Dạng 4 Các vấn đề về phơng trình bậc hai Vấn đề 1: Một số dạng toán về nghiệm phơng trình bậc hai Loại toán1 : Tìm điều kiện để phơng trình có hai nghiệm thoã mãn một hệ thức cho trớc. Phơng pháp giải: - Tìm điều kiện để phơng trình có2 nghiệm (a 0 0 ) - Kết hợp hệ thức đề cho và định lý viét để tìm tham số - Chọn tham số thoã mãn điều kiện 0 . Bài1:Xác định m để phơng trình: 3x 2 -5x+m = 0 có hai nghiệm x 1; x 2 thoã mãn điều kiện : x 1 -x 2 = 9 5 Đs: m = 27 50 Bài2: Xác định m Z để phơng trình :5x 2 +mx-28 =0 có hai nghiệm x 1 ;x 2 thoã mãn 5x 1 +2x 2 -1 = 0 Đs: m = -13 Bài3: Xác định m để phơng trình : m 2 +m(x-1)=2+ x 7 có hai nghiệm phân biệt thoã mãn : 21 xx = Đs: m=2 Bài 4: Xác định m để phơng trình: x 2 -2(m-1)x+m 2 -3m+4 =0 có hai nghiệm thoã mãn 22 21 =+ xx Đs: m =3 Bài 5: Xác định m để phơng trình có hai nghiệm sao cho x 1 5 +x 5 2 =0 mx 2 - (m - 1) x - 4 + m =0 Đs: m=1 Loạitoán 2: Tìm điều kiện để một nghiệm của phơng trình này bằng k lần một nghiệm của phơng trình kia Phơng pháp giải: - Gọi x 0 là một nghiệm cần xét của một phơng trình - Thếk x 0 vào nghiệm của phơng trình còn lại rồi giải hệ với hai ẩn là x 0 và tham số. Ví dụ: Cho hai phơng trình x 2 -x+m =0 (1) và x 2 -3x+m =0 (2) Tìm m để phơng trình (2) có một nghiệm bằng hai lần một nghiệm của phơng trình (1). Đs: m =- 9 10 ; x 0 = 3 5 Loại toán 3:Tìm điều kiện để phơng trình có hai nghiệm thoã mãn một biểu thức đối xứng. Phơng pháp giải : ĐK a 0 và 0 Biến đổi biểu thức để xuất hiện S;P sau đó dùng Viét Bài1: Tìm m để phơng trình x 2 +2(m-3)x+m-13 =0 có hai nghiệm x 1 ;x 2 và x 1 x 2 -x 1 2 -x 2 2 đạt giá trị lớn nhất. Đs: m = 8 27 Bài2: Xác định m để phơng trình : x 2 -2mx-2-m =0 có hai nghiệm x 1 ;x 2 và x 1 2 +x 2 2 đạt giá trị nhỏ nhất. Đs :m=- 4 1 Bài3: Cho phơng trình x 3 +x 2 +2x+m=0 có ba nghiệm x 1 ;x 2 ;x 3 thoã mãn 1 2 2 3 x x x x = .Tìm giá trị m. Đs:m=-8 Bài4: Cho x 1 ;x 2 là n 0 của x 2 -3x+a=0 và x 3 ;x 4 là n 0 của x 2 -12x+b=0 thoã mãn x 2 :x 1 =x 3 :x 2 =x 4 :x 3 .Tìm a,b Đs:a=2;b=32.hoặc a=-18;b=-288 Vấn đề2: Dấu của các nghiệm phơng trình ax 2 +bx+c=0 (a 0 ) (1) Lý thuyết: Gọi x 1 ;x 2 là các nghiệm của phơng trình (1) - Nếu P<0 suy ra : x 1 <0<x 2 (hai nghiệm trái dấu) - Nếu 0 ;P>0;S<0 suy ra: 21 xx <0 ( hai nghiệm âm) - Nếu 0 ;P>0;S>0 suy ra 0< 21 xx (hai nghiệm dơng) - Nếu P =0;S<0 nghiệm lớn bằng 0 - Nếu P =0;S>0 nghiệm nhỏ bằng 0 - Nếu P=0;S=0 hai nghiệm cùng bằng 0 Bài1: Xác định m để phơng trình: (m-1)x 2 +2(m-3)x+m+3=0 (m 1 ) a) Có hai nghiệm trái dấu. Đs: -3 < m <1 b) Có hai nghiệm phân biệt âm. Đs: m <-3 c) Có đúng một nghiệm âm, Đs:-3 1 < m Bài2; Xác định m để phơng trình : (m+2) x 1 -2(m-1) x 1 +m+2=0 có nghiệm. Đs: m 2 5 Bài3: Xác định m để phơng trình : x 2 -2(m+1)x-m+1 = 0 có hai nghiêm dơng phân biệt. Đs: 0 <m <1 Bài4: Cho phơng trình: x 2 +4x+m+1 =0 a) Tìm m để phơng trình có nghiệm x 1 ;x 2 sao cho: x 2 1 +x 2 2 -x 1 x 2 =5 Đs: m = 3 8 b) Xác định m để phơng trình có hai nghiệm âm phân biệt. Đs: -1<m<3 c) Xác định m để phơng trình có đúng một nghiệm âm. Đs: m=3 hoặc m<-1 Vấn đề 3: Tìm hệ thức liên hệ giữa các nghiệm của :a x 2 +bx+c=0 Không phụ thuộc vào tham số. Phơng pháp giải: - Tìm điều kiện của tham số để phơng trình có2 nghiệm - áp dụng định lý Viét - Khử tham số từ hệ thức viét ta đợc hệ thức cần tìm. Bài1: Cho phơng trình : (m-1)x 2 -2(m-4)x+m-5=0 Tìm hệ thức liên hệ giữa các nghiệm của các nghiệm không phụ thuộc m. Đs: 2(x 1 +x 2 )-3x 1 x 2 =1 Bài 2: Cho phơng trình (1+m 2 )x 2 -2mx+1-m 2 =0 a) Chứng minh rằng với m>1 phơng trình luôn có nghiệm. b) Tìm hệ thức liên hệ giữa các nghiệm không phụ thuộc m. Đs:(x 1 +x 2 ) 2 +(x 1 x 2 ) 2 =1 Yêu cầu tât cả học sinh giải vào vở bài tập Cô giáo : Vơng Đạm Phơng THCS Quang Trung . Dạng 4 Các vấn đề về phơng trình bậc hai Vấn đề 1: Một số dạng toán về nghiệm phơng trình bậc hai Loại toán1 : Tìm điều kiện để phơng trình có hai nghiệm thoã. số. Ví dụ: Cho hai phơng trình x 2 -x+m =0 (1) và x 2 -3x+m =0 (2) Tìm m để phơng trình (2) có một nghiệm bằng hai lần một nghiệm của phơng trình (1). Đs: