơn vị độ) π π π Đặc biệt: a) cotx = ⇔ x = + kπ b) cotx = ⇔ x = + kπ c) cotx = -1 ⇔ x = − + kπ 4 II PT LƯỢNG GIÁC THƯỜNG GẶP: 1/ PT bậc hàm số lượng giác: at = b (a ≠ 0) (1), t h/ số lượng giác b + Bước 1: (1) ⇔ t = + Bước 2: Giải PT lượng giác a 2/ PT bậc hai hàm số lượng giác: at2 + bt + c = (a ≠ 0) (2) t hàm số lượng giác III PT BẬC NHẤT ĐỐI VỚI sinx VÀ cosx: asinx + bcosx = c (a2 + b2 ≠ 0) (1) + Bước 1: Tính a + b (nháp) a b c + Bước 2: Chia vế cho a + b , ta được: sinx + cosx = a + b2 a + b2 a + b2 a b + Bước 3: Đặt sin α = , cos α = 2 a +b a + b2 a b (Nếu , cung đặc biệt ta viết: sin α = sin β , cos α = cos β ) 2 a +b a + b2 + Bước 4: Áp dụng đảo công thức cộng + Bước 5: Giải PT lượng giác π π   Ghi nhớ: a) sinx + cosx = cos  x − ÷ = sin  x + ÷ 4 4   π π   b) sinx – cosx = − cos  x + ÷= sin  x − ÷ 4 4   2 Chú ý: Dạng: asin x + bsinxcosx + ccos x = π + Bước 1: TH1: cosx = ⇔ x = + kπ , k ∈ ¢ Khi đó: sin2x = π π * Nếu VT ≠ VP ⇒ x = + kπ không n0 PT * Nếu VT = VP ⇒ x = + kπ n0 PT 2 π + Bước 2: TH2: cosx ≠ ⇔ x ≠ + kπ , k ∈ ¢ (chia vế cho cos2x): PT ⇔ atan2x + btanx + c = + Bước 3: Giải PT bậc hai hàm số lượng giác π Ghi nhớ: a) sinx – cosx = ⇔ tanx = ⇔ x = + kπ π b) sinx + cosx = ⇔ tanx = -1 ⇔ x = − + kπ IV CUNG LIÊN KẾT: Cung đối nhau: a) cos( −α ) = cos α b) sin( −α ) = – sin α c) tan( −α ) = – tan α d) cot( −α ) = – cot α Cung bù nhau: a) cos( π −α ) = – cos α b) sin( π −α ) = sin α c) tan( π −α ) = – tan α d) cot( π −α ) = – cot α Cung π : a) cos( π +α ) = – cos α b) sin( π +α ) = – sin α c) tan( π +α ) = tan α d) cot( π +α ) = cot α π π Cung phụ nhau: a) sin( −α ) = cos α b) cos( −α ) = sin α 2 π π c) tan( −α ) = cot α d) cot( −α ) = tan α 2 π π π Cung : a) cos( +α ) = – sin α b) sin( +α ) = cos α 2 π π c) tan( +α ) = – cot α d) cot( +α ) = – tan α 2 α Lưu ý: a) sin( α + k2π ) = sin b) cos( α + k2π ) = cos α c) tan( α + kπ ) = tan α d) cot( α + kπ ) = cot α u k chaü n u k chẵ n sinα nế cosα nế e) sin( α + kπ ) =  f) cos( α + kπ ) =  u k leû u k leû − sinα nế − cosα nế V CƠNG THỨC CỘNG: a) cos(a – b) = cosacosb + sinasinb b) cos(a + b) = cosacosb – sinasinb c) sin(a – b) = sinacosb – cosasinb d) sin(a + b) = sinacosb + cosasinb VI CÔNG THỨC NHÂN ĐÔI: a a a) sin2a = 2sinacosa b) sina = 2sin cos c) sin2a.cos2a = sin 2a 2 tan a d) cos2a = cos2a – sin2a = 2cos2a – = – 2sin2a e) tan2a = − tan a VII CÔNG THỨC HẠ BẬC + cos 2a 1 a) cos2a = = + cos 2x ⇒ + cos2x = 2cos2x 2 − cos 2a 1 − cos 2a b) sin2a = = − cos 2x ⇒ – cos2x = 2sin2x c) tan a = 2 + cos 2a a VIII CƠNG THỨC TÍNH THEO tan = t 2t 2t 1− t2 a) sin a = b) cos a = c) tan a = 2 1+ t 1− t2 1+ t IX CÔNG THỨC NHÂN BA a) sin3a = 3sina – 4sin3a ⇒ sin3a = (3sina – sin3a) 3tan a − tan a 3 ⇒ b) cos3a = 4cos a – 3cosa cos a = (3cosa + cos3a) c) tan 3a = − 3tan a X CƠNG THỨC BIẾN ĐỔI TÍCH THÀNH TỔNG 1 a) cosacosb = [cos(a − b) + cos(a + b)] b) sinasinb = [cos(a − b) − cos(a + b)] 2 1 c) sinacosb = [sin(a + b) + sin(a − b)] d) cosasinb = [sin(a + b) − sin(a − b)] 2 XI CÔNG THỨC BIẾN ĐỔI TỔNG THÀNH TÍCH a+b a−b a+b a − b cos sin b) cosa – cosb = – 2sin 2 2 a+b a−b a+b a − b cos sin c) sina + sinb = 2sin d) sina – sinb = 2cos 2 2 sin(a + b) e) tan a + tan b = cos a cos b XII CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN sin α cos α a) tan α = b) cot α = c) tan α cot α = cos α sin α 1 d) sin α + cos α = e) + cot α = f) + tan α = sin α cos α BÀI TẬP MẪU I Hàm số lượng giác: Bài 1: Tìm tập xác định hàm số sau: sinx + + 3sinx 1− sinx y= y= y= π x a) b)  c) π  d) y = 2cos 2x − ÷ 3sin − 2x ÷+ sin 1− cos2x 3  4  π π  π   e) y = tan 2x − ÷ f) y = 6cot − x ÷ g) y = tan 3x − ÷+ sin2x 6 4  3   x Giải: a) ĐK: ≠ kπ ⇔ x ≠ 3kπ , k∈ ¢ Vậy: TXĐ: D = ¡ \ { 3kπ,k ∈ ¢} π π 5π 5π π + kπ ⇔ x ≠ + k , k∈ ¢ b) ĐK: 2x − ≠ + kπ ⇔ 2x ≠ 12 π  5π  Vậy: TXĐ: D = ¡ \  + k ,k ∈ ¢   12  π π 3π π  π  − kπ , k∈ ¢ c) ĐK: 3sin − 2x ÷+ ≠ ⇔ sin − 2x ÷ ≠ −1 ⇔ − 2x ≠ − + k2π ⇔ x ≠ 4  4   3π  Vậy: TXĐ: D = ¡ \  − kπ,k ∈ ¢  8  d) ĐK: 1− cos2x ≠ ⇔ cos2x ≠ ⇔ 2x ≠ k2π ⇔ x ≠ kπ , k∈ ¢ Vậy: TXĐ: D = ¡ \ { kπ,k ∈ ¢} a) cosa + cosb = 2cos π π π π π π  ≠ + kπ ⇔ x = + k , k∈ ¢ Vậy: TXĐ: D = ¡ \  + k ,k ∈ ¢  3  π π π  f) ĐK: − x ≠ kπ ⇔ x ≠ − kπ , k∈ ¢ Vậy: TXĐ: D = ¡ \  − kπ,k ∈ ¢  3 3  π π π π π π  g) ĐK: 3x − ≠ + kπ ⇔ x = + k , k∈ ¢ Vậy: D = ¡ \  + k ,k ∈ ¢  4 4  BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 1: Tìm tập xác định hàm số sau: cosx + 5− sinx 2sin3x − y= y= y= π 2x a) b) π  c)  d) y = sin − 2x ÷ − 2cos 3x − ÷ 3cos 3+ 3sin2x 4 3   π π  x π   e) y = tan − ÷ f) y = cot − 2x ÷ g) y = tan 2x + ÷− 3cos5x 5 6  3   e) ĐK: 2x − 5− 2cosx 2x  x 2π  − cot − ÷ x i) j) y = 3sin − 4  3π 3π π π π 2π π +k +k ĐS: a) x ≠ b) x ≠ + k c) x ≠ d) x ≠ − + kπ e) 12 5π x≠ + k3π π π π π π −1 3π 8π +k + kπ + k6π + k4π f) x ≠ g) x ≠ + k h) x ≠ i) x ≠ j) x ≠ 10 2 II Phương trình lượng giác: BÀI TẬP MẪU Bài 1: Giải phương trình sau: (dạng PT lượng giác bản) a) sin3x = b) cos(2x + 1) = − c) sin (x – 2) = d) cos2x = − 3 π   3x π  e) sin  2x + ÷= f) cos − ÷ = −1 g) tan2x = h) cotx = 3   4 3 Giải: a) sin3x = 3: VN (vì > 1) b) cos(2x + 1) = − : VN (vì − < −1) 2 2   x − = acrsin + k2π x = + acrsin + k2π   3 ⇔  c) sin (x – 2) = ⇔  , k∈ ¢  x − = π − arcsin + k2π  x = π + − arcsin + k2π   3 1  1  1 d) cos2x = − ⇔ 2x = ± arccos − ÷+ k2π ⇔ x = arccos ữ+ k , k   3  3 π π π π π  + kπ , k∈ ¢ e) sin  2x + ÷= ⇔ 2x + = + k2π ⇔ 2x = + k2π ⇔ x = 3 12  3x π 3x 5π 5π 4π  3x π  − = π + k2π ⇔ = + k2π ⇔ x = + k , k∈ ¢ f) cos − ÷ = −1 ⇔ 4  4 π π π g) tan2x = ⇔ 2x = + kπ ⇔ x = + k , k∈ ¢ h) cotx = ⇔ x = arccot3+ kπ , k∈ ¢ Bài 2: Giải phương trình sau: (dạng PT lượng giác bản) π   2x π  − ÷= − a) sin 2x − ÷ = b) cos c) sin(2x + 400 ) = − d) tan(2x + 1) = 3   4 π x e) cos = f) tan(3x − ) = g) cot(200 − 2x) = h) cot(3x − 1) = − 3 π π π π  Giải: a) sin 2x − ÷ = ⇔ 2x − = kπ ⇔ x = + k , k∈ ¢ 3  11π  2x π 2π  − = + k2π x= + k3π   2π  2x π   2x π  ⇔ − ÷ = − ⇔ cos − ÷ = cos ⇔  b) cos  4  4  2x − π = − 2π + k2π  x = − 5π + k3π   0 2x + 40 = −60 + k360 3⇔ sin(2x + 400 ) = sin(−600 ) ⇔  c) sin(2x + 400 ) = − 0 0 2x + 40 = 180 + 60 + k360 1− 3sin3x h) y = cos(2x + 1) + y= 2x = −1000 + k3600  x = −500 + k1800 , k∈ ¢ ⇔ ⇔ 0 0 2x = 200 + k360  x = 100 + k180 π d) tan(2x + 1) = ⇔ 2x + = kπ ⇔ x = − + k , k∈ ¢ 2 x π x π 3π x 2⇔ cos = cos ⇔ = ± + k2π ⇔ x = ± + k6π , k∈ ¢ e) cos = 4 π π π π π π π f) tan(3x − ) = ⇔ tan(3x − ) = tan ⇔ 3x − = + kπ ⇔ x = + k , k∈ ¢ 6 6 3⇔ cot(200 − 2x) = cot600 ⇔ 200 − 2x = 600 + k1800 ⇔ x = −200 + k900 g) cot(200 − 2x) = π π π  π h) cot(3x − 1) = − ⇔ cot(3x − 1) = cot − ÷ ⇔ 3x − 1= − + kπ ⇔ x = − + k , k∈ ¢ 18  6 Bài 3: Giải phương trình sau: (dạng PT lượng giác thường gặp) π  a) 3cosx + = b) 2sin2x − = c) 2cos 2x − ÷− 1= d) 3cos3x + 1= 4   3x π  e) 3tan + ÷+ = f) 2cot(2x − 150 ) − = g) 3− 3tan( 30 − x) =  3 7 Giải: a) 3cosx + = ⇔ cosx = − : VN (vì − < −1) 3 π π   x = + kπ 2x = + k2π   π 2⇔ ⇔ sin2x = sin ⇔  b) 2sin2x − = ⇔ sin2x = , k∈ ¢  x = 3π + kπ 2x = π − π + k2π   π π π π    c) 2cos 2x − ÷− 1= ⇔ cos 2x − ÷ = ⇔ cos 2x − ÷ = cos 4 4 4    π π 7π 7π    2x − = + k2 π 2x = + k2 π x = + kπ    12 24 , k∈ ¢ ⇔ ⇔ ⇔ π π π π 2x − = − + k2π 2x = − + k2π  x = − + kπ     12 24 2π  1  1 d) 3cos3x + 1= ⇔ cos3x = − ⇔ 3x = ± arccos − ÷+ k2π ⇔ x = ± arccos − ÷+ k 3  3  3  3x π   3x π   π  3x π  ⇔ tan + ÷ = tan − ÷ e) 3tan + ÷+ = ⇔ tan + ÷ = −  3  3  6  3 3x π π 3x π π 2π ⇔ + = − + kπ ⇔ = − + kπ ⇔ x = − + k , k∈ ¢ 2 3 2⇔ cot(2x − 150 ) = cot450 f) 2cot(2x − 150 ) − = ⇔ cot(2x − 150 ) = 0 0 ⇔ 2x − 15 = 45 + k180 ⇔ x = 30 + k90 , k∈ ¢ 0 0 g) 3− 3tan( 30 − x) = ⇔ tan( 30 − x) = ⇔ tan( 30 − x) = tan60 ⇔ 300 − x = 600 + k1800 ⇔ x = −300 + k900 , k∈ ¢ Bài 4: Giải phương trình sau: π π π   π  a) sin 2x − ÷ = sin x + ÷ b) tan − x ÷ = tan2x c) cos(2x – ) – sin3x = 3 4   4  d) sin3x = sin2x e) cos3x = cosx f) cos5x + cos2x = g) sin3x – cos5x = h) sin4x + cos2x = i) sin3x + sinx =  u = v + k2π Ghi nhớ: a) sinu = sinv ⇔  b) cosu = cosv ⇔ u = ± v + k2π u = π − v + k2 π  ⇔ kπ c) tanu = tanv u=v+ d) cotu = cotv ⇔ u = v + kπ e) cosu = – cosv ⇔ cosu = cos( π – v) f) sinu = – sinv ⇔ sinu = sin(–v) π  π  g) cosu = sinv ⇔ cosu = cos  − v÷ h) sinu = cosv ⇔ sinu = sin  − v÷ 2  2  π  i) tanu = – tanv ⇔ tanu = tan(–v) j) cotu = tanv ⇔ cotu = cot  − v÷ 2  π π 7π   2x − = x + + k2π x= + k2π   π π   12 ⇔ Giải: a) sin 2x − ÷ = sin x + ÷ ⇔  , k∈ ¢ 3 4   2x − π = π − x − π + k2π  x = 13π + k 2π   36 3 π π π π π  + k , k  b) tan x ữ = tan2x − x = 2x + kπ ⇔ –3x = − + kπ ⇔ x = 4 12 4  π π π  π  c) cos(2x – ) – sin3x = ⇔ cos(2x – ) = sin3x ⇔ cos  2x − ÷ = cos  − 3x ÷ 3 3  2  π π π 2π   2x − = − 3x + k2π x= + k   π π  ⇔ 2x − = ±  3xữ + k2 , k  2  2x − π = − π + 3x + k2π  x = π + k2π    x = k2π 3x = 2x + k2π ⇔ d) sin3x = sin2x ⇔  , k∈ ¢  x = π + k 2π 3x = π − 2x + k2 π  5   x = kπ 3x = x + k2π ⇔ e) cos3x = cosx ⇔ 3x = ± x + k2π ⇔  , k∈ ¢ x = k π 3x = − x + k2 π   f) * Cách 1: cos5x + cos2x = ⇔ cos5x = – cos2x ⇔ cos5x = cos( π – 2x) π 2π  x = + k  5x = π − 2x + k2π 7 ⇔ 5x = ± ( π − 2x ) + k2π ⇔  ⇔ , k∈ ¢  x = − π + k 2π 5x = −π + 2x + k2π  3 7x 3x * Cách 2: cos5x + cos2x = ⇔ 2cos cos =0 2 π 2π 7x    7x π x = + k cos = = + k π    7 ⇔ ⇔2 ⇔  x = π + k 2π  cos 3x =  3x = π + kπ    2 3 π  g) sin3x – cos5x = ⇔ sin3x = cos5x ⇔ sin3x = sin  − 5x ÷ 2  π π π   x = + k 3x = − 5x + k2 π   16 4, ⇔ ⇔ k∈ ¢  x = − π + kπ 3x = π − π + 5x + k2π   π  x= k  3x = −x + k2π ⇔ h) sin3x + sinx = ⇔ sin3x = –sinx ⇔ sin3x = sin(–x) ⇔  , k∈ ¢ π 3x = π + x + k2π  x = + kπ  Bài 5: Giải phương trình sau: (PT đưa dạng PT tích) a) cosx(sin2x + 1) = b) (sinx + cosx)(2cos2x – 1) = c) 2sin2xsinx − 3sinx = d) cos2x – cos3x + cos4x = e) sin5x + sin3x – cosx = f) cos2x + sin4x = g) cos3x + cos2x – cosx – = h) (2cosx – 1)(2sinx + cosx) = sin2x – sinx  cosx = Giải: a) cosx(sin2x + 1) = ⇔  sin2x + = π π π * cosx = ⇔ x = + kπ , k∈ ¢ * sin2x = – ⇔ 2x = − + k2π ⇔ x = − + kπ , k∈ ¢ 2 sinx + cosx = b) (sinx + cosx)(2cos2x – 1) = ⇔  2cos2x − 1= π * sinx + cosx = ⇔ tanx + = ⇔ tanx = -1 ⇔ x = − + kπ , k∈ ¢ π π π * cos2x = ⇔ cos2x = cos ⇔ 2x = ± + k2π ⇔ x = ± + kπ , k∈ ¢ 3 sinx = c) 2sin2xsinx − 3sinx = ⇔ sinx(2sin2x – ) = ⇔  2sin2x − = * sinx = ⇔ x = kπ , k∈ ¢ π π   2x = + k2π x = + kπ   π 3⇔ ⇔ * sin2x = sin2x = sin ⇔  , k∈ ¢ 2x = π − π + k2π  x = π + kπ   3 d) cos2x + cos3x + cos4x = ⇔ cos4x + cos2x + cos3x = ⇔ 2cos3xcosx + cos3x = π π π   x = + k 3x = + k π  cos3x =   ⇔ cos3x(2cosx + 1) = ⇔  ⇔ ⇔ , k∈ ¢  cosx = −  x = ± 2π + k2π  cosx = cos 2π    3 ⇔ ⇔ e) sin5x + sin3x – cosx = 2sin4xcosx – cosx = cosx(2sin4x – 1) = π π   x = + kπ x = + kπ   π 2     cosx =  x = + kπ π π π ⇔ ⇔ ⇔  4x = + k2π ⇔ x = + k , k∈ ¢   sin4x = 24 sin4x = sin π      4x = π − π + k2π  x = 5π + k π   24 f) cos2x + sin4x = ⇔ cos2x + 2sin2xcos2x = ⇔ cos2x(1 + 2sin2x) = π π π π   x= + k x= + k   π 4    2x = + k π  cos2x =  π π ⇔ ⇔ ⇔  2x = − + k2π ⇔  x = − + kπ , k∈ ¢   sin2x = − 12 sin2x = sin(− π )     2x = π + π + k2π  x = 7π + kπ   12 g) cos3x + cos2x – cosx – = ⇔ (cos3x – cosx) + (cos2x – 1) = ⇔ – 2sin2xsinx – 2sin2x =  x = kπ sinx =  x = kπ ⇔ 2sinx(sin2x + sinx) = ⇔  ⇔ ⇔ 2x = −x + k2π  sin2x = − sinx sin2x = sin(− x) 2x = π + x + k2π  x = kπ ⇔ 3x = k2π ⇔   x = π + k2π  x = kπ   x = k 2π , k∈ ¢   x = π + k2π  h) (2cosx – 1)(2sinx + cosx) = sin2x – sinx ⇔ (2cosx – 1)(2sinx + cosx) = 2sinxcosx – sinx ⇔ (2cosx – 1)(2sinx + cosx) – sinx(2cosx – 1) = ⇔ (2cosx – 1)(sinx + cosx) = π  π x = ± + k2π    cosx = cos cosx = , k∈ ¢ ⇔ ⇔ 3⇔    π  x = − + kπ sinx = − cosx  tanx = −1  Bài 6: Giải phương trình sau: 2cos2x =0 a) cos3xsin2x = cos5xsin4x b) c) cos2xtanx = 1− sin2x 1 Giải: a) cos3xsin2x = cos5xsin4x ⇔ (sin5x – sinx) = (sin9x – sinx) 2 π  x = k  5x = 9x + k2π ⇔ sin5x = sin9x ⇔  ⇔ , k∈ ¢ 5x = π − 9x + k2π x = π + k π  14 2cos2x = ĐK: sin2x ≠ b) 1− sin2x π π   2x = + k2π  x = + kπ (loaïi) ⇔ 2cos2x = ⇔ cos2x = ⇔  ⇔ , k∈ ¢ π 2x = − + k2π  x = − π + kπ   c) cos2xtanx = ĐK: cosx ≠ π π π   2x = + k π x = + k  cos2x = cos2x.sinx ⇔ ⇔ ⇔ = ⇔ cos2xsinx = ⇔  , k∈ ¢   sinx = cosx   x = kπ  x = kπ Bài 7: Giải phương trình sau: (PT bậc hai hàm số lượng giác) x a) 2sin2x + 3sinx – = b) 2cos2 + 2cosx − = c) 3tan2x – tanx + = d) 6cos2x + 5sinx – = e) 5sin2x + 3cosx + = f) 2tanx – 3cotx – =  sinx = −  π ⇔ sinx = sin − ÷ Giải: a) * Cách 1: 2sin2x + 3sinx – = ⇔    6 sinx = −2(loaïi) π π    x = − + k2π  x = − + k2π , k∈ ¢ ⇔ ⇔  x = π + π + k2π  x = 5π + k2π   6  t= −  * Cách 2: Đặt t = sinx, −1≤ t ≤ PT trở thành: 2t + 3t – = ⇔   t = −2(loaïi) π π   x = − + k2π x = − + k2π   6  π ⇔ Suy ra: sinx = − ⇔ sinx = sin ữ , k  6  x = π + π + k2π  x = 5π + k2π   6  x  cos = x x x π 2 ⇔ cos = cos b) 2cos2 + 2cos − = ⇔  2 x  cos = − 2(loaï i )  x π π ⇔ = ± + k2π ⇔ x = ± + k4π , k∈ ¢ π π    tanx = tan( − ) x = − + kπ   tanx = − 6  ⇔ c) 3tan2x – tanx + = ⇔  ⇔ π   x = π + kπ tanx = tan  tanx =   3 2 ⇔ ⇔ d) 6cos x + 5sinx – = 6(1 – sin x) + 5sinx – = – 6sin x + 5sinx + = π π    x = − + k2 π x = − + k2π sinx = −    π 6   , k  sinx = sin ữ  ⇔ π π    x = π + + k2π x = sinx = (loaïi) + k2π    6 e) 5sin2x + 3cosx + = ⇔ 5(1 – cos2x) + 3cosx + = ⇔ –5cos2x + 3cosx + =  cosx = −1 ⇔ ⇔ x = π + k2π , k∈ ¢  cosx = 8(loaïi)  − 4cotx − = ⇔ – 4cot2x – 2cotx + = f) 2tanx – 4cotx – = ⇔ cotx π  x = − + kπ  cotx = −1  , k∈ ¢ ⇔ ⇔  cotx = 1  x = arctan + kπ   Bài 8: Giải phương trình sau: (PT bậc sinx cosx) a) sinx + cosx = b) cosx – sinx = c) 3sin2x + 4cos2x = d) sinx – cosx = e) 2sin x + sin2x = f) cos3x – sinx = (cosx – sin3x) 10 1 sinx + cosx = (chia vế cho 12 + 12 = ) 2 π π π π π π  ⇔ sinxcos + cosxsin = ⇔ sin  x + ÷ = ⇔ x + = + k2π ⇔ x = + k2π , k ∈ ¢ 4 4 4  1 π π * Cách 2: sinx + cosx = ⇔ sinx + cosx = ⇔ sinxsin + cosxcos = 4 2 π π π π π  ⇔ cosxcos + sinxsin = ⇔ cos  x − ÷ = ⇔ x − = k2π ⇔ x = + k2π , k ∈ ¢ 4 4 4  π π   * Cách 3: sinx + cosx = ⇔ cos  x − ÷ = ⇔ cos  x − ÷ = 4 4   π π ⇔ x − = k2π ⇔ x = + k2π , k ∈ ¢ 4 1 π π b) * Cách 1: cosx – sinx = ⇔ cosx – sinx = ⇔ cosxcos – sinxsin = 2 3 2 π π  x + = + k2π  x = k2π  π π π 3   ⇔ cos  x + ÷ = ⇔ cos  x + ÷ = cos ⇔  ⇔ , k ∈¢  x = − 2π + k2π 3 3    x + π = − π + k2π   3 1 π π * Cách 2: cosx – sinx = ⇔ cosx – sinx = ⇔ sin cosx – cos sinx = 2 6 2 π π − x = + k2π  x = k2π 6 π π  ⇔ sin  − x ÷ = sin ⇔  ⇔ , k ∈¢  x = − 2π + k2π π π 6    − x = π − + k2π   6 4 c) 3sin2x + 4cos2x = ⇔ sin2x + cos2x = Đặt: cos α = ; sin α = 5 5 π (1) ⇔ sin2xcos α + cos2xsin α = ⇔ sin(2x + α ) = ⇔ 2x + α = + k2π α π ⇔ x = − + + kπ ( k ∈ ¢ ) π π d) * Cách 1: sinx – cosx = ⇔ sinx – cosx = ⇔ sinxsin – cosxcos = 3 π π π π 2π  ⇔ cosxcos – sinxsin = –1 ⇔ cos  x + ÷ = –1 ⇔ x + = π + k2π ⇔ x = + k2π , k ∈ ¢ 3 3 3  π π * Cách 2: sinx – cosx = ⇔ sinx – cosx = ⇔ sinxcos – cosxsin = –1 6 π π π π  ⇔ sin  x − ÷ = –1 ⇔ x − = − + k2π ⇔ x = − + k2π , k ∈ ¢ 6  1− cos2x + 3sin2x = ⇔ 3sin2x − cos2x = e) 2sin2x + sin2x = ⇔ 2 π π ⇔ sin2x – cos2x = ⇔ sin2xcos – cos2xsin = –1 6 Giải: a) * Cách 1: sinx + cosx = 2⇔ 11 π π π π  ⇔ sin  2x − ÷ = –1 ⇔ 2x − = − + k2π ⇔ x = − + kπ , k ∈ ¢ 6 6  f) cos3x – sinx = (cosx – sin3x) ⇔ cos3x – sinx = cosx – sin3x 3 cos3x + sin3x = sinx + cosx 2 2 π π π π π π   ⇔ cos3xcos + sin3xsin = cosxcos + sinxsin ⇔ cos  3x − ÷ = cos  x − ÷ 3 6 3 6   π π π   3x − = x − + k2 π x = + kπ   12 , k ∈¢ ⇔ ⇔ π π π π 3x − = −x + + k2π x = + k   ⇔ cos3x + sin3x = sinx + cosx ⇔ BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 1: Giải phương trình sau: π x  a) sin  2x − ÷ = b) cos(x − 450 ) = −1 c) tan2x = d) cot = 3  π  e) cos  − 2x ÷ = f) sin3x = g) tan(2x + 1) = h) cot3x = –5 6  5π π + kπ ĐS: a) x = b) x = 2250 + k3600 c) x = k d) x = π + k2π e) Vô nghiệm 12 2 2π   x = 3arcsin + k 1 π π f)  g) x = − + arctan2 + k h) x = arccot(−5) + k 2 3  x = π − 1arcsin + k 2π  3 3 Bài 2: Giải phương trình sau: π 5π    a) sin3x = b) cos( 2x − 300 ) = − c) tan 2x + ÷ = d) cot 2x − ÷ = − 4 2   π 2π   x = 12 + k  x = 750 + k1800 π π 13π π +k +k ĐS: a)  b)  c) x = d) x = 0 24 12  x = π + k 2π  x = −45 + k180  Bài 3: Giải phương trình sau: π  x 0 a) 2sin x + ÷+ = b) 2cos(3x − 450 ) − = c) 3cot + 20 ÷+ = 4  3  π  x π  0 d) 2cos 2x − ÷− = e) 2sin + 10 ÷+ 1= f) 3tan − 2x ÷− = 4  2  3  π   x = 250 + k1200 x = − + k2π  ĐS: a) b)  c) x = −1500 + k5400 0   x = + k120  x = π + k2π π   x = −800 + k7200 x = + kπ π π  d) e)  f) x = + k 0  12  x = 400 + k720  x = kπ 12 Bài 4: Giải phương trình sau: π π π    π  a) sin 3x − ÷ = sin x + ÷ b) cos 2x − ÷ = cos − x ÷ 4 6 3    4  π π  π   c) tan 2x + ÷ = tan − x ÷ d) cot3x = cot x + ÷ 5 3  3   5π 7π 2π   x = + k π x = + k   2π π π π 24 36 +k ĐS: a)  b)  c) x = d) x = + k 45  x = 13π + kπ  x = π + k2π   48 12 Bài 5: Giải phương trình sau: a) cos3x – sin2x = b) sin3x + sin5x = c) cos4x + cosx = d) sin3x + cos7x = π 2π π π π 2π π     x = + k x = + k x = + k x = k     5 10 ĐS: a)  b)  c)  d)   x = − π + k 2π x = − π + k π  x = − π + k2π  x = − π + kπ     2 3 20 Bài 6: Giải phương trình sau: a) cosx(sin2x – cos2x) = b) 2cosxsin3x + sin3x = c) (cosx + 1)(2sin2x – ) = π π π π 2π + k2π ĐS: a) x = + kπ ; x = + k b) x = k ; x = ± 3 π π c) x = π + k2π ; x = + kπ ; x = + kπ Bài 7: Giải phương trình sau: a) cos3x – cos4x + cos5x = b) sin7x – sin3x = cos5x c) cos2x – cos8x + cos6x = 2 d) cos x – sin x = sin3x + cos4x e) sin2x – 2cosx = f) cos5x – cosx = 2sin 22x g) sin3xcosx – cos3xsinx = h) sin2x + cosx – 2sinx – = i) 2cos2x + 2sinxcos2x = j) 2sin2x + sin4x = k) sinx + sin2x + sin3x = l) 2cos2xcos3x = + cos2x + cos5x π π π   π π x = + k x = k    π π 10  x = + k x = + k     π π ĐS: a)  b)  x = + kπ c)  x = kπ d)  x = + k2π   12  x = ± π + k2π  π    x = k  x = 5π + kπ  x = 5π + k2π    12 π π   x = − + k2π x= k π π π      x = − 12 + k  x = + kπ   e)  f)  x = k2π g)  h)  x = k2π π π   x = π + k2π   x= + k 2π 7π   + k2π 2 x = x = k   π   x = − + k2π π π π    x= k x= k x = + kπ     π π 2 i)  x = + k j)  k)  l)    x = ± 3π + kπ  x = ± 2π + k2π  x = ± π + k2π     3  x = 7π + k2π  13 Bài 8: Giải phương trình sau: a) sin2xcos3x = sin3xcos4x b) cos5xcosx = cos4x sinx + 3cosx =0 c) π sinx − cos  x = kπ  x = kπ π π  ⇒ x= k ĐS: a) ; b)  c) x = − + kπ π π π x = x = k +k 12   Bài 9: Giải phương trình sau: a) 2sin2x – 3sinx + = b) 3cos22x – 5cos2x + = c) 4tan2x – 5tanx + = x x d) sin2 + cos + = e) 3cosx = cos2x – f) cos2x – sinx – = 2 g) 3cos2x – 2sinx + = h) 3tanx – cotx + = i) 3sin 2x + 4cosx + = π  x = + k2π  π   x = + kπ  x = kπ  π ĐS: a)  x = + k2π b)  c)  d) x = 2π + k4π  x = ± arccos + k2π  x = arctan + kπ     x = 5π + k2π  π  π   x = + k2π x = − + kπ   2π + k2π e) x = ± f)  x = kπ g) x = k2π h)  i) x = π + k2π   x = arctan + kπ 5π  + k2π x =  Bài 10: Giải phương trình sau: a) 3cosx + sinx = −2 b) cos3x – sin3x = c) 2cosx – sinx = d) 2sin2x + sin2x = e) 2sinx(cosx – 1) = cos2x f) sinx – cosx = g) 2sinx – 2cosx = h) sin2x – cos2x + sin2x = i) sin4x + cos4x – = j) 5sinx + 4cosx = 2π  x = k   x = k2π 7π ; sinα = + k2π ĐS: a) x = b)  c)  ( cosα = ) 5  x = − π + k 2π  x = −2α + k2π  π 5π   x = + k2π π x= + k2π    x = + k2π π π 12  d) x = + kπ e)  f) g)  h) x = + kπ  3  x = 4π + k 2π  x = 13π + k2π x = π + k2π    12 π  x = − 2α + k2π  π 5π π ; sinα = +k i) x = − + k ; x = j)  ( cosα = ) 48 48 41 41  x = π + k2π  Bài 11: Giải phương trình sau: (Đại học) a) (1 + 2sinx)2cosx = + sinx + cosx b) (1 + sin2x)cosx + (1 + cos2x)sinx = + sin2x π π 5π π π + kπ ĐS: a) x = − + k2π ; x = + kπ ; x = b) x = − + kπ ; x = + k2π ; x = k2π 12 12 14 ... sinx = − cosx  tanx = −1  B i 6: Gi i phương trình sau: 2cos2x =0 a) cos3xsin2x = cos5xsin4x b) c) cos2xtanx = 1− sin2x 1 Gi i: a) cos3xsin2x = cos5xsin4x ⇔ (sin5x – sinx) = (sin9x – sinx)... – b) = sinacosb – cosasinb d) sin(a + b) = sinacosb + cosasinb VI CÔNG THỨC NHÂN Đ I: a a a) sin2a = 2sinacosa b) sina = 2sin cos c) sin2a.cos2a = sin 2a 2 tan a d) cos2a = cos2a – sin2a = 2cos2a...   B i 8: Gi i phương trình sau: (PT bậc sinx cosx) a) sinx + cosx = b) cosx – sinx = c) 3sin2x + 4cos2x = d) sinx – cosx = e) 2sin x + sin2x = f) cos3x – sinx = (cosx – sin3x) 10 1 sinx + cosx