ÔN TẬP TỐT NGHIỆP NĂM 2009 Chủ đề 1: ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ 1. Khảo sát hàm số bậc ba Bài 1. Cho hàm số 3 2 y = -x +3x có đồ thị (C). 1. Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số. 2. Viết phương trình tiếp tuyến d với (C) tại điểm có hoành độ bằng -1. 3. Tinh diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C) và trục hoành. ĐS: 2. d: y = -9x - 7 ; 3. 27 S = 4 Bài 2. Cho hàm số 3 2 1 y = x - 2x +3x 3 có đồ thị (C). 1. Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số. 2. Dựa vào đồ thị (C) biện luận theo m số nghiệm phương trình 3 2 1 x - 2x +3x = m 3 (*). 3. Viết phương trình tiếp tuyến d với (C) tại giao điểm của (C) với trục hoành. ĐS: 2. 4 m > 3 hoặc m>0 (*) có 1 nghiệm 4 m = 3 hoặc m=0 (*) có 1 nghiệm 4 0 < m < 3 (*) có 3 nghiệm 3. 1 2 d : y = 3x;d : y = 0 Bài 3. Cho hàm số 3 2 y = x - 3x +5 có đồ thị (C). 1. Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số. 2. Xác định m để phương trình 3 2 x - 3x +5 +m = 0 có 3 nghiệm phân biệt. 3. Viết phương trình tiếp tuyến d với (C) tại điểm có hoành độ bằng 1. ĐS: 2. -5<m<1; 3. d: y=−3x+6 Bài 4. Cho hàm số 3 y = (x +1) có đồ thị (C). 1. Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số. 2. Viết phương trình tiếp tuyến d với (C) tại tâm đối xứng. ĐS: 2. d:y = 0 Bài 5. Cho hàm số 3 2 y = -x +3x - 4x + 2 có đồ thị (C). 1. Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số. 2. Viết phương trình tiếp tuyến d với (C) tại giao điểm cùa (C) với trục tung. ĐS: 2. d: y=−4x+2 2. Khảo sát hàm số trùng phương Bài 6. Cho hàm số 4 2 y = -x + 2x +3 có đồ thị (C). 1. Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số. 2. Dựa vào đồ thị (C) biện luận theo m số nghiệm phương trình 4 2 x - 2x - 3 +m = 0 ĐS: 2. m > 4 phương trình vn m = 4 phương trình có 2 nghiệm 3<m<4 phương trình có 4 nghiệm m = 3 phương trình có 3 nghiệm m< 3 phương trình có 2 nghiệm Bài 7. Cho hàm số 4 2 1 3 y = x - 3x + 2 2 có đồ thị (C). 1. Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số. 2. Dựa vào đồ thị (C) biện luận theo m số nghiệm phương trình 4 2 x - 6x + 3 = 2m . ĐS: 2. 3 m > 4 phương trình có 2 nghiệm 3 m = 4 phương trình có 3 nghiệm -3 3 < m < 2 4 phương trình có 4 nghiệm -3 m = 2 phương trình có 2 nghiệm 1 -3 m < 2 phương trình vô nghiệm Bài 8. Cho hàm số 4 2 y = 2x - 4x + 2 có đồ thị (C). 1. Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số. 2. Dựa vào đồ thị (C) biện luận theo m số nghiệm phương trình 4 2 2x - 4x + 2 - m = 0 3. Viết phương trình tiếp tuyến d với (C ) tại điểm có hoành độ bằng -2. ĐS: 2.m>2 pt có 2 ngh pb m=2 phương trình có 3 nghiệm 0<m<2 phương trình có 4 nghiệm m=0 phương trình có 2 nghiệm m<0 phương trình vô nghiệm 3. d: y=-48x-78 Bài 9. Cho hàm số 4 2 y = x + x có đồ thị (C). 1. Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số. 2. Dựa vào đồ thị (C) biện luận theo m số nghiệm phương trình 4 2 x + x = 2m. ĐS: 2. m>0 phương trình có 2 nghiệm m=0 phương trình có 1 nghiệm m<0 phương trình vô nghiệm Bài 10. Cho hàm số 2 2 y = x (x - 2) có đồ thị (C). 1. Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số. 2. Xác định m để phương trình 4 2 x - 2x = m có 4 nghiệm phân biệt. 3. Tinh thể tích vật thể khi cho hình phẳng giới hạn bời (C) và hai đường thẳng x=0, x=1 xoay quanh trục Ox. ĐS: 2. -1<m< 0 3. 107 V =π 315 3. Khảo sát hàm số hữu tỉ Bài 11. Cho hàm số -3x -1 y = x -1 có đồ thị (C). 1. Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số. 2. Viết phương trình tiếp tuyến d với (C) tại điểm có hoành độ bằng 3. 3. Tinh diện tích hình phẳng giới hạn bời (C) và hai đường thẳng x= -3, x= -1. ĐS: 2. d: y = x + 2 3. S = 6- 4ln2 Bài 12. Cho hàm số 2x -1 y = x -1 có đồ thị (C). 1. Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số. 2. Viết phương trình tiếp tuyến d với (C) tại giao điểm cùa (C) với trục hoành. ĐS: 2. d: y = -4x + 2 Bài 13. hàm số x +3 y = x + 2 có đồ thị (C). 1. Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số. 2. Viết phương trình tiếp tuyến d với (C) tại điểm có hoành độ bằng -3. 3. Tinh diện tích hình phẳng giới hạn bời (C), đường thẳng x=-5 và trục hoành. ĐS: 2. d: y = -x - 3 3. S = 3 - 4ln2 Bài 14. Cho hàm số 2x y = x +1 có đồ thị (C). 1. Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số. 2. Viết phương trình tiếp tuyến d với (C ) tại điểm có hoành độ bằng 2 . 3. Tinh diện tích hình phẳng giới hạn bời (C), đường thẳng x=2 và x = 4. ĐS: 2. 2 8 d: y = x + 9 9 3. 3 S = 4+ 2ln 5 2 Bài 15. Cho hàm số x +1 y = x -1 có đồ thị (C). 1. Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số. 2. Viết phương trình tiếp tuyến d với (C) tại điểm có tung độ bằng -2. 3. Tinh diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C ), và hai trục tọa độ. ĐS: 2. 9 7 d : y = x - 2 2 3. S=2ln2−1 MỘT SỐ BÀI TOÁN NÂNG CAO Bài 16. Tìm các giá trị của m để đồ thị của hàm số ( ) 3 2 3 3 1y f x x x mx= = − + − . a. Đồng biến trên tập xác định của nó. b. Đồng biến trên khoảng (0;+∞). c. Nghịch biến trên khoảng (0;3). ĐS: a. m ≥ 1, b. m ≥ 0, c. m ≤ −3. Bài 17. Cho hàm số ( ) 2 1x mx y f x x m + + = = + . a. Định m để hàm số đạt cực đại tại x=2. b. Định m để hàm số đạt cực tiểu tại y CT =3. ĐS: a. m = −3, b. m = −1. Bài 18. a. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số ( ) 4 4 sin cosy f x x x= = + . b. Tìm giá trị lớn nhất của hàm số ( ) ( ) 2 3 2y f x x x= = − trên đoạn 3 0; 2       . ĐS: a. ( ) ( ) 1 max 1, min 2 R R f x f x= = , b. ( ) 3 0; 2 max 2f x       = . Bài 19. a. Tìm tiệm cận ngang và tiệm cận đứng của đồ thị hàm số 2 1x y x + = . b. Biện luận theo m các đường tiệm cận của đồ thị hàm số 2 4 2 x x m y x − + = + . ĐS: a. 1y = ± , b. m=−12: không có tiệm cận, m≠−12: TCĐ x=−2, TCX y=x−6. Bài 20. Cho hàm số ( ) ( ) 2 4 1y x x= − − . a. Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số. b. Gọi M là giao điểm của (C) và Oy, d là đường thẳng qua M và có hệ số góc m. Xác định m để d cắt (C) tại ba điểm phân biệt. ĐS: b. m <0, m≠−9. Bài 21. Cho hàm số 4 2 1 3 3 2 2 y x x= − + . a. Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số. b. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại các điểm uốn. c. Tìm các tiếp tuyến của (C) đi qua 3 0; 2 A    ÷   . ĐS: a. y=±4x+3, b. 3 3 ; 2 2 2 2 y y x= = ± + . Bài 22. Cho hàm số 2 1 1 x y x − = − . a. Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số. b. Gọi I là giao điểm hai đường tiệm cận của (C). Tìm điểm M thuộc (C) sao cho tiếp tuyến của (C) tại M vuông góc với đường thẳng IM. ĐS: M(0;1), M’(2;3). Bài 23. Cho hàm số ( ) 2 3 1 x m x m y x + + + = + (C m ), m là tham số. a. Khảo sát và vẽ đồ thị (C − 2 ) của hàm số khi m=−2. b. Chứng minh (C m ) nhận giao điểm của hai tiệm cận là tâm đối xứng. 3 c. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C) và các trục tọa độ. ĐS: c. 1 2ln 2 2 S = − . Bài 24. Cho hàm số 1 2 1 1 y x x = + − + (C). a. Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số. b. Viết phương trình tiếp tuyến với (C) kẻ từ điểm ( ) 1;3A . ĐS: y=3x. Bài 25. Cho hàm số ( ) 2 2 1 1 1 x m x m y x + + + + = − (1), m là tham số. a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m=−1. b. Xác định tất cả các giá trị của m sao cho đồ thị của hàm số (1) có điểm cực đại và cực tiểu nằm về hai phía của trục tung. ĐS: b. 4 1 2 3 m− < < − + . Bài 26. Chứng minh rằng đường cong 3 5 2 4 y x x= + − và y=x 2 +x−2 tiếp xúc nhau tại một điểm nào đó. Viết phương trình tiếp tuyến chung của hai đường cong đã cho tại điểm đó. ĐS: 9 2 4 y x= − Chủ đề 2: HÀM SỐ LŨY THỪA−MŨ−LOGARIT MỘT SỐ BÀI TOÁN NÂNG CAO Bài 27. a. Cho biểu thức 5 3 2 3 2 3 2 3 A = . Viết lại biểu thức A dưới dạng lũy thừa của 2 3 với số mũ hữu tỉ. b. Tính 5 3 3 3 4 5 . . log . a a a a B a a = . ĐS: 1 6 2 17 ; 3 30 A B   = = −  ÷   . Bài 28. 1. Tính đạo hàm của các hàm số sau: a. 2 1 .sin 2 x y e x + = b. 2 ln 1y x= + ĐS: a. y’=2e 2x+1 (sin2x+cos2x), b. 2 ' 1 x y x = + . 2. Giải các phương trình và hệ phương trình sau: a. 2 2 3 3 30 x x+ − + = b. ( ) 3 2 2 2 2 2log log 1 log log 1 .log 3 y x y x = +    = −   ĐS: a. x=±1, b.(8;9). Bài 29. 1. Cho hàm số ( ) ( ) 2 ln 1 x x f x e e= + + . Tính ( ) ' ln 2f . 2. Giải các phương trình và bất ương trình sau: a. 2 4 8 11 log log log 2 x x x+ + = b. lg lg 1 5.2 4 2 x x−   < −  ÷   ĐS: a. x=8, b. 1 1 100 x< < . Bài 30. a. Tìm giá trị của cơ số a biết ( ) 3 11 log 3. 3. 3 12 a = − . b. Giải phương trình 3 2 2 2 3 2 2 8 4 x x x x x− + − + + = . 4 c. Tính ( ) 2 0 ln cos lim x x L x → = . ĐS: a. 1 9 a = , b. x=1; x= 2 3 , c. 1 2 L = − . Bài 31. a. Giải phương trình ( ) 6 log 2 6 log 3 log x x x+ = . b. Giải bất phương trình 3 11 x x> − . ĐS: a. 1 6 x = , b. x > 2. Bài 32. a. So sánh hai số 4 log 5 và 5 log 6 (không dùng máy tính). b. Biết lg 2 a= ; 2 log 7 b= . Tính giá trị của lg 56 theo a và b. ĐS: a. 4 5 log 5 log 6> , b. lg56=a(3+b). Chủ đề 3: NGUYÊN HÀM−TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG Bài 33. Tính các tích phân sau: a) I = 2 0 (sin cos 2 ) 2 x x dx π + ∫ b) I = 1 3 0 (2 1)x dx+ ∫ c) I = 1 0 (4 1) x x e dx+ ∫ d) I = 2 2 1 2 1 x dx x + ∫ e) I = 2 1 ln e x dx x ∫ MỘT SỐ BÀI TOÁN NÂNG CAO Bài 34. a. Tìm một nguyên hàm F(x) của hàm số ( ) 2 2 2 tan 2 1 4 tan 1 2 x f x x = +   −  ÷   biết 3 4 F π   =  ÷   . b. Cho hai hàm số ( ) 2 20 30 7 2 3 x x f x x − + = + , ( ) ( ) 2 2 3F x ax bx c x= + + + , với 3 2 x > . Xác định a, b, c để F(x) là một nguyên hàm của f(x). ĐS: F(x)=tanx+2, b. a=4; b=−2; c=1. Bài 35. Tính các tích phân sau: a. 3 3 4 tanI xdx π π = ∫ b. ln 3 0 2 x dx J e = + ∫ c. 7 3 3 2 0 1 x xdx K x = + ∫ d. ( ) 3 2 2 lnL x x dx= − ∫ e. ( ) 1 2 0 2 x M x e dx= − ∫ f. 1 2 2 0 1N x x dx= − ∫ ĐS: 2 141 5 3 a. 1 ln 2, b. , c. ?, d. 3ln 3 2, e. ,f. 20 4 16 e I J K L M N π − = − = = = − = = . Bài 36. a. Tính thể tích vật thể tròn xoay sinh ra bởi elip 2 2 1 9 4 yx + = khi nó quay quanh Ox. b. Tính thể tích vật thể tròn xoay sinh ra bởi elip 2 2 1 4 9 yx + = khi nó quay quanh Oy. ĐS: 64 a. 16 , b. 3 V π π = . Bài 37. Tính thể tích hình tròn xoay sinh ra bởi hình phẳng giới hạn bởi các đường 2 . x y x e= , y=0, x=0, x=2 khi quay quanh Ox. ĐS: ( ) 2 1V e π = + . 5 Bài 38. a. Tính tích phân 2 2 0 4I x dx= − ∫ . b. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số 3 2 2y x x x= − − trên đoạn [−1;2] và trục hoành. ĐS: 37 a. , b. 12 I S π = = . Bài 39. a. Tính tích phân 2 3 0 cosI xdx π = ∫ . b. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số ( ) 3 3f x x x= − và ( ) g x x= . ĐS: 2 a. , b. 8 3 I S= = . Bài 40. a. Tính tích phân ( ) 2 2 1 5 1 6 x I dx x x − = − − ∫ . b. Tính thể tích vật thể tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi các đường 3 1y x= + , y=1, y=0 khi quay quanh trục Oy. ĐS: 2 a. 4ln 2 3ln 3, b. 5 I V π = − = . Chủ đề 4: SỐ PHỨC Bài 41. Thực hiện các phép tính: a) (2 + 4i)(3 – 5i) + 7(4 – 3i) b) (1 – 2i) 2 – (2 – 3i)(3 + 2i) c) (2 ) (1 )(4 3 ) 3 2 i i i i + + + − + d) (3 4 )(1 2 ) 4 3 1 2 i i i i − + + − − e) (1 + 2i) 3 f) 2 2 1 2 1 2 2 2 i i i i + + + − − Bài 42. Giải các phương trình sau trên tập số phức: a) 2x 2 + 3x + 4 = 0 b) 3x 2 +2x + 7 = 0 c)(1 – ix) 2 + ( 3 + 2i)x – 5 = 0 d) 2x 4 + 3x 2 – 5 = 0 e) ( 2 3) 2 3 2 2i z i i− + = + Bài 43. Tìm các số phức thỏa mãn : a) 2x + 1+ (1−2y)i = 2−x+( 3y−2)i b) 4x + 3+ (3y−2)i = y+1 + (x−3)i c) x + 2y + (2x−y)i = 2x + y +(x+2y)i Bài 44. Biết z 1 và z 2 là hai nghiệm của phương trình 2x 2 + 3 x + 3 = 0. Hãy tính: a) 2 2 1 2 z z+ b) 3 3 1 2 z z+ c ) 1 2 2 1 z z z z + Bài 45. Tìm hai số phức, biết tổng của chúng bằng 3 và tích của chúng bằng 4. MỘT SỐ BÀI TOÁN NÂNG CAO Bài 46. a. Biểu diễn các số phức sau đây trên mặt phẳng phức: 3+2i; 2+i, 1−3i. Viết liên hợp và số đối của các số phức đó. b. Cho ( ) ( ) 2 4 3 6z a b i= − + + với ,a b R∈ . Tìm a, b để z là số thực, z là số ảo. ĐS: a. (3;2), (2;1), (1;−3). Bài 47. Tìm căn bậc hai của các số phức: a. 1 4 3i+ , b. 17 20 2i+ , c. 46 14 3i− 6 ĐS: a. 1 2 2 3 ; 2 3z i z i= + = − − , b. 1 2 5 2 2 ; 5 2 2z i z i= + = − − , c. 1 2 7 3 ; 7 3z i z i= + = − − Bài 48. Giải các phương trình sau trên tập số phức: a. 2 1 0z z− + = b. ( ) 2 2 2 0z i z i− + − = c. ( ) 2 2 1 4 0iz i z− − − = d. ( ) 2 5 8 0z i z i− − + − = . ĐS: a. 1 3 2 2 z i= ± , b. 1 2 2;z z i= = − , c. 1 2 2; 2z z i= − = − , d. 1 2 2 ; 3 2z i z i= + = − . Bài 49. Viết các số phức sau dưới dạng lượng giác: a. z=1+i b. z=1−i c. z=−3 d. z=5 e. z=i f. z=−2i g. 1 3z i= + h. 1 3z i= − i. 1 3z i= − + ĐS: a. 2 cos sin 4 4 z i π π   = +  ÷   , b 2 cos sin 4 4 z i π π       = − + −  ÷ ÷  ÷       , c. ( ) 3 cos sinz i π π = + , d. ( ) 5 cos0 sin 0z i= + , e. 1 cos sin 2 2 z i π π   = +  ÷   , f. 2 cos sin 2 2 z i π π       = − + −  ÷ ÷  ÷       , g 2 cos sin 3 3 z i π π   = +  ÷   , h. 2 cos sin 3 3 z i π π       = − + −  ÷ ÷  ÷       , i. 2 2 2 cos sin 3 3 z i π π   = +  ÷   . Bài 50. Dùng công thức Moa-vrơ để tính a. (1+i) 5 , ( ) 6 3 i− . ĐS: a. ( ) 4 1 i− + , b. 64− . Bài 51. a. Tìm phần thực và phần ảo của số phức ( ) 8 3 i+ . b. Tìm phần thực và phần ảo của (x+yi) 2 −2(x+yi)+5. Với giá trị nào của x, y thì số phức trên là số thực. ĐS: a. 128; 128 3a b= − = − , b. 1; 0x y= = . 7 CB A H A B C Chủ đề 5+6: KHỐI ĐA DIỆN−MẶT CẦU−MẶT TRỤ−MẶT NÓN A. Công thức Khối chóp: 1 V = Bh 3 Lăng trụ: V =Bh Khối nón: π 2 1 1 V = Bh= r h 3 3 π xq S = rl Khối trụ: π 2 V = Bh= r h π xq S =2 rl Khối cầu: 3 π 4 V = r 3 , 2 π S= 4 r Một số kết quả cần nhớ Tam giác đều ABC: * Độ dài đường cao AB 3 AH= 2 . * Diện tích: 2 AB 3 S= 4 . Tam ABC vuông tại A: 1 S= AB.AC 2 . Hình vuông ABCD: * Đường chéo AC= AB 2 . * S=AB 2 . B. Bài tập Bài 1. Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng a, cạnh bên bằng 2a. Gọi I là trung điểm của BC. a. Chứng minh SA vuông góc với BC. b. Tính thể tích khối chóp S.ABC và S.ABI theo a. ĐS: b. 3 . . 1 11 2 24 S ABI S ABC a V V= = Bài 2. Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông tại B, SA vuông góc với đáy. Biết AB=a, 3BC a= , SA=3a. a. Tính thể tích khối chóp S.ABC. b. Gọi I là trung điểm của SC. Tính độ dài đoạn thẳng BI theo a. ĐS: a. 3 . 3 2 S ABC a V = , b. 13 2 a BI = Bài 3. Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông tại B, SA vuông góc với đáy. Biết SA=AB=BC=a. Tính thể tích khối chóp S.ABC. ĐS: 3 . 6 S ABC a V = Bài 4. Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a có SA vuông góc với đáy và SA=AC. Tính thể tích khối chóp S.ABCD. ĐS: 3 . 2 3 S ABC a V = Bài 5. Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a có SA vuông góc với đáy cạnh 3SB a= . a. Tính thể tích khối chóp S.ABCD. b. Chứng minh trung điểm của cạnh SC là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD. ĐS: a. 3 . 2 3 S ABC a V = Bài 6. Cho hình nón tròn xoay có đường cao h=a, bán kính đáy r=1,5a. Tính diện tích xung quanh của hình nón và thể tích khối nón đã cho theo a. ĐS: 2 3 3 13 3 , 4 4 xq a a S V π π = = 8 Bài 7. Trong không gian cho hình chữ nhật ABCD, có AB=a, AC= 5a . Tính diện tích toàn phần của hình trụ và thể tích khối trụ được sinh ra bởi hình chữ nhật nói trên khi nó quay quanh cạnh BC. ĐS: 2 2 4 xq S rl a π π = = ; 2 2 6 tp xq S S S a π = + = ñaùy ; 2 2 3 2 2V r h a a a π π π = = = . Bài 8. Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có AA’=a, AB=b, AD=c. Gọi (S) là mặt cầu ngoại tiếp hình hộp. Tính thể tích khối cầu. ĐS: ( ) 2 2 2 2 2 2 6 V a b c a b c π = + + + + Bài 9. Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông tại A và AC=a, góc · 0 60ACB = . Đường chéo BC’ của mặt bên tạo với mặt phẳng (AA’C’C) một góc 30 0 . a. Tính độ dài đoạn AC’. b. Tính thể tích khối lăng trụ. ĐS: a. AC’=3a; b. 3 6V a= . MỘT SỐ BÀI TOÁN NÂNG CAO Chủ đề 7: PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN II. PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN A. Tọa độ: Vấn đề 1: Tọa độ vectơ_tọa độ điểm * Cho ( ) ( ) r r 1 2 3 1 2 3 a a ;a ;a ,b b ;b ;b + ( )   ∧  ÷  ÷   r r 2 3 3 1 1 2 2 3 3 2 3 1 1 3 1 2 2 1 2 3 3 1 1 2 a a a a a a a b= = a b -a b ;a b -a b ;a b -a b b b b b b b ; ; . + r r 1 1 2 2 3 3 a.b a b +a b +a b = , ( ) ⊥ ⇔ ⇔ r r r r 1 1 2 2 3 3 a b a.b = 0 a b +a b +a b = 0 . +      ⇔ r r 1 1 2 2 3 3 a =b a=b a =b a =b . + r 2 2 2 1 2 3 a = a +a +a . * Cho ( ) ( ) A A A B B B A x ;y ;z ,B x ;y ;z . + Tọa độ vectơ ( ) ( ) ( ) ( ) uuur 2 2 2 B A B A B A B A B A B A AB= x - x ;y - y ;z -z , AB = x - x + y - y + z -z . + ( ) M M M M x ;y ;z là trung điểm của AB khi đó:          A B M A B M A B M x +x x = 2 y +y y = 2 z +z z = 2 . + Mở rộng thêm: tọa độ trọng tâm trong tam giác và trọng tâm của tứ diện. + Chứng minh ba điểm không thẳng hàng và bốn điểm không đồng phẳng. + Tính thể tích tứ diện khi biết một mặt là tam giác vuông hoặc tam giác đều. Vấn đề 2: Mặt cầu * Mặt cầu tâm I(a;b;c), bán kính r>0: ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 x-a + y -b + z-c =r . * Dạng khác: 2 2 2 x +y +z +2Ax+2By+2Cz+D=0 , A 2 +B 2 +C 2 −D>0. Khi đó tâm I(−A;−B;−C) bán kính 2 2 2 r = A +B +C -D . Lưu ý: + Mặt cầu tâm I tiếp xúc với mặt phẳng (α) có r=d(I,(α)). + Mặt cầu tâm I và đi qua điểm A có r=IA. + Mặt cầu đường kính AB có tâm I là trung điểm của AB và AB r =IA = 2 . Bài toán liên quan: Viết phương trình mặt phẳng tiếp xúc mặt cầu. + Tiếp xúc tại M: có vectơ pháp tuyến là r uur n= IA . + Mặt phẳng (α) tiếp xúc mặt cầu (S): r=d(I,(α)). 9 Bài tập Bài 10. Cho các điểm A(1;2;−1), B(2;−1;3), C(−2;3;3) a. Chứng minh ABC là bốn đỉnh của một tam giác. Tìm tọa độ trọng tâm của tam giác ABC. b. Tìm tạo độ điểm D để ABCD là hình bình hành. c. Chứng minh OABC là bốn đỉnh của một tứ diện. Tìm tọa độ trọng tâm của tứ diện OABC. Bài 11. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho ( ) ( ) 2; 4; 1 , 4 , 2; 4;3 , 2 2A OB i j k C OD i j k− = + − = + − uuur r r r uuur r r r . a. Chứng minh rằng AB⊥AC, AC⊥AD, AD⊥AB. Tính thể tích tứ diện ABCD. b. Viết phương trình tham số đường vuông góc chung của hai đường thẳng AB và CD. Bài 12. Tìm tâm và bán kính các mặt cầu sau: a. 2 2 2 4 6 4 0x y z x z+ + − + + = . b. 2 2 2 3 3 3 6 12 6 3 0x y z x y z+ + + − − − = . Bài 13. Cho mặt cầu (S): ( ) ( ) 2 2 2 2 1 4x y z− + + + = . Tìm tâm và bán kính mặt cầu, xác định các giao điểm của (S) với các trục tọa độ. Bài 14. Viết phương trình mặt cầu (S) trong các trường hợp sau: a. Biết đường kính AB, với ( ) ( ) 1;3;2 , 3;1; 4A B− − . b. Có tâm I(2;−1;3) và đi qua điểm A(2;2;−1). c. Có tâm I(1;2;3) và tiếp xúc mặt phẳng (Oxz). d. Có tâm thuộc Oz và đi qua hai điểm A(0;1;2), B(1;0;−1). e. Đi qua bốn điểm O, A, B, C với A(2;0;0), B(0;1;0), C(0;0;−3). B. Mặt phẳng: Vấn đề 1: Viết phương trình tổng quát của mặt phẳng Loại 1: Biết một điểm M 0 (x 0 ;y 0 ;z 0 ) và một vectơ pháp tuyến ( ) ≠ r ur n= A;B;C 0 của mặt phẳng (α): (α): ( ) ( ) ( ) 0 0 0 A x- x +B y- y +C z-z =0 (1) Hay: Ax+By+Cz+D=0 Loại 2: (α) đi qua ba điểm M, N, P không thẳng hàng: * Vectơ pháp tuyến: ∧ r uuur uuur n=MN MP . * Điểm thuộc mặt phẳng: M (hoặc N hoặc P). * Thay các kết quả vào (1). Loại 3: (α) đi qua A(x A ;y A ;z A ) và song song với mặt phẳng (β): Ax+By+Cz+D=0 * (α) có dạng Ax+By+Cz+m= 0 , ( ) α uur uur β n =n . * Thay tọa độ điểm A vào (α) để tìm ( ) ( ) A A A m, m=- Ax +By +Cz . Loại 4: (α) đi qua hai điểm M, N và vuông góc với mặt phẳng (β): Ax+By+Cz+D=0 , (MN không vuông góc với (β): * (α) có α ∧ uur uuur uur β n =MN n . * Điểm thuộc mặt phẳng: M (hoặc N). Thay các kết quả vào (1). Loại 5: (α) đi qua A(x A ;y A ;z A ) và vuông góc với đường thẳng      0 1 0 2 0 3 x = x +a t Δ: y = y +a t z=z +a t . * (α) có dạng 1 2 3 a x+a y+a z+m=0 , ( ) α uur uur Δ n = a . * Thay tọa độ điểm A vào (α) để tìm ( ) ( ) 1 A 2 A 3 A m, m=- a x +a y +a z . Vấn đề 2: Vị trí tương đối_khoảng cách Loại 1: Khoảng cách từ M (x M ;y M ;z M ) đến mặt phẳng (α): Ax+By+Cz+D=0 : ( ) α M M M 2 2 2 Ax +By +CZ +D d M, = A +B +C Loại 2: Khoảng cách giữa hai mặt phẳng (α), (β) song song: Lấy một điểm M tùy ý trên mặt phẳng này, tính khoảng cách từ M điểm đó đến mặt phẳng kia. 10 [...]... 21 Viết phương trình tham số đường vuông góc chung của hai đường thẳng ∆ : và 1 2 −1  x = 3 − 7t  x = 3 + 2t   ∆ ' :  y = 1 + 2t ĐS: d :  y = 1 + t  z = 1 + 3t  z = 1 + 4t   Bài 20 Cho đường thẳng ∆: D Bài tập tổng hợp: uu r r ur r Bài 22 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho A(4;−1;2), B(1;2;2), C(1;−1;5), và OD = 4i + 2 j + 5k a Chứng minh ABCD là một tứ diện đều b Tính thể tích tứ diện... r uu r ur ur r Bài 25 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho A(−1;2;1), OB = j + k , OC = i + 4k a Chứng minh ABC là tam giác vuông b Viết phương trình tham số