MỤC LỤC Trang Phần 1: Mở đầu Mục đích sáng kiến Tính ưu điểm bật sáng kiến Đóng góp sáng kiến để nâng cao chất lượng mơn tốn Phần 2: Nội dung Chương 1: Khái quát thực trạng vấn đề mà sáng kiến tập trung giải Chương 2: Những giải pháp áp dụng tai đơn vị Chương 3: Kiểm chứng giải pháp triển khai Phần 3: Kết luận Những vấn đề quan trọng đề cập sáng kiến Hiệu thiết thực sáng kiến Kiến nghị với cấp Phần 4: Phụ lục GIẢI VÀ BIỆN LUẬN PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI CHỨA THAM SỐ PHẦN 1: MỞ ĐẦU Mục đích sáng kiến: Trong luật Giáo dục điều 24 khoản ghi “ Phương pháp giáo dục phổ thơng phải phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động, sáng tạo học sinh, phù hợp với đặc điểm lớp hoc, môn học, bồi dưỡng phương pháp tự học, rèn luyện kỹ vận dụng kiến thức vào thực tiễn, tác động đến tình cảm, đem lại niềm vui, hứng thú học tập cho học sinh” Với mơn Tốn yếu tố sáng tạo vơ cần thiết, khơng địi hỏi người học phải nắm vững kiến thức mà sở người học cịn phải biết tổng hợp kiến thức mới, kiến thức chưa có sẵn sách giáo khoa sách tập Là giáo viên dạy lớp nhiều năm trực tiếp tham gia dạy ơn thi vào Trung học Phổ thơng, qua tìm hiểu đề thi nhiều năm có tốn liên quan đến phương trình bậc hai chứa tham số Trong gặp dạng toán em thường nhầm lẫn, dẫn đến việc bỏ sót trường hợp nghiệm Chính lý mà tơi mạnh dạn đưa cách giải số dạng tập có liên quan đến phương trình bậc hai chứa tham số Tính ưu điểm sáng kiến: Sáng kiến hệ thống lý thuyết dạng tâp “ Phương trình bậc hai chứa tham số” Đối với dạng tập việc tổng hợp lý thuyết có liên quan, phương pháp giải, ví dụ minh họa tập tương tự trình bày cụ thể, chi tiết giúp học sinh dễ nhớ, dễ thuộc giải tốn có liên quan Đóng góp sáng kiến : Sáng kiến thân áp dụng trường triển khai tổ Toán nhà trường đồng nghiệp đón nhận áp dụng vào giảng dạy mơn tốn lớp với dạng toán “ Biện luận nghiệm phương trình bậc chứa tham số ” Kết đạt kỳ thi học sinh giỏi, kỳ thi vào Trung học Phổ thơng tốn góp phần khơng nhỏ tỷ lệ đỗ vào Trung học Phổ thơng Đặc biệt năm Phịng Giáo dục Đào tạo tổ chức thi học sinh giỏi giải tốn mạng năm cá nhân tơi hướng dẫn em đạt thành tích đáng khích lệ PHẦN 2: NỘI DUNG Chương 1: KHÁI QUÁT THỰC TRẠNG VẤN ĐỀ MÀ SÁNG KIẾN TẬP TRUNG GIẢI QUYẾT: Những thuận lợi khó khăn: 1.1 Thuận lợi: - Đây dạng toán quan trọng dạng toán đặc trưng chuyên đề “Giải biện luận nghiệm phương trình bậc hai chứa tham số” - Những tốn phương trình bậc hai chứa tham số thường xuất đề thi vào Trung học Phổ thông năm gần nên học sinh ý ôn luyện - Học sinh học phương trình bậc hai hệ thức Vi-et nên em không bỡ ngỡ gặp dạng tốn 1.2.Khó khăn: - Nhiều học sinh cịn ngại biến đổi biểu thức có liên quan tới hệ thức Vi- et - Kỹ lập luận biến đổi em hạn chế - Một số dạng tốn chun đề cịn mẻ với học sinh trung bình yếu nên việc giải tốn thuộc chun đề gặp khơng khó khăn Chương : NHỮNG GIẢI PHÁP ĐÃ ĐƯỢC ÁP DỤNG TẠI ĐƠN VỊ Các bước tiến hành : + Trong tiết dạy khóa thân dạy cho học sinh kiến thức phương trình bậc hai sách giáo khoa sách tập Bên cạnh tơi cịn mở rông thêm dạng đơn giản toán toán + Trong buổi dạy thêm ôn thi vào Trung học Phổ thông dậy cho em nắm vững kiến thức nhiều góc độ khác Bài tập nâng lên từ dễ đến khó, đặc biệt chúng tơi chia đối tương học sinh để việc tiếp thu kiến thức dễ dàng + Đối với học sinh có trình độ yếu, dạy cho học sinh làm đến dạng 1, 2, tốn rèn kĩ giải phương trình bậc hai hệ phương trình với ẩn x x + Đối với học sinh trung bình dạy cho em đến toán Như đối tượng học sinh nắm tất phương pháp giải dạng tốn phương trình bậc hai có liên quan + Đối với đối tượng học sinh giỏi dạy cho em nắm tất toán Đặc biệt dạy cho em biết nhận dạng , phân loại trước tìm lời giải Để học sinh có kĩ việc giải dạng tốn giáo viên cần có thời gian cho em nắm lý thuyết cách chắn luyện tập nhiều để tích lũy kinh nghiệm giải toán cho em Các toán phương trình bậc hai chứa tham số: 2.1 BÀI TỐN 1: Tìm điều kiện tham số để phương trình có nghiệm, có nghiệm kép, vơ nghiệm, có hai nghiệm phân biệt Bước 1: Xác định hệ số a,b,c ( a,b,c,b ’) Nếu em chưa thành thạo Bước 2: Tính ∆ ∆' Bước 3: Kiểm tra điều kiện: + Nếu ∆ ( ∆' >0 )thì phương trình có hai nghiệm phân biệt +Nếu ∆ ≥ ( ∆' ≥ ) phương trình có nghiệm • Lưu ý: - Trong số tốn tìm điều kiện để phương trình có nghiệm mà hệ số a chứa tham số ta phải xét trường hợp a = Sau xét trường hợp a ≠ làm bước - Trong số tốn tìm điều kiện m để phương trình có nghiệm, có nghiệm kép, vơ nghiệm, có hai nghiệm phân biệt mà hệ số a chứa tham số ta phải tìm điều kiện để phương trình phương trình bậc hai (a ≠ ) Ví dụ : Cho phương trình (m - 1)x2 + 2.(m + 2)x + m = (1) a/ Tìm điều kiện m để phương trình có nghiệm b/ Tìm điều kiện m để phương trình có hai nghiệm phân biệt Giải: a/ + Khi m - = hay m = 1, phương trình (1) trở thành 6x + = Đó phương trình bậc có nghiệm x = −1 + Khi m - ≠ hay m ≠ Ta có : ∆' =(m + 2)2 – m(m - 1) = m2 – 4m + – m2 + m = 5m + Để phương trình có nghiệm ∆' ≥ , tức là: 5m + ≥ ⇔ m ≥ Kết hợp hai trường hợp ta m ≥ −4 −4 phương trình (1) có nghiệm a ≠ b/ Để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt  ' ∆ > m ≠ m − ≠  ⇔ −4  5m + ≥ m ≥ tức Vậy với m ≥ −4 m ≠ phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt Bài tập áp dụng: Bài 1: Tìm điều kiện m để phương trình sau có nghiệm a) x2 – x – 2m = b) 5x2 + 3x + m – = c) mx2 - x – = d)( m2 + 1) x2 - 2(m + 3) + = Bài 2: Tìm điều kiện m để phương trình sau có hai nghiệm phân biệt a) 3x2 – 2x + m = b) x2 + 2(m – 1) – 2m + = Bài 3: Tìm điều kiện m để phương trình sau vơ nghiệm a) (m – 1)x2 + 2x + 11 = b) x2 + (m – 1)x + m – = 2.2 BÀI TỐN 2:Chứng minh phương trình ln có nghiệm, có hai nghiệm phân biệt với giá trị tham số Phương pháp giải: Bước1: Tính ∆ ∆' Bước 2: Biến đổi biểu thức ∆ ∆' dạng thu gọn Bước 3: + Chứng minh ∆ ≥ ( ∆' ≥ ) phương trình ln có nghiệm với giá trị tham số + Chứng minh ∆ > ( ∆' >0 ) phương trình ln có hai nghiệm phân biệt với giá trị tham số ( Chú ý sử dụng đẳng thức thứ nhât thứ hai để biến đổi biểu thức thành bình phương biểu thức ; biểu thức dạng A; A Đặc biệt ta dựa vào việc chứng minh tích a.c < 0( a c trái dấu) Ví dụ 1: Cho phương trình x2 – (m + 1)x + m = (1) ( x ẩn, m tham số) Chứng minh phương trình (1) ln có nghiệm với giá trị m Giải: Ta có ∆ = [ − ( m + 1) ] − 4m = ( m + 1) − 4m = m − 2m + = ( m − 1) Ta thấy ∆ = ( m − 1) ≥ 0, ∀m Suy ra, phương trình (1) ln có nghiệm với giá trị m Ví dụ 2: Cho phương trình x2 - 2(m - 1)x + m – = (1) (x ẩn, m tham số) Chứng minh phương trình (1) ln có hai nghiệm phân biệt với giá trị m Giải: Ta có ∆' = [ − ( m − 1) ] − ( m − 3) = ( m − 1) − m + = m − 2m + − m + = m − 3m + 2 9  3  Mà m – 3m + =  m − m +  + =  m −  + > 0, ∀m 4  2  Suy ra, ∆' >0 với m Vậy phương trình (1) ln có hai nghiệm phân biệt với giá trị m Bài tập áp dụng : Bài 1: Chứng minh phương trình ( ẩn x) sau ln có nghiệm có hai nghiệm phân biệt a) x2 - 2(m + 1)x + 2m + = b) x2 – 3x + – m = c) x2 + ( m + 3)x + m + = 2.3 BÀI TOÁN 3: Xác đinh m để phương trình có nghiệm α cho trước Với m vừa tìm tìm nghiệm lại Phương pháp giải: Bước1: Thay x = α vào phương trình cho, sau giải phương trình với ẩn m để tìm giá trị m dùng hệ thức Vi –et Bước2: Thay giá trị m vừa tìm vào phương trình, sau dùng hệ thức Vi-et để tính nghiệm cịn lại cách x = S – x ( S tổng hai nghiệm) Ví dụ : Cho phương trình x2 – 2(m – 1)x + 2m – = 0(1) Xác định giá trị m để phương trình (1) có nghiệm – sau xác định nghiệm cịn lại phương trình Giải: + Thay x = - vào phương trình (1), ta có : (-1)2 – 2(m – 1).