của đường thẳng AB c Viết phương trình tổng quát của mặt phẳng (ABC) Bài 26 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho D(−3;1;2) và mặt phẳng (α) qua ba điểm A(1;0;11), B(0;1;10), C(1;1;8) a Viết phương trình tham số của đường thẳng AC b Viết... 3 2 Bài 18 Tìm m để khoảng cách từ M(m;0;1) đến mặt phẳng (α): 2x+y−2z+2=0 bằng ĐS: m=±1 3 C Đường thẳng: Vấn đề 1: Viết phương trình đường thẳng Viết phương trình đường thẳng ∆ khi biết một điểm M0(x0;y0;z0) và một vectơ chỉ phương r a= ( a1 ;a2 ;a3 ) : x = x0 +a1 t  * Phương trình tham số Δ : y = y0 +a2 t , ( t ∈ R ) z = z +a t 0 3  x - x0 y - y 0 z - z0 = = , ( a1a2 a3 ≠ 0 ) * Phương trình... không gian với hệ tọa độ Oxyz cho (α): x + y + z − 1 = 0 và đường thẳng d: = = Tính 1 1 −1 thể tích khối tứ diện ABCD, biết A, B, C là giao điểm tương ứng của mặt phẳng ( α ) với các trục tọa độ Ox, Oy, Oz; còn D là giao điểm của đường thẳng d với mặt phẳng tọa độ Oxy Bài 24 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho A(1;4;2) và mặt phẳng (P): x+2y+z−1=0 a Viết phương trình đường thẳng d qua A và vuông... phương trình mặt phẳng (α) trong các trường hợp sau: a (α) vuông góc với AB tại A, biết A(1;0;−2), B(2;1;1) b (α) qua ba điểm M(2;−1;3), N(4;2;1), P(−1;2;3) c (α) qua M(0;−2;1) và song song với mặt phẳng (β): x−3z+1=0 d (α) qua hai điểm A(3;1;−1), B(2;−1;4) và vuông góc với mặt phẳng (β):2x−y+3z+1=0 x −1 y +1 z = = e (α) qua M(1;−1;1) và vuông góc với đường thẳng ∆: 3 −1 2 ĐS: a x+y+3z+5=0; b 2x+2y+5z−17=0;... (−1;0;2) và vuông góc với mặt phẳng (α): 2x−y+z−1=0 x y+3 z−2 = c ∆ qua M(−1;2;1) và song song với đường thẳng d: = 2 −1 3 d ∆ qua M(0;3;−1) và song song với trục Ox  x = 2 + 2t  x = −1 + 2t   ĐS: a  y = −1 + 3t ; b  y = t ; c  z = 3 − 2t z = 2 + t    x = −1 + 2t   y = 2 − t ; d  z = 1 + 3t  x = t  y = 3  z = −1  11 x −1 x +1 z = = và điểm M(3;4;5) Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc của... ( a1a2 a3 ≠ 0 ) * Phương trình chính tắc Δ : a1 a2 a3 Chú ý: ur u u u ur * Đường thẳng ∆ đi qua hai điểm A, B có vectơ chỉ phương là aΔ = AB ur u ur u * Đường thẳng ∆ vuông góc với mặt phẳng (α) có vectơ chỉ phương là aΔ = nα Vấn đề 2: Vị trí tương đối_khoảng cách x = x0 +a1 t  Δ : y = y0 +a2 t , ( t ∈ R ) Tìm khoảng cách từ M đến đường thẳng z = z +a t 0 3  H(x0 +a1 t;y0 +a2 t;z0 +a3 t) * Gọi... A(1;0;11), B(0;1;10), C(1;1;8) a Viết phương trình tham số của đường thẳng AC b Viết phương trình tổng quát của mặt phẳng (α) c Viết phương trình mặt cầu (S) tâm D bán kính R=5 Chứng minh (S) cắt (α) MỘT SỐ BÀI TOÁN NÂNG CAO −Hết− 12 . b. 3 6V a= . MỘT SỐ BÀI TOÁN NÂNG CAO Chủ đề 7: PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN II. PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN A. Tọa độ: Vấn đề 1: Tọa độ. minh ba điểm không thẳng hàng và bốn điểm không đồng phẳng. + Tính thể tích tứ diện khi biết một mặt là tam giác vuông hoặc tam giác đều. Vấn đề 2: Mặt cầu