(-1) + 2m – = ⇔ 4m − = ⇔ m =1 + Thay m = vào phương trình (1), ta phương trình : x − = x = ⇔ x2 – = ⇔ ( x − 1)( x + 1) = ⇔  x + =  x = −1 Vậy với m = phương trình (1) có nghiệm x = -1 nghiệm lại x = Bài tập áp dụng : Bài tập : Tìm giá trị m để phương trình sau có nghiệm cho trước tìm nghiệm lại a) x2 – (m + 2)x + m + = có nghiệm x = b) x2 + 2x + m2 – 2m = có nghiệm x = -3 c) mx2 + 2x + – m = có nghiệm x = 2.4 BÀI TỐN : Tìm điều kiện m để phương trình bậc hai có hai nghiệm x ,x thỏa mãn điều kiện mx + nx = p(1) (Trong m, n số cho 2 trước) Phương pháp giải: Bước 1: Tìm điều kiện m để phương trình có hai nghiệm x ,x ( ∆ ≥ ∆' ≥ ) (*) Bước 2: Lập hệ thức Vi-et tổng tích hai nghiệm phương trình x1 + x = x1 x = −b ( 2) a c ( 3) a Bước 3: Giải hệ phương trình sau để tìm x ,x mx1 + nx = p x1 + x = −b a Bước 4: Thay x ,x vào (3) ⇒ m cần tìm Bước : Đối chiếu giá trị m tìm với điều kiện bước ⇒ kết luận *Lưu ý : Cũng kết hợp (1) với (3) để có hệ phương trình bước Tìm x ,x tiếp tuc làm bước bước Ví dụ : Cho phương trình x2 – 8x + m = Tìm giá trị m để phương trình cho có hai nghiệm thỏa mãn x - x = 2(1) Giải: Ta có ∆' = (-4)2 - m = 16 – m Để phương trình có hai nghiệm x ,x ∆' ≥ tức 16 – m ≥ ⇔ m ≤ 16(*) Theo hệ thức Vi et ta có : x + x = 8(2) ;x x = m(3) 2 Kết hợp (1) với (2) ta có hệ phương trình : x1 + x = x1 − x = x1 = ⇔ x2 = Thay x = 5, x = vào (3) ta có : m = 5.3 = 15 ( Thỏa mãn điều kiện *) Vậy với m = 15 phương trình cho có hai nghiệm thỏa mãn x - x = 2 Lưu ý : Các tốn tìm m để phương trình bậc hai tham số có hai nghiệm đối (x = - x ), có nghiệm k lần nghiệm kia(x = k x ), có 2 nghiệm lớn nghiệm k đơn vị(x = x + k hay (x - x = k), ta 2 quy tốn 2.5 BÀI TỐN : Tìm điều kiện m để phương trình bậc hai có hai nghiệm thỏa mãn biểu thức x ,x ( sử dụng hệ thức Vi-et) Phương pháp giải : Bước :Tìm điều kiện m để phương trình bậc hai có hai nghiệm x ,x ( ∆ ≥ ∆' ≥ ) (*) 2 Bước : Lập hệ thức Vi-et tổng tích hai nghiệm phương trình x1 + x = x1 x = −b ( 2) a c ( 3) a Bước : Biến đổi biểu thức đầu vê dạng tổng hai nghiệm, tích hai nghiệm Sau thay kết bước vào biểu thức giải phương trình ẩn m thu biểu thức thường gặp : a) x12 + x22 = k ⇔ ( x1 + x ) − x1 x2 = k b) x13 + x 23 = k ⇔ ( x1 + x ) − 3x1 x ( x1 + x2 ) = k x +x 1 c) x + x = k ⇔ x x = k 2 x x x + x 22 ( x + x ) − x1 x = k =k ⇔ d) + = k ⇔ x x1 x1 x x1 x 2 Bước : Đối chiếu giá trị m tìm bước với điều kiện bước ⇒ kết luận Lưu ý : Các biểu thức khác làm tương tự, sử dụng phương pháp đẳng thức, đặt nhân tử chung, quy đồng phân thức, để đưa dạng tơng, tích nghiệm Ví dụ : Cho phương trình x2 – 4x + m – = 0(1) Tìm điều kiện m để phương trình có hai nghiệm thỏa mãn x12 + x22 = 12 Giải: Ta có ∆/ = ( − 2) − ( m − 1) = − m + = − m Để phương trình (1) có hai nghiệm x ,x ∆' ≥ tức - m ≥ ⇔ m ≤ (*) Theo hệ thức Vi –et ta có : x1 + x = x1 x = m − Ta có : x12 + x 22 = 12 ⇔ ( x1 + x ) − x1 x = 12 ⇔ − 2( m − = 12 ) ⇔ 16 − 2m + = 12 ⇔m=3 Ta thấy m = thỏa mãn điều kiện (*) Vậy với m = phương trình(1) có hai nghiệm thỏa mãn x12 + x22 = 12 2.6 BÀI TỐN : Lập phương trình biết hai nghiệm x ,x Trường hợp : Hai nghiệm x ,x hai số cụ thể Phương pháp giải : Bước : Tính tổng S = x + x tích P = x x 2 Bước : Lập phương trình : x ,x nghiệm phương trình x2 – Sx + P = Trường hợp : x ,x 2 nghiệm phương trình ban đầu Lập phương trình có nghiệm biểu thức chứa x ,x Phương pháp giải Bước : Lập tổng tích hai nghiệm x ,x cho( biến đổi toán 5) Bước : Lập hệ thức Vi –et cho phương trình ban đầu Bước : Lập phương trình x2 – Sx + P = Đây phương trình cần tìm Ví dụ : a) Lập phương trình biết hai nghiệm : x = ; x = 10 b) Cho x ,x nghiệm phương trình x2 – 2(m – 1)x – = 0(1) Hãy 1 lập phương trình có hai nghiệm x x 2 Giải a) Ta có : S = x + x = + 10 = 17 P = x x = 10 = 70 Suy x ,x nghiệm phương trình x2 - 17x + 70 = b) Ta nhận thấy a = 1, c = - ⇒ a.c = -1 < ⇒ phương trình (1) ln có hai nghiệm phân biệt x ,x Theo hệ thức Vi-et ta có : x1 + x = 2(m−) x1 x = −1 S= x12 + x 22 ( x1 + x ) − x1 x [ 2( m − 1) ] − 2( − 1) 1 + = = = = 2m − 4m + 2 2 x1 x x1 x ( x1 x ) ( − 1) P= 1 1 = = =1 2 x1 x ( x1 x ) ( − 1) 2 Ta có : ( ) Phương trình cần lập : x2 – 2(2m2 – + 3)x + = Bài tập áp dụng : Bài : Lập phương trình có hai nghiệm : a) x = 7, x = 10 c) x = b) x = -3, x - 5− 5+ ,x = 2 d) x = −1 , x2= Bài : Cho Phương trình -3x2 + 8x – = Lập phương trình có hai nghiệm mà nghiệm gấp đơi nghiệm phương trình cho Bài : Cho Phương trình x2 – 6x + = 0.Lập phương trình có hai nghiệm bình phương mỗ nghiệm phương trình cho 2.7 BÀI TỐN : Tìm m để phương trình bậc hai có hai nghiệm x ,x Sau tìm giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức có liên quan đến nghiệm x ,x Phương pháp giải : Bước : Tìm điều kiện m để phương trình bậc hai có hai nghiệm x ,x ( ∆ ≥ ∆' ≥ ) (*) x1 + x = Bước : Lập hệ thức Vi-et x1 x = −b ( 2) a c ( 3) a Bước : Biến đổi biểu thức dạng tổng tích hai nghiệm để áp dụng hệ thức Vi- et Từ ta thu biểu thức bậc hai m Các biểu thức thường gặp : a) x12 + x22 = k ⇔ ( x1 + x ) − x1 x2 = k b) x13 + x 23 = k ⇔ ( x1 + x ) − 3x1 x ( x1 + x2 ) = k 1 x +x c) x + x = k ⇔ x x = k 2 x1 x x12 + x 22 ( x + x ) − x1 x = k + = k ⇔ =k ⇔ d) x x1 x1 x x1 x 2 Bước : Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ + Nếu hệ số a biểu thức chứa m mà a >0 ta có giá trị nhỏ Để tìm giá trị nhỏ ta biến đổi dạng A + k ≥ k với m, giá trị nhỏ k ( phải rõ đạt giá trị m từ so với điều kiện bước kết luận) + Nếu hệ số a biểu thức chứa m mà a